高中数学《空间向量及其运算》公开课优秀教学设计
1.1.1+空间向量及其线性运算+教学设计-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
《1.1.1空间向量及其线性运算》教学设计一、教学内容解析《1.1空间向量及其运算》是人教A版《普通高中教科书·数学(选择性必修)》第一册(以下简称“教科书”) 第一章《空间向量与立体几何》的第一节内容，包括“空间向量及其线性运算”和“空间向量的数量积运算”两小节内容，其中第1课时“空间向量及其线性运算”要学习的核心知识有: 空间向量的概念;零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量、共面向量；空间向量的加法、减法以及数乘运算．这些核心知识是后续学习空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示、应用空间向量解决立体几何图形位置关系与度量关系的基石．二、学情分析在学习本节课内容之前，学生已在人教A版必修第二册中学习了《平面向量及其应用》和《立体几何初步》内容．大致了解了平面向量的基本研究思路与框架即“实际背景→基本概念→向量运算( 线性运算、数量积) →向量基本定理及坐标表示→向量的应用”，这也是研究和学习空间向量的基本研究思路．三、教学目标（1）了解空间向量的实际背景；理解空间向量及相关概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘运算；（2）经历由平面向量的概念、运算推广到空间向量的过程；通过空间向量加法结合律的证明体会维数增加对向量推广带来的变化；（3）在借助几何图形解释空间向量相关概念中进一步发展直观想象核心素养，领悟数形结合的思想方法，提升数学运算和逻辑推理能力; 从平面向量推广得到空间向量、空间向量问题转化为平面向量问题的过程中提升数学抽象素养，领悟类比、特殊与一般、转化与化归等思想.四、教学重难点重点: 空间向量及其相关概念，空间向量的线性运算；难点: 空间向量加法结合律的证明，空间向量的线性运算．五、教学策略分析本节课采用创设问题情境，设置问题链引导学生类比平面向量层层深入学习空间向量的概念、线性运算、运算律和位置关系等内容．学生通过自主探究、交流、师生互动等教学活动参与学习过程，突破学习中的难点和疑点．利用PPT等教学软件绘制图形、平移图形、展示图片，借助几何直观图形帮助学生分析和理解概念．六、教学过程设计1、情境引入如图所示，一只蚂蚁从A点出发，一直沿着棱爬行，先爬行到B点，再爬行到C点，那么它的实际位移是什么？若蚂蚁继续沿着棱从C点向上爬行到C1点，那么它的实际位移是什么？追问：位移在数学中可以用什么概念表示？这些向量是否位于同一平面？【设计意图】通过学生情境引入，引导学生回忆熟悉的平面向量，同时发现空间向量，感受到与平面向量的差异，进而激发学生的求知欲．师：通过平面向量及其应用的学习，我们知道平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，他们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系，可以通过平面向量运算得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决。
《空间向量的运算(2)》示范公开课教案【高中数学北师大】
《空间向量的运算(2)》教案1.经历由平面向量的运算和运算规则推广到空间向量的运算和运算规则的过程，体会从二维空间到三维空间的变化，培养学生迁移的能力；2.掌握空间向量的数量积运算．重点：空间向量的数量积运算．难点：空间向量的数量积的计算方法，几何意义，立体几何问题的转化．一、情境导入情境：上节课我们类比平面向量，把向量的概念及线性运算由平面向空间进行了推广，并用空间向量及其线性运算解决了一些立体几何问题．我们知道，平面向量除了线性运算以外，还有数量积运算．平面向量的数量积运算在研究角度、距离等几何问题时，有非常广泛的应用．今天我们就继续类比平面向量，来学习空间向量的数量积运算．设计意图：通过类比平面向量，引导学生进行思考，为讲解空间向量的数量积作铺垫．二、新知探究问题1：你还记得平面向量的数量积运算是怎么定义的吗？答案：两个非零平面向量a，b的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即：a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．追问1：什么是平面向量的夹角？答案：两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，作OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a，OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．规定0≤〈a，b〉≤π．追问2：你能类比平面向量，给出空间向量夹角的定义吗？答案：两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a，OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．◆教学目标◆教学重难点◆◆教学过程在此规定下，两个向量的夹角被唯一确定，并且〈a，b〉=〈b，a〉．当〈a，b〉=0时，向量a与b方向相同；当〈a，b〉=π时，向量a与b方向相反；当〈a，b〉=π2时，称向量a与b互相垂直，记作a⊥b．规定：零向量与任意向量垂直．问题2：能否类比平面向量，得到空间向量的数量积运算的定义呢？由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量数量积的定义和平面向量数量积的定义完全一致．即：已知两个非零向量a，b，把|a|·|b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b．a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．与平面向量类似，空间向量的数量积也是一个实数，容易得到以下结论：（1）cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|(a≠0，b≠0)；（2）|a|=√a·a；（3）a⊥b⇔ a·b=0．追问：向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？