高中数学人教A版选修2-1导学案：3.1.5--空间向量运算的坐标表示(学生版)
人教版数学高二A版选修2-1学案 3.1.5空间向量运算的坐标表示
3．1.5 空间向量运算的坐标表示1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标．2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直． 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．[学生用书P60]1．空间向量的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)， λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)， a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3．2．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0；|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23； cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23 b 21＋b 22＋b 23 . 3．空间中两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则A ，B 两点间的距离d AB ＝|AB →|＝（a 2－a 1）2＋（b 2－b 1）2＋（c 2－c 1）2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)即使建立的坐标系不同，同一向量的坐标仍相同．( ) (2)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，a ∥b ，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3.( )(3)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.( ) (4)若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB →|＝AB →·AB→＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＋（z 2－z 1）2.( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝(10，－5，－6) B ．a －b ＝(2，－1，－6) C ．a ·b ＝10 D.|a |＝6答案：D与向量m ＝(0，1，－2)共线的向量是( ) A ．(2，0，－4) B ．(3，6，－12) C ．(1，1，－2) D.⎝⎛⎭⎫0，12，－1 答案：D已知a ＝(2，1，3)，b ＝(－4，5，x )，若a ⊥b ，则x ＝________． 答案：1已知A 点的坐标是(－1，－2，6)，B 点的坐标是(1，2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA →与OB →的夹角是________．答案：π探究点1 空间向量的坐标运算[学生用书P61](1)已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1，4)，求a ＋b ，a －b ，a ·b ，(2a )·(－b )，(a ＋b )·(a －b )；(2)已知O 是坐标原点，且A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P 的坐标：①OP →＝12(AB →－AC →)；②AP →＝12(AB →－AC →)．【解】 (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)；a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)； a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a )·(－b )＝－2(a ·b )＝－2×(－7)＝14；(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8. (2)由题意知，AB →＝(2，6，－3)，AC →＝(－4，3，1)．①OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6，3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32，－2)．②设P(x，y，z)，则AP→＝(x－2，y＋1，z－2)．因为AP→＝12(AB→－AC→)＝(3，32，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x－2＝3y＋1＝32，z－2＝－2解得x＝5，y＝12，z＝0，则点P的坐标为(5，12，0)．关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标．1.已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝()A．－1 B．1C．0 D.－2解析：选A.因为p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，所以p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.2．已知△ABC中，A(2，－5，3)，AB→＝(4，1，2)，BC→＝(3，－2，5)，求顶点B、C 的坐标及CA→.解：设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以AB→＝(x－2，y＋5，z－3)，BC→＝(x1－x，y1－y，z1－z)．因为AB→＝(4，1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4y ＋5＝1z －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝－4z ＝5，所以B 的坐标为(6，－4，5)． 因为BC →＝(3，－2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3y 1＋4＝－2z 1－5＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9y 1＝－6z 1＝10，所以C 的坐标为(9，－6，10)，CA →＝(－7，1，－7)． 探究点2 坐标形式下的平行与垂直[学生用书P61]已知空间三点A (－2，0，2)、B (－1，1，2)、C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)设|c |＝3，c ∥BC →，求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .【解】 (1)因为BC →＝(－2，－1，2)且c ∥BC →， 所以设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )， 所以|c |＝ （－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.所以c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)． (2)因为a ＝AB →＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－1，0，2)， 所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． 因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )， 所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.