福建省清流一中数学(人教A)必修5教案 2.3等差数列的前n项和(一)
人教A版高中数学必修五人教等差数列的前n项和教案(1)(1)
第五课时 2.3.1 等差数列的前n 项和（一）教学要求：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.教学重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导及应用.教学难点：灵活运用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题.教学过程：一、复习准备：1. 复习：等差数列的概念、通项公式、等差中项，等差数列的性质.2. 提问：小明喜欢摆积木，幼儿园的老师给他布置了这样一个任务，要求他将一堆形状规则的正方形积木摆放“整齐”，最下面一层摆13个，往上一层摆11个，再往上一层摆9个，、、、依次往上，当摆到第6层时，问需要几个这样的正方形积木？如果已知小明将老师给的积木全部摆完时，最上层的积木恰有3个，你能说出老师总共给了多少个这样的小正方形积木给小明吗？二、讲授新课：1. 教学等差数列前n 项和公式：① 等差数列前n 项和的定义：一般地，我们称123n a a a a ++++为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示，即123n n S a a a a =++++. ② 等差数列前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=或2)1(1d n n na S n -+=.（实际解题时根据题目给出的已知条件选择合适的方法来解决）2. 例题讲解：例1、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122084,460S S ==，求28S .（学生练→学生板书→教师点评及规范）练习：⑴在等差数列{}n a 中，已知399200a a +=，求101S . ⑵在等差数列{}n a 中，已知15129620a a a a +++=，求20S .例2、已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系：由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n. 例3、在等差数列{}n a 中，已知1020310,1220S S ==，求30S .结论：等差数列中1020103020,,S S S S S --，成等差数列.（推广：等差数列中232,,m m m m m S S S S S --成等差数列.）3. 小结：等差数列前n 项和的定义、公式，性质及其应用.三、巩固练习：1. 练习：教材P52页 第1题2. 作业：教材 P52－P53页 A 组 第2、3题第六课时 2.3.2 等差数列的前n 项和（二）教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究 的最值. 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一、复习准备：练习：已知数列{}n a 的前n 项和212343n S n n =++，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？二、讲授新课：1. 探究：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ （是，1a p q r =++，2d p =）.由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1d n n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前n 项和的最值问题：① 例题讲解：例1、数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <；（2）求此数列的前n 项和的最大值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1）当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n的值.（2）由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 练习：在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值. 例2、有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金额，这是零存；到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取. 它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额⨯112⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎣⎦存期＋存期（存期＋）利率. 若某人每月初存入100元，月利率5.1%。
人教A版高中数学必修五第二章第3节《等差数列前n项数和》(第1课时)教案
2.3 等差数列的前n项和一、教学目标：知识技能目标：1.掌握等差数列前n项和公式； 2.掌握等差数列前n项和公式的推导过程;3.会简单运用等差数列前n项和公式.过程与方法： 1．通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法；2. 通过公式的运用体会方程的思想。
情感态度：结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化.二、教学重点难点：教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用.教学难点：在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法.三、教学策略及设计本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
四. 教法、学法本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.学生的学法突出探究、发现与交流.五.教学过程教学过程设计为六个教学环节：（如下图）指导思想：就是从特殊到一般，由具体到抽象，类比归纳总结出指导等差数列前n项和公式的倒序相加法，然后引导学生认识和熟记公式并活应用，同时在应用过程中体会方程的思想方法。
四、教学过程：即···+100=？著名数学家高斯小时候就会算，闻数时，首尾配对出现了问题，通过动画演示引导帮助学生思考解决问题的办法，为引出倒序相加法做铺垫。
动画演示：假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什123(1)n s n n=++++-+（公式二）四、公式应用、讲练结合1、练一练：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛a｝的S：一、教材分析1．教学内容：本节课是高中人教A版必修5第二章第三节第一课时的内容。
主要研究等差数列的前n 项和公式的推导及其简单应用。
高中数学(福建)人教A版必修5课件：2.3.1 等差数列的前n项和
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题型一 题型二 题型三 题型四
UBIAODAOHANG
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型一
已知 Sn 求 an
【例1】 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项 公式. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2. 分析:利用Sn-Sn-1=an(n≥2)求解. 解:(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1; 当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5, 则an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5) =2n2-3n-2n2+7n-5=4n-5. 此时若n=1,则an=4n-5=4×1-5=-1=a1, 故an=4n-5.
