《从平面向量到空间向量》
从平面向量到空间向量
定义：两个向量a和b的向量积是一个向量，其模长等于以a和b为邻边的平行四边形的面积，方 向垂直于a和b所在的平面，记作a×b。
运算规则：向量积满足反交换律，即a×b=-b×a；向量积也满足结合律，即 (a+b)×c=a×c+b×c。
几何意义：向量积可以表示一个旋转操作，其方向垂直于a和b所在的平面。
空间向量的加法性质：满足结合律 和交换律，即(a+b)+c=a+(b+c) 且a+b=b+a。
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空间向量的加法定义：根据平行四 边形法则，将两个空间向量相加得 到新的向量。
空间向量加法的几何意义：表示两 个向量的起点和终点分别连接，得 到的向量即为两个向量的和。
定义：数乘是向量与实数的乘 积，结果仍为向量
PART SIX
数学学科的完善和发展
促进物理、工程等领域的发展和创 新
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为解决实际问题提供更广泛的方法 和思路
提高人类的思维能力和认知水平
人工智能与机器学 习：空间向量在处 理大数据和模式识 别方面的应用将进 一步发展，有助于 提高人工智能的准 确性和效率。
物理模拟和仿真： 空间向量在物理模 拟和仿真领域的应 用将更加广泛，例 如在流体动力学、 电磁学等领域，有 助于提高模拟的准 确性和效率。
PART FOUR
定义：空间向量的加法、数乘等运算 性质：满足交换律、结合律和数乘分配律 几何意义：表示空间中向量之间的位置关系和方向 应用：解决实际问题中的向量问题两个非零向量的夹角的余弦值乘以它们的模长 性质：数量积满足交换律和分配律 几何意义：表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积 运算律：与标量乘法和向量加法的结合律
从平面向量到空间向量教案01
《从平面向量到空间向量》教案一、教学目标(teaching objective)：1．知识目标(knowledge objective)：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向量基本定理的证明．2．能力目标(capability objective)：理解空间任一向量可用空间三个不共面向量唯一线性表示，会在平行六面体、四面体为背景的几何体中选用空间三个不共面向量作基底，表示其它向量．会作空间任一向量的分解图．类比平面向量的基本定理学习空间向量基本定理，培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力．3．情感目标(emotion objective)：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生极大的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系．二、教学难点(teaching difficulties)：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量．灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题．三、教学重点(teaching focus)： 运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系．四、教学手段(teaching method)：在多媒体和实物模型的环境下，学生分组自主与合作学习相结合，老师引导、参与学生活动和讨论的民主式的教学．五、教学过程（teaching procession ）1．引入（intruduce ）：对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理．用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示．我们研究一下怎么表示．（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示）学生：1e 、2e 是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量a 都可以表示为a =λ11e +λ22e ，其中λ1、λ2是一对唯一的实数．2．推广（extend ）：请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何？1A 学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量a 、b 、c 不共面，则空间的任一向量p 都可表示为x a +y b +z c ．师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明． 老师板演证明：设空间三个不共面的向量OA =a OB =b ，OC =c ，OP =p 是空间任一向量，过P作PD ∥OC 交平面OAB 于D ，则OP =OD +DP ，由空间两直线平行的充要条件知DP = z c ，由平面 向量的基本定理知向量OD 与OA 、OB 共面， 则OD = x a +y b ，所以，存在x ，y ，z 使得OP =x a +y b + z c ．这样的实数x ，y ，z 是否唯一呢？用反证法证明：若另有不同于x ，y ，z 的实数x 1，y 1，z 1满足OP = x 1a +y 1b + z 1c ，则x a +y b + z c = x 1a +y 1b + z 1c ，即(x －x 1) a +(y －y 1) b +(z －z 1) c =0又a 、b 、c 不共面，则x －x 1=0，y －y 1=0，z －z 1=0，所以x ，y ，z 是唯一的实数．