[变条件]将本例(2)中“若k a＋b与k a－2b互相垂直”改为“若k a＋b与a＋k b互相平行”，其他条件不变，求k的值．解：a＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)，b＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)，所以k a＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)．a＋k b＝(1，1，0)＋(－k，0，2k)＝(1－k，1，2k)，因为k a＋b与a＋k b平行，所以k a＋b＝λ(a＋k b)，即(k－1，k，2)＝λ(1－k，1，2k)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k－1＝λ（1－k），k＝λ·1，2＝λ·2k，则⎩⎪⎨⎪⎧k＝－1，λ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧k＝1，λ＝1.判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行．(2)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或x1x2＝y1y2＝z1z2(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．1.已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则()A．x＝13，y＝1 B．x＝12，y＝－4C．x＝2，y＝－14 D.x＝1，y＝－1解析：选B.由题意知，a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．因为(a＋2b)∥(2a－b)，所以存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ（2－x ），4＝3λ，4－y ＝λ（－2y －2），解得⎩⎨⎧λ＝43，x ＝12，y ＝－4.2．已知空间三点O (0，0，0)，A (－1，1，0)，B (0，1，1)，若直线OA 上的一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为________．解析：设H (x ，y ，z )，则OH →＝(x ，y ，z )，BH →＝(x ，y －1，z －1)，OA →＝(－1，1，0)．因为BH ⊥OA ，所以BH →·OA →＝0，即－x ＋y －1＝0 ①，又点H 在直线OA 上，所以OA →＝λOH →，即 ⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λx ，1＝λy ，0＝λz②，联立①②解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12，z ＝0.所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，12，0 探究点3 向量夹角与长度的计算[学生用书P62]如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 是A 1A 的中点．(1)求BN →的模；(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．【解】 如图，以C 为坐标原点，分别以CA →，CB →，CC 1→为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz .(1)依题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)． 所以|BN →|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝ 3.(2)依题意得A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)． 所以BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→＝(0，1，2)， 所以BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5. 所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为夹角与距离问题．已知空间三点A (1，2，3)，B (2，－1，5)，C (3，2，－5)．求：(1)向量AB →，AC →的模； (2)向量AB →，AC →夹角的余弦值．解：(1)因为AB →＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)， AC →＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)， 所以|AB →|＝ 12＋（－3）2＋22＝14，|AC →|＝22＋02＋（－8）2＝217.(2)因为AB →·AC →＝(1，－3，2)·(2，0，－8) ＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， 所以cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－1414×217＝－23834.因此，向量AB →，AC →夹角的余弦值为－23834.1．已知向量a ＝(0，－1，1)，b ＝(4，1，0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D.5解析：选 B.λa ＋b ＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋（1－λ）2＋λ2＝29，且λ＞0，解得λ＝3.2．已知点A (－1，3，1)，B (－1，3，4)，若AP →＝2PB →，则点P 的坐标是________． 解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP →＝2PB →，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1，3，3)． 答案：(－1，3，3)3．已知向量a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4)，c ＝(2，x ，－4)． (1)判断a ，b 的位置关系； (2)若a ∥c ，求|c |；(3)若b ⊥c ，求c 在a 方向上的投影的长． 解：(1)因为a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4)， 所以b ＝－2a ，所以a ∥b .(2)因为a ∥c ，所以21＝x 2＝－4－2，解得x ＝4.所以c ＝(2，4，－4)，从而|c |＝22＋42＋（－4）2＝6.(3)因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即(－2，－4，4)·(2，x ，－4)＝－4－4x －16＝0，解得x ＝－5，所以c ＝(2，－5，－4)． 所以c 在a 方向上的投影的长为|c |cos 〈a ，c 〉＝|c |×a ·c |a ||c |＝1×2－2×5＋2×412＋22＋（－2）2＝2－10＋83＝0.[学生用书P63]知识结构深化拓展对空间向量坐标运算的两点说明(1)类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广．推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用惟一确定的有序实数对表示，即a＝(x，y)．而在空间中则表示为a＝(x，y，z)．(2)运算结果：空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数.[学生用书P135(单独成册)][A基础达标]1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则a－b＋2c＝()A．(－9，－3，0) B．(0，2，－1)C．(9，3，0) D.