答案：与平面向量类似，空间向量的数量积运算也满足如下运算律：（1）交换律：a·b=b·a；（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c；（3）(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R)．【概念巩固】判断下列命题是否正确：（1）由a·b=0，可得a=0或b=0；（2）对于三个非零向量a，b，c，由a·b=a·c，可得到b=c；（3）对于两个非零向量a，b，由a·b=k，可得到a=kb 或b=ka．（4）对于向量a，b，c，有(a·b)·c=a·(b·c)．答案：（1）不一定，因为a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉=0，所以|a|=0或|b|=0或cos〈a，b〉=0．即a=0或b=0或a⊥b；（2）不一定，由a·b=a·c，有a·(b−c)=0，从而有b=c或a⊥(b−c)；（3）不能，向量没有除法运算；（4）不一定，两个向量的数量积为一个实数，(a·b)·c和a·(b·c)分别表示与向量c和向量a 共线的向量，它们不一定相等．即向量的数量积运算没有结合律．问题3：我们在平面向量中学习过投影向量的概念，你还记得什么是投影向量吗？能推广到空间向量中吗？答案：由于任意两个空间向量总能通过平移变成同一平面内的向量，因此平面向量的投影概念可以直接推广到空间中．已知两个非零向量a ·b ，在空间任取一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，过点B 作直线OA 的垂线，垂足为点B 1，称向量OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为向量b 在向量a 方向上的投影向量，其长度等于||b |cos 〈a ，b 〉|．当〈a ，b 〉为锐角时，|b |cos 〈a ，b 〉>0；当〈a ，b 〉为钝角时，|b |cos 〈a ，b 〉<0；当〈a ，b 〉=π2时，|b |cos 〈a ，b 〉=0． 若用a 0表示与向量a (a ≠0)同方向的单位向量，则向量b 在向量a 方向上的投影向量为OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|b |cos 〈a ，b 〉a 0．因此，称|b |cos 〈a ，b 〉为投影向量OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量，简称为向量b 在向量a 方向上的投影数量．结合空间向量数量积的定义可知：向量b 在向量a 方向上的投影数量为|b |cos 〈a ，b 〉=a·b|a |=a 0·b ．设计意图：类比平面向量，得出空间向量的数量积运算，进一步引导学生对空间向量数量积运算的运算律进行推广．三、应用举例例1：如图，已知单位正方体ABCD −A′B′C′D′，（1）指出向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别在CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量； （2）求向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在CB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量； （3）求向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量．解：（1）根据正方体的性质知：A′B ⊥CB ，A′D ⊥CD ，A′C′⊥CC′，所以向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量分别为：CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）因为〈CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=∠A′CB ，所以向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为： |CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠A′CB =|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1； （3）因为〈CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=π−∠A′CB ，所以向量CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为： |CA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos (π−∠A′CB )=−|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1． 例2：如图，已知四棱柱ABCD −A′B′C′D′的底面ABCD 是边长为1的菱形，且∠C′CB =∠C′CD =∠BCD =π3，DD′=2．求：（1）DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ；（2）DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )；（3）|CB⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |．解：（1）因为∠D′DA =∠C′CB =π3，所以DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠D′DA =1； （2）因为DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，而CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠C′CD =1， CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠C′CB =1， 所以DD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1−1=0； （3）|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ +CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =√CB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√11． 