题型一 题型二 题型三 题型四
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D典例透析
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题型二
等差数列前 n 项和的有关计算
【例 2】 根据下列条件,求相应的等差数列{an}的有关未知数: (1)a1 =
3 1 ,d=− 2,Sn=-15,求 2
n 及 a12;
������(������-1) 2
-
1 2
= −15,
整理,得 n2-7n-60=0, 解得 n=12 或 n=-5(舍去), 故 a12 = + (12-1) × (2)由 =
3 2 ������(������ +������ ) Sn= 12 ������ 1 = −4. 2 ������(-512+1) = −1 022, 2
人教A版数学必修五2.3《等差数列的前n项和(第一课时)》word教案
2.3 等差数列的前n项和（第一课时）（适合高二年级文科数学）教学内容分析本节课教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书——数学(必修五)》(人教A版)第二章第三节“等差数列的前n项和”(第一课时)。
本节课是在学习了等差数列的定义、通项公式及相关性质的基础上来学习的，主要研究如何应用“倒序相加法”求等差数列的前n项和，并能利用该公式解决简单的数列求和问题。
等差数列在现实生活中比较常见，因此，等差数列的求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题，同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题。
另外，通过对等差数列前n项和公式的推导过程的探究与思考，可以培养学生认识事物规律时从特殊到一般，又从一般到特殊的研究方法，有利于学生在认知世界过程中形成科学的认识观和方法论。
学生学习情况分析本节课授课班级是我校高二年级的文科平行班，学生学习基础一般，数学成绩中等偏多，对授课教师的课堂设计和有效的教学引导提出一定的要求。
学生在本节课之前，已经学习了等差数列的定义、通项公式和相关性质，并对高斯算法有所了解，这些都为课堂上介绍“倒序相加法”，来研究等差数列的前n项和公式奠定了基础，降低了难度。
但是，在由高斯算法引入，到转而采用“倒序相加法”，利用等差数列的性质首位配对，对等差数列前n和进行探究，这一研究思路的获得，可能会成为学生学习上的一大障碍，也是本节课的难点所在。
设计思想人本主义学习理论以“人”为中心，把认知和情感合二为一，以便培养出完整的人，强调学生学习内部动机的重要性。
在其基础上建立起来的教学观认为教学的目标在于促进学习，教学活动的重心是学生，倡导学生在好奇心的驱使下，进行以经验为中心的“有意义的自由学习”，而不是教师强迫下学生无助地、顺从地学习，教师应成为学生“学习的促进者”。
因此，本节课的教学设计围绕学生展开，在具体问题情境中发现问题，让学生带着思考，经历三个由易到难，由特殊到一般的问题探究，层层铺垫展开学习。
高中数学人教A版必修五2.3 等差数列的前n项和(第一课时)教学教案
课题: 2.3 等差数列的前n项和授课类型：新授课（第1课时）一、教学内容分析：《等差数列的前n项和》是《普通高中课程标准实验教科书必修5》人教A 版第二章第三节的内容，本节为新授课的第一课时。
二、学情分析：这节课是在学生学习了前一节《等差数列》的定义和通项公式后学习的，此时，学生已具备了等差数列的基础知识。
又因为高一学生本身已具有了一定的自主探究的能力，学生能进行简单的计算。
三、教学目标知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平。
情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
教学重点:等差数列前n项和公式的理解、推导及应用。
教学难点灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。
四、教学模式及教法、学法本节采用“探究—发现-归纳-应用”的教学模式，教师采用多媒体辅助教学，学生积极自主探究、合作交流。
五、教学过程1.复习旧知:(1). 等差数列的定义：(2). 等差中项的定义：(3). 等差数列的通项公式：设置意图：复习旧知识，不但为了巩固上节所学，也为引出今天的课题，同时调动学生的学习积极性。
2、新知探索：创设情境，课题导入“小故事”:德国著名数学家高斯10岁的时候，有一次他的算术老师出了一道题目：1 +2 +3 + … + 100 = ?正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…逐项相加，算得不亦乐乎时，高斯站起来说出了正确答案：1 +2 +3 + … + 100 = 5050。
设置问题：“你知道高斯是怎样算出来的吗？”设置意图：学生对于高斯的算法是熟悉的，借此为了调动学生学习本节课的兴趣。
人教A版高中数学必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和教案(1)
引出特殊等差数列1+2+3+…+100求和问题，进而引入新课．(设计意图：1)图片源于历史，富有人文气息；2）图中算数，激发学习兴趣；3）承上启下，探讨高斯算法）3、探究发现阶段（新课学习）（20分钟）1）探究新知问题一S100=1+2+3+···+100（特殊）问题一学生以自主探究、交流讨论为主，必要时教师加以启发引导。
一部分学生通过预习采用高斯法求解，但他们只停留在问题的表面，教师此时引导学生看出高斯法巧妙之处在于把不同数的和转换为相同数的和，使加法运算转化为乘法运算，运算简单。
另外引导学生采用几何方法将三角形补成平行四边形，数形结合体会更直观。
2）探究问题二：Sn=1+2+···+n（较一般）问题二学生仍以分组讨论、自主发现、合作交流的方式为主。
由问题一做准备，问题二学生求解方法仍然采用代数和几何两种方法。
几何方法直观不用多讨论。
代数法会出现两种方法：分类讨论的方法、倒序相加的方法。
引导学生体会两种方法的优、缺点，明确倒序相加方法的优越性并体会从特殊到一般的数学思想。
3）问题三：求等差数列的前n项和，即（一般）问题三采用学生先探究，教师板演的教学方式。
问题三学生延续问题二采取倒序相加的方法很容易得出答案。
此问题及等差数列前n项和公式的推导是本节的核心内容，教师通过板演一是加深学生对倒叙相加方法的理解和记忆，二是借此升华数学思想，引导学生体会数学问题解决的思路，等差数列前n项和公式的获得是通过从特殊到一般和从一般再到到特殊的数学思想方法。
留一点时间供学生思考交流．（设计意图：探究新知的过程体现学生占主体地位，教师起主导作用的教学理念。
学生通过学习会感到数学公式的来历自然不生硬，从学习中也潜移默化的感觉到类似问题的解决方法。
）4、公式应用阶段（15分钟）例1：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和Sn.（1）a1=-4,a8=-18,n=8;（2）a1=14,d=0.7,a n=32.采用学生自主解决的方法。
人教A版高中数学必修五2.3.等差数列的前n项和教学设计
