数学人教版九年级下册作平行线构造A型和X型
新人教版九年级下册数学课件：平行线分线段成比例
一、相似三角形
相似三角形 相似三角形的判定
平行线分线段成比例
∽ △A′B′C′. 1.记法:△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC 2.判定:在△ABC 与△A′B′C′中,如果∠A= ∠A′ ,∠B= ∠B′ ,∠C= ∠C′ ,且
AB AB
=
BC BC
【导学探究】 1.由DE∥BC可得,△ADE∽
2.由△ADE∽△ABC 可得
△ABC
DE
,△ADG∽
△ABH .
AD = AB
AD = AB BCຫໍສະໝຸດ .由△ADG∽△ABH 可得
AG
AH
.
解:因为 DE∥BC, 所以△ADE∽△ABC,△ADG∽△ABH, 所以 所以
AD DE AD AG = , = , AB BC AB AH DE AG = , BC AH
(A) (C)
AD 1 = AB 2 AD 1 = EC 2
)B
(B) (D)
AE 1 = EC 2 DE 1 = BC 2
2.(2017 临沂)已知 AB∥CD,AD 与 BC 相交于点 O.若
BO 2 = ,AD=10,则 AO= OC 3
4
.
3.(2017长春)如图,直线a∥b∥c,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F.若 6. AB∶BC=1∶2,DE=3,则EF的长为
OE 2.由 l1∥l2 得 = OD
解:(2)因为 l1∥l2,所以
OB OA
OE OB = , OD OA
.
因为 OD=30,OE=12,OB=10, 所以 OA=
OB OD 10 30 = =25, OE 12
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为人教版九年级数学下册第27章第2节第1课时，主要学习相似三角形的判定——平行线分线段成比例定理。该定理是初中学段几何知识的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。
在课程开始之前，学生已经掌握了相似三角形的概念、性质以及判定方法。在此基础上，通过引入平行线分线段成比例定理，使学生能够更深入地理解相似三角形的本质，提高解题技能。
2.问题提出：在此过程中，我会提出问题：“如果给你一个建筑设计图，你如何判断窗户的布局是否合理？”从而引出本节课的主题——相似三角形的判定。
3.情景创设：利用多媒体手段，展示两个相似的三角形，让学生直观地感受相似三角形的特征，为学习平行线分线段成比例定理做好铺垫。
（二）讲授新知
1.平行线分线段成比例定理：我会用生动的语言和形象的比喻，讲解平行线分线段成比例定理的含义，让学生理解并掌握定理。
本节课的内容与实际生活密切相关，便于学生感知数学与生活的紧密联系。同时，通过探讨平行线分线段成比例定理的证明过程，激发学生的探究欲望，培养其创新精神及合作意识。
在教学过程中，我将以生动形象的语言、贴近实际的生活实例，引导学生掌握平行线分线段成比例定理，并能够运用该定理解决实际问题。从而使学生在轻松愉快的氛围中，提高数学素养，感受数学之美。
2.讨论过程：在讨论过程中，我会引导学生关注相似三角形的性质和判定方法，鼓励学生提出自己的观点，培养其批判性思维。
3.成果分享：每个小组选派一名代表，向全班同学分享讨论成果，让大家在交流中共同进步。
（四）总比例定理在判断相似三角形中的重要性，使学生巩固所学知识。
5.教学策略的运用：运用情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高其数学素养。
部审人教版九年级数学下册教学设计27.2.1 第1课时《平行线分线段成比例》
部审人教版九年级数学下册教学设计27.2.1 第1课时《平行线分线段成比例》一. 教材分析人教版九年级数学下册第27.2.1节《平行线分线段成比例》是初中数学的重要内容，主要讲述了在两平行线之间，如果一条直线截取了这两条平行线之间的线段，那么被截得的线段长度之比等于这两条平行线之间的距离之比。
这部分内容是学生学习几何中的重要基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对平行线、线段等概念有一定的理解。
但是，对于如何运用这些基础知识来解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行线分线段成比例的定理及应用。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作和探究精神。
四. 教学重难点1.重点：平行线分线段成比例的定理及应用。
2.难点：如何灵活运用平行线分线段成比例定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动探究、发现规律，培养学生的逻辑思维能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片，用于导入和讲解。
2.准备练习题和拓展题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例或图片，引导学生关注平行线分线段成比例的现象，激发学生的学习兴趣。
例如，展示两栋楼之间的道路，让学生观察道路两侧的树木是否按照一定的比例生长。
2.呈现（10分钟）讲解平行线分线段成比例的定理，并通过几何图形进行展示。
引导学生理解定理的含义，并学会如何运用定理。
3.操练（10分钟）让学生进行一些相关的练习题，巩固对平行线分线段成比例定理的理解。
