人教版高中数学选修2-1 空间向量及其运算导学案
人教版高中数学选修2-1导学案第三章第一节空间向量及其运算练习
第三章第一节空间向量及其运算练习设计者：曾刚 审核者： 执教： 使用时间：学习目标1.掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；2.掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.________________________________________________________________________________ 自学探究③ 推论： l 为经过已知点零向量a 的直线，对空间的任意一点 ， .③推论：空间一点空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标＝ (1)在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为（ ）A ．0 B. 1 C. 2 D. 3(2)若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件(3)已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 (4)设k j i,,是一组正交基底， 32,2,a i j k b i j k =+-=-+则53a b ∙=（ ）A ．－15B ．－5C ．－3D ．－1 【技能提炼】1.如图，空间四边形OABC 中，,OA a OB b ==，OC c =，点M 在OA 上，且OM =2MA ,点N 为BC 的中点，则MN = .【变式1】如图，平行六面体''''ABCD A B C D -中，,AB a AD b ==，'AA c =,点,,P M N 分别是'''',,CA CD C D 的中点，点Q 在'CA 上，且'41CQ QA=,用基底,,a b c表示下列向量：⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .2. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，190,1,2,ABC CB CA AA ∠=︒===点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.【变式2】正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面边长为1，点M 是BC 的中点，在直线1CC 上求一点N ，使得1MN AB ⊥教师问题创生学生问题发现变式反馈1．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B =（ ） A. +-a b c B. -+a b c C. -++a b c D.-+-a b c 2.,,m a m b ⊥⊥(,n a b R λμλμλ=+∈向量且、0)μ≠则（ ）A ．//m nB ． m 与n 不平行也不垂直 C. m n ⊥， D ．以上情况都可能.*3. 已知空间三点A (1,1,1)、B (－1,0,4)、C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是____________．*4. 已知a ，b ，c 不共面，且m ＝3a ＋2b ＋c ，n ＝x (a －b )＋y (b －c )－2(c －a )，若m ∥n ，则x ＋y ＝__________________.*5. 已知点A (2,3，－1)，B (8，－2,4)，C (3,0,5)，是否存在实数x ，使AB →与AB →＋xAC →垂直？。
人教版高中数学选修2-1空间向量的数乘运算导学案
3.1.2 空间向量的数乘运算【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解观点，达成导学纲要；2．小组合作，着手实践。
【学习目标】1.掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【要点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题【难点】理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；一、自主学习1.预习教材P86~ P87, 解决以下问题复习 1：化简：⑴ 5（ 3a2b ） +4（ 2b3a ）；⑵ 6 a3b c a b c .复习 2：在平面上有两个向量a, b ，若 b 是非零向量，则 a 与 b 平行的充要条件是2.导学纲要1.空间随意两个向量有____种地点关系？怎样判断它们的地点关系？随意两个向量的夹角的范围是 ______________?2. 假如表示空间向量的_____________所在的直线相互或，则这些向量叫共线向量，也叫3.对空间随意两个向量a, b （ b0 ）， a // b 的充要条件是存在独一实数，使得______, 为什么要求b0 ？4.如图， l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的随意一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是5.对空间两个不共线向量a, b ，向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在，使得.6.空间一点 P 与不在同向来线上的三点A,B,C 共面的充要条件是：⑴ 存在，使⑵对空间随意一点O，有7.