人教版新课标普通高中◎数学⑤必修2.3 等差数列的前n项和教案 A第1课时教学目标一、知识与技能掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用.二、过程与方法1. 通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个规律.2. 由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究.三、情感、态度与价值观1. 通过公式的运用，树立学生“大众数学”的思想意识.2. 通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感. 教学重点和难点教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用.教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.教学关键：等差数列前n项和公式的推导方法及公式的应用.教学突破方法主要采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学，通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活，创设情境，重在启发引导，使学生由浅到深、由易到难分层次对本节课内容进行掌握.教法与学法导航教学方法启发、讨论、引导式以及多媒体辅助多种手段相结合，使学生在“做数学”的过程中，掌握数学的概念和方法的本质.学习方法通过学生独立思考、自主探索、动手操作、合作交流等学习方式，养成良好的学习习惯和思维方式.教学准备教师准备：投影仪等多媒体.学生准备：等差数列的有关概念和性质的学案.教学过程一、创设情境，导入新课1教师备课系统──多媒体教案21．等差数列的定义： n a －1-n a =d （n ≥2，n ∈N ﹡）. 2．等差数列的通项公式：（1）d n a a n )1(1-+=；（2）=n a d m n a m )(-+；（3）n a =pn+q （p 、q 是常数）． 3．几种计算公差d 的方法： （1）n a d =－1-n a ；（2）11n a a d n -=-；（3）n m a ad n m-=-. 4．等差中项：,2a bA a b +=⇔成等差数列. 5．等差数列的性质： m +n =p +q ⇒q p n m a a a a +=+ （m ， n ， p ， q ∈N ）. 6．数列的前n 项和：在数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S .小故事：高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说: “现在给大家出道题目：1+2+…+100=?”.过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050” 这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．二、主题探究，合作交流 1．等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=. 证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②①+②：1213212()()()()n n n n n S a a a a a a a a --=++++++++.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修3∵12132n n n a a a a a a --+=+=+=，∴)(21n n a a n S += ， 由此得：2)(1n n a a n S +=． 2． 等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+= ． 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：1,n na a ．但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得2)1(1dn n na S n -+=. 此公式要求n S 必须已知三个条件：n 、a 1、d ，教师要引导学生分析两个公式中变量的个数及各变量的意义，同时让学生记住两个公式.总之：两个公式都表明要求n S 必须已知n a d a n ,,,1中三个．公式2又可化成式子：n da n d S n )2(212-+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式． 三、拓展创新，应用提高例1 （1）已知在等差数列{a n }中， a 1 =4，S 8 =172，求a 8和d ； （2）等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：（1）392)4(817288=⇒+=a a ，5)18(439=⇒-+=d d . （2）设题中的等差数列为{}n a ，前n 项为n S ，则 54,4)10()6(,101==---=-=n S d a . 由公式可得5442)1(10=⨯-+-n n n . 解之得： 3,921-==n n （舍去）.所以，等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54． 例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？（1） 先阅读题目；教师备课系统──多媒体教案4（2） 引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型；（3） 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解.解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列｛a n ｝，表示从2001年起各年投入的资金，其中a 1=500， d =50.那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为 10101105005072502n S ⨯-=⨯+⨯=（）（万元）.答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.例3 已知等差数列{a n }前四项和为21，最后四项的和为67，所有项的和为286，求项数n .解：依题意，得⎩⎨⎧=+++=+++---,67,213214321n n n na a a a a a a a两式相加得,88)()()()(3423121=+++++++---n n n n a a a a a a a a 又因为,3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a 所以221=+n a a . 又2862)(1=+=n n a a n S ，所以n =26． 练习：教材第45页练习第1、3题． 四、小结1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=； 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+=． 五、课堂作业第46页习题2.3 A 组第1、2题第2课时教学目标一、知识与技能1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式．人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修52. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题．3. 会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值. 二、过程与方法1. 通过公式的运用，使学生体会从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.2. 通过研究等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究S n 的关系与最值问题，引导学生要善于观察总结解决问题的规律，开阔自己的视野，优化思维的品质.