13-14II期中考试试题答案与评分标准

2013-2014II 概率论与数理统计期中考试试题答案与评分标准
1. （12分）在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%、35%、40%，并且在各自的产品里，不合格品各占5%、4%、2%。

问：（1）全部螺丝钉的不合格品率为多少？（2）若现在从产品中任取一件恰是不合格品，则该不合格品是甲厂生产的概率为多大？
答：设1A 表示“螺丝钉由甲台机器生产”，2A 表示“螺丝钉由乙台机器生产”， 3A 表示“螺丝钉由丙台机器生产”，B 表示“螺丝钉不合格”。

………（2分） （1）由全概率公式)()()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=……（3分） =0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0345； ………（2分） （2）由贝叶斯公式11()()
()()
P A P B A P A B P B =
………（3分）
0.250.05
0.3623190.0345
⨯=
= ………（2分）
2．（12分）随机变量X 的概率密度为
1,02,
()0,
.ax x f x +≤≤⎧=⎨
⎩其它 求（1）常数a ； （2）X 的分布函数)(x F ； （3）)31(<<X P
答：（1）因为
122)1()(2
=+=+=⎰⎰
∞∞
-a dx ax dx x f ， ………（3分）
所以2/1-=a . ………（1分）
（2）因为⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>≤<-≤=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<+-≤==
⎰⎰
∞
-.
2,1,20,4,0,0.2,120,)121(,
0,0)()(20x x x x x x x dt t x dt t f x F x x …
（5分） （3）因为X 为连续型随机变量，4
1
)4
1
1(1)1()3(}31{=
--=-=<<F F X P …（3分） 3. （10分）设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大于3 的概率.
答：X 的概率密度函数为 ……（3分）
设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 的次数”, 即 A ={ X >3 }. ………（2分）
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则
………（2分） 1,25,
()3
0,.x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 (){3}P A P X =>由于5312
d ,
33
x ==⎰
2~3,.3Y b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
因而有2
30
33222220
{2}11.23333327
P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-+-= ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ………（3分） 4．（20分）（1）设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨
⎧<<=其它
,
040,
8)(x x x f X ，求Y=2X+8的概率
密度。

（2）设随机变量)1,0(~U X ，求X
e
Y 2=的密度函数)(y f Y 。

解：（1） ⎰-∞-=-≤=≤+=≤=28
)()2
8
()82()()(y X Y dx x f y X P y X P y Y P y F …（5分）
⎪⎩⎪
⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<-<
-='--=.0168,328
0428
0,2
1
)28(
81)28)(28()(其它，
，其它，
，
，y y y y y y f y f X Y
…（5分）
（2）因)1,0(~U X ，故⎩
⎨⎧<<=其他；,0,
10,1)(x x f X ……………（1分）
1
ln 22202
0,1,
1(){}{ln }(),1,
21,.y X
Y X y F y P e y P X y f x dx y e y e <⎧⎪⎪
=≤=≤=≤<⎨⎪
⎪≥⎩⎰
……（5分） 21,1,2()'()0,.Y Y y e y f y F y others ⎧<<⎪⎪⎪
==⎨⎪⎪
⎪⎩
……………（4分）
5．(12分) 二维随机变量),(Y X 的联合分布律为
1
.03.02.01
2.01.01.001
01-Y X （1）求Y X ,的边缘分布律；（2）求)1(=+Y X P ；（3）Y X ,是否相互独立。

解：（1）3.02.01.0)1(=+=-=X P ，4.01.03.0}0{=+==X P ，……（2分）
3.01.02.0}1{=+==X P ，
4
.02.01.01.0}0{=++==Y P ，
6.01.03.02.0}1{=++==Y P ………………………（3分）
（2）5.0}0,1{}1,0{)1(===+====+Y X P Y X P Y X
P ………………（4分）
（3）因为}0{}0{1.0}0,0{==≠===Y P X P Y X P ，Y X ,不相互独立………（3分）
6.(22分)设(X ,Y )的概率密度是(1),01,0(,)0,Ay x x y x
f x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩
其它 ,
求 (1) A 的值;(2) 两个边缘密度; (3) X 与Y 是否相互独立?(4)条件概率密度()
|Y X f y x . 解：(1)()()2
112
30
1,1()242R x
f x y A dx Ay x dy x x dx A dxdy =-=-==
⎰⎰
⎰⎰⎰……（3分）
所以 A =24. ……（1分） （2）()()()2121,01,
,0,
X x x x f x f x y dy +∞-∞
⎧-≤≤=
=⎨
⎩⎰
其它. ……（5分） ()()()2
241,01,
,0,
Y y y y f y f x y dx +∞-∞
⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰
其它. ……（5分）
（3）因为()()(),X Y f x y f x f y ≠⋅所以不独立. ……（3分）
(4)因为24(1),01,0(,)0,y x x y x
f x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它,()2121,01()0,X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其它
所以对0<x<1，()()()|22,
0,
0,
,Y X X y x y x f x y f y x f x =
⎧<<=⎨⎩其它.
……（5分） 7．（12分）设系统L 由两个相互独立的子系统1L 和2L 连接而成，其寿命分别为X 和Y ，
已知它们的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(x x e x f x X 和⎩⎨⎧≤>=-.
0,0,0,2)(2y y e y f y Y 分别求:
（1）子系统1L 和2L 串联时；（2）子系统1L 和2L 并联时系统L 的寿命Z 的概率密度。

解：X 和Y 的分布函数分别为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x X 和⎩⎨⎧≤>-=-.
0,0,
0,1)(2y y e y F y Y ……（4分）
（1）串联时},min{Y X Z =，其分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.
0,0,
0,1)(3min z z e z F z ,
所以概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,
0,3)(3min z z e z f z ………………………………………………（4分）
（2）并联时},max{Y X Z =，其分布函数为⎩⎨⎧≤>--=--.0,0,
0),1)(1()(2max z z e e z F z z ,
所以概率密度为⎩⎨⎧≤>-+=---.
0,0,
0,32)(32max z z e e e z f z z z ………………（4分）。