(9，0，0)解析：选 C.a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)．2．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为()A．2 B．3C．4 D.5解析：选B.设BC边的中点为D，则AD→＝12(AB→＋AC→)＝(－1，－2，2)，所以|AD→|＝1＋4＋4＝3.3．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为()A．2 B．－2C．0 D.1解析：选A.因为c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，所以(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝2－2x ＝－2. 所以x ＝2.4．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1，2，－3k )，B (－2，1，0)，C (4，0，－2k )，则k 的值为( )A.10 B ．－10 C ．2 5D.±10解析：选D.CB →＝(－6，1，2k )，CA →＝(－3，2，－k )， 则CB →·CA →＝(－6)×(－3)＋2＋2k ×(－k ) ＝－2k 2＋20＝0， 所以k ＝±10.5．(2018·四川南充高二(下)月考)已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D.150°解析：选 C.a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，〈a ，c 〉＝120°. 6．已知点A (λ＋1，μ－1，3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________．解析：因为AB →＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，AC →＝(2，－2，6)，由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥AC →，即λ－12＝－12＝λ－2μ－36，解得λ＝0，μ＝0.答案：0 07．在空间直角坐标系中，已知点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则△ABC 一定是________三角形．解析：因为AB →＝(3，4，－8)，AC →＝(5，1，－7)，BC →＝(2，－3，1)，所以|AB →|＝32＋42＋（－8）2＝89，|AC →|＝52＋12＋（－7）2＝53，|BC →|＝22＋（－3）2＋1＝14，所以|AC →|2＋|BC →|2＝|AB →|2，所以△ABC 一定为直角三角形． 答案：直角8．若a ＝(x ，2，2)，b ＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________．解析：a·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝a·b |a ||b |＜0，又|a |＞0，|b |＞0，所以a·b ＜0，即2x ＋4＜0，所以x ＜－2.又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)9．已知向量a ＝(x ，4，1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，且a ∥b ，b ⊥c .(1)求向量a ，b ，c ；(2)求向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角的余弦值．解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1， 解得x ＝2，y ＝－4，此时a ＝(2，4，1)，b ＝(－2，－4，－1)．又由b ⊥c 得b·c ＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z )＝－6＋8－z ＝0，得z ＝2，此时c ＝(3，－2，2)．(2)由第一问得，a ＋c ＝(5，2，3)，b ＋c ＝(1，－6，1)，因此向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角θ的余弦值为cos θ＝5－12＋338×38＝－219. 10．已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1，1，－3)，D (3，－5，3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明：因为AB →＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，CD →＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，且－24＝3－6＝－36，所以AB →与CD →共线． 又因为AB 与CD 不共线，所以AB ∥CD .又因为AD →＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，BC →＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，且0－2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行． 所以四边形ABCD 为梯形．[B 能力提升]11．从点P (1，2，3)出发，沿着向量v ＝(－4，－1，8)方向取点Q ，使|PQ |＝18，则Q 点的坐标为( )A ．(－7，0，19)B ．(9，4，－13)C ．(－7，0，19)或(9，4，－13)D ．(－1，－2，3)或(1，－2，－3)解析：选C.设Q (x 0，y 0，z 0)，则PQ →＝λv ，即(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝λ(－4，－1，8)．由|PQ |＝18得（－4λ）2＋（－λ）2＋（8λ）2＝18，所以λ＝±2，所以(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝±2(－4，－1，8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－7，y 0＝0，z 0＝19或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝9，y 0＝4，z 0＝－13.12．已知O 为坐标原点，OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，34，13B.⎝⎛⎭⎫12，23，34C.⎝⎛⎭⎫43，43，83D.⎝⎛⎭⎫43，43，73解析：选C.设OQ →＝λOP →，则QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝OB→－OQ →＝OB →－λOP →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2[3(λ－43)2－13]． 所以当λ＝43时，QA →·QB →最小，此时OQ →＝43OP →＝(43，43，83)，即点Q 的坐标为(43，43，83)． 13．已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)．(1)求分别以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 与向量AB →，AC →均垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．解：(1)因为AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)，所以|AB →|＝（－2）2＋（－1）2＋32＝14， |AC →|＝12＋（－3）2＋22＝14，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12， 所以S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0，a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，所以a ＝(1，1，1)或(－1，－1，－1)．