向量共面的充要条件的理解→→P 都在平面 MAB 内；反 （ 1） MP ＝ xMA ＋yMB .知足这个关系式的点之，平面 MAB 内的任一点 P 都知足这个关系式．这个充要条件常用以证 明四点共面．(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式， 即随意一个空间平面能够由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量能否共面的依照，又能够把已知共面条件转变为向量式，以便于应用向 量这一工具．此外，在很多状况下，能够用 “若存在有序实数组 (x ， y ， z)使得关于空间随意一点 →→→→O ，有 OB ＝ (1－ t)OA ＝ xOA ＋ yOB ＋ zOC ，且 x ＋ y ＋ z ＝ 1 建立，则 P 、 A 、 B 、 C 四点共面 ”作为判断空间中四个点共面的依 据． 二、典型例题例 1.1. 以下说法正确的选项是（）A. a 与非零向量 b 共线 , b 与 c 共线，则 a 与 c 共线B. 随意两个相等向量不必定共线C. 随意两个共线向量相等D. 若向量 a 与 b 共线，则 a b2. 正方体 ABCDA' B' C' D'中，点 E 是上底面 A'B'C 'D ' 的中心，若 BB ' xAD yAB zAA ' ,则 x ＝ ， ＝ ， ＝y z.3. 若点 P 是线段 AB 的中点，点 O 在直线 AB 外，则 OP OA +OB.4. 平行六面体 ABCD A'B'C'D ' , O为 A 1 C 与 B 1D 的交点,则1 ( AB AD AA ') AO3已知平行六面体 ABCD A'B'C'D' ，M 是 AC 与 BD5.交点，若AB a, ADb, AA 'c ，则与 B 'M 相等的向量是（）A.1 a 1b c ；B.1 a 1b c ；222 2C. 1a 1b c ； D. 1 a 1b c .2 2 2 26. 在以下命题中：①若 a 、b 共线，则 a 、 b 所在的直线平行；②若 a 、b 所 在的直线是异面直线，则 a 、 b 必定不共面；③若 a 、 b 、 c 三向量两两共面，则 a 、b 、 c 三向量必定也共面；④已知三向量 a 、 b 、c ，则空间随意一个向量 p 总能够独一表示为p ＝ x a ＋ y b ＋ z c ．此中正确命题的个数为 （ ） .A ． 0 B.1 C. 2D.37.以下等式中，使 M,A,B,C 四点共面的个数是（）① OM OA OB OC;② OM11 1 OC ;OA OB5 3 2③MA MB MC 0;④OM OA OB OC0 .A. 1B. 2C. 3D. 4例 2. 已知平行六面体ABCD A'B'C'D '，点M是棱AA'的中点，点G在对角线 A'C 上，且 CG:GA'=2:1,设CD=a CB b,CC'c，试用向量a,b,c ，表示向量 CA, CA' ,CM ,CG.变式：已知长方体 ABCD A'B 'C 'D ' ，M是对角线AC'中点，化简以下表达式：⑴AA'CB;⑵''''' AB B C C D⑶1AD1AB1A' A222例 3如图，已知平行四边形ABCD, 过平面 AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点 E,,F,G,H,并且使OE OF OG OHk,OA OB OC OD求证： E,F,G,H 四点共面 .变式：已知空间四边形ABCD 的四个极点A,B,C,D 不共面， E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F,G,H 四点共面 .AE HB DGFC三、变式训练：课本第89页练习1-3四、讲堂小结1．知识：2．数学思想、方法：3．能力：五、课后稳固1.课本第 97页 A 组 2 题2. 若 a 3m 2n 4 p,b ( x 1)m 8n 2 yp ，a 0 ，若 a //b ，务实数x, y .3.已知两个非零向量e1 , e2不共线 , AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 , AD 3e1 3e2 . 求证：A, B, C,D 共面．。
人教版高中数学选修2-1导学案第3章第1节空间向量及其运算
第三章第一节空间向量及其运算设计者：审核者： 执教： 使用时间:学习目标 1•了解空间向量的概念及其表示方法；2. 用类比的方法学习空间向量的性质；3. 会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律.自学探究问题1.平面向量的基本概念及表示方法是什么?问题2.平面向量的运算律是什么？【思维导航】(1 )平面向量的加法，减法的运算律是什么？(2)实数与向量的积的运算律是什么？(3 )平面向量的加法，数乘的交换律，结合律，分配律各是什么?问题3.类比平面向量的相关概念，表示及运算律，说出空间向量的概念，表示及运算律。
