高考 专题08 空间角-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(解析版)
2019年浙江卷数学高考真题及答案解析(word精编)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=L 台体的体积公式11221()3V S S S S h =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 球的表面积公式24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B I ð=A ．{}1-B ．{}0,1?C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2．渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是A．22B．1 C．2D．23．若实数x，y满足约束条件340340x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z=3x+2y的最大值是A．1-B．1C．10 D．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A．158 B．162C．182 D．325．若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数y =1xa，y=log a(x+)，(a>0且a≠0)的图像可能是7．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时 A ．D （X ）增大B ．D （X ）减小C ．D （X ）先增大后减小D ．D （X ）先减小后增大8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β9．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则 A ．a <-1，b <0 B ．a <-1，b >0 C ．a ＞-1，b ＞0D ．a ＞-1，b <010．设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，b *∈N ,则A ．当b =，a 10＞10B ．当b =，a 10＞10C ．当b =-2，a 10＞10D ．当b =-4，a 10＞10非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2019年浙江卷数学高考试题文档版(含答案)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)kkn kn nP k p p k n -=-=台体的体积公式11221()3V S S S S h =++其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B ð=A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2．渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A ．22B ．1C ．2D ．23．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z =3x +2y 的最大值是A ．1-B ．1C ．10D ．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是A ．158B ．162C ．182D ．3245．若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (x +12)(a >0，且a ≠1)的图象可能是7．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时， A ．D （X ）增大B ．D （X ）减小C ．D （X ）先增大后减小D ．D （X ）先减小后增大8．设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β9．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >010．设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，b *∈N ，则 A ．当b =12时，a 10>10B ．当b =14时，a 10>10C ．当b =–2时，a 10>10D ．当b =–4时，a 10>10非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2019高考数学浙江卷(附参考答案和详解)
第(题图
/!答 案 1
解析如图该柱体是 一 个 五 棱 柱棱 柱 的 高 为 0底 面 可 以
看作由两个直角梯 形 组 合 而 成其 中 一 个 上 底 为 /下 底 为
0#高为 (#另 一 个 的 上 底 为 "#下 底 为
0#高 为 (!
则底面面 积 4'""+0@(+/"+0@('
2019年高考数学浙江卷
!!本试卷分选择题和非选 择 题 两 部 分满 分 !"# 分考 试 用 时 !$# 分 钟 !
参考公式
若事件 +0 互斥则 1+00'1+010!
若事件 +0 相互独立则 1+0'1+10!
若事件 + 在 一 次 试 验 中 发 生 的 概 率 是9则- 次 独 立 重 复
其中 , 表示柱体的底面积K 表示柱体的高! 锥体的体积公式J' ! +,K
其中 , 表示锥体的底面积K 表示锥体的高!
球 的 表 面 积 公 式 ,')A$
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第)题图
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高考真题解析 2019年浙江省高考数学试题(解析版)
2019年浙江省高考数学试题一、单选题1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则U A B =I ð（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A【解析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） AB ．1 CD ．2【答案】C【解析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b，则c ==心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3．若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A ．1-B ．1【解析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=. 【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．32【答案】B【解析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查. 【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积2646++⎛⎫易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 6．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性. 7．设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大【答案】D【解析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<<【答案】B【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半. 【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ） 由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得333222cos sin ,sin sin 6633α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9．已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ）A ．1,0a b <-<B ．1,0a b <->C ．1,0a b >->D ．1,0a b >-<【答案】D【解析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析. 【详解】原题可转化为()y f x =与y ax b =+，有三个交点.当BC AP λ=u u u v u u u v时，2()(1)()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，且(0)0,(0)f f a ='=，则（1）当1a ≤-时，如图()y f x =与y ax b =+不可能有三个交点（实际上有一个），排（2）当1a >-时，分三种情况，如图()y f x =与y ax b =+若有三个交点，则0b <，答案选D下面证明：1a >-时，BC APλ=u u u v u u u v 时3211()()(1)32F x f x ax b x a x b =--=-+-，2()(1)((1))F x x a x x x a '=-+=-+，则(0)0 ,(+1)<0F >F a ，才能保证至少有两个零点，即310(1)6b a >>-+，若另一零点在0< 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..10．设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，b N *∈ ,则（ ）A ．当101,102b a => B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->【答案】A【解析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.选项B：不动点满足221142x x x⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22na a a⎛⎫=∈<⎪⎝⎭，排除如图，若a为不动点12则12na=选项C：不动点满足22192024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点为ax12-，令2a=，则210na=<，排除选项D：不动点满足221174024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点为1712x=±，令17122a=±，则1711022na=±<，排除.选项A：证明：当12b=时，2222132431113117,,12224216a a a a a a=+≥=+≥=+≥≥，处理一：可依次迭代到10a；处理二：当4n≥时，221112n n na a a+=+≥≥，则117117171161616log2log log2nn n na a a-++>⇒>则12117(4)16nna n-+⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，则626410217164646311114710 161616216a⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进二、填空题 11．复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________.【解析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12．已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】2m =- r =【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解. 【详解】 可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13．在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】5【解析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.9(2)x +的通项为919(2)(0,1,29)rr r r T C x r -+==L 可得常数项为0919(2)162T C ==，因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项 【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.14．在V ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】1225 7210【解析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，建立方程，进而得解.. 【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =. 72cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF【答案】15【解析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】方法1：由题意可知||=|2 OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程221 95x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,22P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得3152P⎛-⎝⎭，所以1521512PFk==【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16．已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=•++++-=++-， 使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需113a -≤，即43a ≤，即a 的最大值是43 【点睛】 对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.。
《高考真题》2019年浙江省高考数学试卷(解析版)