14．(选做题)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝2，∠CDA ＝45°.设AB ＝AP ，在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由．解：因为P A ⊥平面ABCD ，且AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD .又AB ⊥AD ，所以AP ，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等．连接GB ，GC，GP，设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则P(0，0，t)，D(0，4－t，0)．因为∠CDA＝45°，所以C(1，3－t，0)．所以GC→＝(1，3－t－m，0)，GD→＝(0，4－t－m，0)，GP→＝(0，－m，t)．由|GC→|＝|GD→|，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m.①由|GD→|＝|GP→|，得(4－t－m)2＝m2＋t2.②由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D 的距离都相等．。
2020年数学选修2-1人教A全册教案导学案--3.1.5空间向量运算的坐标表示
3. 1.5空间向量运算的坐标表示教学目标1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2．坐标判断两个空间向量平行。
教学过程：（一）复习上一节内容（二）新课讲解：设a ＝，b ＝(1) a ±b ＝ 。
(2) a ＝ ．(3) a ·b ＝ ．(4) a ∥b ；a b ．（5）模长公式：若， 则． （6）夹角公式：．（7）两点间的距离公式：若，，则(8) 设 则＝ ， ． AB 的中点M 的坐标为 ． 例题分析：例1、（1）已知两个非零向量=（a 1，a 2，a 3），=（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ） A. ：||=：|| B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零实数k ，使=k（2）已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（）A. －3或1B.3或－1C. －3D.1（3）下列各组向量共面的是（ ）A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)解析：（1）D ；点拨：由共线向量定线易知；（2）A 点拨：由题知或；（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。
),,(321a a a ),,(321b b b λ⇔⊥⇔123(,,)a a a a =r 222123||a a a a a a =⋅=++r r r 112233222222123123cos ||||a b a b a b a ba b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++r rr r r r 111(,,)A x y z 222(,,)B x y z 2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-uuu r uuu r ),,(),,,(222111z y x B z y x A ==AB =AB a b a a b b a b a b a a b a b c a b c a b c a b c ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++024*******x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x ⎩⎨⎧=-=.1,4y x点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。
高中数学选修2-1第3章3.1.5空间向量运算的坐标表示课件人教A版
|a|= 12 + 32 + 52 = 35.
答案:(-1,0,6) 35
-6-
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
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(7)|a|= ������· ������ = (8)cos<a,b>=
������· ������ |������||������|
2 2 2 ������1 + ������2 + ������3 ;
=
������1 ������1+������2 ������2+������3 ������3
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重难聚焦
典例透析
1.空间向量的坐标运算 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3); (2)a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3); (3)λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R); (4)a· b=a1b1+a2b2+a3b3; (5)a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(b≠0,λ∈R); (6)a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0;
典例透析
空间向量的坐标运算 剖析:空间向量的加法、减法和数量积与平面向量类似,具有类 似的运算法则,学习中可类比推广.但能不能推广是难点所在,应抓住 空间向量的坐标表示这一根本去突破,即向量 a 在平面上是用唯一 确定的有序实数对表示,即 a=(x,y),在空间也是这样定义的.不同点 仅是向量在空间具有不同的表达形式,如在平面上,a=(x1,y1),|a|= 2 2 2 2 2 ������1 + ������1 ; 在空间中,a=(a1,a2,a3),|a|= ������1 + ������2 + ������3 . 但不论在平面还是在空间都有cos <a,b>=
高中数学人教A版选修2-1导学案设计：3.1.5--空间向量运算的坐标表示(学生版)
安阳县实验中学“四步教学法”导学案Anyangxian shiyan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean课题：3.1.5 空间向量运算的坐标表示 制单人： 审核人：高二数学组班级：________ 组名：________姓名：________ 时间：__一. 自主学习 1学习目标1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题.2学习指导一：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知：1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝2. 两个向量的夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ， 由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞， 又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ， 由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝ 试试：① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ， 即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 . 反思：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴ a //B. ⇔ a 与b 所成角是 ⇔ a 与b 的坐标关系为 ；⑵ a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为 ；3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的长度为：222211212()()()AB x x y y z z =-+-+-.4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的中点坐标为: .二. 合作交流1如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥..三.拓展延伸如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值.。
