北师大版数学高二从平面向量到空间向量参考导学案 北师大版选修2-1
高中数学第二章空间向量与立体几何2_1从平面向量到空间向量导学案无答案北师大版选修2_1
2.1 从平面向量到空间向量学习目标：1、 知识与能力目标：（1） 使学生理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；（2） 掌握两个空间向量的夹角、空间直线的方向向量和平面的法向量的概念。
2、 过程与方法：通过空间向量概念的生成，向学生渗透由特殊到一般、类比转化的数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力；3、 情感、态度与价值观通过空间向量图形的展示，培养学生朴素的审美“情趣”，优化学生的思维品质。
学习重点：（1）空间向量的概念生成，空间向量的夹角。
（2）空间直线的方向向量和平面的法向量。
学习难点：平面的法向量。
学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法。
学习过程：一、课前预习：1．空间向量(1)在空间中，既有 又有 的量，叫作空间向量．(2)向量用小写字母表示，如：a →，b →或a ，b .也可用大写字母表示，如：AB →，其中 叫做向量的起点， 叫做向量的终点．(3)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模，用 或 表示．(4)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量a ，b ，在空间中任取点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 叫作向量a ，b 的夹角，记作 ．(5)向量夹角的范围：规定 .(6)特殊角：当〈a ，b 〉＝π2时，向量a 与b ，记作a ⊥b ； 当〈a ，b 〉＝0或π时，向量a 与b ，记作 .2．向量、直线、平面(1)所谓直线的方向向量是指和这条直线 或 的非零向量，一条直线的方向向量有 个．(2)如果直线l 垂直于平面α，那么把直线l 的 ，叫作平面α的法向量．平面α有 个法向量，平面α的所有法向量都 ．二、新课学习问题探究一 向量概念1 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA →，OB →，OC →，它们和以前所学的向量有什么不同？2 向量怎样表示？3向量的夹角指什么4 什么叫向量的垂直与平行？跟踪训练1 下列说法中正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →问题探究二 向量、直线、平面怎样描述空间直线的方向？例1 已知空间四边形ABCD 的各条边和对角线长都等于a ，E 、F 、G 分别是AB 、CD 、AD 的中点．(1)给出直线EG 、FG 的一个方向向量；(2)给出平面CDE 的一个法向量．跟踪训练2 (1)正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 〈A 1C 1→，BC 1→〉＝________.(2)写出平面ABC 1D 1的一个法向量三、当堂检测1．下列命题中，假命题是 ( )A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等2. 判断下列各命题的真假：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ）A.2B.3C.4D.53.如图，正四面体S —ABC 中，向量SA →和BC →的夹角________．4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面B 1BDD 1的一个法向量为_____________．四、课堂小结五、课后作业。
2018年北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》教案
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》第一课时平面向量知识复习一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。
教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
（二）、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a =； 注意)(21OB OA OP +=,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心B ．内心 C ．重心D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+ ，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15BC ． 14D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=)++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 （四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为。
北师大版数学高二-选修2-1导学案 2.6 距离的计算 2
二、合作探究
探究一、点到直线的距离
公式为：
P48.例1 利用点到线的距离公式求得
探究二、点到平面的距离
公式为：
P49.例2利用点到面的距离公式求得
探究三、两异面直线的距离定义及向量计算公式
和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的；
两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段叫做；
公垂线段的长度，叫做两条异面直线间的.
则异面直线的距离公式为：
例2:已知正方体AC1的棱长a为,求C与BD间的距离.
【当堂检测】
课本P50思考1.2
【当堂小结】
（1）异面直线的距离求解法？
（2）点到面、线到面、面到面的距离求解法？
【课后巩固（布置作业）】
A组2和3题
【纠错反思（教学反思）】
学习
目标
掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、异面直线间的距离、点到直线的距离和点到平面的距离
学习
重点
点到直线的距离和点到平面的距离
学习
难点
点到直线的距离和点到平面的距离
学法
指导
数形结合
学 习 过 程
学习笔记
（教学设计）
【预习案（自主学习）】
距离的定义：
（1）点到面的距离：
（2）线到面的距离：
2.1《从平面向量到空间向量》课件(北师大版选修2-1)
1.在空间向量中，下列说法正确的是(
)
(A)如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等 (B)如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同 (C)如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相 等 (D)同向且等长的有向线段表示同一向量
3.(5分)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量BA相等 的向量是_______；与BC′平行的向量是_______. 【解析】CD是与BA长度相等，方向相同的向量，AD′是与 BC′方向相同的向量
答案：CD
AD′(答案不唯一)
4.(15分)已知：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体
被截面AEFG所截而得的，其中AD=1，BE=3，CD内，所以CD⊥AI，在等腰三角形EAD中，I是ED的中点，所
以AI⊥ED，所以AI⊥平面CDE.因此AI是平面ECD的法向量.