【试试】(1)空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变A Z-\ r~ — — 二二孑a. — —— —⑶ 点C 在线段AB 上，且 AC =5则AC =— AB ,BC = _____ AB . CB 2—问题4.空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ (1)加法交换律：a +b = b + a ；⑵加法结合律：（a + b ） +c =a + （ b + c ）； ⑶数乘分配律： 入（a + b ）=入 a + 入 b.为两个平面向量的加法和减法运算，右图中, (2)分别用平行四边形法则和三角形法则求 a b,a-b.a bOB 二 _____________【技能提炼】并标出化简结果的向量:1.已知平行六面体ABCD -A'B'C'D '(如图)，化简下列向量表达式, ⑴ AB BC ；⑵ AB AD AAA；彳彳⑶AB AD -CC'；⑷一(AB AD AA').2 2—工—■=■=■= ■=>【变式】在上图中，用AB, AD, AA'表示AC , BD'和DB'.【思考】类比平面向量的运算，你怎样在空间里去进行向量的运算？并与平面向量的运算相类比得出空间向量的相关运算方法•2 .化简下列各式：⑴ AB BC CA; ⑵ AB MB BO OM ; ⑶ AB 一AC BD 一CD;⑷ OA -0D _DC ;⑸ OA OC BO CO ; ⑹ AB _AD _DC ; ⑺ NQ QP MN - MP .【思考】怎么样去化简向量表达式教师问题创生学生问题发现变式反馈*1.已知向量a,b,c，则下列等式中错误的是()A. a (b c) = (a b) cB. a -(b - C) = (a - b) CC. (a-b) c-(a-b-c) =0D. (a-b) c -(a -b c) = 0*2.在空间四边形ABC［中, M G分别是BC CD的中点，贝U AB+—(BD + BC)等于()2A. ADB. GAC. AGD. MG*3.如图，在平行六面体ABC d ABGD中，设AB = a, AD二b, AA,= c, , E F分别是AD, BD中占I 八、、•—fc- —fc -b-(1)用向量a, b,c表示D1B, EF ;⑵化简：AB BB1 BC C1D1 2D1E.人教版高中数学选修2-1导学案。
人教A版选修2-1《空间向量的数量积运算》导学案
第三章第3课时 空间向量的数量积运算学习目标：1、 掌握空间向量夹角的概念及表示方法；2、 掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及简单应用。
3、体会空间问题平面化的数学思想。
预习案一、 教材助读，知识归纳：1、两个向量的夹角：平面向量的夹角定义：b a 两个非零向量，，O 在平面任取一点，OA=OB=b a 作，，b AOB a Ð则叫作，的夹角.取值范围：空间向量的夹角定义：取值范围：<a ®,b ®>=0时，a ®与b ®的方向 ；<a ®,b ®>= 时，a ®与b ®的方向 。
特别地：如果<a ®,b ®>= 则称a ®与b ®互相垂直，并记作 。
思考：对于空间任意两个非零向量a 、b，如何求出其夹角？2.两个向量的数量积平面向量的数量积b b cos b b a a a a 已知两个非零向量，，则，叫做，的数量积.空间向量的数量积变形式：cos<a ®,b ®>= 。
特别地：①零向量与任何向量的数量积为0，即0a ×=0 ②a a × =cos ,a a a a 狁= |a ®|2③0a b a b ^圩=3、空间向量数量积的运算律：①()a b l ×= （数乘的结合律） ②a b ?（交换律)③()a b c ?=（分配律）反馈练练习：1. 已知|a |=22，22b = ，a b × =-2，则a ，b 所夹的角为 。
2.判断正误1）0,=0=0.a b a b ?若则， （ ） 2）()()a b c a b c 鬃=鬃（ ） 3）()222p qp q ? （ ） 课堂探究案二、例题讲解，合作探究： 探究1.问题解决夹角问题例1.如图，在空间四边形ABCD 中，AC=3，AD=23，AB=2，CD=3，BAD=30AC=60B 邪邪，，（1）AD DC AC用、表示。
人教版高中选修2-1数学导学案：3.1.5空间向量运算的坐标表示
3.1.5 空间向量运算的坐标表示一、 学习目标1.掌握空间向量的坐标运算，会判定两个向量平行或垂直。
2.掌握模长公式，夹角公式，两点间距离公式，并会用这些公式解决有关问题。
二、预习案预习课本89页至91页，填写下列内容：1.坐标运算：（1）建立空间直角坐标系O xyz -，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量,,i j k ，则{,,}i j k 叫做 ，单位向量,,i j k 都叫做 ．（2）在空间直角坐标系中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj z k=++ ，有序实数组 叫作向量在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作 ．（3）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则_________________a b += ，_________________a b -= ，__________________a λ= ，___________________a b ⋅= 。