总结：空间向量数量积的计算问题的解题思路1．在几何体中求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；(3)代入a ·b =|a |·|b |cos 〈a ，b 〉求解．2．长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直关系或特殊角等．四、课堂练习1.（多选）设a ，b 为空间中的两个非零向量，则下列各式正确的是( )A ． a 2=|a |2B ．a·b a 2=b aC ．(a ·b )2=a 2·b 2D ．(a −b )2=a 2−2a ·b +b 22.已知|a |=3，|b |=2，a ·b =−3，则〈a ，b 〉=________．3.如图，在长方体ABCD −A′B′C′D′中，已知|AB |=5，|AD |=4，|AA′|=3，则向量AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗在DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为________，向量AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向的投影数量为________．参考答案：1．解：a·ba 2=|a ||b |cos 〈a ，b 〉|a ||a |=|b |cos 〈a ，b 〉|a |，故B 错误； (a ·b )2=(|a ||b |cos 〈a ，b 〉)2=|a |2|b |2cos 2〈a ，b 〉，故C 错误；本题选AD ．2.解：因为cos 〈a ，b 〉=a·b |a |·|b |=−33×2=−12．所以〈a ，b 〉=2π3．3.解：向量AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影数量为|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos (π−∠C′AD )=−|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−4， 向量AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向的投影数量为：|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠C′AA′=|AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3． 五、课堂小结说明：空间向量没有除法运算；空间向量的数量积不满足结合律.设计意图：引导学生对本节课所学知识方法有一个全面的认识，培养学生的归纳总结能力，帮助学生深化对知识的理解与掌握，体会研究解决实际问题的思路、途径、方法，为进一步学习打下坚实基础．六、布置作业教材第103页练习第2，3，4题．。
高三数学下册《空间向量及其应用》教案、教学设计
作业布置原则：
1.遵循适量、适度、分层原则，确保作业既能巩固知识点，又不过度增加学生负担。
2.关注学生个体差异，提供不同难度的题目，使每个学生都能得到充分锻炼。
3.强调作业的实践性和应用性，引导学生将所学知识运用到实际问题中。
4.通过空间向量的学习，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力，为后续学习线性代数等内容打下基础。
（二）过程与方法
1.通过引入实际问题，引导学生从几何角度认识空间向量，培养学生从实际问题中提炼数学问题的能力。
2.运用讲授、讨论、练习等多种教学方法，使学生掌握空间向量的基本概念和运算方法，提高学生的数学表达能力和逻辑思维能力。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在实践中掌握空间向量的应用，培养学生在解决空间几何问题时能够灵活运用空间向量的能力。
4.引导学生通过小组合作、探究学习等方式，发现空间向量在解决实际问题中的规律和方法，提高学生的自主学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习空间向量的积极性，使其在学习过程中体验数学的魅力。
2.学生在运用空间向量解决空间几何问题时，可能对运算规则和方法掌握不够熟练，需要通过大量练习和讲解来巩固和提升。
3.学生的空间想象力有限，对空间向量的应用可能存在一定的恐惧感，需要教师耐心引导和鼓励，帮助学生克服心理障碍。
4.部分学生对数学学科兴趣不足，对空间向量的学习积极性可能不高，教师应注重激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。
高三数学下册《空间向量及其应用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的坐标表示及其运算规律，能够运用空间向量求解空间几何问题。
高三数学下册《空间向量》教案、教学设计
接着，展示一个地球仪，提出另一个问题：“地球上的物体受到的重力可以看作是一个向量，那么如何用空间向量表示这个重力呢？”让学生在思考中感受到空间向量的重要性。在此基础上，正式引入本节课的主题——空间向量。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.空间向量的基本概念及其坐标表示。
2.空间向量的线性运算、点积和叉积运算。
3.空间向量在解决空间几何问题中的应用。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
（二）教学难点
1.空间向量与平面向量的区别和联系，帮助学生建立起空间向量的概念。
2.空间向量的坐标表示方法，特别是向量的线性运算在坐标形式下的表达。
3.学生对空间向量运算规律的掌握，尤其是点积和叉积的应用。
4.将空间向量应用于实际问题，提高学生学以致用的能力。
（三）教学设想
1.采用情境导入法，通过实际生活中的例子引入空间向量的概念，激发学生的兴趣和好奇心。
2.利用多媒体教学资源，如几何画板、实物模型等，帮助学生直观地理解空间向量的性质和运算。
3.设计具有梯度的问题和练习题，由浅入深地引导学生掌握空间向量的知识和方法，突破教学难点。
1.空间向量与平面向量的联系和区别是什么？