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：若事件A,B 互斥，则P(A B) P( A) P(B)柱体的体积公式V Sh若事件A,B 相互独立，则P( A B) P( A) P(B)若事件A在一次试验中发生的概率是p , 则nA k次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示柱体的底面积，表示柱体的高Sh锥体的体积公式1V Sh3k k n kP (k) C p (1 p) (k 0,1, 2, , n)n n其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高1台体的体积公式V (S1 S1S2 S2 ) h3其中S1 ,S2 分别表示台体的上、下底面积，h表2 球的表面积公式球体积公式S 4 R4V R33 其中R表示球的半径示台体的高选择题部分（共40 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 4 分，共40 分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U 1,0,1,2,3 ，集合A 0,1,2 ，B1, 0,1 ，则e U A B （）A. 1B. 0,1C. 1,2,3D. 1,0,1,3【答案】 A【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】 C A={ 1,3} ，则C U A B { 1}U【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.渐近线方程为x y 0的双曲线的离心率是（）1A. 22B. 1C. 2D. 2【答案】 C【解析】【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得 a b，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】根据渐近线方程为x±y＝0 的双曲线，可得 a b，所以c 2a则该双曲线的离心率为 e c 2a ，故选：C．【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.x 3y 4 03.若实数x, y 满足约束条件3x y 4 0，则z 3x 2y的最大值是（）x y 0A. 1B. 1C. 10D. 12【答案】 C【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数z=3x+2y 经过平面区域的点(2, 2)时，z=3 x+2y取最大值z ma x 3 2 2 2 10.2【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家. 他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体Sh，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A. 158B. 162C. 182D. 323【答案】 B【解析】【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为2 6 4 63 3 6 162 2 2.【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.5.若a0,b 0，则“a b 4”是“a b 4 ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当a>0, b>0时，a b 2 ab ，则当a b 4时，有2 ab a b 4 ，解得ab 4 ，充分性成立；当a=1, b=4时，满足ab 4 ，但此时a+b =5>4 ，必要性不成立，综上所述，“ a b 4”是“a b 4”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数1 1y , y log x (a 0x aa 2且a 0) 的图象可能是（）4A. B.C. D.【答案】 D【解析】【分析】本题通过讨论 a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0 a 1时，函数xy a 过定点(0,1) 且单调递减，则函数y1xa过定点(0,1) 且单调递增，函数1y log x 过定点a21( ,0)2且单调递减， D 选项符合；当 a 1时，函数xy a 过定点(0,1) 且单调递增，则函数y1xa过定点(0,1) 且单调递减，函数1y log x 过定点a21( ,0）且单调递增，各选项均不2符合.综上，选 D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论 a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设0 a 1，则随机变量X 的分布列是：5则当 a 在0,1 内增大时（）A. D X 增大B. D X 减小C. D X 先增大后减小D. D X 先减小后增大【答案】 D【解析】【分析】研究方差随 a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数 a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为 a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.详解】方法1：由分布列得1 aE(X ) ，则32 2 2 21 a 1 1 a 1 1 a 12 1 1D X a a ，则当a 在(0,1) 内增大时，( ) 0 13 3 3 3 3 3 9 2 6D(X)先减小后增大.22 2 22 a 1 (a1) 2a 2a 2 2 13 【方法2：则D( X ) E X E( X ) 0 a3 3 9 9 9 24 故选 D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为，直线PB 与平面ABC 所成角为，二面角P AC B 的平面角为，则（）A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】 B【解析】6【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O，则P在底面投影 D 在线段AO上，过D作DE 垂直AE ，易得PE / /VG ，过P 作P F // AC 交VG 于F，过D 作D H / /AC ，交BG 于H ，则P F E G D H B D BPF , PBD, PED ，则 c o s c o s，即，P B P B P B P B PD PDtan tanED BD，即y ，综上所述，答案为 B.方法2：由最小角定理，记V AB C 的平面角为（显然）由最大角定理，故选 B.方法3：（特殊位置）取V ABC 为正四面体，P 为VA中点，易得3 33 2 2 2cos sin ,sin , sin6 6 3 3，故选 B.【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.x, x 09.已知a,b R ，函数 f (x) 1 13 2x (a 1)x ax, x 03 2 ，若函数y f (x) ax b恰有三个零点，则（）A. a 1,b 0B. a 1,b 0C. a 1,b 0D. a 1,b 07【答案】 C【解析】【分析】当x 0 时，y f()x a x b x a(x1 b ) 最多a 一x 个b零点；当x⋯0 时，1 1 1 13 2 3 2y (f)x a x b x( 1 a)x a x a x b( ，1x利) 用导数a研究函数x 的单调b 性，3 2 3 2根据单调性画函数草图，根据草图可得．b【详解】当x 0 时，y f (x) ax b x ax b (1 a)x b 0，得；y f (x) ax b最x1 a多一个零点；当x⋯0时，1 1 1 13 2 3 2y f (x) ax b x (a1)x ax ax b x (a 1)x b ，3 2 3 22 ( 1)y x a x，当a 1,0，即a, 1时，y ⋯0，y f (x) ax b在[0 ，) 上递增，y f (x) ax b最多一个零点．不合题意；当a 1 0，即a 1时，令y0 得x [ a 1，) ，函数递增，令y0 得x [0 ，a 1) ，函数递减；函数最多有 2 个零点；根据题意函数y f (x) ax b恰有 3 个零点函数y f ( x) ax b在( ,0) 上有一个零点，在[0 ，) 上有2 个零点，如图：b a 0且b 01 13 2(a 1) (a 1)(a 1) b 03 2，1解得b 0，1 a 0，130 b (a 1) , a 1．6故选：C．8【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及a, b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.10.设a,b R ，数列a n 中， 2a1 a,a n 1 a n b ，n N , 则（）1 1b ,a 10 B. 当b ,a10 10A. 当102 4C. 当b 2, a10 10D. 当b 4, a10 10【答案】 A【解析】【分析】对于B，令 2 1x 0，得λ4 121a ，得到当 b，取 12142﹣λ﹣2＝0，得时，a10＜10；对于C，令x2﹣λ﹣4＝0，得 1 17λ＝2 或λ＝﹣1，取a1＝2，得到当b＝﹣2时，a10＜10；对于D，令x2，取1 17a ，得到当b ＝﹣4时，a10 ＜10；对于 A ，121 12a a ，22 21 1 32 2a (a) ，32 2 4a3 1 9 1 17n 14 2 2a (a a ) ＞1，当n≥ 4 时，4a4 2 16 2 16n a n12an＞11 32 2a10，由此推导出a4＞（32）7296，从而a10＞＞10．64【详解】对于B，令 2 1x 0，得λ4 12，9取111a，∴ a 2， ，a＜10 ，1n2 2 2 ∴当 b 14时， a 10＜ 10，故 B 错误；对于C ，令 x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝ 2 或 λ＝﹣1， 取 a 1＝2，∴ a 2＝2，⋯ ， a n ＝2＜10， ∴当 b ＝﹣2 时， a 10＜10，故 C 错误； 对于D ，令 x2﹣λ﹣4＝0，得1 172﹣λ﹣4＝0，得1 172， 取117117a，∴ a 2，⋯ ， 1221 17 a＜ 10， n2∴当 b ＝﹣4 时， a 10＜10，故 D 错误； 对于A ，1 1 2aa， 22211 322a(a ) ，32244 2 23 191 17a(a a) ＞1，442 16 2 16a n+1﹣a n ＞0，{ a n }递增，anan1a n1 2 an＞ 11 32 2当 n ≥ 4 时，，a 5 a4＞3 2 a4 3 ＞ a 52∴，∴a 10a4＞ （ 3 2729 ）6，∴ a ＞＞ 10．故 A 正确． 1064a10 a9＞32故选：A ．【点睛】 遇到此类问题， 不少考生会一筹莫展 .利用函数方程思想， 通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.10非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共36 分11. 复数z11 i（i 为虚数单位），则| z | ________. 2【答案】2【解析】【分析】本题先计算z，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】| z|1 12 |1 i | 2 2.【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12. 已知圆C 的圆心坐标是(0, m) ，半径长是r . 若直线2x y 3 0与圆相切于点A( 2, 1) ，则m _____，r ______.【答案】(1). m 2 (2). r 5【解析】【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0, m) 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知1 1k AC : y 1 (x 2) ，把(0,)m代入得m 2，此时r | AC | 4 1 5 .AC2 2【点睛】解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13. 在二项式9( 2 x) 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】(1). 16 2 (2). 5【解析】【分析】11本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9( 2 x) 的通项为r 9 r rT 1 C9 ( 2) x (r 0,1,2 9) r可得常数项为0 9T1 C9 ( 2) 16 2 ，因系数为有理数，r = 1,3,5,7,9，有T , T ,T ,T ,T共5 个项2 4 6 8 10【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.14. 在V ABC 中，ABC 90 ，AB 4 ，BC 3，点D 在线段AC 上，若BDC 45 ，则BD ____；cos ABD ________.【答案】(1). 12 25 (2). 7 210【解析】【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在BDC 、ABD 中应用正弦定理，由cos ABD cos( BDC BAC ) 建立方程，进而得解.【详解】在ABD 中，正弦定理有：AB BDsin ADB sin BAC，而3AB 4, ADB ,42 2AC AB BC 5 ，BC 3 AB 4sin BAC ,cos BACAC 5 AC 5，所以12 2BD .57 2cos ABD cos( BDC BAC ) cos cos BAC sin sin BAC4 4 1012【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15. 已知椭圆2 2x y9 51 的左焦点为 F ，点P 在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______ .【答案】15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知|OF |=|OM |= c= 2，由中位线定理可得PF1 2| O M | 4 ，设P(x, y) 可得 2 2(x2) y 16 ，联立方程2 2x y9 51可解得3 21x x （舍），点P 在椭圆上且在x轴的上方，,2 215求得3 15P , ，所以2 2kPF21512方法2：焦半径公式应用13解析1：由题意可知|OF |=|OM |= c= 2，由中位线定理可得PF1 2| O M | 4 ，即 a ex 4 xp p 3 2求得3 15P , ，所以2 2152 15k .PF12【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16. 已知a R，函数 3f (x) ax x ，若存在t R ，使得2| f (t 2) f (t) | ，则实数a 的最大值是____.3a 【答案】max 4 3【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题. 从研究2f (t 2) f (t) 2a 3t 6t 4 2入手，令2m 3t 6t 4 [1, ) ，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得 2 2 2f (t 2) f (t) a{2 (t2) t(t 2) t ]} 2 2 a 3t6t 4 2 ，使得令 2m 3t 6t 4 [1, ) ，则原不等式转化为存在1m 1, |am 1| ，由折线函数，如图3只需1 1a 1 ，即3 32 4a ，即a 的最大值是3 343【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17. 已知正方形ABCD 的边长为1，当每个i (i 1, 2,3, 4,5,6) 取遍时，14| AB BC CD DA AC BD |的最小值是________；最大值是_______.1 2 3 4 5 6【答案】(1). 0 (2). 2 5【解析】分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.【详解】正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC ，BD AD AB ，AB ? AD 0，【1 AB2 BC 3CD 4 DA 5 AC 6 BD 13 5 6 AB 2456 AD 要使 1 AB 2 BC 3 CD 4 DA 5 AC 6 BD 的最小，只需要1 3 5 62 4 5 6 0，此时只需要取 1 1, 2 1,3 1,4 1,5 1,6 1此时 1 2 3 4 5 6AB BC CD DA AC BD 0min2 21 AB2 BC 3CD 4 DA 5 AC 6 BD 13 5 6 AB 2456 AD2 21 3 5 62 4 5 62 21 3 5 62 4 5 62 22 25 6 5 62 28 45 6 5 6 5 6 5 62 2 28 4 25 6 5 6 5 62 2 2 212 4 25 6 5 6 5 62 2 2 212 4 2 2 205 6 5 6等号成立当且仅当1, 3, 5 6 均非负或者均非正，并且 2 , 4, 5 6 均非负或者均非正。