2.平行垂直的条件（1） //________________________a b ⇔ ，（2） ________________________a b ⊥⇔ ．3.向量夹角与长度的坐标计算公式（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则||______________a a ==，||________________b == ， cos ______________________||||a b a b a b ⋅⋅==⋅ ． 若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z 则__________________AB =||___________________________AB ==三、课中案例1 已知 a = (2，-1，-2) , b = (0，-1，4) 求：（1）a +b ；（2）a -b ；（3）a ·b ；（4）2a ·（-b ）；（5）（a +b ）·（a -b ）变式训练：已知O 为原点，A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为：A (2，－4,1)，B (3,2,0)，C (－2,1,4)，D (6,3,2)．求满足下列条件的点P 的坐标．(1)OP →＝2(AB →－AC →)；(2)AP →＝3(AB →－DC →)．例2 已知空间三点A(-2, 0, 2), B(-1, 1, 2) , C(-3, 0, 4)，设a =AB ，b =.（1）求 < a, b >（2）若向量 k a+b 与k a-2b 互相垂直，求k 的值.（3）若向量 k a+b 与k a-2b 共线，求k 的值.变式训练：已知a =(1, 5,-1)，b =(-2, 3, 5).（1）若向量 k a+b 与a-3b 互相平行，求k 的值.（2）若向量 k a+b 与a-3b 互相垂直，求k 的值.例3 已知空间三点A （0,2,3），B （-2,1,6）C （1，-1,5）（1）求以AB 、AC 为边的平行四边形的面积（2）求AC 在AB 上正投影的数量练习：在长方体1AC 中，底面ABCD 是边长是4的正方形，11C A 与11D B 交于点N ，1BC 与C B 1交于点M,且AM BN ⊥，建立空间直角坐标系1、求1AA 的长2、求〉〈1,cos AD当堂检测1.若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则（ ）A ./x =1，y =1 B. x =21，y =－21 C. /x =61，y =－23 D. x =－61，y =23 2./已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b互相垂直，则k 值是（ ） A.1 B./51 C.53 D./57 3.在ΔABC 中，已知AB ＝(2,4,0),＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝ .4.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C (0,0,2)，(1)若DB ∥AC ，DC ∥AB ，求点D 的坐标；(2)问是否存在实数x ，y ，使得AC ＝x AB ＋y BC 成立，若存在，求x 、y 的值．5.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO →、A 1B →的坐标．6.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，4111111B A F D E B ==，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．。
人教版高中选修2-1数学导学案：3.1.2空间向量的基本定理
3.1.2空间向量的基本定理
【学习目标】
1.知识目标：了解共线或平行向量的概念，向量与平面平行（共面）的意义，掌握他们的方法；
2.能力目标：理解共线向量定理，共面向量定理和空间向量分解定理，理解空间任一向量可以用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底，表示其他的向量。
【预习案】
1.共线向量定理：
2.共面向量定理：
证明：
3.空间向量分解定理：
证明：
【课中案】
OG
},,{,,,.2MG MN G BC OA ,.3表示向量试用基底设上，且在的中点，点，分别是对边中，已知空间四边形例c b a c OC b OB a OA GN N M OABC ===
=
例5
(A)1个 (B)2个
(C)3个 (D)4个
练习.在长方体1111ABCD A B C D ─中,2AB =,2BC =,
16AA =,且记AB a = ,AD b = ,1AA c = ,用a b c 、、表示
11,BD B C ;。
人教版选修2-1 3.1.3 空间向量的数量积运算导学案
《空间向量的数量积运算》导学案制作人王维审核高二数学组 2016-02-29【学习目标】1、理解空间向量夹角的概念及表示方法；2、理解空间向量数量积的概念、运算性质及运算律；3、通过探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题与解决问题的能力.【学习重点】空间向量数量积的概念、运算性质及运算律【学习难点】空间向量数量积的概念、运算性质及运算律的运用【预习导航】1、复习回顾：平面向量的数量积运算2、如何进行空间向量的数量积运算？【问题探究】探究活动一：两空间向量的夹角探究活动二：空间向量的数量积探究活动三：空间两个向量的数量积的性质探究活动四：空间向量的数量积满足的运算律【思考】如何运用空间向量的数量积运算处理有关问题？【应用训练】1、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.2、已知m，n是平面α内的两条相交直线，若ml⊥，nl⊥，求证：α⊥l. 【练习题】1、向量、之间的夹角为30，且3=，4=，则=∙__________，=2a__________，=2b__________，=-∙+)(2baba）（__________.2、已知22=22=，2=∙ba，试求向量a与b的夹角.【总结概括】本节课的收获：【分层作业】必做题：教材第98页习题第3,4题选做题：同步练习册课后作业提升习题。