人教版2019-2020年九年级数学下册教案 27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例
27.2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．了解相似比的定义；(重点)2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似；(重点)3．应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题．(难点)一、情境导入如图，在△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似．二、合作探究探究点一：相似三角形的有关概念如图所示，已知△OAC ∽△OBD ，且OA ＝4，AC ＝2，OB ＝2，∠C ＝∠D ，求：(1)△OAC 和△OBD 的相似比；(2)BD 的长．解析：(1)由△OAC ∽△OBD 及∠C ＝∠D ，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD 的长．解：(1)∵△OAC ∽△OBD ，∠C ＝∠D ，∴线段OA 与线段OB 是对应边，则△OAC 与△OBD 的相似比为OA OB ＝42＝21； (2)∵△OAC ∽△OBD ，∴AC BD ＝OA OB ，∴BD ＝AC ·OB OA ＝2×24＝1. 方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题探究点二：平行线分线段成比例定理【类型一】 平行线分线段成比例的基本事实如图，直线l1、l2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，直线l 4、l 5交于点O ，且l 1∥l 2∥l 3，已知EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24.(1)求CB AB的值； (2)求AB 的长．解析：(1)根据l 1∥l 2∥l 3推出CB AB ＝EF DE ；(2)根据l 1∥l 2∥l 3，推出EF DF ＝BC AC ＝58，代入AC ＝24求出BC 即可求出AB .解：(1)∵l 1∥l 2∥l 3，∴CB AB ＝EF DE .又∵DF ∶DF ＝5∶8，∴EF ∶DE ＝5∶3，∴CB AB ＝53； (2)∵l 1∥l 2∥l 3，EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24，∴EF DF ＝BC AC ＝58，∴BC ＝15，∴AB ＝AC －BC ＝24－15＝9. 方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题【类型二】 平行线分线段成比例的基本事实的推论如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝2，BD ＝5，AC ＝5，求AE 的长．解析：根据DE ∥BC 得到AD AB ＝AE AC，然后根据比例的性质可计算出AE 的长． 解：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，即22＋5＝AE 5，∴AE ＝107. 方法总结：解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点三：相似三角形的引理【类型一】 利用相似三角形的引理判定三角形相似如图，在▱ABCD 中，E 为AB 延长线上的一点，AB ＝3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．解析：由平行四边形的性质可得：BC ∥AD ，AB ∥CD ，进而可得△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，再进一步求解即可．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，AB ∥CD ，∴△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，∴△DFC ∽△EDA ，∵AB ＝3BE ，∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4.方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】 利用相似三角形的引理求线段的长如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AD 与BC 相交于点O .(1)如果CE ＝3，EB ＝9，DF ＝2，求AD 的长；(2)如果BO ∶OE ∶EC ＝2∶4∶3，AB ＝3，求CD 的长．解析：(1)根据平行线分线段成比例可求得AF ＝6，则AD ＝AF ＋FD ＝8；(2)根据平行线AB ∥CD 分线段成比例知BO ∶OE ＝AB ∶EF ，结合已知条件求得EF ＝6；同理由EF ∥CD 推知EF 与CD 之间的数量关系，从而求得CD ＝10.5.解：(1)∵CE ＝3，EB ＝9，∴BC ＝CE ＋EB ＝12.∵AB ∥EF ，∴FO AF ＝EO EB ，则FO EO ＝AF EB .又∵EF ∥CD ，∴FO FD＝EO EC ，则FO EO ＝FD EC ，∴AF EB ＝FD EC ，即AF 9＝23，∴AF ＝6，∴AD ＝AF ＋FD ＝6＋2＝8，即AD 的长是8； (2)∵AB ∥CD ，∴BO ∶OE ＝AB ∶EF .