高考数学(理)一轮课件：8.7空间向量的应用
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空间向量的应用课件-2025届高三数学一轮复习
则 , , , , , , , , , −, , .设
= ,则, , .
证明： = −, − , ， = −, , − ,
因为 ⋅ = − = ，所以 ⊥ ,即 ⊥ .
（2）设点在棱上， = ,若//平面，求 的值.
解： 由题意知， = , , , = , , , = , , − ,
= −, , − .
因为 = ,所以 = −, , − ,
= + = , , + −, , − = −, , − .
2025届高考数学一轮复习讲义
立体几何与空间向量之空间向量的应用
1.直线的方向向量与平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线
平行或共线，则称此向量为直线的方向向量.
（2）平面的法向量：直线 ⊥ ，取直线的方向向量,则向量为平面
的法向量.
（3）方向向量和法向量均是非零向量且不唯一.
假设在线段上存在点，使得 ⊥ ,
设 = = −, , ，其中 ≤ ≤ ，则 − , , ，故
= − , , .
因为 ⊥ ，所以 ⋅ = − + = ,解得 = ,
所以在线段上存在点，使得 ⊥ ,此时点与点重合.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
//
൫ // ⇔ = ሺ
∈ ሻ
൯ ⋅ =
⊥
⋅=
⊥ ⇔ ①___________
直线的方向向量为，
//
⊥ ⇔ ②__________
平面 的法向量为
⊥
// ⇔ = ∈
= ,则,, 两两垂直.如图，以为坐标原点，
= ,则, , .
证明： = −, − , ， = −, , − ,
因为 ⋅ = − = ，所以 ⊥ ,即 ⊥ .
（2）设点在棱上， = ,若//平面，求 的值.
解： 由题意知， = , , , = , , , = , , − ,
= −, , − .
因为 = ,所以 = −, , − ,
= + = , , + −, , − = −, , − .
2025届高考数学一轮复习讲义
立体几何与空间向量之空间向量的应用
1.直线的方向向量与平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线
平行或共线，则称此向量为直线的方向向量.
（2）平面的法向量：直线 ⊥ ，取直线的方向向量,则向量为平面
的法向量.
（3）方向向量和法向量均是非零向量且不唯一.
假设在线段上存在点，使得 ⊥ ,
设 = = −, , ，其中 ≤ ≤ ，则 − , , ，故
= − , , .
因为 ⊥ ，所以 ⋅ = − + = ,解得 = ,
所以在线段上存在点，使得 ⊥ ,此时点与点重合.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
//
൫ // ⇔ = ሺ
∈ ሻ
൯ ⋅ =
⊥
⋅=
⊥ ⇔ ①___________
直线的方向向量为，
//
⊥ ⇔ ②__________
平面 的法向量为
⊥
// ⇔ = ∈
= ,则,, 两两垂直.如图，以为坐标原点，
8.7空间向量的应用-2021届高三数学(新高考)一轮复习课件(共73张PPT)
所以 Ma2，0，0，Na2，b2，2c，Ra2，b，0，
所以A→R＝a2，b，0，P→M＝a2，0，－c，M→C＝a2，b，0，
设A→R＝λP→M＋μM→C，a2b－λμ＋＝cλ＝a2bμ，0＝. a2， 所以λμ＝＝01，. 所以A→R＝M→C，所以 AR∥MC，
因为 AR⊄平面 PMC，MC⊂平面 PMC，所以 AR∥平面 PMC.
答案：π6
解析：以 C 为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，
C1(0,0,2
2)．点 C1 在侧面 ABB1A1 内的射影为点 C232， 23，2
2.