这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理． 老师介绍相关概念：其中{a 、b 、c }叫做空间向量的一个基底，a 、b 、c 都叫做基向量． 师：对于空间向量的基底{a 、b 、c }的理解，要明确：①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一； ②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；③基底是一个集合，一个向量组，一个向量不能构成基底，基向量是基底中的某一向量．④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底．⑤若{a 、b 、c }是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底吗？引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维．如：a+b、a+c、b+c；2a+3b、4c、b等构成向量的基底．能否由原来的基向量生成新的基底，取决于生成的新向量是否共面，即其中的一个向量能否用另两个向量线性表示，请同学随便说一组向量，大家判断这组向量能否构成向量的基底．通过老师的引导，不仅让学生理解空间向量的基本定理，还要让学生学会把平面向量的知识迁移到空间向量来，用发展、联系的观点看以前在平面向量中成立的结论，空间向量比平面向量发展了什么，保留了什么，渗透辨证法的思想．特别地，当x=0，则p与b、c共面；若y=0，则p与a、c共面；若z=0，则p与a、b共面．当x=0，y=0时，p与c共线；当x=0，z=0时，p与b共线；当\y=0，z=0时，p与a共线．说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展．这不仅体现在平面向空间的迁移，也体现在数学中其它知识的迁移（如数系的发展）．3．类比（analogy）：对比平面向量中成立的结论推广到空间是什么相应的结论：14．例题(examples)例1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = a ，AD =b ，1AA =c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ：QA 1=4：1，用基底{a 、b 、c }表示以下向量： （1）AP ，（2）AN ，（3）AQ线．解：（1）由P 是CA 1的中点，得AP =21（1AA +AC ）=21（c +AD +AB ）=21（a +b +c ） （2）AN =AM +MN =AM +211CC =21（c +a ）+b +21c =b +c +21a法2：AN =1AA +N A 1=1AA +11D A +N D 1=c +b +21a（3）AQ =AC +CQ =AC +541CA =AC +54（1AA +CA ）=51AC +541AA=51(b +a )+54c 例2．在例1中，设O 是AC 的中点，判断AQ 和OC 1所在直线的位置关系．解：由例1得：AQ =51(b +a )+54c ，1OC =OC +1CC =21AC +1AA=21（b +a ）+c 则AQ 和1OC 与（b +a ）和c 共面，又AQ ≠λ1OC ，则AQ 和OC 1所在直线不能平行，只能相交．追问：要使AQ 和OC 1所在直线平行，则O 应在AC 的什么位置？分析：要使AQ 和OC 1所在直线平行，则1OC =λAQ =λ[51(b +a )+54c ]又1OC =OC +1CC ，设OC =μAC =μ（b +a ）则λ[51(b +a )+54c ]=μ（b +a ）+c ，即51λb +51λa +54λc =μb +μa +c ，由a 、b 、c 不共面即空间向量基本定理的唯一性知：41,4515451=μ=λ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=λλ=μ，所以，OC=41AC 学生可能不一定用刚学过的不熟悉的向量法去做，而是用平面几何的方法，根据平行线分线段成比例定理，也应加以肯定，让学生自己从中体会向量几何与平面几何风格的不同，更深地了解向量几何侧重定量研究，即将空间任一向量放在空间坐标系中，用向量的基底表示，再进行运算，思路简捷，不需要很强的演绎推理．请学生板演平面几何证法：A 1AQCCC 1ORAB C DO易证△AA 1Q ≌△CC 1R ，则CR=A 1Q=41CQ ，又CQ CR AC OC =， 所以AC OC =415．练习(exercises)已知向量a =1e －22e +33e ，b =21e +2e ，c =61e －22e +63e ， 判断a +b 与c 能否共面或共线？c －3b 与b －2a 能否共面或共线？a +b =31e －2e +33e ，c =2（a +b ），则a +b 与c 共线即平行 c －3b =61e －22e +63e －61e －32e ＝63e －52eb －2a =21e +2e －21e +42e －63e =－63e +52ec －3b 与b －2a 共线但反向．思维发散训练：已知甲烷（CH 4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？6．反思(reconsider)⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⇒定量研究异面直线线在面内、线不在面内面面平行线线平行、线面平行、点共线）向量平行（直线平行、向量基本定理面面平行线线平行、线面平行、平行公理点在线上、线共点）公理（2 如何对向量进行定量研究，对比平面向量的研究方法，预习下节内容． 7．作业(homework)：。
教学设计(从平面向量到空间向量)