空间角-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(解析版)
专题08空间角【母题来源一】2019年高考浙江卷】设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱V A上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则A．β<γ，α<γB．β<α，β<γC．β<α，γ<αD．α<β，γ<β【答案】B【解析】如图，G为AC中点，连接VG，V在底面ABC的投影为O，则P在底面的投影D在线段AO上，过D作DE垂直于AC于E，连接PE，BD，易得PE∥VG，过P作PF∥AC交V G于F，连接BF，过D作DH∥AC，交BG于H，则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED，结合△PFB，△BDH，△PDB均为直角三角形，可得cosα=PF EG DH BD==<=cosβ，即α>β；PB PB PB PB在△Rt PED中，tanγ=综上所述，β<α，β<γ，故选B．PD PD>=tanβ，即γ>β，ED BD【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算．解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小．而充分利用图形特征，则可事倍功半．常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法．【母题来源二】【2018年高考浙江卷】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段ABEN OM EO OM= = 2 ，分别记二面角 D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的上的点（不含端点），设 SE 与 BC 所成的角为 θ1，SE 与平面 ABCD 所成的角为 θ2，二面角 S −AB −C 的平面角为 θ3，则A ．θ1≤θ2≤θ3C ．θ1≤θ3≤θ2 B ．θ3≤θ2≤θ1D ．θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】设 O 为正方形 ABCD 的中心，M 为 AB 中点，过 E 作 BC 的平行线 EF ，交 CD 于 F ，过 O 作 ON 垂直 EF 于 N ，连接 SO ，SN ，SE ，SM ，OM ，OE ，则 SO 垂直于底面 ABCD ，OM 垂直于 AB ，因此 ∠SEN = θ1, ∠SEO = θ2 , ∠SMO = θ3 ,从而 tan θ = 1 SN SN SO SO= , tan θ = , tan θ = ,2 3因为 SN ≥ SO ，EO ≥ OM ，所以 tan θ1 ≥ tan θ3 ≥ tan θ2 , 即θ1 ≥ θ3 ≥ θ2 ，故选 D ．【名师点睛】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系．【母题来源三】 2017 年高考浙江卷】如图，已知正四面体 D – ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为 AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，平面角为 α ,β ,γ ，则BQ CR QC RAA ． γ < α < βC ． α < β < γ 【答案】B【解析】设 O 为三角形 ABC 中心，B ． α < γ < βD ． β < γ < απ设 l ，m 的夹角为θ (0 ≤ θ ≤ ) ，则 cos θ＝|a ||b | ＝ 1 1 1|a · μ| 设直线 l 与平面 α 的夹角为θ (0 ≤ θ ≤ ) ，则 sin θ＝|a ||μ|＝|cos 〈a ，μ〉|．，b则 O 到 PQ 距离最小，O 到 PR 距离最大，O 到 RQ 距离居中，而三棱锥的高相等，因此α < γ < β ，故选 B ．【命题意图】在理解空间线线角、线面角、二面角内在联系的基础上，确定角度的大小关系．【命题规律】以空间几何体为载体考查空间角是浙江高考命题的重点，考查热点为异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求解，向量法作为传统几何法的补充，为考生答题提供新的工具．【答题模板】1．异面直线所成的角（1）几何法：按定义作出异面直线所成的角(即找平行线)，解三角形．（2）向量法：设直线 l ，m 的方向向量分别为 a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，2 |a · b | |a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2| a 2＋b 2＋c 2 a 2＋b 2＋c 2．2．直线与平面所成的角（1）几何法：按定义作出直线与平面所成的角（即找到斜线在平面内的投影） 解三角形．（2）向量法：设直线 l 的方向向量为 a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面 α 的法向量为 μ＝(a 2，b 2，c 2)，π23．二面角（1）几何法：利用定义作出二面角的平面角，然后计算．（2）向量法：利用两平面的法向量．设平面 α，β 的法向量分别为 μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)，|μ· v |设二面角 α-a-β 的平面角为θ (0 ≤ θ ≤ π) ，则|cos θ|＝|μ||v |＝|cos 〈μ，v 〉|．【方法总结】1．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的定义如图,已知两异面直线 a,b ,经过空间任一点 O ,分别作直线 a ′∥a,b ′∥b ,相交直线 a ′，′所成的锐角（或直角）．．(叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．（2）异面直线所成角的范围π异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是(0,]．2（3）两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b．（4）求异面直线所成的角的常见策略①求异面直线所成的角常用平移法．平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．②求异面直线所成角的步骤一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．③判定空间两条直线是异面直线的方法判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．直线与平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90o；一条直线和平面平行，或在平面内，π我们说它们所成的角等于0o．因此，直线与平面所成的角α的范围是[0,]．2（3）求直线与平面所成的角的方法．．．]①求直线和平面所成角的步骤：寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．②求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．3．二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角．（3）二面角的范围：[0, π．（4）求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．4．运用几何法求异面直线所成的角一般是按找—证—求的步骤进行，注意：两条异面直线所成的角 α 不一定是直线的方向向量的夹角 β，即 cos α＝|cos β|．5．运用几何法求直线与平面所成的角一般是按找——证——求的步骤进行；直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，注意所求角和两向量夹角间的关系．6．构造二面角的平面角的方法：①几何法，根据定义，利用二面角的棱的垂面，利用两同底等腰三角形底边上的两条中线等；②向量法，根据两平面的法向量．【因为P A⊥平面ABC，则tanα=P A【分析】利用无限逼近的思想，当h→0+，有θ→θ=3π，当h→+∞，有θ→θ=使得正三棱锥变为正四面体时，二面角之和记为θ2，利用cos2的值，可分析出θ<，即可选出答621．浙江省杭州市2018届高三上学期期末考试】在三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC=90︒，D,E分别是BC,AB的中点，AB≠AC，且AC>AD．设PC与DE所成角为α，PD与平面ABC所成角为β，二面角P-BC-A为γ，则A．α<β<γC．β<α<γB．α<γ<βD．γ<β<α【答案】A【解析】如图可知∠PCA=α，∠PDA=β，P A，tanβ=，AC AD又AC>AD，所以tanβ>tanα，则β>α，同理可证得γ>β，所以α<β<γ，故选A．2．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】正三棱锥P-ABC的底面边长为1cm，高为h cm，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底面）之和记为θ，则在h从小到大的变化过程中，θ的变化情况是A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小【答案】D13D．先减小后增大5π2，当h刚好θ5π2案．【解析】当h→0+（比0多一点点），有θ→θ1=3π；26=3+3-4则cosθ于是cosθ3<5π所以θ62则sinθ=DMDN DA当h→+∞，有θ→θ=5π3；当h刚好使得正三棱锥变为正四面体时，二面角之和记为θ2，12=，2⨯331732=2⨯()2-1=->-3392，5π2，即θ<，2所以θ先减小后增大．故选D．【名师点睛】本题主要考查了无限逼近的极限思想、二面角、二倍角公式，属于中档题．3．【2017届浙江省高三上学期高考模拟考试】如图，已知三棱锥D-ABC，记二面角C-AB-D的平面角是θ，直线DA平面ABC所成的角是θ1，直线DA与BC所成的角是θ2，则A．θ≥θ1B．θ≤θ1C．θ≥θ2D．θ≤θ2【答案】A【解析】如下图所示，设D在平面ABC的投影为M，过M作MN⊥AB，垂足为N，连DN，AM，DM，sinθ=，1因为DA≥DN，所以sinθ1≤sinθ，所以θ1≤θ，而θ与θ2的大小关系是不确定的，故选A．设斜线段 AB 在平面 α 内的射影为 A'B' ， AB 与 α 所成角为θ ，则 cos θ = | A'B'| 【【名师点睛】线面角、二面角求法，求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)，证，求(算)三步曲，也可用射影法：| AB | ；S 设 △ABC 在平面 α 内的射影三角形为 △A'B'C' ，平面 ABC 与 α所成角为θ，则cos θ= △S A'B'C'．△ABC4． 浙江省金华十校 2019 届高三上学期期末联考】如图所示，在底面为正三角形的棱台 ABC - A B C 中， 1 1 1记锐二面角 A 1 - AB - C 的大小为 α ，锐二面角 B 1 - BC - A 的大小为 β ，锐二面角 C 1 - AC - B 的大小为 γ ，若 α > β > γ ，则A ． AA > BB > CC1 11C ． CC > BB > AA111B ． AA > CC > BB1 1 1D ． CC > AA > BB1 1 1【答案】D【分析】利用二面角的定义，数形结合能求出结果．【解析】如图，设棱台 ABC - A 1B 1C 1 的侧棱延长交于点 P ，【 a过点 P 在平面 ABC 上的射影为 H ，设 H 到 AB ， BC ， AC 的距离分别为 HC'，HA'，HB ' ，因为 α > β > γ ，所以 tan α > tan β > tan γ ，则 HA ' < HB ' < HC' ，故 H 所在区域如下图所示（点 D 为 △ABC 垂心），比较 AA 1 ， BB 1 ， CC 1即比较 P A ， PB ， PC ，即比较 HA ， HB ， HC ，由图可知 HC > HA > HB ，所以 CC 1 > AA 1 > BB 1 ，故选 D ．【名师点睛】本题考查三棱台中三条侧棱长的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．5． 浙江省嘉兴市 2018 届高三 4 月模拟测试】已知两个平面α , β 和三条直线 m , a, b ，若 α I β = m ， ⊂α且 a ⊥ m ，b ⊂ β ，设α和 β 所成的一个二面角的大小为θ 1 ，直线a 和平面 β 所成的角的大小为θ 2 ，直线 a, b 所成的角的大小为θ 3 ，则【hA ．θ = θ ≥ θ123B ．θ ≥ θ = θ3 12C ．θ ≥ θ ，θ ≥ θ2313D ．θ ≥ θ ，θ ≥ θ1 2 32【答案】D【解析】如图所示，在平行六面体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，令平面 A 1 ADD 1 为 α ，平面 ABCD 为 β ，则 AD 为 m ，再令 A 1 A 为 a ， BC 为 b ，故 α 和 β 所成的一个二面角的大小θ 1 为钝角，直线 a 和平面 β 所成的角的大小θ2 为锐角，直线 a, b 所成的角的大小θ3 为直角，只有 D 选项满足题意，故选 D ．6．浙江省杭州市 2018 届高三第二次高考科目教学质量检测】已知三棱锥 S －ABC 的底面 ABC 为正三角形，SA ＜SB ＜SC ，平面 SBC ，SCA ，SAB 与平面 ABC 所成的锐二面角分别为 α1，α2，α3，则A ．α1＜α2 C ．α2＜α3B ．α1＞α2D ．α2＞α3【答案】A【分析】设三角形 SBC , SCA 的高分别为 h 1 , h 2 ，三棱锥 S - ABC 的高为 h ，易知 h 1 > h 2 ，根据正弦函数的定义可得结果．【解析】由题意，设三角形 SBC , SCA 的高分别为 h 1 , h 2 ，三棱锥 S - ABC 的高为 h ，易知 h 1 > h 2 ，根据正弦函数的定义得 sin α1 =又 α 1 ， α 2 均为锐角，所以α1 < α2 ，h hh ,sin α2 = ，所以 sin α1 < sin α2 ， 1 2且∠AOB为钝角，∠A'OB'是∠AOB在β内的射影，则下列结论错误的是【AB，AD，AC上，且AQ=QD，AP==，分别记二面角A-PQ-R，A-PR-Q，】故选A．