人教A版数学高二选修2-1学案3.1第5课时空间向量运算的坐标表示
第5课时空间向量运算的坐标表示[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P95～P97的内容，回答下列问题．(1)我们知道，向量a在平面上可用有序实数对(x，y)表示，在空间则可用有序实数组(x，y，z)表示．在平面向量中，若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则如何计算a＋b，a－b，λa，a·b，|a|和cos〈a，b〉？a∥b及a⊥b的充要条件是什么？提示：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(λa1，λa2)，a·b＝a1b1＋a2b2，|a|＝a21＋a22，cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22·b21＋b22.a∥b⇔a1b2＝a2b1，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.(2)在空间向量中，若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，你能类比平面向量计算a＋b，a－b，λa，a·b，|a|及cos〈a，b〉吗？a∥b及a⊥b的充要条件又是什么？提示：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，|a|＝a21＋a22＋a23，cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 2．归纳总结，核心必记(1)空间向量的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；②a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；③λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；④a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；⑤a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(b≠0，λ∈R)；⑥a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；⑦|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23；⑧cos〈a，b〉＝.(2)空间中向量的坐标及两点间的距离公式若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)则 ①＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)；②d AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＋（z 2－z 1）2．[问题思考](1)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，能否说“a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3”？为什么？提示：不能．当b 的三个坐标都不为0时，a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3才成立，否则有些分式无意义．(2)平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算法是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点： (1)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a＋b＝ ；a －b ＝ ；λa ＝ ；|a |＝ ； cos 〈a ，b 〉＝ ； (2)a ∥b 和a ⊥b 的充要条件是： ； (3)若A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则＝ ； ||＝ ．讲一讲1．已知O 为原点，A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为A (2，－4，1)，B (3，2，0)，C (－2，1，4)，D (6，3，2)，求满足下列条件的点P 的坐标．[尝试解答] ∵A (2，－4，1)，B (3，2，0)，C (－2，1，4)，D (6，3，2)， (1) ＝(3，2，0)－(－2，1，4)＝(5，1，－4)，∴＝2(5，1，－4)＝(10，2，－8)．∴点P 的坐标为(10，2，－8)． (2)设P (x ，y ，z )，则＝(x －2，y ＋4，z －1)， 又＝(1，6，－1)，＝(－8，－2，2)，∴3(－)＝3(9，8，－3)．∴(x －2，y ＋4，z －1)＝3(9，8，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝27，y ＋4＝24，z －1＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝29，y ＝20，z ＝－8，∴点P 的坐标为(29，20，－8)．向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．练一练1．已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1，4)，求：a ＋b ，a －b ，a ·b ，(2a )·(－b )，(a ＋b )·(a －b )．解：a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2，2)； a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2，0，－6)； a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a )·(－b )＝－2(a ·b )＝－2×(－7)＝14；(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.[思考] 若a ·b ＝0，则a 一定与b 垂直吗？反之，若a ⊥b ，一定有a ·b ＝0成立吗？ 名师指津：若a ·b ＝0，则a 与b 不一定垂直．当a 或b 为0时，a ·b ＝0；若a ⊥b ，则一定有a ·b ＝0成立．讲一讲2．已知向量a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4)，c ＝(2，x ，－4)． (1)判断a ，b 的位置关系； (2)若a ∥c ，求|c |；(3)若(a ＋2c )⊥(b ＋c )，求x 的值．[尝试解答] (1)因为a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4)，所以1－2＝2－4＝－24，即b ＝－2a .