又∵BO ∶OE ＝2∶4，AB ＝3，∴EF ＝6.∵EF ∥CD ，∴OE OC ＝EF CD.又∵OE ∶EC ＝4∶3，∴OE OC ＝47，∴EF CD ＝47，∴CD ＝74EF ＝10.5，即CD 的长是10.5. 方法总结：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论一定要找准对应线段，以防解答错误．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题三、板书设计1．相似三角形的定义及有关概念；2．平行线分线段成比例定理及推论；3．相似三角形的引理．本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者．鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充．教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.。
部审人教版九年级数学下册说课稿27.2.1 第1课时《平行线分线段成比例》
部审人教版九年级数学下册说课稿27.2.1 第1课时《平行线分线段成比例》一. 教材分析《平行线分线段成比例》是人教版九年级数学下册第27.2.1节的内容，本节课主要介绍了平行线分线段成比例的定理及其应用。
教材通过生活中的实例引入平行线分线段成比例的概念，让学生感受数学与生活的紧密联系。
紧接着，教材引导学生通过观察、思考、探索，发现平行线分线段成比例的规律，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
最后，教材提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平行线、线段等概念有一定的了解。
但是，对于平行线分线段成比例的定理及其应用，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生建立知识间的联系，激发学生的学习兴趣，帮助学生理解和掌握平行线分线段成比例的定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平行线分线段成比例的定理，并能运用定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探索，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系，培养学生的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平行线分线段成比例的定理及其应用。
2.教学难点：平行线分线段成比例定理的发现和证明。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，帮助学生形象直观地理解平行线分线段成比例的定理。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活中的实例，引导学生关注平行线分线段成比例的现象，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：学生进行观察、思考、探索，引导学生发现平行线分线段成比例的规律，进而得出定理。
3.讲解与演示：对平行线分线段成比例的定理进行详细讲解，利用多媒体课件和实物模型进行演示，帮助学生理解定理。
人教版数学九年级下册平行线分线段成比例课件
例4 如图，F是 ABCD的边CD上一点，连接BF， 并延长BF交AD的延长线于点E.求证：D E D F .
AE DC
E
D
C
F
A
B
解析: 先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥
连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB＝15， 10
则EF＝____3 ____．
归纳新知
1 知识小结
平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的 功能外，还可以分线段成比例，而利用平行线 得线 段成比例的基本思路是： (1)善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形： “ 型”或“ 型”，得到相应的比例式； (2)平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助 线，
石看纹理山看脉，人看志气树看材。
强行者有志。
三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。
治天下者必先立其志。
母鸡的理想不过是一把糠。
贫穷是一切艺术职业的母亲。
志不立，如无舵这舟，无衔之马，漂荡奔逸，终亦何所底乎。
合作探究
知识点 1 相似三角形
1. 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形 叫相似多边形
2. 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三 角形叫相似三角形
人教版数学九年级下册
本题是证明等积式的典型题.
一般从分点或中点出发作平行线．
间的关系，即平行线分线段成比例．
【中考·扬州】如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．
第二十七章 若线段AB＝4 cm，则线段BC＝________.