【名师点睛】本题考查二面角的余弦值的求法的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．浙江省镇海中学2018届高三上学期期末考试】如图，小于90︒的二面角α-l-β中，O∈l，A,B∈α，．．A．∠A'OB'为钝角B．∠A'OB'>∠AOBC．∠AOB+∠AOA'<πD．∠B'OB+∠BOA+∠AOA'>π【答案】D【解析】如图，过点B作BC⊥l，垂足为C，过点A作AD⊥l，垂足为D．在直角△BCO中，sin∠BOC=BC BO，BB1在直角三角形BOB1中，sin∠BOB1=，BO因为是锐角二面角，所以BC>BB1，所以sin∠BOC>sin∠BOB1，所以∠BOC>∠BOB1，同理∠AOD>∠AOA1，则∠B'OB+∠BOA+∠AOA'<∠BOC+∠BOA+∠AOD=π，故选D．【名师点睛】本题的关键是证明利用什么方法来判断选项，由于选项判断的是角的大小关系，所以一般要构造直角三角形，再利用三角函数分析．8．【浙江省温州市2018届高三9月高考适应性测试（一模）如图，正四面体A BCD中，P，Q，R在棱CR1PB RA2设正四面体的高为h，可得h=132所以可以推出s inγ=h1<2=sinβ，A-QR-P的平面角为α，β，γ，则A．β>γ>αC．α>γ>β【答案】D B．γ>β>αD．α>β>γ【解析】因为ABCD是正四面体，P，Q，R在棱AB，AD，AC上，且AQ=QD，AP CR1==，PB RA2所以可得α为钝角，β，γ为锐角，设P到ACD的距离为h1，P到QR的距离为d1，Q到ABC的距离为h2，Q到PR的距离为d2，1h,h=h,h<h，1212由余弦定理可得QR<PR，由三角形面积相等可得到d1>d2，d 1h d 2所以γ<β，所以α>β>γ，故选D．【名师点睛】本题主要考查二面角的求法，属于难题．求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角，本题很巧妙的应用点到面的距离及点到线的距离求得二面角的正弦值，再得到二面角的大小关系．9．【浙江省湖州、衢州、丽水三市2017届高三4月联考】已知矩形ABCD，AD=2A B，沿直线BD将△ABD折成△A'BD，使点A'在平面BCD上的射影在VBCD内（不含边界）．设二面角A'-BD-C的大小为θ，直线A'D，A'C与平面BCD所成的角分别为α,β，则A．α<θ<βC．β<α<θB．β<θ<αD．α<β<θ【答案】D【解析】如图，作A'E⊥BD于E，O是A'在平面BCD内的射影，连接OE,O D,O C，易知∠A'EO=θ,∠A'DO=α,∠A'CO=β，在矩形ABCD中，作AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，由O点必落在EF上，由AD=2A B，知AE<CF<CO<OD，从而tanθ>tanβ>tanα，即θ>β>α，故选D．【名师点睛】本题涉及到直线与平面所成的角，二面角，因此我们要作出这些角，考虑到要建立这些角的的关系，因此可让表示它们的直角三角形联系在一起，为上作A'在平面BCD内的射影O，确定O点位置是解题的关键，在矩形ABCD中，作AE⊥BD于D，并延长交BC于E，可以确定O在线段EF 上，由此可以比较对应边的大小，从而得角的大小．10．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知三棱锥P-ABC中，∆ABC为正三角形，P A>PB>PC，且P在底面ABC内的射影在∆ABC的内部（不包括边界），二面角P-AB-C，二面角P-BC-A，二面角P-AC-B的大小分别为α，β，γ，则A．α>β>γC．α<γ<β【答案】C B．γ>α>βD．α<β<γ从而 tan α =PO【【分析】作出三个二面角，再根据 P A > PB > PC ，即可确定二面角大小．【解析】设 P 在底面 ABC 内的射影为 O ，过 O 分别作 AB ，BC ，CA 垂线，垂足分别为 D ，E ，F ，则 α = ∠PDO ， β = ∠PEO ， γ = ∠PFO ，POPO，tan β =， tan γ =，OD OE OF因为 P A > PB > PC ，所以 OA > OB > OC ， OD > OF > OE ，即 tan α < tan γ < tan β ，所以α < γ < β ，故选 C ．【名师点睛】本题考查二面角，考查基本分析与判断能力，属中档题．11． 2018 年浙江省普通高等学校全国招生统一考试数学模拟测试】已知 △ABC 得内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b , c ，且 a < b < c ， P 点在 △ABC 所在平面上的投影恰好是 △ABC 的重心 G ，设平面PAB, PAC , PCB 与底面 ABC 所成的锐二面角分别为α , β , γ ，则A ． α > β > γC ． α = β = γ B ． α < β < γD ． α < γ < β【答案】A【分析】由题意画出图形，分别求出平面PAB ， PAC ， PCB 与底面 ABC 所成的锐二面角，根据G为 △ABC 的重心，可得 S △AGB = S △AGC = S △BGC ，再由 a, b , c 的大小关系可得 G 到三边的距离关系，在直角三角形中由 tan α 、 tan β 、 tan γ 的大小得到三个角的大小关系．【解析】根据题意画出如图所示的图形，因为 G 为 ∆ABC 的重心，所以 S △AGB = S △AGC = S △BGC ，过 G 分别作 G H ， GM ， GN 垂直于 AB ， AC ， BC ，连接 PH ，PM ，PN ，可知 ∠PHG ，∠PHM ，∠PGN 分别为平面 PAB ，PAC ，PCB 与底面 ABC所成的锐二面角，分别为α , β , γ ．> > ，即 tan α > tan β > tan γ ． 因为正切函数在 (0, ) 上为增函数，所以α > β > γ ，CE ，MN ，EN ，过 D 作 DO ⊥CE ，交 CE 于 O ，连结 AO ，则 ∠ DEC = θ ，∠ DAO = θ ，∠ MNE = θ ，在 △AGB 、 △AGC 、 △BGC 中， AB > AC > BC ，且 S △AGB = S △AGC = S △BGC ．所以 GH < GM < GN ，在 △Rt PGH ， △Rt PGM ， △Rt PGN 中， PG = PG = PG ， GH < GM < GN ，所以PG PG PGGH GM GNπ2故选 A ．【名师点睛】线面角找垂线，即通过线面垂直关系确定射影，再根据解直角三角形确定大小，二面角找垂面，即找棱垂直的平面，得到平面角之后再解三角形即可．12．【2018 年 11 月浙江省学考】如图，四边形 ABCD 为矩形，沿 AC 将△ADC 翻折成△AD ' C ．设二面角D' - AB - C 的平面角为θ ，直线 AD' 与直线 BC 所成角为θ ，直线 AD' 与平面 ABC 所成角为θ ，12当 θ 为锐角时，有A ．θ ≤ θ ≤ θ2 1C ．θ ≤ θ ≤ θ12B ．θ ≤ θ ≤ θ2 1D ．θ ≤ θ ≤ θ2 1【答案】B【分析】设三棱锥 D-ABC 是棱长为 2 的正四面体，取 A B 中点 E ，DC 中点 M ，AC 中点 M ，连结 DE ，12由此能求出结果．【解析】设三棱锥 D-ABC 是棱长为 2 的正四面体，所以cosθ=3+3-4所以cosθ=AOAD33取AB中点E，DC中点M，AC中点M，连结DE，CE，MN，EN，过D作DO⊥CE，交CE于O，连结AO，则∠DEC=θ，∠DAO=θ1，∠MNE=θ2，DE=CE=4-1=3，DC=2，12223=，AO=CO=CE=⨯4-1=，2⨯3⨯33333=，2取BC中点E，连结DE，AE，则DE⊥BC，AE⊥BC，因为DE I AE=E，所以BC⊥平面AED，所以BC⊥AD，所以θ1=90︒，所以θ2≤θ≤θ1．故选B．【名师点睛】本题考查二面角、线面角、异面直线所成角的大小的判断，考查空间位置关系和空间思维能力的培养，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．13．【浙江省七彩联盟2019届高三第一学期11月期中考试】正四面体S-ABC中，D是AB边的中点，P是线段AB上的动点，记SP与BC所成角为θ1，SP与底面ABC所成角为θ2，二面角S-AP-C为θ3，则下列正确的是A．θ≤θ≤θ213B．θ≤θ≤θ231C．θ≤θ≤θ321D．θ≤θ≤θ3122DS⋅DC2⨯33当P与D重合时，SP与BC所成角θ1的值为3【答案】B【分析】先分别求出二面角S-AP-C以及直线SD与BC所成的角，再结合题中条件即可求出结果．【解析】设正四面体的各边长均为2，连结SD，CD，取AC的中点E，底面的重心记作G，连结SG，DE，由题意可得S在底面的投影为G，且G为CD的一个三等分点，所以CD=SD=3，DE=1，所以∠SDE即为SD与BC所成的角，∠SDC即为二面角S-AP-C即θ3，同时∠SDC也是直线SD与底面ABC所成的角，因此cos∠SDE=DE2+DS2-SE21+3-33==2DE⋅DS236，DC2+DS2-SC23+3-41cos∠SDC=cosθ===，3当P由D向A靠近时，SG不变，SP逐渐增大，所以θ2逐渐减小；6；当P由D向A靠近时，θ1逐渐增大，故θ2≤θ3≤θ1，故选B．【名师点睛】本题主要考查空间角的综合问题，需要考生掌握着立体几何法求空间角，即作辅助线找到所求空间角，进而即可求解，属于中档试题．14．【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测】已知三棱锥S-ABC的底面ABC为正三角形，SA<SB<SC，平面SBC,SCA,SAB与平面ABC所成的锐二面角分别为a1,a2,a3，则A．a<a12B．a>a12C．a<a23D．a>a23【答案】A【解析】如图，过S作SO垂直于平面ABC，垂足为O，Q SA<SB<SC，∴OA<OB<OC，过O点作OE，OF，OH分别垂直于AB，BC，AC，连接SE，SF，SH，tan a = SO ， tan a = ，即 a 1 < a 2 ， a 1 < a 3 ，OF OH OF OE 【∴ a = ∠SFO ， a = ∠SHO ， a = ∠SEO ，1 233要比较 a 1，a 2，a 3 的大小，只需比较 OE ，OF ，OH 的大小，OA < OB ⇒ 点 O 在 AB 中垂线的左侧，OA < OB < OC ⇒ 点 O 在下图中的阴影部分内，OE < OF ，OH < OF ， OE ，OH 大小不定，SO SO SO < tan a = < tan a = 1 2 1 3故选 A ．【名师点睛】本题主要考查的知识点是面面角问题．按照定义先作出三个面面角所成的平面角，然后由题意中的三边关系得到不等关系，利用正切，求出锐角二面角的正切值，从而比较大小，本题具有一定的难度．15． 浙江省诸暨市 2018 届高三 5 月适应性考试】如图，矩形 ABCD 中，AB = 1, B C = 3 ，E 是线段 BC（不含点 C ）上一动点，把 △ABE 沿 AE 折起得到 △AB'E ，使得平面 B'AC ⊥ 平面 ADC ，分别记 B'A ，B'E 与平面 ADC 所成角为 α , β ，平面 B'AE 与平面 ADC 所成锐角为θ ，则A ．θ > α > βB ．θ > 2α则 ∠B'AO = α ， tan α = B'O = 3 ， ∠B'EO = β ， tan β = < tan α ，所以 β < α ，因为 O 到 AB 的距离 h < 1所以 tan θ =B'O【 C ．θ > 2β D ． tan θ > 2tan α【答案】A【分析】由题意画出图形，作出 B'A 与平面 ADC 所成角为 α ，平面 B'AE 与平面 ADC 所成锐角为θ ，分别求出 tan θ 和 tan α ， B'E 与平面 ADC 所成角为 β ，则答案可求．【解析】如图，过 B 作 BO ⊥ AC ，在 △Rt ABC 中，由 AB = 1 ， BC = 3 ，可得 AC = 2 ．由等积法可得 BO = 32 1 ，则 AO = ，2因为平面 B ' AC ⊥ 平面 ADC ，且 B'O ⊥ AC ，可得 B'O ⊥ 平面 ABCD ，B'O AO EO过 O 作 OF ⊥ AE ，垂足为 F ，连接 B'F ，则 ∠B'FO 为平面 B'AE 与平面 ADC 所成的锐角θ ．3 BC =4 43 3 >÷= 2 ，h24即 tan θ > tan α ，所以θ > α ，故选 A ．，16． 浙江省杭州市学军中学 2018 年 5 月高三模拟考试】已知在矩形 ABCD 中，AD =2 A B ，沿直线 BD将 △ABD 折成 △A'BD ，使得点 A' 在平面 BCD 上的射影在 △BCD 内（不含边界），设二面角A' - BD - C 的大小为θ ，直线 A'D , A'C 与平面 BCD 所成的角分别为α , β ，则A ． α < θ < βB ． β < θ < α设 BA ' = 1 ，则 A 'D = 2 ，所以 A 'E =6' ' C ． β < α < θ D ． α < β < θ【答案】D【分析】由题意画出图形，由两种特殊位置得到点 A ' 在平面 BCD 上的射影的情况，由线段的长度关系可得三个角的正弦的大小，则答案可求．【解析】如图，因为四边形 ABCD 为矩形，所以 BA ' ⊥ A 'D ，当 A ' 点在底面上的射影 O 落在 BC 上时，平面 A 'BC ⊥ 底面 BCD ，又 DC ⊥ BC ，可得 DC ⊥ 平面 A 'BC ，则 DC ⊥ BA ' ，所以 BA ' ⊥ 平面 A 'DC ，在 △Rt BA 'C 中，设 BA ' = 1 ，则 BC = 2 ，所以 A 'C = 1 ，说明 O 为 BC 的中点；当 A ' 点在底面上的射影 E 落在 BD 上时，可知 A 'E ⊥ BD ，3， BE = ． 3 3要使点 A ' 在平面 BCD 上的射影 F 在 △BCD 内（不含边界），则点 A ' 的射影 F 落在线段 OE 上（不含端点）．可知 ∠A 'EF 为二面角 A ' - BD - C 的平面角θ ，直线 A 'D 与平面 BCD 所成的角为 ∠A 'DF = α ，直线 A 'C 与平面 BCD 所成的角为 ∠A 'CF = β ，可求得 DF > CF ，所以 AC < A 'D ，且 A 'E =6 < 1，3而 A 'C 的最小值为 1，所以 s in ∠A 'DF < sin ∠ACF < sin ∠A 'EO ，则 α < β < θ ．故选 D ．。
专题18 三角函数综合-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(解析版)