三、情感、态度与价值观通过对数列知识的进一步学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神. 教学重点和难点教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学关键：等差数列的通项公式和前n 项和公式的关系以及前n 项和的最值问题. 教学突破方法：采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学.教法与学法导航教学方法：启发、讨论、引导式以及多媒体辅助多种手段相结合. 学习方法：引导学生自主探索，创造机会让学生合作、探究、交流. 教学准备教师准备：多媒体、实物投影仪等多媒体. 学生准备：等差数列前和公式学案、教材. 教学过程一、复习旧知，导入新课等差数列求和公式：2)(1n n a a n S +=，d n n na S n 2)1(1-+=. 二、主题探究，合作交流1. 探究：等差数列的前n 项和公式是一个常数项为零的二次式. 例1 已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据121...n n n S a a a a -=++++，与)1(1211>+++=--n a a a S n n .可知，当n ＞1时，教师备课系统──多媒体教案6221111[11]2222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-（）（）. ①当n =1时，211131122a S ==+⨯=，也满足①式.所以数列{}n a 的通项公式为122n a n =-.由此可知，数列{}n a 是一个首项为32、公差为2的等差数列.这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n 项和n S ，可求出通项 n a =1111n a n S n -=-n , （）S ,（＞）用这种数列的n S 来确定n a 的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意1a 不一定满足由1n n n S S a --=求出的通项表达式，所以最后要验证首项1a 是否满足已求出的n a .练习：已知数列{}n a 的前n 项和212343n S n n =++，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？一般地，如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（答： 是，1a p q r =++，2d p =）.由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1dn n na S n -+=可化成式子：21()22n d dS n a n =+-，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.2. 探究：等差数列前n 项和的最值问题.例2 数列{}n a 是等差数列，a 1=30，d =－0.6.（1）从第几项开始有0n a <？（2）求此数列的前n 项和的最大值. 解析：（1）a n =30+（n -1）×（－0.6）<0，解得n >51，所以从第52项起开始0n a <； （2）由（1）知a 51=0，且前50项a n >0，所以此数列的前n 项和的最大值为S 50=S 51=76551230=⨯+.练习：在等差数列{n a }中，4a =－15，公差d =3，求数列{n a }的前n 项和n S 的最小人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修7值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1）当n a >0，d <0，前n 项和有最大值.可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值；（2）由21()22n d dS n a n =+-利用二次函数配方法求得最值时n 的值.三、拓展创新，应用提高例1 （1）已知等差数列{a n }的a n =24－3n ，则前多少项和最大？ （2）已知等差数列{b n }的通项b n =2n -17，则前多少项和最小?解：（1）由a n =24－3n 知当8≤n 时，0≥n a ，当9≥n 时，0<n a ，∴前8项或前7项的和取最大值；（2）由b n =2n －17知当8≤n 时，0<n a ，当9≥n 时，0>n a ，∴前8项的和取最小值.例2 数列{a n }是首项为正数a 1的等差数列，且S 9= S 17.问数列的前几项和最大? 解:由S 9= S 17得9a 5=17 a 9，..0,0,0.0,0,0252131413114131最大又所以相邻两项之和为S a a a a a d a ∴<>∴>=+∴=+∴说明:0001413171110917=+⇒=+++⇒=-a a a a a S S 也可以这样得出． 例3 首项为正数的等差数列{a n }，它的前3项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之和最大?解法一:由S 3=S 11， 得:,2101111223311d a d a ⨯+=⨯+解之得： 01321<-=a d ． d n n n na S n )1(1-+=∴n a n a 1211314131+-=1211349)7(131a n a +--=，故当n =7时， S n 最大，即前7项之和最大.解法二:由 111111(1)(152)0131(132)013+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=+-=->=+=-<n n a a n d a n a a nd a n ，，教师备课系统──多媒体教案8解得:215213<<n，所以n=7，即前7项之和最大．解法三:由01321<-=ad知: {a n}是递减的等差数列.又∵S3=S11，5746891011∴+++++++=a a a a a a a a，78∴+=a a，∴必有780,0><a a，∴前7项之和最大．四、小结求“等差数列前n项和的最值问题”常用的方法有：（1）满足100+><n na a，且的n值；（2）由,)2(22)1(121ndanddnnnaSn-+=-+=利用二次函数的性质求n的值；（3）利用等差数列的性质求．五、课堂作业教材第46页A组第4、5、6题.思考：教材第47页B组第4题.教案 B第1课时教学目标一、知识与技能掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.二、过程与方法通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.三、情感、态度与价值观通过公式的推导过程，展现数学中的对称美.教学重点和难点人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修9教学重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导及应用.教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题. 教学过程一、课题导入古算书《张邱建算经》中卷有一道题：今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？师：题目当中我们可以得到哪些信息？要解决的问题是什么？生1：第一人给1钱，第二人给2钱，第三人给3钱，以后每个人都比前一个人多给一钱，共有100人，问共给了多少钱？