人教版高中数学选修2-1空间向量运算的坐标表示导学案
3.1.4 空间向量运算的坐标表示【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解观点，达成导学纲要；2．小组合作，着手实践。
【学习目标】1.掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2.会用这些公式解决相关问题 .【要点】利用两个向量的基本公式解决立体几何中的问题．【难点】空间向量的基本公式的应用一、自主学习1 预习教材P95~ P97,解决以下问题复习 1 ：设在平面直角坐标系中，A (1,3)，B ( 1,2)，则线段︱AB ︱＝.复习 2：已知a3,2,5, b 1,5, 1 ，求：⑴ a＋ B.⑵ 3a－b；⑶ 6a.；⑷a·b.2.导学纲要1)向量的模：设 a＝(a1, a2, a3)，则｜ a｜＝2)两个向量的夹角公式：设 a＝(a1, a2, a3)，b＝( b1, b2,b3)，由向量数目积定义 a·b＝|a ||b|cos＜ a,b＞，又由向量数目积坐标运算公式：a· b＝，由此能够得出： cos＜a,b＞＝①当 cos＜a、b＞＝ 1 时，a与b所成角是；②当 cos＜a、b＞＝－ 1 时，a与b所成角是；③当 cos＜a、b＞＝ 0 时，a与b所成角是，即 a 与 b 的地点关系是，用切合表示为.④设 a＝( a1, a2, a3)， b＝(b1, b2,b3)，则⑴ a//b a 与 b 所成角是 a 与 b 的坐标关系为；⑵ a⊥ b a 与 b 的坐标关系为；3)两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点A( x1 , y1 , z1 ) ， B(x2 , y2 , z2 ) ，则线段AB 的长度为： _____________________.4)线段定比分点的坐标公式：（ 1）在空间直角坐标系中，已知点A(x1 , y1 , z1 ) ， B(x2 , y2 , z2 ) ，则线段 AB的中点坐标为 :.（ 2）在空间直角坐标系中，平面中的定比分点坐标公式能否合用？已知点A(x1 , y1 , z1 ) ， B(x2 , y2 , z2 ) ，且AP PB ,则P的坐标为：___________________.二、典型例题例1.1.若 a＝( a1,a2, a3)， b＝( b1, b2,b3)，则a1a2a3是 a // b 的（）b1b2b3A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C.充要条件D.既不充足又不不要条件2.已知 a2, 1,3, b4,2, x，且 a b ，则 x＝.3.已知 A 1,0,0 , B 0, 1,1, OA OB 与 OB 的夹角为120°，则的值为（）A.6B.6C.6D.6 6664.若 a x,2,0 ,b3,2x, x2，且 a,b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是（）A.x4B.4x0C.0x 4D.x 45.已知a1,2,y,b x,1,2，且 ( a2b) //(2 a b) ，则（）A.x 11 B. x14 , y, y312C.x2, yD.x1, y146.已知 a + b + c ＝0，| a |＝ 2，|b |＝3，| c |＝19 ，则向量 a 与 b 之间的夹角a,b为（）A ．30°B．45°C． 60° D ．以上都不对7.已知 a1,1,0 , b1,0,2 , 且 ka b 与2a b 相互垂直，则k的值是（）A. .1B.13D.7 5C.558.若 A(m＋ 1，n－ 1,3)， B. (2m,n,m－2n)， C(m＋ 3,n－3,9)三点共线，则m+n=例 2 如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中(1)点 E1 , F1分别是 A1B1 , C1 D1的一个四平分点，求 BE1与 DF1所成的角的余弦值．(2) B1E1 D1F1A1B1，求 BE1与 DF1所成角的余弦值．3例 3 在直三棱柱ABC—A1B1C1中， ABC 90 ,CB 1,CA 2, AA16 ,点 M 是CC1的中点，求证：AM BA1 .变式：正三棱柱 ABC— A1B1C1的侧棱长为 2，底面边长为 1，点 M 是BC的中点，在直线 CC1上求一点 N，使得 MN AB1三、拓展训练例 4 棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1、O2、O3分别是平面 A1B1C1D1、平面 BB1C1C、平面 ABCD 的中心．(1)求证： B1O3⊥ PA；(2)求异面直线PO3与 O1O2所成角的余弦值；(3)求 PO2的长．变式 ：直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1 的底面 △ ABC 中，CA ＝CB ＝ 1，∠ BCA ＝90°， AA 1＝ 2，N 是 AA 1 的中点．(1)求 BN 的长；(2)求 BA 1， B 1C 所成角的余弦值．四、变式训练： 课本第 97 页练习 1-3 题五、课后稳固1.课本第 98 页 A 组 5.6.7.8.9.10.11 题2..在棱长为 1 的正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中， E 、F 分别为 D 1D 、BD 的中点， G 在棱 CD 上，且 CG ＝ 1CD ，H 为 C 1G 的中点，4(1)求证： EF ⊥ B 1C ；(2)求 EF 与 C 1G 所成的角的余弦值；(3)求 FH 的长 .。