所以A→C1＝(－2,0,2 2)，
A→C2＝－12， 23，2
2，
设直线 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角为 θ，
则
cos
【跟踪训练 1】 [2020·山东青岛二中模拟]如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是菱形，EF∥AC，EF＝1，∠ABC＝60°，CE⊥平面 ABCD， CE＝ 3，CD＝2，G 是 DE 的中点．
(1)求证：平面 ACG∥平面 BEF； (2)求直线 AD 与平面 ABF 所成的角的正弦值．
【教材提炼】
一、教材改编
1．[选修一·P111 T1]在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 C1D1 的 中点，则异面直线 DE 与 AC 所成角的余弦值为( )
A．－
10 10
B．－210
C．210
D．
10 10
答案：D 解析：以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴 建立空间直角坐标系，如图．设 DA＝1，则 A(1,0,0)，C(0,1,0)，
即－z2＝x20＋. 3y2＝0， 令 y2＝1，可得 n2＝( 3，1,0)． 因为 n1·n2＝1× 3＋1×(－ 3)＝0. 所以 n1⊥n2， 所以平面 BCE⊥平面 CDE.
所以A→R＝a2，b，0，P→M＝a2，0，－c，M→C＝a2，b，0，
设A→R＝λP→M＋μM→C，a2b－λμ＋＝cλ＝a2bμ，0＝. a2， 所以λμ＝＝01，. 所以A→R＝M→C，所以 AR∥MC，
因为 AR⊄平面 PMC，MC⊂平面 PMC，所以 AR∥平面 PMC.
答案：π6
解析：以 C 为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，
C1(0,0,2
2)．点 C1 在侧面 ABB1A1 内的射影为点 C232， 23，2
2.
所以A→C1＝(－2,0,2 2)，
A→C2＝－12， 23，2
2，
设直线 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角为 θ，
则
cos
【跟踪训练 1】 [2020·山东青岛二中模拟]如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是菱形，EF∥AC，EF＝1，∠ABC＝60°，CE⊥平面 ABCD， CE＝ 3，CD＝2，G 是 DE 的中点．
(1)求证：平面 ACG∥平面 BEF； (2)求直线 AD 与平面 ABF 所成的角的正弦值．
【教材提炼】
一、教材改编
1．[选修一·P111 T1]在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 C1D1 的 中点，则异面直线 DE 与 AC 所成角的余弦值为( )
A．－
10 10
B．－210
C．210
D．
10 10
答案：D 解析：以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴 建立空间直角坐标系，如图．设 DA＝1，则 A(1,0,0)，C(0,1,0)，
即－z2＝x20＋. 3y2＝0， 令 y2＝1，可得 n2＝( 3，1,0)． 因为 n1·n2＝1× 3＋1×(－ 3)＝0. 所以 n1⊥n2， 所以平面 BCE⊥平面 CDE.
2025年高考数学一轮复习-8.7-利用空间向量研究距离问题【课件】
·
·
·e= ·e,故其模为
·
3.点到平面的距离公式
如图,点P为平面α外一点,点A为平面α内的定点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于
点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量
· |·|
的长度,则PQ=|· |=|
|=
.
||
第八章
立体几何初步、空间向量与立体几何
第七节
利用空间向量研究距离问题
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的
距离问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的
作用.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
2
2
.
【解析】依题意,平行平面α,β间的距离即为点O到平面β的距离,而=(2,1,1),所
|·| |−1×2+0×1+1×1| 1 2
以平行平面α,β间的距离d=
=
= = .
2 2
||
(−1)2 +02 +12
核心考点·分类突破
考点一点线距及其应用
[例1](1)空间中有三点P(1,-2,-2),M(2,-3,1),N(3,-2,2),则点P到直线MN的距离
则=(-2,1( 2) 2 = 3.
·
=
|−2×1+1×0+0×(−1)|
2
= 2,所以点P(-1,2,1)到
4.(不能正确使用公式)若两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习：8.7 空间几何中的向量方法
考点一
考点二
考点三
考点四
-22-
(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).
因为������������ =(-1,2,0),������������1 =(1,0,2), 所以 ������1·������������ = 0,
������1·������������1 = 0, 即 -������1 + 2������1 = 0,
考点一
考点二
考点三
考点四
思考用向量方法证明平行和垂直有哪些基本方法? 解题心得1.用向量证明平行的方法 (1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.
(2)线面平行:①证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; ②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.
(3)面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量;②转化为线面
(2)若 l1⊥l2,则e1⊥e2⇔ e1·e2=0 ⇔ a1a2+b1b2+c1c2=0 .