九年级数学下册《第二十七章-平行线分线段成比例》练习题附答案解析-人教版
九年级数学下册《第二十七章 平行线分线段成比例》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．如图，在ABCD 中AB=10，AD=6，E 是AD 的中点，在CD 上取一点F ，使CBF ∽ABE △，则DF 的长是（ ）A ．8.2 B．6.4 C ．5 D ．1.82．如图，在ABC 中DE ∥BC ，57AD AB 记ADE 的面积为s 1，四边形DBCE 的面积为s 2，则12s s 的值是（ ）A ．57B ．2549C ．2425D ．25243．如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 是它们的位似中心，其中OD =2OA ，△ABC 的周长为10，则△DEF 的周长是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．904．如图，在ABC 中D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且∥DE BC ，连接CD ，过点E 作EF CD ∥，交AB 于点F ，则下列比例式不成立的是（ ）A ．AF AD AD AB = B ．EF DE CD BC = C ．AF AD FD BD = D ．AF EF FD BC= 5．如图，直线123l l l ∥∥，直线a ，b 与1l ，2l 和3l 分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．若:2:3AB BC =和10DF = 则DE 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，点E 是AD 的中点，连接BE 并延长交AC 于点F ，则AF ：FC ＝（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：57．如图，两条直线被第三条平行所截，则DE 的长为（ ）A ．4.2B ．3.2C ．4D ．3.68．如图，四边形ABCD 中P 为对角线BD 上一点，过点P 作//PE AB ，交AD 于点E ，过点P 作//PF CD 交BC 于点F ，则下列所给的结论中不一定正确的是（ ）．A ．PE PF AB CD = B ．AE BF DE CF =C ．1CF AE BC AD += D ．1PE PF AB CD+= 9．如图，在菱形ABCD 中点E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE ＝2AE ，DF ＝2CF ，点G ，H 分别是AC 的三等分点，则S 四边形EHFG ÷S 菱形ABCD 的值为（ ）A ．19B ．16C ．13D ．29二、填空题10．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AD ：AF =3：5，BC =6，则CE 的长为______．11．已知ABC ∽A B C '''，分别为ABC 与A B C '''的中线，下列结论中：①:4:3AD A D ''=；②ABD △∽A B D '''△；③ABD △∽A B C '''；④ABC 与A B C ''''对应边上的高之比为4:3．其中结论正确的序号是______．12．如图，△ABC中DE∥BC，G为BC上一点，连结AG交DE于点F，若AF＝2，AG＝6，EC＝5，则AC＝________．13．如图，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3则DF＝___．三、解答题14．如图在△ABC中D为AB边上一点，且△CBD∽△ACD．(1)求∠ADC度数；(2)如果AC＝4，BD＝6，求CD的长．15．如图，在△ABC中点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DF∥AC，EF∥AB．(1)求证：△BDF ∽△FEC ．(2)设12AE EC =． ①若BC ＝15，求线段BF 的长；②若△FEC 的面积是16，求△ABC 的面积．16．(1)[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC 中90ACB ∠=︒，将ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为______；(2)[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC 中将ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AM BM 的值； (3)[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC 中将ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B '处，折痕为CM ．求线段AC 的长； 参考答案与解析1．