孙疃中学—王婧文
班级
高二（7）班
教学目标
知识与技能：
1、通过向量由平面到空间的推广，了解空间向量的概念。
2、掌握空间向量的几何表示法和字母表示法。
3、掌握空间向量的夹角、空间直线的方向向量和平面的法向量。
过程与方法：经历从平面向量到空间向量的推广，分析向量与直线、平面的位置关系，使学生会类比的思想方法。
向量的表示方法向量的大小单位向量零向量
相等向量、相反向量平行向量
4,、空间向量的夹角
三、小试牛刀
1、口答：
2、
四、探究新知二
1、向量与直线
直线的方向向量
思考：过一点A和一个方向向量 可以确定几条空间直线？（小组合作交流）
2、向量与平面
平面的法向量
思考：过一定点A，且法向量为 的平面确定吗？（分组探究，合作交流）
五、练一练
六、小结
1、你有哪些知识方面的收获？
2、你有哪些数学思想方法上的收获？
七、课后思考
试用类比的思想探究空间向量有哪些运算
2、向量的表示方法有哪些？举例说明。
思考：李明从学校大门口出发,向北行走100m,再向东行走200m,最后上电梯15m到达住处.如何刻画这种位移？
二、探究新知一
1、空间向量的概念（类比）
向量可以看作是一个位移
2、说明：自由向量
思考：空间中任意两个向量是否共面？
3、类比平面向量有关概念，请分别给出下列定义
情感态度与价值观：让学生体会学习是一个循序渐进的过程。
教学重点与难点
教学重点：
1、空间向量的有关基本概念。
2、空直线的方向向量和平面的法向量。
教学难点：向量的夹角和平面法向量的求法。
2.1从平面向量到空间向量课件(北师大版高中数学选修2-1)
(1) p xa yb p 与 a 、 共面 ; b (2) p 与 a 、 共面 p xa yb b ；
(3) MP xMA yMB P、M、A、B共面；
例5 如图，已知平行四边形ABCD，过平 面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在 四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使 O
OE OF OG OH k OA OB OC OD
求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC。
D' A' A
D B
C
C' B'
1.下列命题中正确的有：
OP OA AB
，则P、A、B共线
D.若
，则P、A、B共线
4.若对任意一 点O， 且 ，
则x+y=1是 P、A、B三 点共线的：
OP xOA y AB
A.充分不必要 条件 B.必要不充分 条件
5.设点P在直线AB上并且
2.共面向量定理:如果两个向量
p与向量 不共线,则向量
a ,b
a , 共面的充要 b 条件是存在实数对 x, y使 P xa yb
B b M a A
p
A
P
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要
条件是存在有序实数对x,y使 MP xMA yMB 或对空间任一点O,有 OP OM xMA yMB
向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线. 量 使 的充要条件是存在实数λ a, b(b o), a // b a b
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
2-1从平面向量到空间向量 课件(北师大版选修2-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
(3)空间中，若一个向量所在直线 平行于 一个平面，则称这个 向量平行于该平面． (4)把平行于同一平面的一组向量称作共面向量，
不平行于同一个平面 的一组向量称为不共面向量．
(5)平行于一个平面的向量 垂直 该平面的法向量．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
：空间两个向量能否异面？空间两个向量是否确定唯一 的平面？ 提示 空间两个向量不能异面，是因为空间任意两个向量都可 转化为共面向量；空间两个向量不能确定唯一的平面，因为同 向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 因此，空间两向量可以平移到以空间任意点 O 为起点的同一个 平面内，所以空间两向量确定的平面不是一个，而是一组互相 平行的平面的集合．但在研究解决具体问题时，一般只要在其 中一个平面内考虑即可．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页限时训练
解 (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不 能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的 模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两 个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两 → → 个向量相等却不一定有相同的起点和终点． (4)真命题， 与AB BA 仅是方向相反，它们的长度是相等的．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
(4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模， → 用 |AB| 或 |a| 表示． (5)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量 a，b， → → 在空间中任取点 O，作OA＝a，OB＝b，则 ∠AOB 叫作向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉 ． (6)向量夹角的范围：规定 0≤〈a，b〉≤π ． π (7)特殊角： 〈a， ＝ 2 时， 当 b〉 向量 a 与 b 垂直 ， 记作 a⊥b ； 当〈a，b〉＝0 或π 时，向量 a 与 b 平行 ，记作 a∥b ．