2.（5分）记“一个平面和它的一个法向量”为一个“垂直 对”，那么，在正方体中，由正方体的四个顶点围成的面，由
两个顶点对应的向量（AB与BA只记一次）中，共可以组成“垂
1.(5分)如图，四棱锥E—ABCD中，EA⊥平面ABCD，四边形
ABCD为正方形，且EA=AD，F、G、H、I分别是所在边上的中点， 则过点A作平面CDE的一个法向量是( )
【解析】选A.因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CD，又四边形 ABCD为正方形，所以AD⊥CD，所以CD⊥平面EAD，又AI在平面
两条不共线的向量都垂直的向量.
【解析】
7.在空间四边形ABCD中，已知BC=AC，AD=BD，作BE⊥CD，E为
垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH是平面BCD的一个法向量.
【证明】取AB中点F，连接CF、DF、AE， ∵AC=BC，∴CF⊥AB. 又∵AD=BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDF. 又CD在平面CDF内，∴CD⊥AB.又CD⊥BE， ∴CD⊥平面ABE， ∴CD⊥AH.又AH⊥BE，∴AH⊥平面BCD.故 AH是平面BCD的一个法向量.
北师大选修2-1第二章 1
π → → ∴AC⊥DD1，∴〈AC，DD1〉＝2.
→ → (2)〈AC，CD1〉 ；
解 பைடு நூலகம்接AD1，则AC＝CD1＝AD1，
π 故△ACD1 为正三角形，∠ACD1＝3， 2π → → ∴〈AC，CD1〉＝ 3 .
解析答案
→ → (3)〈AC，A1D〉 ；
解
方法一
→ → 连接 AB1，B1C，则有A1D＝B1C，
反思与感悟
本题研究了三个特殊的夹角，在数学中所研究的向量是与
向量的起点无关的自由向量，可以设法将向量平移到同一起点上，然后 再研究向量之间的夹角问题.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3
在正方体ABCD－A1B1C1D1中求下列向量的夹角：
→ → (1)〈AC，DD1〉 ；
解
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱DD1⊥底面ABCD，AC面ABCD，
解
→ → 真命题.因为BA与AB仅是方向相反，但长度是相等的.
反思与感悟
空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其
他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量 等都可以拓展为空间向量的相关概念.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1
如图所示，以长方体 ABCD－ A1B1C1D1的
解析答案
→ → (4)〈AC，BD1〉.
解
方法一
连接BD，则AC⊥BD，
又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D.∴AC⊥面BD1D，
π → → ∵BD1 面 BDD1，∴AC⊥BD1，∴〈AC，BD1〉＝2.
方法二
连接BD交AC于点O，取DD1的中点M，
→ 1→ → → → → 则OM＝2BD1，∴〈AC，BD1〉＝〈AC，OM〉 ，
数学 第二章 空间向量与立体几何 2.1 从平面向量到空间向量教案 北师大版选修2 1 教案
从平面向量到空间向量一、设计思路本节是北师大版高中数学选修2-1第二章第一节内容，学生已经学习了平面向量和空间几何体及其点线面位置关系，本章是平面向量的推广和延伸，是解决空间问题的有力工具.学生是学习的主体，本节课注重给学生提供各种参与机会：通过自学，小组讨论，多媒体展示，最大程度地激发学生参与教学的过程.结合教材以及本班学生情况，本节教学内容设计为两个部分，第一部分是向量的概念，着重学生自学与合作后的展示.通过与平面向量的类比，引入空间向量的相应概念：空间向量、向量的表示、自由向量、向量的模、向量，的夹角等.第二部分是向量、直线、平面，主要由教师引导完成教学内容.通过分析向量与直线，向量与平面的位置关系，引入直线l的方向向量，平面 的法向量等概念.通过这两部分的设计，降低学生的理解难度，突出了类比的数学思想方法.二、教学目标1. 知识与技能：(1)了解空间向量的有关概念；(2)掌握两个空间向量的夹角、方向向量和平面的法向量的概念.2. 过程与方法：经历向量从平面到空间推广的过程，分析向量与直线、平面的位置关系，让学生学会类比的数学思想方法.3. 情感与态度：尝试解决问题过程中，让学生树立类比分析、循序渐进解决数学问题的能力；借助直观模型，让学生感受从感性到理性，从具体到抽象的研究问题的方法.三、教学重点及处理设想理解向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念.借助平面向量以及空间平行概念的基础，对向量的概念从维度(二维平面到三维空间)进行推广，可让学生从周围的几何体(长方体模型，教室等)培养学生的空间想象能力. 四、教学难点及处理设想理解共面向量的概念.对于空间两个向量都是共面向量的认同，处理设想为可以借助空间异面直线的概念提出空间两向量是否可能异面的问题，继而结合自由向量和相等向量的概念来解决.五、教学方法导学法，讨论法.六、教学准备学生学案，多媒体课件.七、教学流程设计2.学案导学（学案详见附1）知识要点：(1)空间向量的有关概念空间向量的概念及表示自由向量向量的模(或长度)④向量a,b的夹角、X围及垂直与平行(共线)⑤单位向量⑥零向量⑦相等向量⑧相反向量⑨共面向量(2)向量、直线、平面激励主动学习，培养自主探究能力.(1)对于让学生感受到维度改变(平面到空间)对概念产生的影响，培养类比的意识；对于④⑤⑥⑦⑧让学生感受直接由平面向量类比得到空间向量的相关概念所得到的成就感；对于⑦结合数量适时引出“向量不能比较大小”的结论；对于④直线l的方向向量平面α的法向量适时回顾区分向量与异面直线的夹角概念的区别,对于⑦引出“空间任何两个向量都共面”的结论.(2)对于直线的方向向量与平面的法向量主要由教师随后引导完成概念教学.5.教师引导性讲解向量、直线、平面直线l的方向向量平面 的法向量借助多媒体向同学引入直线的方向向量和平面的法向量的概念，并且完成问题(7)(8).八、教学反思1.《新课程标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法(类比与归纳)，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题.同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质.掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，空间向量的基本概念是后续学习的前提，空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算相似，所以，空间向量的教学要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.教师的教学实际上就是保证和促进学生学习的主动性和知识体系的建构.本节课尝试让学生自主学习，主要过程包括:(1)预习交流——学生按照“学案”进行课前预习或当堂预习交流；(2)小组讨论——根据自学任务小组进行讨论交流，完成预期任务；(3)展示交流——各组根据组内讨论情况，对本组的学习任务进行讲解展示；(4)穿插巩固——在展示过程中，对未能展现的学习任务进行巩固练习.(5)学后反思——对学习过程中的感受进行总结.。