(3)若l1∥α,则e1⊥n1⇔e1·n1=0⇔ a1x1+b1y1+c1z1=0
.
(4)若l1⊥α,则e1∥n1⇔e1=kn1⇔ a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1 .
(5)若α∥β,则n1∥n2⇔n1=kn2⇔ x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2
令 y=2,得 n=(-√3,2,1).
∵n·������������=-√3 × √23+2×0+1×32=0, ∴n⊥������������. 又 CM⊈平面 PAD,∴CM∥平面 PAD.
考点一
考点二
考点三
考点四
《空间向量的应用》课件
向量的向量积运算性质
总结词：反交换律
详细描述：空间向量的向量积满足反交换律，即对于任意向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$，有$mathbf{a} times mathbf{b} = -mathbf{b} times mathbf{a}$。
向量的向量积运算性质
总结词
与数量积的分配律不兼容
数乘的性质
结合律和分配律成立，即k(a+b)=(ka)+(kb)和(k+l)a=ka+la。
向量的模与向量的数量积
向量的模的性质
非负性、正定性、齐次性、三角不等式成立 。
向量的数量积
两个向量的数量积表示它们的夹角，记作 a·b，计算公式为$|a||b|cosθ$。
数量积的性质
交换律和分配律成立，即a·b=b·a和(k a)·b=k(a·b)。
04
空间向量的坐标表示
向量的坐标表示方法
固定原点
选择一个固定的点作为原点，并确定三个互相垂直的 坐标轴。
向量表示
将向量表示为坐标系中的有序实数组，例如向量A可 以表示为[a, b, c]。
长度和方向
向量的长度可以通过其坐标的模计算，方向可以通过 其分量表示。
向量在坐标系中的变换
平移变换
将向量在坐标系中沿某一轴平移一定 的距离，例如向量A平移d个单位后 变为[a+d, b, c]。
工程学的应用
总结词
在工程学中，空间向量被广泛应用于解决实际问题和设计复和土木工程等领域，空间向量被用于描述物体的位置、方向和运动状态，以及进行各 种物理量（如力、速度、加速度等）的分析和计算。此外，空间向量还被用于解决实际工程问题，如结构分析、 流体动力学和控制系统等。
2025届高中数学一轮复习课件《空间向量及其应用》ppt
高考一轮总复习•数学
第9页
四 直线的方向向量和平面的法向量 1．直线的方向向量 就是指所在的直线和这条直线 平行或重合 的向量，显然一条直线的方向向量可以有 无数 个． 2．平面的法向量 (1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量 也有 无数个 ，它们是 共线 向量． (2)在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过点 A 的平面 是 唯一 确定的．
坐标表示 a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
夹角余 弦值
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb| (a≠0，b≠0)
a12＋a22＋a32
cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3
a21＋a22＋a23· b12＋b22＋b23
＝32a＋12b＋32c.
高考一轮总复习•数学
第21页
用已知向量表示某一向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形． (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示出来．向量线性运算 一定要结合图形特点.
高考一轮总复习•数学
第13页
1．判断下列结论是否正确． (1)若直线 a 的方向向量和平面 α 的法向量平行，则 a∥α.( ) (2)在空间直角坐标系中，在 Oyz 平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．( √ ) (3)若 a·b<0，则〈a，b〉是钝角．( ) (4)在向量的数量积运算中，(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
若 α1⊥α2，则 u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
课件2：8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离
【规律方法】
1.平面法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,
然后用待定系数法求解,一般步骤如下:
设平面的法向量为n=(x,y,z).
(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(2)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
的距离为 | BO |＝| AB || cos〈AB，n〉| ＝
| AB n | |n|
.
3. (1)常用方法:利用向量求异面直线所成角、线面角、二面角及空间距 离的方法. (2)数学思想:转化与化归、数形结合、函数与方程.
考点1 向量法求异面直线所成的角
【典例1】(1)(2015·上饶模拟)如图所示,已知三棱
考点3 向量法计算与应用二面角的大小 知·考情
利用空间向量计算与应用二面角大小,是高考考查空间角的一个 热点考向,常与线线、线面、面面位置关系等知识综合以解答题第(2) 或(3)问的形式出现.