专题18 三角函数综合【母题来源一】【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R ． （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数， 所以对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）由题可得2222[()][()]124ππsin ()sin ()124y f x x x f x =ππ=++++++ππ1cos(2)1cos(2)136212sin 2)2222x x x x -+-+=+=--π1cos(2)23x =-+． 因此，函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域是[1,1]22-+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力．【母题来源二】【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值；（2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-． 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=．（2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±．由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-． 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换． （1）首先利用三角函数的定义求得sin α，然后利用诱导公式，计算sin （α+π）的值;（2）根据sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()+αβ的值，要注意该值的正负，然后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos β的值．【母题来源三】【2017年高考浙江卷】已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ． （1）求2()3f π的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）()f x 的最小正周期是π；单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ．【解析】（1）由2sin3π=21cos 32π=-，可得22211()()()2322f π=----=． （2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =，可得()cos 22f x x x =--2sin(2)6x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ， 解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数sin()y A x ωϕ=+的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即sin()y A x ωϕ=+，然后利用三角函数sin y A u =的性质求解．【命题意图】1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．3．通过考查三角恒等变换公式等相关知识，考查转化思想和运算求解能力．4．三角函数的图象与性质，高考重点考查三角函数的性质、图象及平移变换、运算能力、等价转化及数学结合思想． 【命题规律】一般以选择题或填空题的形式考查，主要从公式的变用、逆用以及角度的关系等角度，考查方程思想和运算求解能力，热点是三角函数的值域、最值、单调性、对称性及三角函数解析式的确定，且常常与三角变换结合在一起考查．试题难度不大，多为低档题． 【答题模板】三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下． 常见的命题角度有： （1）三角函数的图象变换； （2）三角函数解析式的确定；（3）三角函数的性质（单调性、值域与最值、奇偶性、周期性、对称性等）； （4）函数sin()y A x ωϕ=+的性质与其他知识的综合应用． 【方法总结】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且 3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+， 其中cos ϕϕ==tan b aϕ=4．半角公式（1）sin2α=；（2）cos2α=；（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+． 5．积化和差公式（1）1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-； （2）1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；（3）1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；（4）1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--．6．和差化积公式（1）sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；（2）sin sin 2cos sin 22αβαβαβ+--=； （3）cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=； （4）cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=-． 7．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-．（2）互余与互补关系例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=． （3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°． 8．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0，ω>0）的性质（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数． （2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ．（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间； 由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间． （4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解， 令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x ． 利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解， 令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴． 9．三角函数值域的不同求法（1）利用sin x 和cos x 的值域直接求；（2）把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； （3）通过换元，转换成二次函数求值域． 10．已知三角函数解析式求单调区间：（1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；（2）求形如y ＝A s in(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．11．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．12．三角函数图象的对称性：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)． 13．求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义；②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2||ωπ， y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为||ωπ．14．确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：（1）求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，[ 则,22M m M mA b -+==． （2）求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得2Tπω=． （3）求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下： “最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时32x ωϕπ+=． 15．易错提醒（1）讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．（2）闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响，注意最值不一定在区间端点处取到．（3）要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．（4）图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来．1．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】已知函数()sin()(0,0)2f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且cos 2cos 0ϕϕ+=．（1）求ω和()2f π的值； （2）若3()(0)25f αα=<<π，求sin α．【答案】（1）2ω=，()22f π=-；（2）310+． 【分析】（1）由()f x 的周期可得ω，结合cos 2cos 0ϕϕ+=，且02ϕπ<<，可得3ϕπ=，进而得()sin(2)3f x x π=+，代入计算即可得()2f π的值；（2）由3()(0)25f αα=<<π，得4co s ()35απ+=-，则sin sin[()]33a a ππ=+-，化简即可求值．【解析】（1）因为函数()sin()(0,0)2f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，所以2ππω=，解得2ω=． 因为cos 2cos 0ϕϕ+=，所以22cos 1cos 0ϕϕ-+=，解得cos 1ϕ=-（舍去）或1cos 2ϕ=， 因为02ϕπ<<，所以3ϕπ=，所以()sin(2)3f x x π=+，所以()sin()232f ππ=π+=-．（2）因为3()sin()235f ααπ=+=<，所以2απ+为钝角，所以4cos()35απ+==-， 所以(sin sin 3[])3a αππ-+= sin cos cos sin 33()()33ααππ=-ππ++314525=⨯+=． 【名师点睛】本题考查了求三角函数的解析式，同角三角函数的关系，两角和与差的正弦公式的应用，属于基础题．2．【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷】已知函数．（1）求的值；（2）当，时，求函数的取值范围．【答案】（1）1；（2），．【分析】（1）由三角恒等变换的公式化简得，即可求解的值；（2）由（1）得，当，时，得，，即可求解的取值范围．【解析】（1）由题可得，则．（2）由（1）得，当，时，，，则，，即的取值范围为，．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象与性质的最基本知识点是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】已知函数，其中，3．且．（1）求的值；（2）求的最小正周期和单调递减区间．；（2）[，]．【答案】（1）4【分析】（1）由 及函数 的解析式可得出4；（2）将原式化简为，然后根据周期计算公式和正弦的递减区间求法即可得结论．【解析】（1）由题可得= ，又，所以，所以4．（2）由（1）可得， 所以函数 最小正周期 ，函数 单调递减区间为[，] ．【名师点睛】考查三角函数的化简和基本性质，正确化简是解题关键，属于基础题． 4．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】如图，在单位圆上，∠AOB ＝α(62αππ<<)，∠ BOC＝3π ，且△AO C（1）求sin α的值； （1）求2cos()sin(()2326ααππ-+．【答案】（1；（2）87．【分析】由题意先求得sin()3απ+，再利用两角差的正弦公式求得结果．【解析】（1）由题可得1sin()23AOC S απ=+=△，所以sin()3απ+=， 因为62απ<<π，所以5236απππ<+<，所以1cos()37απ+=-， 所以sin sin()33ααππ=+-sin()cos cos()sin 3333ααππππ=+-+1127+ （2）因为cos()cos()sin()2326226αααππππ-=+-=+， 所以282cos()sin()2sin ()1cos()23262637ααααππππ-+=+=-+=． 【名师点睛】本题主要考查诱导公式及同角基本关系式的应用，考查了两角差的正弦公式、二倍角公式，属于中档题．5．【浙江省七彩联盟2018-2019学年第一学期高三11月期中考试】已知函数． （1）求函数 的对称轴方程；（2）将函数 的图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象，若关于x 的方程 在 ，上恰有一解，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）对称轴方程为， ．（2） ， ．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 的解析式，再利用正弦函数的对称性，求得函数 的对称轴方程；（2）由题意在 ，上恰有一解，再利用正弦函数的单调性，结合函数的图象，求得实数m 的取值范围．【解析】（1）由题可得函数，令，可得， ，故函数 的对称轴方程为， ．（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数的图象，若关于x 的方程 在 ，上恰有一解，即在 ，上恰有一解， 即在 ，上恰有一解．在 ，上，，，函数，当，时，单调递增；当，时，单调递减，而 ，，，所以或，解得 或 ，即实数m 的取值范围 ， ．【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的对称性，正弦函数的单调性，属于中档题． 6．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若()6f α=，3(,)88αππ∈，求cos2α的值．【答案】（1）3[,]()88k k k π-π+π+π∈Z ；（2【解析】（1）由题可得11cos21()sin2)2224x f x x x +π=+-=+， 令222242k x k πππ-+π≤+≤+π，可得88k x k 3π-π+π≤≤+π， 函数()f x 的单调增区间是3[,]()88k k k π-π+π+π∈Z ．（2）由()6f α=，可得1sin(2)43απ+=，因为3(,)88απ∈π，所以2(,)42αππ+∈π，所以cos(2)4απ+=所以cos2cos[(2)]44ααππ=+-=7．【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】已知函数()sin cos )222x x xf x =+． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 中的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()f B =，且b =22a c +的取值范围． 【答案】（1）π5π[2π,2π]66k k -++，k ∈Z ；（2）(3,6]．【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式可得函数π()sin()3f x x =-+间；（2）由()f B =可得π=3B ，利用余弦定理可以得到,a c 的关系式，再利用基本不等式可求22a c +的取值范围．