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3.1.1 空间向量及其运算
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题
【难点】会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
一、自主学习
1.预习教材P 84～ P 86, 解决下列问题
复习1：平面向量基本概念：
具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法.
复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：
1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.
2. 实数与向量的积：
实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：
(1)|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与b ；
当λ＜0时，λa 与b ；
当λ＝0时，λa ＝ .
3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？
加法交换律：a ＋b ＝b ＋a
加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）
数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 2.导学提纲
1.空间向量中的零向量，单位向量，相等向量分别如何表示：__________、_________、_____________.
2.分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +-.
a b
3.点C 在线段AB 上，且52
AC CB =,则AC = AB , BC = AB .
4.知识反思：可以发现平面向量和空间向量存在怎样的位置关系？
5.知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
二、典型例题
例1、（1）给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；
③在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，必有AC=11C A ;
④若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中假命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（2） 化简下列各式：
⑴ AB BC CA ++; ⑵;AB MB BO OM +++
⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --.
⑸ OA OC BO CO +++; ⑹ AB AD DC --;
⑺ NQ QP MN MP ++-.
例2. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
AB BC +⑴；
'AB AD AA ++⑵；
1'2
AB AD CC ++⑶ 1(')2
AB AD AA ++⑷．
变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB .
例3.在四面体ABCD 中，M 为BC 的中点，Q 为△BCD 的重心，设AB=b AC=c AD=d ，试用b ，c ，d 表示向量BD ，BC 、CD ，BM ，DM 和AQ
三、当堂练习
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;
B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;
C. 空间向量的减法满足结合律;
D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=.
2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简'''''AA A B A D ++=
3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）
A. 00a b =
B. 00a b =或00a b =-
C. 01a =
D. ∣0a ∣=∣0b ∣
4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+,则四边形是（ ）
A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 平行四边形
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
6.在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N 分别为BC ,B'C'的中点，化简下列式子：
⑴ AM + BN ⑵'A N －'MC + 'BB
四、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：3．能力：
五、课后巩固
1.完成书86页练习
2.课本第97页A组1题。