明·角度 命题角度1:计算二面角的大小 【典例3】(2014·山东高考)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形, ∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点. (1)求证:C1M∥平面A1ADD1. (2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1= 3,求平面C1D1M和平面ABCD所成 的角(锐角)的余弦值.
22
所以 AD 0, 3,0 ,AE (0, 3 , 1),AC (m, 3,0). 22
设平面ADE的法向量为n1=(x1,y1,z1), 则n1 AD 0,n1 AE 0, 解得一个n1=(1,0,0). 同理设平面ACE的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 n2 AC 0,n2 AE 0, 解得一个 n2 ( 3，m, 3m).
高考数学一轮专项复习ppt课件(新高考用)-空间向量及其应用
垂直
a·b＝0
(a≠0，b≠0)
模
|a|
夹角余
a·b
cos〈a，b〉＝ |a||b|
(a≠0，b≠0)
弦值
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
_____________________
2
2
2
a
1＋a2＋a3
______________
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3
2
2
2
2
2
2
a
＋a
＋a
·
又因为 =
02 + 12 + −2
所以 · = − 5 − 5．
故答案为：− 5 − 5．
2
= 5, cos
2
2π
3
= ·
≤ ≤
⋅ ∈ −
17
,0
4
1
2
．
，故||2
∈
1 9
,
4 2
题型突破·考法探究
题型三：空间向量的数量积运算
【典例3-2】已知空间向量 = 0,1, −2 ， = 2， , =
2π
，则
3
⋅ =
【答案】− 5 − 5
【解析】因为 · = · − = · −
（2）空间向量基本定理及其 2024年II卷第17题，15分
应用
考情分析
2023年I卷第18题，12分
（3）向量法证明平行、垂直 2023年II卷第20题，12分
（4）向量法求空间角
2022年I卷第19题，12分
（5）空间距离
2022年II卷第20题，12分
必考,一般12分.以解答题为主,难度中等,可灵活选择运
a·b＝0
(a≠0，b≠0)
模
|a|
夹角余
a·b
cos〈a，b〉＝ |a||b|
(a≠0，b≠0)
弦值
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
_____________________
2
2
2
a
1＋a2＋a3
______________
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3
2
2
2
2
2
2
a
＋a
＋a
·
又因为 =
02 + 12 + −2
所以 · = − 5 − 5．
故答案为：− 5 − 5．
2
= 5, cos
2
2π
3
= ·
≤ ≤
⋅ ∈ −
17
,0
4
1
2
．
，故||2
∈
1 9
,
4 2
题型突破·考法探究
题型三：空间向量的数量积运算
【典例3-2】已知空间向量 = 0,1, −2 ， = 2， , =
2π
，则
3
⋅ =
【答案】− 5 − 5
【解析】因为 · = · − = · −
（2）空间向量基本定理及其 2024年II卷第17题，15分
应用
考情分析
2023年I卷第18题，12分
（3）向量法证明平行、垂直 2023年II卷第20题，12分
（4）向量法求空间角
2022年I卷第19题，12分
（5）空间距离
2022年II卷第20题，12分
必考,一般12分.以解答题为主,难度中等,可灵活选择运
2023新高考数学一轮复习创新课件 第8章 第7讲 空间向量在立体几何中的应用
2．空间位置关系的向量表示
位置关系
直线 l1，l2 的方向向量分别 为 n1，n2
l1∥l2 l1⊥l2
直线 l 的方向向量为 n，平 l∥α
面 α 的法向量为 m
l⊥α
平面 α，β 的法向量分别为 α∥β
n，m
α⊥β
向量表示 n1∥n2⇔n1＝λn2 n1⊥n2⇔ 02 ____n_1·_n_2_＝__0_____ n⊥m⇔ 03 ___m_·_n_＝__0____ n∥m⇔n＝λm n∥m⇔n＝λm n⊥m⇔ 04 ___m__·_n_＝__0____
3，4,0)，P(0,0,2)，M
23，0，32，∴D→P
＝(0，－1,2)，D→A＝(2
3，3,0)，C→M＝
23，0，32.