【解析】（1）由题可得2()sin cos 222x x x f x =+1cos )sin 22x x =-+πsin()32x =-+， 所以πππ2π2π232k x k -+<-<+，解得π5π2π2π66k x k -+<<+，k ∈Z ． 所以函数()f x 的单调递增区间为π5π[2π,2π]66k k -++，k ∈Z ．（2）因为π()sin()322f B B =-+=，所以πsin()03B -=，所以π=3B ．又b =223a c ac =+-，即22=3+a c ac +，而222a c ac +≥，所以3ac ≤，即226a c +≤， 又2233a c ac +=+>，所以2236a c <+≤， 故22a c +的取值范围为(3,6]．【名师点睛】（1）对于形如()sin cos f x a x b x ωω=+的函数，我们可将其化简为()f x =)x ωϕ+，其中cos ϕ=sin ϕ=；（2）解三角形中的范围问题，可以利用正弦定理把目标函数转为关于角的三角函数，也可以利用基本不等式及已知的等式关系求出相应的范围．8．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模）】已知函数1(=cos cos )+2f x x x x -）． （1）求π()3f 的值；（2）当π[0,]2x ∈时，不等式()2c f x c <<+恒成立，求实数c 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）1(1,)2--．【解析】（1）21()cos cos 2f x x x x =-+1=2cos 222x x -π=sin(2)6x -，所以π()13f =．（2）因为π02x ≤≤， 所以ππ5π2666x -≤-≤，所以1sin 226x π-≤-≤（）1． 由不等式()2c f x c <<+恒成立，可得1221c c ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩，解得112c -<<-． 所以实数c 的取值范围为1(1,)2--．【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．（1）首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数值即可；（2）首先求得函数()f x 在区间π[0,]2上的值域，然后结合恒成立的结论得到关于c 的不等式组，求解不等式组可得c 的取值范围．9．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考】已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+． （1）求7()12f π的值； （2）已知锐角ABC △，()1f A =，12ABC S =△，b c +=a ． 【答案】（1）0；（21．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，即可代入求值；（2）由()f A =2sin(2)16A π-=，可得6A π=，由三角形的面积公式，余弦定理可求a 的值．【解析】由题可得2()cos 2cos 1cos22sin(2)6f x x x x x x x π=-+=-=-，（1）77()2sin(2)2sin 012126f πππ=⨯-=π=． （2）由()2sin(2)16f A A π=-=，可得1sin(2)62A π-=，因为(0,)2A π∈，所以52(,)666A πππ-∈-，所以266A ππ-=，解得6A π=，因为111sin 242ABC S bc A bc ===△，b c +=所以2bc =，224b c +=，所以2222cos 4224a b c bc A =+-=-⨯=-，所以1a ==．10．【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】已知函数 ．（1）求 的最小正周期；（2）若在 中 ，，求的值． 【答案】（1） ；（2） 或．【分析】（1）先利用三角恒等变换的公式化简函数 ，再求其最小正周期；（2）先化简 ，得到，B =或，，再利用正弦定理求的值．【解析】（1）由题可得， 所以函数 的最小正周期为．（2）因为 ，所以， 因为A +B =，所以，所以， 所以，所以，所以 ，所以 或． 所以 ，B = 或 ，． 所以或．【名师点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和转化能力；（2）解答本题注意不要漏解，或．11．【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试】已知函数2()cos(2)sin (0)2f x x x ϕϕ=++≤<π．（1）若6ϕπ=，求()f x 的值域； （2）若()f x 的最大值是32，求ϕ的值．【答案】（1）[0,1]；（2）2π．【分析】（1）6ϕπ=时，化简函数()f x ，利用三角函数的性质求出()f x 的值域；（2）化简函数()f x ，根据三角函数的图象与性质求出ϕ的值．【解析】（1）由题可得1111()cos2cos(2)42232f x x x x π=+=++， 所以函数()f x 的值域为[0,1]．（2）由题意11())cos 2sin222f x x x ϕϕ=--+， 因为函数()f x 的最大值为32，所以221))12ϕϕ-+=，所以cos 0ϕ=， 又0ϕ≤<π，所以2ϕπ=． 【名师点睛】对三角函数考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强．解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解．12．【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷二】已知函数．（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求在[，]上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最小值为0，最大值为．【分析】（1）将函数解析式化简即可求出函数的最小正周期；（2）根据正弦函数的图象和性质即可求出函数在定义域上的最大值和最小值．【解析】（1）由题可得，所以的最小正周期为．（2）因为，，所以，所以当，即时，；当，即时，．综上，的最小值为0，最大值为．【名师点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦公式展开，辅助角公式，三角函数的性质等，较为综合，也是常考题型，需要计算正确，属于基础题．13．【浙江省台州中学2018届高三模拟】已知向量，，，，函数．（1）求图象的对称中心；（2）求在区间[，]上的最大值和最小值，并求出相应的值．【答案】（1），，；（2）时，最小值为，时，最大值为．【分析】（1）首先利用向量的数量积坐标公式求得函数 的解析式，并应用差角公式和辅助角公式对其进行化简，得到，之后借助于正弦曲线的对称中心求得结果；（2）根据题中所给的 ，，可以得到， ，结合正弦函数的性质，求得函数在给定区间上的最值，并求出相对应的自变量的值．【解析】（1）由题可得， 令，得， ，所以对称中心为， ， ．（2）当 ， 时，，，， ， ， ，且时，最小值为 ，时，最大值为 ．【名师点睛】该题考查的是有关正弦型函数的有关性质，涉及到的知识点有向量的数量积坐标公式，正弦函数的对称中心，正弦函数在给定区间上的最值问题，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，保证公式的正确使用，注意对整体角思维的运用，再者就是不要忘记 ．14．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知函数2()2cos cos f x x x x =-．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求方程1()3f x =-在区间[0,]2π内的所有实根之和． 【答案】（1）[,]63k k πππ-π+，k ∈Z ；（2）23π． 【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化为基本三角函数，再根据正弦函数性质即可求减区间；（2）根据正弦函数图象与性质求简单三角方程的根．【解析】（1）由题可得()1cos212sin(2)6f x x x x π=+=--， 由()f x 单调递减可知，sin(2)6x π-递增，故222262k x k ππππ-≤-≤π+，k ∈Z ，即63k x k πππ-≤≤π+． 所以函数()f x 的单调递增区间是[,]63k k πππ-π+，k ∈Z ．（2）由112sin(2)63x π--=-，可得2sin(2)63x π-=．由sin(2)6x π-在[0,]3π上递增，在[,]32ππ上递减，且12123<<， 可得方程2sin(2)63x π-=在[0,]2π上有两不等实根α，β，且23αβ+π=． 所以23αβπ+=，故方程1()3f x =-在区间[0,]2π内的所有实根之和为23π．【名师点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数图象与性质，考查综合分析与求解能力，属中档题．15．【浙江省2019年高考模拟训练卷三】已知函数()),4f x x x π=+∈R ．（1）求函数()f x 在[0,]4π上的值域； （2）若01()3f x =，求0tan x ． 【答案】（1）；（2）34． 【分析】（1）根据[0,]4x π∈可求得24x π+的范围，利用正弦函数在3[,]44ππ的图象特点可求得函数()f x 在[0,]4π上的值域；（2）将()f x 展开，结合二倍角公式及同角基本关系式，将弦化切，直接解方程即可．【解析】（1）因为[0,]4x π∈，所以32444x πππ≤+≤， 当242x ππ+=时，()f x， 当244x ππ+=时，()f x 最小为1， 所以函数()f x 在[0,]4π上的值域为；（2）由题可得22222sin cos cos sin ())sin2cos24cos sin x x x xf x x x x x xπ+-=+=+=+，因为01()3f x =，所以22000022002sin cos cos sin 1cos sin 3x x x x x x +-=+， 化简可得2002tan 3tan 10x x --=，所以0tan x =【名师点睛】本题着重考查了三角函数的图象与性质，考查了利用同角基本关系求值问题，考查了二倍角公式，属于中档题．16．【浙江省诸暨市2018届高三5月适应性考试】已知函数．（1）求的值；（2）设 是 中的最小角，，求的值． 【答案】（1） ；（2）．【分析】（1）代入函数 的解析式求值即可；（2）化 为正弦型函数，根据， 的值求的值． 【解析】（1）由题可得．（2），因为 ， ，所以 ，，所以 ， ， ，， 所以．17．【浙江省杭州高级中学2019届高三上学期期中考试】已知函数2()cos cos()2f x x x x π=+．（1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的值． （2）若01()10=-f x ，0(,)123x ππ∈，求0cos 2x 的值．【答案】（1）当,6x k k π=-+π∈Z 时，max 3()2=f x ；（2． 【分析】（1）化简函数()f x ，结合正弦函数的图象与性质得到结果； （2）利用两角和余弦公式即可得到0cos2x 的值．【解析】（1）由题可得2()cos cos()2f x x x x π=+1cos 2sin 222x x +=-1sin(2)62x π=--+， 故当,6x k k π=-+π∈Z 时，max 3()2=f x ． （2）因为01()10f x =-，0(,)123x ππ∈， 所以011sin(2)6210x π--+=-，即03sin(2)65x π-=， 又02(0,)62x ππ-∈，所以04cos(2)65x π-=，所以00003cos2cos[(2)]?cos(2)cos ?sin(2)sin 66666610x x x x ππππππ=-+=---=． 【名师点睛】本题考查了三角函数的图象与性质及三角函数的求值问题，研究三角函数的性质关键是化成标准形式；三角函数求值问题关键是选择适当的公式，根据角的关系建立已知表达式和求解的表达式之间的关系．。
(完整word版)2019年浙江省高考数学试卷解析(精品)
2019年浙江省高考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则（∁U A）∩B=（）A. {−1}B. {0,1}C. {−1,2，3}D. {−1,0，1，3}2.渐进线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（）A. √22B. 1C. √2D. 23.若实数x，y满足约束条件{x−3y+4≥03x−y−4≤0x+y≥0，则z=3x+2y的最大值是（）A. −1B. 1C. 10D. 124.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A. 158B. 162C. 182D. 3245.若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.在同一直角坐标系中，函数y=1a x ，y=1og a（x+12）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A. B.C. D.7.X0a1P 131313则当a 在（0，1）内增大时，（ ） A. D(X)增大 B. D(X)减小 C. D(X)先增大后减小 D. D(X)先减小后增大8. 设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则（ ）A. β<γ，α<γB. β<α，β<γC. β<α，γ<αD. α<β，γ<β9. 设a ，b ∈R ，函数f （x ）={x ，x ＜0，13x 3−12(a +1)x 2+ax ，x ≥0．若函数y =f （x ）-ax -b 恰有3个零点，则（ ）A. a <−1，b <0B. a <−1，b >0C. a >−1，b <0D. a >−1，b >0 10. 设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n ∈N *，则（ ）A. 当b =12时，a 10>10 B. 当b =14时，a 10>10 C. 当b =−2时，a 10>10D. 当b =−4时，a 10>10二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 复数z =11+i （i 为虚数单位），则|z |=______．12. 已知圆C 的圆心坐标是（0，m ），半径长是r ．若直线2x -y +3=0与圆C 相切于点A（-2，-1），则m =______，r =______．13. 在二项式（√2+x ）9展开式中，常数项是______，系数为有理数的项的个数是______． 14. 在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，BC =3，点D 在线段AC 上，若∠BDC =45°，则BD =______，cos ∠ABD =______． 15. 已知椭圆x 29+y 25=1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是______．16. 已知a ∈R ，函数f （x ）=ax 3-x ．若存在t ∈R ，使得|f （t +2）-f （t ）|≤23，则实数a 的最大值是______．17. 已知正方形ABCD 的边长为1．