2.如何利用坐标表示空间向量，并进行线性运算？
3.点积和叉积在空间几何中有哪些应用？
讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入思考。讨论结束后，每组选取一名代表汇报讨论成果，分享小组的智慧。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。
2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。
二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。
2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。
(2) 向量减法：差向量、相反向量。
(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。
(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。
2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。
2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。
五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。
2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。
3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。
4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。
5. 第五课时：总结与拓展。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。
2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。
4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。
七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。
2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。
4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。
高中数学空间向量及其运算教案1 新人教A版选修2-1
第三章空间向量与立体几何教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：+==a +b ，OAOB AB -=（指向被减向量）， =OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.课堂练习课本P92练习Ⅳ.课时小结平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．Ⅴ.课后作业⒈课本P106 1、2、⒉预习课本P92～P96，预习提纲：⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？教学后记：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．四、教学过程：（一）复习：1．空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或a b．平行向量。
空间向量及其运算教案讲课教案.docx
第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算教学目标：知识与技能（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。
（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。
过程与方法（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。
（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。
（3）培养学生空间向量的应用意识情感态度与价值观通过本节课的学习，让学生在掌握知识的同时，体验发现数学的乐趣，从而激发学生努力学习的动力。
教学重点：（1）空间向量的有关概念；（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义；（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（ 1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。
（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。
课堂类型：新授课教学方法：研讨、探究、启发引导教学用具：多媒体教学过程：一、创设情境（老师）：以前我们学过平面向量，请问所有的向量都是平面向量吗？比如：长方体中的过同一点的三条边上的向量（老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？（学生）：这是三个向量不共面（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？（学生）：不能，得用空间向量（老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量精品文档板书：空间向量及其运算（老师） : 实际上空间向量我们随处可见，常见的高压电线及支架所在向量。
二、讲授新课（老师） : 接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量的知识。