A【分析】E 是AD 的中点可求得AE ，根据三角形相似的性质可得CF BC AE BA=，可得CF 的长即可求解． 【详解】解：∵E 是AD 的中点，6AD =∴132AE AD == 又∵CBF ∽ABE △CF BC AE BA ∴=，即6310CF =解得 1.8CF =10 1.88.2DF DC CF ∴=-=-=故选：A ．【点睛】本题考查了三角形相似的性质，掌握三角形相似的性质对应边的比相等是解题的关键．2．D【分析】根据ADE ABC ∆∆∽，通过相似三角形的面积等于相似比的平方，求出ABC ∆与ADE ∆的面积比，再根据21ABC S S S =-得到12s s 的值． 【详解】解：∵DE ∥BC∴ADE ABC ∆∆∽ ∴22549ADE ABC AD A S S B ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴14925ABC S S ∆= ∵21ABC S S S =- ∴212425S S = ∴122524S S =故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积等于相似比的平方．3．A【分析】利用位似的性质得△ABC ∽△DEF ，OD =2OA ，然后根据相似三角形的性质解决问题【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．∴△ABC ∽△DEF ，OD =2OA∴△ABC 与△DEF 的周长比是：1：2．∴△ABC 的周长为10，则△DEF 的周长是20故选：A ．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．4．D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质可求解．∴成立的是ABC ，不成立的是D故选：D.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．5．C【分析】根据平行线分线段定理得到::AB BC DE EF =，设2DE x =，根据10DF =，列方程求解即可．【详解】解：∵123l l l ∥∥∴::2:3AB BC DE EF ==设2DE x =，则3EF x =∵10DF =∴2310x x +=，解得2x =∴4DE =故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段定理，熟练掌握平行线分线段定理是解答本题的关键．6．A【分析】作DH ∥AC 交BF 于H ，如图，先证明△EDH ≌△EAF 得到DH ＝AF ，然后判断DH 为△BCF 的中位线，从而得到CF ＝2DH ．【详解】解：作DH ∥AC 交BF 于H ，如图∵DH ∥AF∴∠EDH ＝∠EAF ，∠EHD ＝∠EFA∵DE ＝AE∴△EDH ≌△EAF （AAS ）∴DH ＝AF∵点D 为BC 的中点，DH ∥CF∴DH 为△BCF 的中位线∴CF ＝2DH ＝2AF∴AF ：FC ＝1：2故选：A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．7．D 【分析】根据平行线分线段成比例得到AB DE AC DF =，将数据代入即可求出答案． 【详解】解：////AD BE CF ∴AB DE AC DF= 4AB =，6BC =和9DF =∴4610AC AB BC =+=+= ∴4109DE = ∴ 3.6DE =．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．8．A【分析】根据//PE AB ，可证△EPD ∽△ABD ，△BFP ∽△BCD ，即可判断A ；由//PE AB ，//PF CD 可得AE BP ED PD = BF BP FC PD =可判断B ；由//PE AB ，//PF CD 可得AE BP AD BD =，FC PD BC BD= 可判断C ，由 //PE AB ，可证△EPD ∽△ABD ，△BFP ∽△BCD ，可判定D ．【详解】解：A ．∵//PE AB∴∠DEP =∠A ，∠DPE =∠DBA∴△EPD ∽△ABD∴ EP DPAB DB =∵//PF CD∴∠BPF =∠BDC ，∠BFP =∠C∴△BFP ∽△BCD∴ PF BPCD DB = ∵DPBPDB DB ≠ ∴PEPFAB CD ≠故选项A 不正确；B ．∵//PE AB //PF CD ∴AEBP ED PD = BFBPFC PD = ∴AE BFDE CF =故选项B 正确；C ．∵//PE AB //PF CD ∴AE BP AD BD = FCPDBC BD = ∴1AEFCBPPDAD BC BD BD +=+=故选项C 正确1CFAEBC AD +=D ．∵//PE AB∴∠DEP =∠A ，∠DPE =∠DBA∴△EPD ∽△ABD∴ EP DPAB DB =∵//PF CD∴∠BPF =∠BDC ，∠BFP =∠C∴△BFP ∽△BCD∴ PF BPCD DB =∴ 1EP PF DP PB DP PB AB CD DB BD BD ++=+==故选项D 正确．故选择A ．