故a ∥b .(2)因为a ∥c ，所以12＝2x ＝－2－4，所以x ＝4.此时c ＝(2，4，－4)，故|c |＝22＋42＋（－4）2＝6.(3)由已知得a ＋2c ＝(5，2＋2x ，－10)，b ＋c ＝(0，x －4，0)． 因为(a ＋2c )⊥(b ＋c )，所以(a ＋2c )·(b ＋c )＝0， 即(2＋2x )(x －4)＝0，解得x ＝－1或x ＝4.解决空间向量垂直、平行问题的思路(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a ＝(x ，y ，z )． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a ∥b ，则引入参数λ，有a ＝λb ，再转化为方程组求解．(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的． 练一练2．已知a ＝(λ＋1，1，2)，b ＝(6，4μ－1，2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以分别是( ) A ．2，34 B ．－13，－12C ．－3，2D ．2，2 解析：选A 依题意，得λ＋16＝14μ－1＝22λ，解得λ＝2，μ＝34，或λ＝－3，μ＝－12. 3．若m ＝(2，－1，1)，n ＝(λ，5，1)，且m ⊥(m －n )，则λ＝________．解析：由已知得m －n ＝(2－λ，－6，0)．由m ·(m －n )＝0得，2(2－λ)＋6＋0＝0，所以λ＝5.答案：5讲一讲3．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 是DD 1、BD 、BB 1的中点． (1)求证：EF ⊥CF ；(2)求EF 与CG 所成角的余弦值； (3)求CE 的长．[尝试解答] 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则D (0，0，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C (0，1，0)，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，G ⎝⎛⎭⎫1，1，12. ∴＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12，＝⎝⎛⎭⎫12，－12，0，＝⎝⎛⎭⎫1，0，12，＝⎝⎛⎭⎫0，－1，12. (1)证明：∵·＝12×12＋12×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12×0＝0， ∴⊥，即EF ⊥CF .(2)∵·＝12×1＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×12＝14. ||＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝32，||＝12＋02＋⎝⎛⎭⎫122＝52，即EF 与CG 所成角的余弦值为1515. (3)|CE |＝||＝ 02＋（－1）2＋⎝⎛⎭⎫122＝52.在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．练一练4．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值；(3)求证：BN ⊥平面C 1MN .解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz .依题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)， ∴||＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)，(3)证明：依题意得A 1(1，0，2)，C 1(0，0，2)，B (0，1，0)，N (1，0，1)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，2.即BN ⊥C 1M ，BN ⊥C 1N ， 又C 1M ∩C 1N ＝C 1， ∴BN ⊥平面C 1MN .———————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————1．本节课的重点是空间向量的坐标运算及两向量平行、垂直的充要条件，难点是利用空间向量解决夹角和距离问题．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)空间向量的坐标运算，见讲1；(2)空间向量平行、垂直的充要条件及应用，见讲2；(3)利用向量的坐标运算解决夹角和距离问题，见讲3.3．本节课的易错点有两处：(1)利用a⊥b⇔a·b＝0时，易忽视a≠0且b≠0；(2)利用向量解决异面直线所成角的问题时，易忽视角的取值范围．在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况．4．运用向量坐标运算解决几何问题的方法：。
高中数学 3.5空间向量运算的坐标表示教案 新人教A版选修2-1
量运算的坐标表示教案 新人教A 版选修2-1一、向量在轴上的投影1．几个概念(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u ，AB 是轴u 上的有向线段，如果数λ满足=λ且当与轴u 同向时λ是正的，当与轴u 反向时λ是负的，那么数λ叫做轴u 上有向线段的值，记做AB ，即AB =λ。
设e 是与u 轴同方向的单位向量，则e λ=(2) 设A 、B 、C 是u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有+=(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a 和b ，任取空间一点O ，作a =OA ，b =，规定不超过π的AOB ∠称为向量a 和b 的夹角，记为),(b a ∧(4) 空间一点A 在轴u 上的投影：通过点A 作轴u 的垂直平面，该平面与轴u 的交点'A 叫做点A 在轴u 上的投影。
(5) 向量AB 在轴u 上的投影：设已知向量AB 的起点A 和终点B 在轴u 上的投影分别为点'A 和'B ，那么轴u 上的有向线段的值''B A 叫做向量在轴u 上的投影，记做j u Pr 。
2．投影定理性质1：向量在轴u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角ϕ的余弦：ϕPr AB j u =性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即 2121a a a a j j j u Pr Pr )(Pr +=+性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。
即a a j j u Pr )(Pr λλ=二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。
设a =21M M 是以),,(1111z y x M 为起点、),,(2222z y x M 为终点的向量，i 、j 、k 分别表示 图7－5沿x ，y ，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：)(1221x x M M -=i + )(12y y -j +)(12z z -k或 a = a x i + a y j + a z k上式称为向量a 按基本单位向量的分解式。
人教A版高中数学选修空间向量运算的坐标表示教案人教新课标A