（一）复习回顾平面向量的基本概念1.向量概念：在平面上既有大小又有方向的量叫向量；2.画法：用有向线段AB 画出来；3.表示方式：AB或a（用小写的字母表示）；4零向量：在平面中长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的；5.单位向量：在平面中模为 1 的向量称为单位向量；6.相反向量：在平面中长度相等，方向相反的两个向量，互称为相反向量；7.相等向量：在平面中方向相同且模相等的向量称为相等向量；（二）空间向量的基本概念（老师）：其实空间向量就是把向量放到空间中了，请同学们给空间向量下个定义，（学生）在空间中，既有大小又有方向的量（老师）：非常好，请大家类比平面向量得到空间向量的其他相关定义（提问学生）（学生）回答向量概念、画法、 .表示方式及零向量（零向量的方向是任意的）、单位向量、相反向量、相等向量的概念。
空间向量及其运算(优质课)教案
空间向量及其运算（优质课）教案教学目标：1 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.教学过程：1．空间向量的有关概念(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb ．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).规律方法：1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用OA→，OB→，OC→表示OG→，MG→等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．(2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．3.数量积的应用：(1)求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|，进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．类型一空间向量的线性运算例１：如图3-1-6,已知平行六面体ABCD A B C D''''-.求证:2.AC AB AD AC'''++=【解析】:由于在平行六面体中,每个面都是平行四边形,故可结合空间向量加法的平行四边形法则进行向量的运算,从而证明结论.【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形,,,AC AB AD AB AB AA ''∴=+=+.AD AD AA ''=+∴AC AB AD ''++()()()AB AD AB AA AD AA ''=+++++ 2().AB AD AA '=++又∵,,AA CC AD BC ''==,AB AD AA AB BC CC AC CC AC ''''∴++=++=+=2.AC AB AD AC '''∴++=练习１：如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA →1＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：AP →,A 1N →【答案】(1)AP →=a+c+2b ；(2)A 1N →=-a+b+2c练习2：【2015高考新课标2，理13】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12类型二 共线定理、共面定理的应用例2：射线AB 、AC 、AD 不共面,连结BC 、CD 、DB ,取AB 、BC 、CD 、DA 的中点E 、F 、G 、H ,如图3-1-20,试判断四边形EFGH 的图形形状,并用向量的方法证明.【答案】解法1:四边形EFGH 是平行四边形. ∵1()2EH EA AH BA AD =+=+=111,(),222BD FG FC CG BC CD BD =+=+=.EH FG ∴=∵E 点不在FG 上,∴EH ∥FG ,且EH =FG ,∴四边形EFGH 是平行四边形. 解法2:∵11(),22HG HD DG AD DC AC =+=+= 11(),22EF EB BF AB BC AC =+=+=∴.HG EF =又H 点不在EF 上, ∴HG ∥EF ,且HG =EF .∴四边形EFGH 是平行四边形.练习1：【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-,若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,),则n m -的值为______.【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 【答案】3-类型三 空间向量数量积的应用例3：已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． 【解析】（1）设AB =p,AC =q ，AD =r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN=AN -AM =12（AC +AD ）-12AB =12（q+r-p ）， ∴MN·AB =12（q+r-p ）·p =12（q ·p+r ·p-p 2）=12（a 2·cos60°+a 2·cos60°-a 2）=0. ∴MN ⊥AB,同理可证MN ⊥CD.（2）由（1）可知MN=12（q+r-p ） ∴|MN |2=MN 2=14（q+r-p ）2=14［q 2+r 2+p 2+2（q ·r-p ·q-r ·p ）］=14[a 2+a 2+a 2+2（22a -22a -22a ）=14×2a 2=22a . ∴|MN|=22a,∴MN 的长为22a. (3)解 设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r)，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r)·(q －12p) ＝12(q2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p)＝12(a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60°)＝22a . 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝22a . ∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.【答案】（1）见解析（2）MN a.（3）异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23练习1：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求BD →1与AC →夹角的余弦值．