证明
(1)设 n＝(x，y，z)为平面 PAD 的一个法向量，
D→P·n＝0， 由D→A·n＝0，
得－ 2 y3＋x＋2z3＝y＝0，0.
令 y＝2，得 n＝(－ 3，2,1)．
∵n·C→M＝－ 3× 23＋2×0＋1×32＝0， ∴n⊥C→M. 又 CM⊄平面 PAD，∴CM∥平面 PAD.
证明
(2)如图，取 AP 的中点 E，连接 BE， 则 E( 3，2,1)，B→E＝(－ 3，2,1)．
∵PB＝AB，∴BE⊥PA．
又B→E·D→A＝(－ 3，2,1)·(2 3，3,0)＝0，
解析 答案
2．已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面 ABC 的一个3，
33，－
3
3
B．
33，－
33，
3
3
C．－
33，
33，
3
3
高考一轮复习理科数学课件空间向量的应用
• 例题2：已知向量$\mathbf{m}=(2,-1,3)$，$\mathbf{n}=(-4,2,x)$， 且$\mathbf{m}\perp \mathbf{n}$，求$x$的值。
04
空间向量位置关系判断
平行关系判断方法
方向相同或相反
如果两个向量的方向相同或相反 ，则它们是平行的。这可以通过
典型例题分析与解答
01
02
例题1
例题2
力学问题中力的合成与分解。通过向 量的加法和数乘运算，求解多个力的 合成和分解问题，得出物体所受的合 力和分力大小和方向。
电磁学问题中电荷在电场和磁场中的 运动。通过场强和磁感应强度的向量 表示，求解电荷在电场和磁场中的受 力和运动轨迹等问题。
03
例题3
几何问题中点到平面的距离和两平面 间的夹角。通过向量的模长、点积和 外积运算，求解点到平面的距离、两 平面间的夹角以及二面角的平面角等 问题。
高考一轮复习理科数学课件空间向量 的应用
汇报人：XX 2024-02-05
contents
目录
• 空间向量基本概念与性质 • 空间向量线性运算 • 空间向量数量积与夹角余弦值计算 • 空间向量位置关系判断 • 空间向量在解决实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
空间向量基本概念与性质
向量定义及表示方法
解决垂直、平行问题
利用向量的垂直、平行关系可以解决空间 中的垂直、平行问题，如判断直线与平面 是否垂直、两直线是否平行等。
03
空间向量数量积与夹角余弦值 计算
数量积定义及性质
数量积定义
两向量的数量积是一个标量，等于两向量的模长与它们夹角的余弦值 的乘积。
性质1
两向量垂直时，它们的数量积为0。
04
空间向量位置关系判断
平行关系判断方法
方向相同或相反
如果两个向量的方向相同或相反 ，则它们是平行的。这可以通过
典型例题分析与解答
01
02
例题1
例题2
力学问题中力的合成与分解。通过向 量的加法和数乘运算，求解多个力的 合成和分解问题，得出物体所受的合 力和分力大小和方向。
电磁学问题中电荷在电场和磁场中的 运动。通过场强和磁感应强度的向量 表示，求解电荷在电场和磁场中的受 力和运动轨迹等问题。
03
例题3
几何问题中点到平面的距离和两平面 间的夹角。通过向量的模长、点积和 外积运算，求解点到平面的距离、两 平面间的夹角以及二面角的平面角等 问题。
高考一轮复习理科数学课件空间向量 的应用
汇报人：XX 2024-02-05
contents
目录
• 空间向量基本概念与性质 • 空间向量线性运算 • 空间向量数量积与夹角余弦值计算 • 空间向量位置关系判断 • 空间向量在解决实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
空间向量基本概念与性质
向量定义及表示方法
解决垂直、平行问题
利用向量的垂直、平行关系可以解决空间 中的垂直、平行问题，如判断直线与平面 是否垂直、两直线是否平行等。
03
空间向量数量积与夹角余弦值 计算
数量积定义及性质
数量积定义
两向量的数量积是一个标量，等于两向量的模长与它们夹角的余弦值 的乘积。
性质1
两向量垂直时，它们的数量积为0。