【点睛】本题考查平行线截线段比例，和三角形相似判定与性质，掌握平行线截线段长比例，和三角形相似判定与性质是解题关键．9．A【分析】由题意可证EG ∥BC ，EG ＝2，HF ∥AD ，HF ＝2，可得四边形EHFG 为平行四边形，即可求解．【详解】解：∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ∴12AE BC = 12CF DF = ∵G 、H 分别是AC 的三等分点 ∴12AG GC =12CH AH = ∴AE AG BE GC = ∴EG ∥BC ∴13EG AE BC AB == 同理可得HF ∥AD ，13HF AD = ∴111339EHFGABCD S S =⨯=四边形菱形故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，由题意可证EG ∥BC ，HF ∥AD 是本题的关键．10．4【分析】由AB CD EF ∥∥，推出AD BC AF BE =，推出365BE=，可得结论． 【详解】∵AB CD EF ∥∥ ∴AD BC AF BE = ∴365BE = ∴BE =10∴CE =BE -BD =10-6=4故答案为：4．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．11．①②④【分析】根据相似三角形的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：∵ABC ∽A B C '''，AD 、A D ''分别为ABC 与A B C '''的中线 ∴4''''3AB AD A B A D ==，故①正确； ∵'B B ∠=∠ 121''''''''2BC BD BC AB B D B C A B B C === ∴ABD △∽A B D '''△，故②正确；∴ABC 与A B C '''对应边上的高之比为4:3，故④正确；而ABD △与A B C '''不相似，故③错误；∴正确的结论有：①②④；故答案为：①②④.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应中线，对应边上的高的比等于相似比.12．7.5【分析】由DE ∥BC ，得AF AE AG AC=，代入已知量即可求得答案． 【详解】解：∵DE ∥BC ∴AF AE AG AC = ∵AE ＝AC －EC ＝AC －5，AF ＝2，AG ＝6 ∴256AC AC -= 解得AC ＝7.5故答案为：7.5【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例列出比例式是解题的关键． 13．7.5【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵直线AB ∥CD ∥EF ，AC ＝2，CE ＝5，BD ＝3∴AC BDCE DF=，即235DF=，解得DF＝7.5．故答案为：7.5．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．14．(1)∠ADC＝90°(2)CD＝【分析】（1））由相似三角形的性质及邻补角可进行求解；（2）先证明△ACD∽△ABC，然后根据相似三角形的性质可得ACAB＝ADAC，然后代入数值问题可求解．（1）解：∵△CBD∽△ACD ∴∠CDB＝∠ADC∵∠CDB+∠ADC＝180°∴∠ADC＝90°；（2）如图∵△CBD∽△ACD∴∠ACD＝∠B∵∠A＝∠A∴△ACD∽△ABC∴ACAB＝ADAC，即ACAD BD+＝ADAC∴46AD+＝4AD∴AD＝2（负根已经舍弃）∴CD【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．15．(1)证明见详解(2)①BF＝5；②S△ABC＝16×94＝36【分析】（1）由平行线的性质得出∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC，即可得出结论；（2）①由平行线的性质得出12BF AEFC EC==，即可得出结果；②先求出2,3ECAC=易证△EFC∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．（1）证明：∵DF∥AC∴∠BFD＝∠C∵EF∥AB∴∠B＝∠EFC∵∠BFD＝∠C，∠B＝∠EFC ∴△BDF∽△FEC；（2）解：①∵EF∥AB∴12 BF AEFC EC==∴12 BFBC BF=-∵BC＝15∴1 152 BFBF=-∴BF＝5；②∵12 AE EC=∴2EC AE=∴2223 EC EC AEAC AE EC AE AE===++∵EF∥AB∴∠CEF＝∠B∵∠C＝∠C．∠CEF＝∠B∴△EFC∽△ABC∴249 EFCABCS ECS AC∆∆⎛⎫==⎪⎝⎭∵S△EFC＝16∴S△ABC＝94×16＝36．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．