当每个λi （i =1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是______，最大值是______． 三、解答题（本大题共5小题，共71.0分） 18. 设函数f （x ）=sin x ，x ∈R ．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f （x +θ）是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数y =[f （x +π12）]2+[f （x +π4）]2的值域．19. 如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC =90°，∠BAC =30°，A 1A =A 1C =AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点． （Ⅰ）证明：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．20. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=4，a 4=S 3．数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n +b n ，S n +1+b n ，S n +2+b n 成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）记c n =√an2b n，n ∈N *，证明：c 1+c 2+…+c n ＜2√n ，n ∈N *．21. 如图，已知点F （1，0）为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2． （Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求S 1S 2的最小值及此时点G 点坐标．22.已知实数a≠0，设函数f（x）=a ln x+√1+x，x＞0．（Ⅰ）当a=-34时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意x∈[1e2，+∞）均有f（x）≤√x2a，求a的取值范围．注意：e=2.71828……为自然对数的底数．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵∁U A={-1，3}，∴（∁U A）∩B={-1，3}∩{-1，0，l}={-1}故选：A．由全集U以及A求A的补集，然后根据交集定义得结果．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】C【解析】解：根据渐进线方程为x±y=0的双曲线，可得a=b，所以c=则该双曲线的离心率为e==，故选：C．由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可．本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=3x+2y为y=-x+z，由图可知，当直线y=-x+z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值：10．故选：C．4.【答案】B【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即=27，高为6，则该柱体的体积是V=27×6=162．故选：B．由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面积，代入体积公式得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力．充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果.【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴4≥a+b≥2，∴2≥，∴ab≤4，即a+b≤4⇒ab≤4，若a=4，b=，则ab=1≤4，但a+b=4+＞4，即ab≤4推不出a+b≤4，∴a+b≤4是ab≤4的充分不必要条件故选A．6.【答案】D【解析】解：由函数y=，y=1og a（x+），当a＞1时，可得y=是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y=1og a（x+），是递增函数，图象恒过（，0）点；当1＞a＞0时，可得y=是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y=1og a（x+），是递减函数，图象恒过（，0）点；∴满足要求的图象为D，故选D．对a进行讨论，结合指数，对数函数的性质即可判断.本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：E（X）=0×+a×+1×=，D（X）=（）2×+（a-）2×+（1-）2×=[（a+1）2+（2a-1）2+（a-2）2]=（a2-a+1）=（a-）2+∵0＜a＜1，∴D（X）先减小后增大故选：D．方差公式结合二次函数的单调性可得结果本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：方法一、如图G为AC的中点，V在底面的射影为O，则P在底面上的射影D在线段AO上，作DE⊥AC于E，易得PE∥VG，过P作PF∥AC于F，过D作DH∥AC，交BG于H，则α=∠BPF，β=∠PBD，γ=∠PED，则cosα===＜=cosβ，可得β＜α；tanγ=＞=tanβ，可得β＜γ，方法二、由最小值定理可得β＜α，记V-AC-B的平面角为γ'（显然γ'=γ），由最大角定理可得β＜γ'=γ；方法三、（特殊图形法）设三棱锥V-ABC为棱长为2的正四面体，P为VA的中点，易得cosα==，可得sinα=，sinβ==，sinγ==，故选：B．本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二倍角的概念和计算，解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小，充分运用图象，则可事半功倍，本题考查空间三种角的求法，常规解法下易出现的错误的有：不能正确作出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简单解法．9.【答案】C【解析】解：当x＜0时，y=f（x）-ax-b=x-ax-b=（1-a）x-b=0，得x=；y=f（x）-ax-b最多一个零点；当x≥0时，y=f（x）-ax-b=x3-（a+1）x2+ax-ax-b=x3-（a+1）x2-b，y′=x2-（a+1）x，当a+1≤0，即a≤-1时，y′≥0，y=f（x）-ax-b在[0，+∞）上递增，y=f（x）-ax-b最多一个零点．不合题意；当a+1＞0，即a＜-1时，令y′＞0得x∈[a+1，+∞），函数递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点⇔函数y=f（x）-ax-b在（-∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如右图：∴＜0且，解得b＜0，1-a＞0，b＞-（a+1）3．故选：C．当x＜0时，y=f（x）-ax-b=x-ax-b=（1-a）x-b最多一个零点；当x≥0时，y=f（x）-ax-b=x3-（a+1）x2+ax-ax-b=x3-（a+1）x2-b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．10.【答案】A【解析】解：对于B，令=0，得λ=，取，∴，∴当b=时，a10＜10，故B错误；对于C，令x2-λ-2=0，得λ=2或λ=-1，取a1=2，∴a2=2，…，a n=2＜10，∴当b=-2时，a10＜10，故C错误；对于D，令x2-λ-4=0，得，取，∴，…，＜10，∴当b=-4时，a10＜10，故D错误；对于A，，，≥，a n+1-a n＞0，{a n}递增，当n≥4时，=a n+＞1+=，∴，∴＞（）6，∴a10＞＞10．故A正确．故选：A．对于B，令=0，得λ=，取，得到当b=时，a10＜10；对于C，令x2-λ-2=0，得λ=2或λ=-1，取a1=2，得到当b=-2时，a10＜10；对于D，令x2-λ-4=0，得，取，得到当b=-4时，a10＜10；对于A，，，≥，当n≥4时，=a n+＞1+=，由此推导出＞（）6，从而a10＞＞10．本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，是中档题．11.【答案】√22【解析】解：∵z==．∴|z|=．故答案为：．利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用模的计算公式求模．本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题．12.【答案】-2 √5【解析】解：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得m=-2．∴圆心为（0，-2），则半径r=．故答案为：-2，．由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直列式求得m，再由两点间的距离公式求半径．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．13.【答案】16√2 5【解析】解：二项式的展开式的通项为=．由r=0，得常数项是；当r=1，3，5，7，9时，系数为有理数，∴系数为有理数的项的个数是5个．故答案为：，5．写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得常数项；再由2的指数为整数求得系数为有理数的项的个数．本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．14.【答案】12√257√2 10【解析】解：在直角三角形ABC中，AB=4，BC=3，AC=5，sinC=，在△BCD中，可得=，可得BD=；∠CBD=135°-C，sin∠CBD=sin（135°-C）=（cosC+sinC）=×（+）=，即有cos∠ABD=cos（90°-∠CBD）=sin∠CBD=，故答案为：，，解直角三角形ABC，可得sinC，cosC，在三角形BCD中，运用正弦定理可得BD；再由三角函数的诱导公式和两角和差公式，计算可得所求值．本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函数的恒等变换，化简整理的运算能力，属于中档题．15.【答案】√15【解析】解：椭圆=1的a=3，b=，c=2，e=，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，连接AO，可得|PF'|=2|AO|=4，设P的坐标为（m，n），可得3-m=4，可得m=-，n=，由F（-2，0），可得直线PF的斜率为=．故答案为：．求得椭圆的a，b，c，e，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径半径，求得P的坐标，再由两点的斜率公式，可得所求值．本题考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】43【解析】解：存在t∈R，使得|f（t+2）-f（t）|≤，即有|a（t+2）3-（t+2）-at3+t|≤，化为|2a（3t2+6t+4）-2|≤，可得-≤2a（3t2+6t+4）-2≤，即≤a（3t2+6t+4）≤，由3t2+6t+4=3（t+1）2+1≥1，可得0＜a≤，可得a的最大值为．故答案为：．由题意可得|a（t+2）3-（t+2）-at3+t|≤，化为|2a（3t2+6t+4）-2|≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值，以及不等式的性质，不等式有解思想，可得a的范围，进而得到所求最大值．本题考查不等式成立问题解法，注意运用去绝对值和分离参数法，考查化简变形能力，属于基础题．17.【答案】0 2√5【解析】解：正方形ABCD 的边长为1，可得+=，=-， •=0， |λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6| =|λ1+λ2-λ3-λ4+λ5+λ5+λ6-λ6|=|（λ1-λ3+λ5-λ6）+（λ2-λ4+λ5+λ6）| =，由于λi （i=1，2，3，4，5，6）取遍±1， 可得λ1-λ3+λ5-λ6=0，λ2-λ4+λ5+λ6=0，可取λ5=λ6=1，λ1=λ3=1，λ2=-1，λ4=1， 可得所求最小值为0；由λ1-λ3+λ5-λ6，λ2-λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2=1，λ4=-1，λ5=λ6=1，λ1=1，λ3=-1，可得所求最大值为2．故答案为：0，2． 由题意可得+=，=-，•=0，化简|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|=，由于λi （i=1，2，3，4，5，6）取遍±1，由完全平方数的最值，可得所求最值．本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力，属于基础题． 18.【答案】解：（1）由f （x ）=sin x ，得f （x +θ）=sin （x +θ），∵f （x +θ）为偶函数，∴θ=π2+kπ（k ∈Z ）， ∵θ∈[0，2π），∴θ=π2或θ=3π2，（2）y =[f （x +π12）]2+[f （x +π4）]2=sin 2（x +π12）+sin 2（x +π4） =1−cos(2x+π6)2+1−cos(2x+π2)2=1-12(cos2xcos π6−sin2xsin π6−sin2x) =34sin2x −√34cos2x +1=√32sin(2x −π6)+1，∵x ∈R ，∴sin(2x −π6)∈[−1，1]，∴y =√32sin(2x −π6)+1∈[1−√32，1+√32]，∴函数y =[f （x +π12）]2+[f （x +π4）]2的值域为：[1−√32，1+√32]．【解析】（1）函数f （x+θ）是偶函数，则=（k ∈Z ），根据的范围可得结果； （2）化简函数得y=，然后根据x 的范围求值域即可．本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属基础题． 19.【答案】方法一：证明：（Ⅰ）连结A 1E ，∵A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，∴A 1E ⊥AC ，又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，∴A 1E ⊥平面ABC ，∴A 1E ⊥BC ，∵A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，∴BC ⊥A 1F ， ∴BC ⊥平面A 1EF ，∴EF ⊥BC ．解：（Ⅱ）取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则EGFA 1是平行四边形， 由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ， ∴平行四边形EGFA 1是矩形， 由（Ⅰ）得BC ⊥平面EGFA 1， 则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，∴EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上，连结A 1G ，交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成角（或其补角）， 不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E =2√3，EG =√3，∵O 是A 1G 的中点，故EO =OG =A 1G 2=√152， ∴cos ∠EOG =EO 2+OG 2−EG 22×EO×OG=35， ∴直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值为35．