2.1《从平面向量到空间向量》课件(北师大版选修2-1)
1.在空间向量中，下列说法正确的是(
)
(A)如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等 (B)如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同 (C)如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相 等 (D)同向且等长的有向线段表示同一向量
3.(5分)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量BA相等 的向量是_______；与BC′平行的向量是_______. 【解析】CD是与BA长度相等，方向相同的向量，AD′是与 BC′方向相同的向量
答案：CD
AD′(答案不唯一)
4.(15分)已知：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体
被截面AEFG所截而得的，其中AD=1，BE=3，CD内，所以CD⊥AI，在等腰三角形EAD中，I是ED的中点，所
以AI⊥ED，所以AI⊥平面CDE.因此AI是平面ECD的法向量.
2.（5分）记“一个平面和它的一个法向量”为一个“垂直 对”，那么，在正方体中，由正方体的四个顶点围成的面，由
两个顶点对应的向量（AB与BA只记一次）中，共可以组成“垂
1.(5分)如图，四棱锥E—ABCD中，EA⊥平面ABCD，四边形
ABCD为正方形，且EA=AD，F、G、H、I分别是所在边上的中点， 则过点A作平面CDE的一个法向量是( )
【解析】选A.因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CD，又四边形 ABCD为正方形，所以AD⊥CD，所以CD⊥平面EAD，又AI在平面
两条不共线的向量都垂直的向量.
【解析】
7.在空间四边形ABCD中，已知BC=AC，AD=BD，作BE⊥CD，E为
垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH是平面BCD的一个法向量.
【证明】取AB中点F，连接CF、DF、AE， ∵AC=BC，∴CF⊥AB. 又∵AD=BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDF. 又CD在平面CDF内，∴CD⊥AB.又CD⊥BE， ∴CD⊥平面ABE， ∴CD⊥AH.又AH⊥BE，∴AH⊥平面BCD.故 AH是平面BCD的一个法向量.
高考数学选修2,1知识点：从平面向量到空间向量
高考数学选修2,1知识点：从平面向量到空间向量1500字从平面向量到空间向量，是高中数学的一个重要知识点。
平面向量和空间向量是向量的两种不同形式，它们在数学上有着相似的性质和运算规律，但在几何上有一些区别。
首先，我们来了解一下平面向量。
平面向量是指在平面内有大小和方向的向量。
平面向量用有向线段表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
设向量AB的起点为A，终点为B，记作向量AB，表示为→AB。
平面向量有两种表示方法：坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：假设平面向量AB的起点坐标为A(x1, y1)，终点坐标为B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1)。
2. 分量表示：平面向量的分量表示是通过向量的水平分量和竖直分量表示向量。
假设平面向量AB的长度为|r|，与X轴的夹角为θ，则水平分量为|r|cosθ，竖直分量为|r|sinθ。
接下来，我们来了解一下空间向量。
空间向量是指在三维空间中有大小和方向的向量。
空间向量同样用有向线段表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
设向量AB的起点为A，终点为B，记作向量AB，表示为→AB。
空间向量也有两种表示方法，即坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：假设空间向量AB的起点坐标为A(x1, y1, z1)，终点坐标为B(x2, y2, z2)，则向量AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。
2. 分量表示：空间向量的分量表示同样是通过向量在坐标轴上的投影来表示向量。
假设空间向量AB的长度为|r|，与X轴、Y轴、Z轴的夹角分别为α、β、γ，则向量的X 轴分量为|r|cosα，Y轴分量为|r|cosβ，Z轴分量为|r|cosγ。
在从平面向量到空间向量的过程中，需要注意以下几点：1. 坐标表示的差异：平面向量的坐标表示有两个分量，而空间向量的坐标表示有三个分量。
2. 分量表示的差异：平面向量的分量表示只有水平分量和竖直分量，而空间向量的分量表示有X轴、Y轴、Z轴三个分量。
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规定 0≤< a ,b>≤
两向量的夹角
当< a ,b>=/2时,向量 a 与 b 垂直, 记作: a⊥b
当< a ,b>=0或时,向量 a 与 b 平行, 记作: a // b
例1.在正方体ABCD ABCD中,
uuur uuuur uuuur
uuur
(1)向量DC, AB, DC与向量AB相等吗?