师：很好，问题已经呈现出来了，你能用数学符号语言表示吗？生2：用n a 表示第n 个人所得的钱数，则由题意得： 1231,2,3,a a a ===…，100100a =.只要求出1+2+3+…+100=？师：你能求出这个式子的值吗？ 生2：（犹豫片刻） 1+100=101，2+99=101，3+98=101…50+51=101， 所求的和为101×1002=5050 . 师：对于这个算法，著名的数学家高斯10岁时曾很快就想出来了. 高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101， 第2项与倒数第2项的和：2+99=101， 第3项与倒数第3项的和：3+98=101， ……第50项与倒数第50项的和：50+51=101， 于是所求的和是101×1002=5050. 上面的问题可以看成是求等差数列1，2，3，…，n ， …的前100项的和.在上面解决问题的过程中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n 来表示，且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和，从中你有何启发？我们如何去求一般等差数列的前n 项和？二、讲授新课设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则12n S a a =++…?n a += 生3：（直接给出公式）由刚才问题的结果可知1()2n n n a a S +=. 师：非常好，由具体的推广到一般，这也是研究数学的一种思想方法由特殊到一般，但是这种方法是猜想、推测，是不完全归纳.数学公式的得出需要严谨的推理过程和相关的理论依据.你能否推导这个公式？教师备课系统──多媒体教案10生4：121()()n n n S a a a a -=++++…+？（遇到困惑，最后一组怎样表示？是剩一项还是两项？）师：我们再回顾一下刚才解决的问题，共有100项，两两分组正好分为50组， 如果1+2+3+…+101=？n 项时又应如何分组？最后一组应怎样表示？生4（继续回答）：1+101=102，2+100=102，3+99=102…50+52=102，51=102(1101)22+=.共有50组，多出第51项. n 分奇偶性讨论，n 为偶数时正好分成2n 组，n 为奇数时分成12n -组还多一项.∴当n 为偶数时，121()()n n n S a a a a -=++++ (1)22()n n a a +++=1()2n n a a +. 当n 为奇数时，121()()n n n S a a a a -=++++ (1112)1222()n n n a a a ---+++++121()()n n a a a a -=++++ (1112)22()()2n n n a a a a --+++++=1()2n n a a +. 师：好！通过分类讨论我们得出了等差数列{}n a 的前n 项和n S 公式，从所得的结果看无论n 是奇数还是偶数n S 的公式一样.那么我们是否可以避开讨论n 的奇偶性去推导呢？怎样出现首末两项的和？结合所得公式的特征思考.生5：12n S a a =++…n a +；1n n n S a a -=++…1a +.将上面两式左右两边分别相加得1212()()n n n S a a a a -=++++…1()n a a ++=1()n n a a +.∴1()2n n n a a S +=. 师：此种方法简洁明了，且避开讨论n 的奇偶性，我们将这种方法称为“逆序相加法”，在以后解决数列问题是也经常运用“逆序相加法”，主要运用了等差数列下标等距性质.（有学生举手）生6：我用另外一种方法得出的结果不一样.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修1112n S a a =++…112n a a d a d +=++++…1(1)a n d +-=[1123na ++++…](1)n d - =1(1)2n n na d -+. 师：这个结果对否？为何会有两个公式？它们之间有联系吗？ 大家一起发现[]1111(1)()(1)222n n n a a n d n a a n n S na d ++-+-===+. ∴等差数列{}n a 前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 师（总结） ：我们得到了两个计算等差数列前n 项和的公式，由公式可知，只要知道1n a n a d ，，， 这四个量中的三个就可以求出等差数列前n 项和n S .三、范例讲解例1 等差数列―10，―6，―2， 2…前多少项的和是54? 解：设题中的等差数列为{}n a ，前n 项和为n S ，则110,6(10)4a d =-=---=，54n S =.由题意得(1)104542n n --+⨯=. ∴26270n n --=. 解得129,3n n ==-（舍）. ∴前9项的和为54.总结：已知量1、、n a d S ，求n ，合理选用公式. 直接运用公式加深对公式的认识和理解，主要通过方程的思想进行基本量的运算，注意解题格式和规范.例2 求集合{}7,N ,100M m m n n m *==∈<中元素的个数，并求这些元素的和. 解：由7100,n <得100,7n <即214,7n <由于满足不等式的正整数n 共有14个，所以集合M 中的元素共有14个，将他们从小到大列出，得 7，7×2，7×3，…，7×14， 这个数列是等差数列，记为{}n a ，其中1147,98a a ==.教师备课系统──多媒体教案12∴1414(798)7352S ⨯+=.答：集合M 中的元素共有14个元素，它们的和等于735. 变式1：{}7,N ,100M m m n n n *==∈<分析：∵n <100，∴M 中有99个元素，分别为7，7×2，7×3，…，7×99， 变式2：在1到100中被7除余1的正整数共有多少个？它们的和是多少？ 分析：设m 是满足条件的数，则m =7n +1，且m <100（N n *∈），或m =7n -6，且m <100（N n *∈）.例3 已知一个等差数列{a n }前10项和为310，前20项的和为1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？分析：将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后，可得到两个关于a 1与d 的关系式，它们都是关于a 1与d 的二元一次方程，由此可以求得a 1与d ，从而得到所求前n 项和的公式.解：由题意知S 10=310， S 20=1 220， 将它们带入公式2)1(1dn n na S n -+=， 得到⎩⎨⎧=+=+.122019020,310451011d a d a解这个a 1与d 的方程组，得到a 1=4， d =6，所以n n n n n S n +=⨯-+=2362)1(4.思考：（1）等差数列中1020103020,,S S S S S --成等差数列吗？（2）等差数列前m 项和为m S ，则m S ，m m S S -2，m m S S 23-是等差数列吗？例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+0.5n ，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：当n =1时，23211211=+==S a ；当n >1时，)]1(21)1[(21221-+--+=-=-n n n n S S a n n n 212-=n ．当n =1时，a 1也满足上式，人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修13所以{a n }通项公式 212-=n a n ， {a n } 是首项为23，公差为2的等差数列. 