【答案】设AB =a,AD =b.1AA =cBD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1. ∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→|·|AC →|＝66.1．（2014·广东卷）已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0)C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)【答案】B 2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A3.在空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直【答案】B4.O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固（1）1．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．2【答案】D2.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B.12a 2C.14a 2 D.34a 2 【答案】C3．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能 【答案】B4．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( )A ．(4，0，3)B ．(3，1，3)C ．(1，2，3)D ．(2，1，3)【答案】B5.已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．【答案】60°6.已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．【答案】657能力提升（2）7.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．【答案】111244a b c ++ 8.A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．【答案】锐角9.已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c . (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．【答案】解 (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)， ∴c ＝mBC →＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )， ∴|c |＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m |＝3， ∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)． (2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)， ∴a ·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又∵|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容）➢教学内容解析：本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A 版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。
向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。
本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。
本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。
空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。
教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。
➢学情分析：1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基础。
2.学生在探究问题以及合作交流的意识等方面，发展不够均衡，尚有待加强，必须在教师一定的指导下才能进行。
➢教学目标：1.知识与技能目标：（1）了解空间向量的概念；（2）掌握空间向量的加减数乘运算；（3）掌握空间向量的运算律。
2.过程与方法目标：（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法；（2）会用图形说明空间向量加法，减法，数乘向量及它们的运算律；（3）用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题。
3.情感态度价值观目标：（1）形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点；（2）通过变式训练，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平。
➢教学重点：空间向量的线性运算；➢教学难点：体会类比的数学方法；（平面向量向空间向量的推广过程中学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难）OA BOABD➢教学策略：多媒体教学、问题式教学、讲授法、类比法、讨论法、自主学习、合作探究➢教学设计：1.教学结构设计2.教学过程设计➢（一）创设情境，导入新课国庆期间，某游客从上海世博园（O）游览结束后乘车到外滩（A）观赏黄浦江，然后抵达东方明珠（B）游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？图1图2如果游客还要登上东方明珠顶端（D）俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际发生的位移是什么？又如何表示呢？设计意图及效果评价：图1中的引入情境即为必修四中“平面向量”章节的引入情境，于学生而言，非常熟悉。