(1)AM＝BM(2)16 9(3)152 AC=【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；（2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可；（3）证明△BCM∽△BAC，推出BC BM CMAB BC AC==，由此即可解决问题．（1）解：如图①中∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN ∴MN垂直平分线段BC∴CN＝BN∵∠MNB＝∠ACB＝90°∴MN∥AC∵CN＝BN∴AM＝BM．故答案为AM＝BM．（2）如图②中∵CA＝CB＝6∴∠A＝∠B由题意MN垂直平分线段BC ∴BM＝CM∴∠B＝∠MCB∴∠BCM＝∠A∵∠B＝∠B∴△BCM∽△BAC∴BC BM BA BC=∴6106BM=∴185 BM=∴18321055 AM AB BM=-=-=∴321651895AMBM==．（3）如图③中由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM ∵∠ACB＝2∠A∴∠BCM＝∠A∵∠B＝∠B∴△BCM∽△BAC∴BC BM CM AB BC AC ==∴696BM =∴BM＝4∴AM＝CM＝5∴65 9AC =∴152 AC=．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。
无刻度直尺网格作图(教师版)
无刻度直尺网格作图一、基本作图：1.平行→平移→横纵不变（1）过C 作CD 平行且等于AB （2）过E 作AB 的平行线交BC 于点F总结：作平行线的常用方法①利用平移（ 方向相同、距离相等）②构造A 型、X 型相似三角形（利用相似得平行）2.垂直→旋转（90°）→横纵交换（1）将AB 绕A 逆时针旋转90° （2）过C 作CD ⊥AB 于D （3）过E 作AB 垂线总结：作垂线的常用方法①构全等直角三角形，利用三垂直构垂线（直角边横纵交换，斜边方向相反） ②旋转90°（绕线段的端点旋转）+ 平移3.分点→相似→改“斜”归正（1）如图1，在线段AB 上找一点P ，使AP ＝BP ；（2）如图2，在线段AB 上找一点P ，使AP ∶BP ＝4∶3； （3）如图3，在线段AB 上找一点P ，使AP ∶AB ＝4∶9； （4）如图4，在线段AB 上找一点P ，使AP ∶PB ＝11∶6.图1 图2 图3 图4 总结：分割线段的常用方法①构造X 型相似三角形（方向相反，按比找格点） ②构造A 型相似三角形（方向相同，按比找格点）BABABA BAE AB二、基本组合作图1. 作线段AB 的中垂线总结：作线段中垂线的常用方法①先取AB 中点，再过中点作垂线（沿与AB 垂直方向平移AB ，再取对应线段的中点） ②以AB 为边构造正方形，利用正方形对角线交点与线段中点作中垂线2. 作∠ABC 的角平分线总结：作角平分线的常用方法①利用等腰三角形三线合一，作底边的高或中线 ②等腰+平行③构造菱形，利用菱形对角线平分对角的性质 ④构造全等三角形3.作点A 关于MN 的对称点总结：作对称点的常用方法先过点A 作对称轴的垂线，垂足是格点则直接倍长垂足不是格点，则在对称轴上任取一格点B ，先将AB 倍长至点C ，再过C 作对称轴平行线交对称轴的垂线于一点即为所求.4.作角等于已知角（1）作∠ABC =45° （2）作∠ABC ，使tan ∠ABC =23总结：作角等于已知角的常用方法①作45°角，利用等腰直角三角形（绕一端点旋转90°） ②作三角函数已知的角，先绕一端点旋转90°，再作分点三、近几年中（调）考试题赏析 （2021武汉中考20题）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD 的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，先在边AB 上画点E ，使AE ＝2BE ，再过点E 画直线EF ，使EF 平分矩形ABCD 的面积；（2）在图（2）中，先画△BCD 的高CG ，再在边AB 上画点H ，使BH ＝DH ．AB AB EFDCB AHGDCB A（2020武汉中考20题）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （3，4），B （8，4），C （5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB 绕点C 逆时针旋转90°，画出对应线段CD ；（2）在线段AB 上画点E ，使∠BCE ＝45°（保留画图过程的痕迹）； （3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点F ，并简要说明画法．