平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a 向量减法的 三角形法则
a
k a (k>0)
k a (k<0) 向量的数乘
平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： k(a b) k a＋kb
C′ B′
E
D
F A
C B
D′
解:
A′
(1)与AD相等的向量有
E
D
AD , BC, BC ． F
(2)向量AD的相反向量有 A
DA , CB, CB ,AＢ , DC, Ｂ A , CＤ
B叫做向量的终点;
表示方法2: 用字母表示 a, b, c…… 或者 a, b, c……
空间向量的大小 空间向量的大小 也叫作向量的长度或模 用AB 或|a |表示
两向量的夹角
A
B
b
b
a
a
O 过空间任意一点Ｏ作向量a , b 的相等
向量OA和 OB,则∠AOB叫作向量
a , b 的夹角,记作< a , b >
解 : (1)DC AB,
AB AB, DC AB
D′ A′
D
C′
B′
F C
A
E
B
例1.在正方体ABCD ABCD中, uuuur uuur uuur uuuur
(2)向量CD,CD, BA与AB是相反向量吗?
解 : (2)CD AB,
D′
CD AB, A′
BA AB
D
C′
B′
F C
A
E
B
例1.在正方体ABCD ABCD中,
(3)E和F分别是AB和BB的中点, 在正方 uuur
体中能找到3个与EF平行的向量吗?
解 : (3)在三角形ABB中,因为
D′
E和F分别是AB和BB的中点,
上
李明从学校大门口出发,向
北行走100m,再向东行走
东 200m,最后上电梯15m到达
南
住处.
住处
学校
在一个平面内来考虑 既有大小又有方向的量称为平面向量 在一个空间内来考虑 既有大小又有方向的量称为空间向量
D A
C
Ba
D1 A1
C1 B1
b
D
C
A
B
空间向量的表示 表示方法1: 用有向线段表示 如 AB , A叫做向量的起点,
所以EF // AB,
A′
C′ B′
从而EF // AB
F
D
C
EF // BA, EF // DC
A
E
B
练习1、 在长方体ABCD ABCD中,
(1)举出与向量 AD相等的向量;
(2)举出向量 AD的相反向量;
(3) AE 1 AA, AF 1 AB,
D′
3
3
举出与EF平行的向量. A′
所有与直线l平行的
A
非零向量都是平面的法向量.
练习3、过空间中一定点A，作法向量 为 a 的平面。
a A
小 结:
空间向量的概念 直线的方向向量 法向量
C′ B′
C B
向量与直线
l为空间一直线,A,B是直线l上任意两点 则称 AB 为直线l的方向向量. 与 AB 平行的非零向量 a 也为直线l的 方向向量
Bl aA
练习2、过空间中一定点A，作方向向量 为 a 的空间直线。
a A
向量与平面
如果直线l垂直于平面,
l
那么把直线l的方向向量 a
a
叫做平面的法向量.
§1 从平面向量到空间向量
复习回顾：平面向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法: 用有向线段表示
字母表示法：
用小写字母 a 表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量：长度相等且方向相同的向量
B
A
D
C
平面向量的加法、减法与数乘运算
b a 向量加法的三角形法则 b 向量加法a的平行四边形法则
推广:
(1)首尾相接的若干向量之和， 等于由起始向量的起点指向 末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
推广:
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0