由n S 的定义可知，当n =1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ， 即11(1)(2)-=⎧=⎨-≥⎩n nn S n a S S n ．．四、课堂练习教材第45页练习第1、2、3页. 五、课时小结本节课学习了以下内容：1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=； 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+= . 六、课后作业教材第46页习题A 组 第2、3题．第2课时教学目标一、知识与技能1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值. 二、过程与方法经历前n 项和公式应用的过程，用方程的思想和基本元的思想方法进行相关计算. 三、情感、态度与价值观感受前n 项和的应用价值，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并熟练地解决问题. 教学重点和难点教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式. 教学难点：灵活应用求和公式解决问题. 教学方法：讨论式，讲练结合.教师备课系统──多媒体教案14教学过程一、复习导入上节课学习了以下内容1. 等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=或2)1(1dn n na S n -+=； 2. S n 与n a 之间的关系：即n a ={11(1)(2)-=-≥n n S n S S n ，．.二、探究提高探究：一般地，如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？师生共同探究：由2n S pn qn r =++，得11S a p q r ==++；当2n ≥时，1n n n a S S -=-=22()[(1)(1)]pn qn r p n q n r ++--+-+=q p pn +-2， ()()[]p q p n p q p pn a a d n n 21221=+---+-=-=-，结论： ⎩⎨⎧≥+-=-=++===-时当时当2,21,111n q p pn S S n r q p a S a n nn当r =0时，{n a }是等差数列；当r 不为零时，{n a }不是等差数列.例1 已知等差数列....,743,724,5的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.分析：等差数列的前n 项和公式可以写成2122n d dS n a n =+-（），所以n S 可以看成函数2122d dy x a x =+-⨯∈*（）（N ）当x =n 时的函数值.另一方面，容易知道n S 关于n 的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求n 的值.解：由题意知，等差数列2454377，，，....的公差为57-，所以人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修155[251]27n n S n =⨯+--（）（） =2275551511251414256n n n -=--+（）.于是，当n 取与152最接近的整数即7或8时，n S 取最大值. 例2 已知等差数列{a n }，3 a 5 =8 a 12，a 1<0，设前n 项和为S n ，求S n 取最小值时n 的值．分析: 求等差数列前n 项的和最小，可以用函数的方式去求，亦可以用数列单调性，也可以由AB A B n A S n 4)2(22-+=完成. 解法一：.576),11(8)4(3,83111125d a d a d a a a -=+=+∴=即 ,0,01>∴<d a 由 ,)2(22)1(121n da n d d n n na S n -+=-+=∴点（n ，S n ）是开口向上抛物线上一些孤立的点，即在函数x da x d y )2(212-+=的图象上，其对称轴17652215.7d dd a x d d---=-=-=，距离x=15.7最近的整数点（16，S 16），.16=∴n S n 最小时解法二: .576,831125d a a a -=∴= ,0,01>∴<d a 由 ,0222,02,4)2(122=⨯-+=+-+=d d a n AB n A B A B n A S n 即令 *762515.7(N )d d n n d+∴==∈， ∴n =16时，S n 最小三、小结1．前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，不一定是等教师备课系统──多媒体教案16差数列，通项公式是⎩⎨⎧≥+-=-=++===-)2(,2)1(,111时当时当n q p pn S S n r q p a S a n nn当r =0时，{n a }是等差数列，该数列的首项是1a p q r =++，公差是d =2p ； 当r 不为零时，{n a }不是等差数列. 2．求等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）当n a >0，d<0，前n 项和有最大值．可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值．可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值；（2）由21()22n d dS n a n =+-利用二次函数配方法求得最值时n 的值.四、作业教材第46页习题B 组第1、2、3、4题.。
人教版A版高中数学高二版必修五2.3等差数列前n项和(说课教案)
等差数列的前n项和说课稿一、背景分析1．教学内容分析《等差数列的前n项和》是按照从特殊到一般的探究方式，引导学生采用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式，并体会公式的一些应用，同时让学生探究等差数列的前n 项和公式与关于n的二次函数之间的联系。
2．在教材中的地位等差数列前n项和是进一步学习数列、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。
3．重点、难点定位重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用。
难点：等差数列前n项和公式推导方法及它与二次函数的关系。
二、学生学情分析1、知识准备学生已经学习了等差数列的通项公式和性质，数列的和等有关内容。
2、能力储备学生经过初高中的数学学习，已具有一定的自主探究能力，从特殊到一般的类比推理能力，但学生对于倒序求和的思想还初次见到。
3、学生情况我所在的学校是省示范性高中，学生基础还不错，经过近几年的课改，已经形成了较浓的自主探究氛围与合作交流意识。
这些都为本节课突破难点提供了有利条件。
三、教学目标1、知识与技能（1）理解等差数列前项和的定义以及等差数列前项和公式推导的过程，并理解推导此公式的方法——倒序相加法，记忆公式的两种形式；（2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个量；（3）会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.2、过程与方法（1）通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律，然后体验从特殊到一般的研究方法。
通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。