（2019武汉中考20题）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD 的顶点在格点上，点E 是边DC 与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由 (1) 如图1，过点A 画线段AF ，使AF ∶DC ，且AF ＝DC (2) 如图1，在边AB 上画一点G ，使∶AGD ＝∶BGC(3) 如图2，过点E 画线段EM ，使EM ∶AB ，且EM ＝AB1234512345678 O CBAxy MECD BAG FEC D BA(2021四调)在如图的网格中建立平而直角坐标系，∶ABC 的顶点坐标分别为A （3，5），B （0，1），C （5，1），D 是AB 与网格线的交点，AE 是∶ABC 的高，仅用无刻度的直只在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题： （1）直接写出∶ABC 的形状； (等腰三角形) （2）画出点D 关于AE 的对称点F ； （3）在AC 上画点G ，使EG ＝EC ；（4）线段AB 和线段BC 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标． （0,1）或（52，94）（2020五调）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．∶ABC 的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1) 将边BC 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CD (2) 画边AC 的中点E(3) 连接DE 并延长交BC 于点F ，直接写出BFCF的值 (4) 在AB 上画点G ，连接FG ，使FG ∶CDE GF GDEF DBCABCA四、综合应用例1 如图，∶ABC 是边长为1的正方形网格中的格点三角形，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图.（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.）(1) 在图1中，∶画BD∥AC 且BD=AC ；∶将BC 绕B 逆时针旋转90°得BE ；∶连接DE 交AB 于F ，直接写出AFBF 的值为_________；(2)在图2中， 在AB 上画点G ，BC 上画点H ，使得S ∶ACG = S ∶CGH = S ∶BGH ．图1 图2例2. 如图，∶ABC 是边长为1正方形网格中的格点三角形，D 是BC 边与横网格线的交点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图.(1)在图1中，在边AC 上画一点M ，使得∶CBM 与∶ABC 互余； (2)在图2中，画□CDEF ，其中E 点在AB 边上，F 点在AC 边上．图1 图2B AC B AC CB A CBA DHGCBA例3.如图，∶ABC 是边长为1正方形网格中的格点三角形.(1)在图1中，∶画∶ABC 的高AD ，并直接写出CDBD的值为______；∶在AB 上画点E ，使得∶DEB =45°；(2)在图2中，∶在AC 上画点F ，使得∶CBF ∶△CAB ；∶在BC 上画点G ，使得FG =BG ．图1 图2五、巩固提升1.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．∶ABC 的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）画出BC 关于AC 对称的线段CD ； （2）画出AC 的中点E ；（3）连接DE 并延长交AB 于点F ，直接写出AFBF 的值为 ； （4）在BC 上画点G ，连接FG ，使FG //AC .CB A CBA MC BAED CBAGF BAC2.如图，∶ABC 是边长为1正方形网格中的格点三角形. (1)在图1中，∶画AM ∶BC ，且AM =BC ；∶画BN ∶AC ，且BN =AC ；(2) 在图2中，∶画点A 关于BC 的对称点D ；∶连接AD 交BC 于E 点，画点E 关于AC 的对称点F .图1 图23.在如图的网格中完成下列画图：（1）在图1中，△ABC 的内部画一点D ，使得DA=DB=DC ；（2）在图2中，N 是边BC 的中点，连接AN ，在边AN 上画一点G ，使得AG =2GN ，并简要说明画法；（3）在图3中边CB 的延长线上画一点E ，使得AC 2=CB▪CE .C B A CB AC BA C BA .N C B ABACFEDC BANCBAM图1 图2 图34.如图，∶ABC 是边长为1正方形网格中的格点三角形.(1)在图1中，∶画∶ABC 的角平分线AD ；∶画DE ∶AB ，交AC 于E ； (2)在图2中，∶画∶ABC 的角平分线BF ；∶画点A 关于BF 的对称点G .图1 图25.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，A ，B ，E ，F 在格点上，C ，D 是EF 与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，①在线段AB 上画点P ，使得∠DP A ＝∠CPB ； ②作PQ ⊥CD 于Q ； （2）如图2，在线段AB 上画点P ，使得△APD 与△BPC 相似；（3）如图3，①在线段AB 上画点P ，使得tan ∠PFE =34；②画点E 关于FP 的对称点Q ； （4）如图4，在线段BC 上画点Q ，使得QE 平分四边形ABCD 的面积．CA B CBA DECBAG FCAB图1 图2 图3 图4。