高中数学 从平面向量到空间向量参考学案 北师大版选修2-1
课题
§1从平面向量到空间向量
学
习
目
标
知识与技能
1、掌握空间向量的相关概念.
2、掌握空间向量的夹角、方向向量和平面的法向量的概念.
过程与方法
经历从平面向量到空间向量的推广、分析向量与直线、平面的位置关系，使学生学会类比的数学思想方法。
情感态度
与价值观
让学生体会学习是一个循序渐进的过程.
重点
难点
重点：向量的夹角，直线的方向向量，平面的法向量概念；
难点：方向向量、法向量．
学生
自学
反馈
新知导学
备注
1、复习：（平面向量）
①___________________叫平面向量，其大小作向量的______或_________；用________或__________表示；
②___________叫单位向量，非零向量 的单位向量 ＝________；
④直线的方向向量：若A、B是空间直线 上任意两点，则称____________为直线 的方向向量。（与 平行的_____________也是直线 的方向向量）
⑤法向量：如果直线 __________平面，那么把直线 的____________叫作平面 的法向量（所有与直线 _______________都是平面 的法向量）
⑦平面向量表示法：_____________；_____________。
2、新知：（空间向量）
①_____________________________叫空间向量；
②_____________________________叫自由向量
③向量 ， 的夹角：过空间任意一点O作向量 ， 的相等向量 和 ；则_______叫作向量 ， 的夹角，记作________，范围是____________，当（ ， ）＝ 时，记作________，当（ ， ）＝0或π时，记作________。
高中数学：22 空间向量及其运算 教案(北师大版选修2-1) 教案
课题：空间向量及其运算(一)教学目的：1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律教学难点：用向量解决立几问题授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节，空间向量及其运算共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积这一节是全章的重点，有了第一大节空间平行概念的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的X围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相平行的平行平面集，要让学生在空间上一步步地验证运算法则和运算律这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础定理：空间向量基本定理，这个定理是空间几何研究数量化的基础有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被3个不共面的基向量所确定空间—个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应关系本节的最后一个知识点是，两个向量的数量积由平面两个向量的数量积推广到空间最重要的是让学生建立向量在轴上的投影概念为了减轻教学难度，内积的几个运算性质教材中没有证明学生基础好的学校可在教师的指导下，由学生自己证明 教学过程： 一、复习引入： 1向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：几何表示法 AB ，a；坐标表示法(,)a xi yj x y =+=(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜(4)特殊的向量：零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0单位向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1(5)相等的向量：大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量2向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算类型 几何方法坐标方法运算性质向 量的加 法1平行四边形法则2三角形法则),(2121y y x x b a ++=+a b b a +=+)()(c b a c b a ++=++ AB BC AC +=向量的减法三角形法则),(2121yyxxba--=-)(baba-+=-AB BA=-OB OA AB-=向量的乘法1aλ是一个向量,满足:2λ>0时,aλ与a同向;λ<0时,aλ与a异向;λ=0时,aλ=0),(yxaλλλ=aa)()(λμμλ=aaaμλμλ+=+)(babaλλλ+=+)(a∥babλ=⇔向量的数量积ba•是一个数10=a或0=b时,ba•=020≠a且0≠b时,),cos(||||bababa=•2121yyxxba+=•abba•=•)()()(bababa•=•=•λλλcbcacba•+•=•+)(22||aa=22||yxa+=||||||baba≤•3重要定理、公式：(1)平面向量基本定理21,ee是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211eeaλλ+=(2)两个向量平行的充要条件a∥b⇔a＝λb⇔01221=-yxyx(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝O⇔02121=+yyxx(4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段⇔所成的比为λ，即1PP ＝λ2PP ，则OP ＝λ+111OP ＋λ+112OP (线段的定比分点的向量公式) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x (5)平移公式设点),(y x P 按向量),(k h a = 平移后得到点),(y x P '''，则OP '＝OP +a或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x ，曲线)(x f y =按向量),(k h a =平移后所得的曲线的函数解析式为：)(h x f k y -=-(6)正、余弦定理 正弦定理：.2sin sin sin R CcB b A a === 余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=二、讲解新课：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量aC'B'A'D'DABC GMC'B'A'D'DAB C ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）OB OA AB a b =+=+ BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 三、讲解X 例：例1已知平行六面体ABCD －D C B A ''''化简下列向量表达式，标出化简结果的向量. ⑴AB BC +；⑵AB AD AA '++； ⑶12AB AD CC '++； ⑷1()3AB AD AA '++ 解：如图：⑴AB BC AC +=；⑵AB AD AA '++=AC AA AC ''+=；⑶设M 是线段C C '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=； ⑷设G 是线段C A '的三等份点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==向量,,,AC AC AM AG '如图所示:C B AOb b baa例2 已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++； （2）1()2AB BD BC ++； （3）1()2AG AB AC -+． 解：如图，（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=； （2）111()222AB BD BC AB BC BD ++=++ AB BM MG AG =++=；（3）1()2AG AB AC AG AM MG -+=-=． 四、课堂练习：1．如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是AD 与BC 的中点， 求证：1()2EF AB DC =+． 证明：1122EF ED DC CF AD DC CB =++=++ 11()22AB BD DC CB =+++ 11()22AB DC CB BD =+++ 1122AB DC CD =++ 1()2AB DC =+ 2．已知2334x y a b c +=-++，385x y a b c --=-+，把向量,x y 用向量,,a b c 表示 解:∵2334x y a b c +=-++，385x y a b c --=-+ ∴32x a b c =-+-， 2y a b c =-+3．如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，设AB a =，,AD b AA c '==，,E F 分别是,AD BD '中点，（1）用向量,,a b c 表示,D B EF '；BCDMGABCDEFAA'BB'CC'DD'EFACD（2）化简：2AB BB BC C D D E ''''++++； 解: （1）D B D A A B B B b a c ''''''=++=-+-1122EF EA AB BF D A a BD '=++=++ 111()()()222b c a a b a c =--++-+=- 五、小结 ：空间向量的相关的概念及空间向量的表示方法；平行六面体的概念； 向量加法、减法和数乘运算六、课后作业：如图设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 的重心求证：1()3AG AB AC AD =++七、板书设计（略） 八、课后记：。
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高中数学从平面向量到空间向量参考导学案北师大版选修2-1
一、教学目标：
复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备
二、教学重点：平面向量的基础知识。
教学难点：运用向量知识解决具体问题
三、教学方法：
探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、基本概念
向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
（二）、基本运算
1、向量的运算及其性质
2、平面向量基本定理：
如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数21,λλ，使a = ； 注意)(2
1
OB OA OP +=
,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示）
⑵ 若),(),,(221
1y x b y x a ==
，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）
4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）
⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==
，则a b ⊥的充要条件是： ；（坐标表示）
（三）、课堂练习
1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则∆ABC 是（ ）
A ．以A
B 为底边的等腰三角形 B ．以B
C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形
D ．以BC 为斜边的直角三角形
2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心
3．在四边形ABCD 中，−→
−AB ＝−→
−DC ，且−→
−AC ·−→
−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形
4．已知||22p =||3q =，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+，3b p q =-为邻边的
平行四边形的一条对角线长为（ ）
A ．15
B ． 14 D ．16
5．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足
=(
+λ，
),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心 （四）、作业布置
1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A ．),2()2,21
(+∞- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)2
1,(--∞ 2．若()(),0,7,4,
3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为 。
3．向量(,1),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝ ． 4．在直角坐标系xoy 中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且||=2,则=
5．在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM =2，则)(+•的最小值是__________。
（五）、教后反思：。