（2）通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并运用数学知识和方法科学地解决问题.3、情感与价值观(1) 通过对数列知识的进一步学习，不断培养学生自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（2）通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，产生热爱数学的情感, 形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。
人教A版高中数学 必修五 2-3 第1课时 等差数列的前n项
等差数列的前n项和●教学目标知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
●教学重点等差数列n项和公式的理解、推导及应●教学难点灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题●教学过程Ⅰ.课题导入“小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050。
教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050”这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。
探究：——课本P51的探究活动结论：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 由2n S pn qn r =++，得11S a p q r ==++当2n ≥时1n n n a S S -=-=22()[(1)(1)]pn qn r p n q n r ++--+-+=2()pn p q -+ 1[2()][2(1)()]n n d a a pn p q p n p q -∴=-=-+---+=2p对等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+=可化成式子：n )2da (n 2dS 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式Ⅱ.讲授新课1．等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ①1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a∴)(21n n a a n S += 由此得：2)(1n n a a n S +=从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2． 等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+=用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2)1(1dnn na S n -+=此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1 （有时比较有用）[范例讲解]课本P43-44的例1、例2、例3由例3得与n a 之间的关系：由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n. Ⅲ.课堂练习课本P45练习1、2、3、41．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
数学必修五人教版2.3 等差数列的前n项和 教案
2.3等差数列的前n 项和（一）一、教学目标1、等差数列前n 项和公式．2、等差数列前n 项和公式及其获取思路；3、会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题．二、教学重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导及应用．教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题．三、教学过程（一）、复习引入：1．等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n≥2，n ∈N +）2．等差数列的通项公式：（1）d n a a n )1(1-+= （2）=n a d m n a m )(-+ （3） n a =pn+q (p 、q 是常数)3．几种计算公差d 的方法：① n a d =－1-n a ② 11--=n a a d n ③ m n a a d m n --=4．等差中项：,,2b a b a A ⇔+=成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )6．数列的前n 项和：数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S .“小故事”1、2、3高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050”这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．二、讲解新课：1．等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S += 证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ①1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a∴)(21n n a a n S += 由此得：2)(1n n a a n S +=． 2． 等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+= ． 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1．但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2)1(1d n n na S n -+= 此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1总之：两个公式都表明要求n S 必须已知n a d a n ,,,1中三个．公式二又可化成式子： n d a n d S n )2(212-+=，当d≠0，是一个常数项为零的二次式． 三、例题讲解例1、(1)已知等差数列{an}中, a 1 =4, S 8 =172,求a 8和d ;(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？解：(1) 392)4(817288=⇒+=a a 5)18(439=⇒-+=d d (2)设题中的等差数列为{}n a ，前n 项为n S 则 54,4)10()6(,101==---=-=n S d a 由公式可得5442)1(10=⨯-+-n n n . 解之得：3,921-==n n （舍去） ∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54．例2、教材P43面的例1解：例3．求集合{}100*,7|<∈==m N n n m m M 且的元素个数，并求这些元素的和．解：由1007<n 得 72147100=<n ∴正整数n 共有14个即M 中共有14个元素 即：7，14，21，…，98 是为首项71=a 9814=a 等差数列．∴ 7352)987(14=+⨯=n S 答：略． 