课堂上追问学生，若登顶东方明珠D又该如何表示，既贴近学生生活实际又自然将平面向量拓展到空间向量，既揭示了学习空间向量的必要性，又激发了学生的学习兴趣，也为后续空间向量的加法运算做了铺垫（尤其是在验证空间向量的加法结合律）。
课堂教学中，起到了很好的引入效果.➢(二)精读教材，概念类比a，AB向量的大小：a，AB方向相同且长度相等方向相反且长度相等的向量的向量设计意图及效果评价：学生对平面向量的知识结构已经比较了解，空间向量的知识结构和它有很多的相似性，与其再次由教师喋喋不休地重复，不如让学生自己去阅读、比较、辨别、思悟。
➢(三)跳出平面，明确概念给出以下命题：①两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；，则a=b；②若空间向量a和b满足a b③空间中任意两个单位向量必相等；④空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。
其中正确命题的个数是_______.设计意图及效果评价：此环节的设计，以题目形式出现，第一：让学生明确空间向量的基本概念和平面向量是一样的，让学生在不知不觉中“跳出平面，踏入空间”；第二：对于跟踪练习的第4个问题是下面在运算法则和运算律类比中非常重要的一个结论，高中阶段学习的向量是“自由向量”，所以任意两个空间向量都可以“平移”到同一个平面内，之所以没有单独拿出来作为思考进行，是因为想让学生在不知不觉中完成平面向量到空间向量的思维跨越，同时也自然衔接到下面的类比当中。
➢ (四)合作交流，运算类比ka （k 为正数，负数，零）问题三：运算律的类比平面向量a b b a +=+()()a b c a b c ++=++()a b a b λλλ+=+()()a a λμλμ=设计意图及效果评价：学生明确了任意两个空间向量都可以“平移”到同一个平面内的结论后，那么涉及两个空间向量的运算法则和运算律的问题，显而易见是可以平稳对接的，教学过程中让学生合作交流，相互倾听彼此的声音。
实际教学的小组讨论中出现疑义较多的还是关于加法结合律是否需要图形验证的问题，有的说需要有的说不需要，最后多数小组讨论确定的结果是不用进行验证，原因就是先算两个向量的和，这样这个“和向量”和另外一个向量的结合还是两个向量的问题，故此不用验证。
听上去很有道理，学生还都认可，其实仔细一想，他们犯了概念中“偷梁换柱”的错误，审题出错了。
学生说的是求空间三个向量和的问题，可是要是能够更顺理成章的进行运算，必须要保证加法结合律在空间依旧成立才是可以的。
接下来借助引例中的图2，让同桌二人分工协作，一个用图形求左边的向量，一个求右边的向量，很轻松的验证成功，同时让学生把两个图放到一起就看出了四面体这个空间几何体，又一次跳出平面，跨入了空间。
经历了结合律图形验证后，抛出任意三个不共面的向量和如何计算？利用平行六面体进行求和，再一次验证了结合律的正确性，同时又得到了第2个重要的结论：“三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。
”1B1AA 1➢ (五)独立思考，形成结论结论1：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量；结论2：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。
设计意图及效果评价：给学生一些消化的时间，归纳到个人知识体系中，也为后面题组训练打好铺垫。
➢ (六)题组巩固，深化理解题组1：如右图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： 1、1CB BA +； 2、112AC CB AA ++； 3、1AA AC CB --变题：1、112231n n OA A A A A A A -++++=_______________；2、11223n OA A A A A A O ++++=_______________。
题组2：如图，在长方体111OADB CA D B -中，3OA =，4OB =，2OC =，1OI OJ OK ===，点E ，F 分别是DB ，11D B 的中点。
设OI i =，OJ j =，OK k =，试用i ，j ，k 表示OE 和OF 。
变题：1、 点F 为11D B 的三等分点（靠近1B ），表示OF ？2、 点F 为11D B 的四等分点（靠近1B ），表示OF ？3、 点F 为11D B 的n 等分点（靠近1B ），表示OF ？拓展：若点F 是空间中任意一点，能否用i ，j ，k 表示？设计意图及效果评价：①题组一旨在帮助学生熟练空间向量的线性运算法则，并借助空间几何体增强学生对空间向量线性运算的直观感知；题组二表明向量OF可以用三个两两互相垂直的单位向量i，j，k线性表示，为后面学习空间向量基本定理以及正交分解和坐标表示作好铺垫；②课堂教学中先练后评，及时反馈。
题组二中的三个变题旨在让F动起来，依旧可以完成要求。
既体现了从特殊到一般的归纳推理，同时又加强了空间向量运算的直观感知（首尾相连，连首尾）。
继而推广为一般性的提问，若点F是空间任意一点，能否用用i，j，k表示向量OF？这样的教学不仅为后续知识学习作好铺垫，也指导学生学会在研究问题方法上进行迁移。
➢ (七)总结整理，提高认识1、学生总结（提示学生从知识和思想方法上进行总结梳理）2、教师总结（体现在板书的生成上，主要让学生明确本节课的体系，让学生明确研究问题的基本思路和方法）➢(八)布置作业，独立探究书面作业：课本第89页第1、2题；（必做）研究性学习：类比平面向量基本定理，你能得到空间向量平面定理吗？（从研究方法、研究过程和结论进行类比）3．板书设计本节课是空间向量及其运算的起始课，讲课老师创造性的使用教材，不拘泥于教材的框架，既把握了本节课的核心又为以后的学习打好了很好的铺垫。
尤其是整堂课主线清晰，板书生成的过程美轮美奂，有种看“美国大片”的感觉。
课堂上，学生验证空间向量运算法则（尤其是加法结合律）时，如何作图超出学生原有的认知基础，教学中讲课老师用引例的铺垫以及整个教学“跳出平面，踏入空间”的思维引领，“逼迫”学生突破原有的认知结构，构造四面体和平行六面体。
例题的处理，讲课老师坚持先练后评，将探究的机会还给学生；再请学生讲评，将交流的平台搭建起来；后由教师问，将前后知识串联起来，帮助学生完善知识建构。
整个课堂教学流畅自然，学生于不知不觉之中把向量知识从平面扩展到了空间，教学过程放手让学生主动探究发现，虽然是录像课作为讲课老师并没有提前熟悉学生，提前发学案，而是奉献了一场原汁原味的优质课堂，展现了讲课老师的讲课风采以及过人的课堂掌控能力。