课题： 3.1.5空间向量运算的坐标表示 第 课时 总序第 个教案课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日教学目标：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题． 批注教学重点：夹角公式、距离公式．教学难点：夹角公式、距离公式的应用． 教学用具： 多媒体，三角形 教学方法：启发式教学法 教学过程： 一、复习引入1. 向量的直角坐标运算法则：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++ 上述运算法则怎样证明呢？（将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入即可）2. 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．） 二、新课讲授⒈ 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，求这两个向量的模.｜a ｜＝222123a a a ++，｜b ｜＝222123b b b ++．这两个式子我们称为向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度． 2. 夹角公式推导：∵ a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞∴ 112233a b a b a b ++＝222123a a a ++·222123b b b ++·cos ＜a ,b ＞由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝112233222222123123a b a b a b a a ab b b++++++这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 同向；当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 反向； 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a ⊥b ．3. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则222211212()()()A B d x x y y z z =-+-+-、，其中A B d 、表示A 与B 两点间的距离．3. 练习：已知A (3,3,1)、B (1，0，5)，求：⑴线段AB 的中点坐标和长度；⑵到A 、B 两点距离相等的点(,,)P x y z 的坐标x 、y 、z 满足的条件． （答案：(2,32,3)；29；46870x y z +-+=） 说明：⑴中点坐标公式：1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ＝121212(,,)222x x y y z z +++；⑵中点p 的轨迹是线段AB 的垂直平分平面．在空间中，关于x 、y 、z 的三元一次方程的图形是平面．4. 出示例5：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111114A B B E D F ==，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．分析：如何建系？ → 点的坐标？ → 如何用向量运算求夹角？ → 变式：课本P 96、例65. 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．三.巩固练习作业：课本P97练习3题. 教学后记：。
高中数学人教A版选修2-1课件：3-1-5 空间向量运算的坐标表示
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
课前预习案
课堂探究案
(2)由 (1)知 ,������������ = =
3 5 35 - , ,4 2 4
1 ������������ 2
3 + ������������ 4
2 +������2 ������2+������2+������2 ������2 + ������ 1 2 3 1 2 3
;
(3)若 A(a1,b1,c 1),B(a2,b2,c2),则 A,B 两点间的距离为 dAB=|������������ |= (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 .
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
课前预习案
课堂探究案
探究一空间向量的坐标运算 【例1】 已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).
(1)求������������ + ������������, ������������-2������������, ������������ ·������������; (2)若点 M 满足������������ = ������������ + ������������ ,求点 M 的坐标; (3)若 p=������������,q= ������������,求(p+q)· (p-q).
1 2 3 4
分析：先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算 的坐标运算法则进行计算求解.
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
课前预习案
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安阳县实验中学“四步教学法”导学案
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课题：3.1.5 空间向量运算的坐标表示 制单人： 审核人：高二数学组
班级：________ 组名：________姓名：________ 时间：__
一. 自主学习 1学习目标
1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；
2. 会用这些公式解决有关问题.
2学习指导
一：空间向量坐标表示夹角和距离公式
问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知：
1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝
2. 两个向量的夹角公式：
设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ， 由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞， 又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ， 由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝ 试试：
① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ， 即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 . 反思：
设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则
⑴ a //B. ⇔ a 与b 所成角是 ⇔ a 与b 的坐标关系为 ；
⑵ a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为 ；
3. 两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的长度为：
222211212()()()AB x x y y z z =-+-+-.
4. 线段中点的坐标公式：
在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，
则线段AB 的中点坐标为: .
二. 合作交流
1如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．
2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.
.三.
拓展延伸
如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值.
()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为)
04x << D. 4x >1,1y = B. x 1。