例4、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122084,460S S ==，求28S .（学生练→学生板书→教师点评及规范）练习：⑴在等差数列{}n a 中，已知399200a a +=，求101S . ⑵在等差数列{}n a 中，已知15129620a a a a +++=，求20S .例4．已知等差数列{a n }前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.解：依题意，得⎩⎨⎧=+++=+++---,67,213214321n n n n a a a a a a a a两式相加得,88)()()()(3423121=+++++++---n n n n a a a a a a a a又,3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a 所以221=+n a a又2862)(1=+=n n a a n S ，所以n=26． 例5．已知一个等差数列{a n }前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n 项的和吗？.思考：（1）等差数列中1020103020,,S S S S S --，成等差数列吗？（2）等差数列前m 项和为m S ,则m S 、m m S S -2.、m m S S 23-是等差数列吗？练习：教材第118页练习第1、3题．三、课堂小结：1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S += ； 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+=． 四、课外作业：1.阅读教材第42～44页；2.《习案》作业十三．2.3 等差数列的前n 项和（二）教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究的最值. 如果A n ，B n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，则1212--=n n n n B A b a ． 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一、 复习准备：1、等差数列求和公式：2)(1n n a a n S +=，d n n na S n 2)1(1-+=2、在等差数列{a n }中(1) 若a 5=a , a 10=b , 求a 15; (2) 若a 3+a 8=m , 求a 5+a 6;(3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14; (4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15.二、讲授新课：1、探究：等差数列的前n 项和公式是一个常数项为零的二次式.例1、已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系：由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n . 练习：已知数列{}n a 的前n 项和212343n S n n =++，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？ 探究：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（是，1a p q r =++，2d p =）.由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1d n n na S n -+=可化成式子：n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前n 项和的最值问题：① 例题讲解：例2、数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <；（2）求此数列的前n 项和的最大值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1） 当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d>0，前n 项和有最小值n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.（2）由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 练习：在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值. 例3、已知等差数列....,743,724,5的前n 项的和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值。
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总之：两个公式都表明要求 必须已知 中三个．
公式二又可化成式子： ，当d≠0，是一个常数项为零的二次式．
活动三：合作学习，探究新知（18分钟）
例1、(1)已知等差数列{an}中, a1=4, S8=172,求a8和d ;
(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”
教师问：“你是如何算出答案的？”
高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．
活动二：步入新知，师生交流（10分钟）
1．等差数列的前 项和公式1：
证明： ①
②
①+②：
∵
∴ 由此得： ．
2．等差数列的前 项和公式2： ．
用上述公式要求 必须具备三个条件： ．
但 代入公式1即得：
3.情感、态度与价值观
培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。
教学重点
等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．
教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．
教学方法
讲练结合
教学过程：
批注
活动一：创设情景，揭示课题（15分钟）
（一）、复习引入：
1．等差数列的定义： － =d，（n≥2，n∈N ）
解：(1)
(2)设题中的等差数列为 ，前n项为
则
由公式可得 .解之得： （舍去）
∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54．
例2、教材P43面的例1
活动四：归纳整理，提高认识（2分钟）
等差数列的前n项和公式： ； ．
活动五：作业布置
教材第118页练习第1、3题．
教学后记：
2．等差数列的通项公式：
（1） （2） （3） =pn+q(p、q是常数)
3．几种计算公差d的方法：① － ② ③
4．等差中项： 成等差数列
5．等差数列的性质：m+n=p+q (m, n, p, q∈N )
6．数列的前n项和：数列 中， 称为数列 的前n项和，记为 .
“小故事”1Βιβλιοθήκη 2、3高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”
课题：2.3等差数列的前n项和（一）第课时总第个教案
课型：新授课编写时间：年月日执行时间：年月日
教
学
目
标
1.知识与技能
等差数列前n项和公式及其获取思路
2.过程与方法
通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。