方法二：证明：（Ⅰ）连结A 1E ，∵A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点， ∴A 1E ⊥AC ，又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， ∴A 1E ⊥平面ABC ，如图，以E 为原点，EC ，EA 1所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设AC =4，则A 1（0，0，2√3），B （√3，1，0），B 1（√3，3，2√3），F （√32，32，2√3），C （0，2，0），EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（√32，32，2√3），BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-√3，1，0）， 由EF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得EF ⊥BC ． 解：（Ⅱ）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ， 由（Ⅰ）得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-√3，1，0），A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，-2√3），设平面A 1BC 的法向量n⃗ =（x ，y ，z ）， 则{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√3x +y =0A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =y −√3z =0，取x =1，得n⃗ =（1，√3，1）， ∴sinθ=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EF⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=45， ∴直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值为35． 【解析】法一：（Ⅰ）连结A 1E ，则A 1E ⊥AC ，从而A 1E ⊥平面ABC ，A 1E ⊥BC ，推导出BC ⊥A 1F ，从而BC ⊥平面A 1EF 由此能证明EF ⊥BC ．（Ⅱ）取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则EGFA 1是平行四边形，推导出A 1E ⊥EG ，从而平行四边形EGFA 1是矩形，推导出BC ⊥平面EGFA 1，连结A 1G ，交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成角（或其补角），由此能求出直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值． 法二：（Ⅰ）连结A 1E ，推导出A 1E ⊥平面ABC ，以E 为原点，EC ，EA 1所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算．要证线面垂直，需证线线垂直，而线线垂直可以通过平面中的勾股定理、等腰三角形的性质等来证明，也可以通过另外的线面垂直来证明．求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底面．20.【答案】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，由题意得{a 1+2d =4a 1+3d =3a 1+3d，解得a 1=0，d =2， ∴a n =2n -2，n ∈N *． ∴S n =n 2-n ，n ∈N *，∵数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n +b n ，S n +1+b n ，S n +2+b n 成等比数列． ∴（S n +1+b n ）2=（S n +b n ）（S n +2+b n ），解得b n =1d (S n+12−S n S n+2)， 解得b n =n 2+n ，n ∈N *．证明：（Ⅱ）c n =√a n2b n=√2n−22n(n+1)=√n−1n(n+1)，n ∈N *， 用数学归纳法证明：①当n =1时，c 1=0＜2，不等式成立；②假设n =k ，（k ∈N *）时不等式成立，即c 1+c 2+…+c k ＜2√k ， 则当n =k +1时， c 1+c 2+…+c k +c k +1＜2√k +√k (k+1)(k+2)＜2√k +√1k+1＜2√k +2√k+1+√k =2√k +2(√k +1−√k)=2√k +1， 即n =k +1时，不等式也成立．由①②得c 1+c 2+…+c n ＜2√n ，n ∈N *． 【解析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出a 1=0，d=2，从而a n =2n-2，n ∈N *．S n =n 2-n ，n ∈N *，利用（S n+1+b n ）2=（S n +b n ）（S n+2+b n ），能求出b n ． （Ⅱ）==，n ∈N *，用数学归纳法证明，得到c 1+c 2+…+c n ＜2，n ∈N *．本题考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力和综合应用能力．21.【答案】解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得：p2=1，∴p =2，∴抛物线的准线方程为x =-1；（Ⅱ）设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），C （x C ，y C ），重心G （x G ，y G ）， 令y A =2t ，t ≠0，则x A =t 2，由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为x =t 2−12ty +1，代入y 2=4x ，得：y 2−2(t 2−1)t y −4=0，∴2ty B =-4，即y B =-2t ，∴B （1t 2，-2t ），又x G =13（x A +x B +x C ），y G =13（y A +y B +y C ），重心在x 轴上， ∴2t −2t +y C =0，∴C （（1t −t ）2，2（1t −t ）），G （2t 4−2t 2+23t 2，0），∴直线AC 的方程为y -2t =2t （x -t 2），得Q （t 2-1，0）， ∵Q 在焦点F 的右侧，∴t 2＞2， ∴S 1S 2=12|FG|⋅|y A |12|QG|⋅|y C |=|2t 4−2t 2+13t 2|⋅|2t||t 2−1−2t 4−2t 2+23t 2|⋅|2t−2t|=2t 4−t 2t 4−1=2-t 2−2t 4−1，令m =t 2-2，则m ＞0，S 1S 2=2-mm 2+4m+3=2-1m+3m+4≥2-12√m⋅3m+4=1+√32，∴当m =√3时，S 1S 2取得最小值为1+√32，此时G （2，0）．【解析】（Ⅰ）由抛物线的性质可得：=1，由此能求出抛物线的准线方程；（Ⅱ）设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），C （x C ，y C ），重心G （x G ，y G ），令y A =2t ，t≠0，则，从而直线AB 的方程为x=，代入y 2=4x ，得：，求出B （，-），由重心在x 轴上，得到=0，从而C （（）2，2（）），G （，0），进崦直线AC 的方程为y-2t=2t （x-t 2），得Q （t 2-1，0），由此结合已知条件能求出结果．本题考查实数值、抛物线标准方程的求法，考查三角形的面积的比值的最小值及相应点的坐标的求法，考查抛物线、直线方程、重心性质、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 22.【答案】解：（1）当a =-34时，f （x ）=-34lnx +√1+x ，x ＞0，f ′（x ）=-34x 21+x =√1+x−2)(2√1+x+1)4x √1+x，∴函数f （x ）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由f （x ）≤12a ，得0＜a ≤√24，当0＜a ≤√24时，f （x ）≤√x4a，等价于√x a 2-2√1+xa-2ln x ≥0，令t =1a ，则t ≥2√2，设g （t ）=t 2√x -2t √1+x -2ln x ，t ≥2√2， 则g （t ）=√x （t -√1+1x）2-x -2ln x ，（i ）当x ∈[17，+∞）时，√1+1x≤2√2，则g （x ）≥g （2√2）=8√x −4√2√1+x −2lnx ， 记p （x ）=4√x -2√2√1+x -ln x ，x ≥17， 则p ′（x ）=√x√2√x+1-1x=√x √x+1−√2x−√x+1x √x+1 =√x(√2x+2−1)]x √x+1(√x+1)(√x+1+√2x)，∴g （t ）≥g （2√2)=2p(x)=2p （x ）≥0．（ii ）当x ∈[1e 2，17）时，g （t ）≥g （√1+1x）=√xlnx−(x+1)2√x，令q （x ）=2√x ln x +（x +1），x ∈[1e ，17]， 则q ′（x ）=√x +1＞0，故q （x ）在[1e 2，17]上单调递增，∴q （x ）≤q （17），由（i ）得q （17）=-2√77p （17）＜-2√77p （1）=0，∴q （x ）＜0，∴g （t ）≥g （√1+1x）=-2√x ＞0，由（i）（ii）知对任意x∈[1e2，+∞），t∈[2√2，+∞），g（t）≥0，即对任意x∈[1e2，+∞），均有f（x）≤√x2a，综上所述，所求的a的取值范围是（0，√24]．【解析】（1）当a=-时，f′（x）=-=，利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．（2）由f（x）≤，得0＜a≤，当0＜a≤时，f（x）≤，等价于--2lnx≥0，令t=，则t，设g（t）=t2-2t-2lnx，t，则g（t）=（t-）2--2lnx，由此利用分类讨论思想和导导数性质能求出a的取值范围．本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力．。
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从而 tan1
SN EN
SN OM
, tan2
SO EO
,
tan3
SO OM
,
因为 SN SO，EO OM ，所以 tan1 tan3 tan2, 即1 3 2 ，
故选 D． 【名师点睛】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系．
【母题来源三】【2017 年高考浙江卷】如图，已知正四面体 D – ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R 分别
C．β<α，γ<α
D．α<β，γ<β
【答案】B
【解析】如图， G 为 AC 中点，连接 VG，V 在底面 ABC 的投影为 O ，
则 P 在底面的投影 D 在线段 AO 上，过 D 作 DE 垂直于 AC 于 E，连接 PE，BD，易得 PE∥VG ，
过 P 作 PF∥AC 交VG 于 F ，连接 BF，过 D 作 DH∥AC ，交 BG 于 H ， 则 BPF , PBD, PED ，结合△PFB，△BD来源二】【2018 年高考浙江卷】已知四棱锥 S−ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段 AB 上的点
（不含端点），设 SE 与 BC 所成的角为θ1，SE 与平面 ABCD 所成的角为θ2，二面角 S−AB−C 的平面角为θ3，则
A．θ1≤θ2≤θ3
B．θ3≤θ2≤θ1
C．θ1≤θ3≤θ2
可得 cos PF EG DH BD cos ，即 ； PB PB PB PB
在 Rt△PED 中， tan PD PD tan ，即 ， ED BD
综上所述，β<α，β<γ， 故选 B．
【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种 角的计算．解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小．而充分利用图形特征，则 可事倍功半．常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解 法．
（1）几何法：按定义作出异面直线所成的角(即找平行线)，解三角形．
（2）向量法：设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，
设
l，m
的夹角为 (0
)
，则
cos
θ＝|a·b|＝
|a1a2＋b1b2＋c1c2|
．
2
|a||b| a21＋b21＋c21 a22＋b22＋c22
故选 B．
2
【命题意图】
在理解空间线线角、线面角、二面角内在联系的基础上，确定角度的大小关系．
【命题规律】
以空间几何体为载体考查空间角是浙江高考命题的重点，考查热点为异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二
面角的求解，向量法作为传统几何法的补充，为考生答题提供新的工具．
【答题模板】
1．异面直线所成的角
（3）两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线 a,b,记作 a⊥ b． （4）求异面直线所成的角的常见策略 ①求异面直线所成的角常用平移法．平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点 或中点)作平行线平移，利用补形平移． ②求异面直线所成角的步骤 一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； 二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； 三求：解三角形，求出作出的角． 如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． ③判定空间两条直线是异面直线的方法 判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线． 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 2．直线与平面所成的角 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交 点叫做斜足． 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影． 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐．角．，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于 90 ；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说
D．θ2≤θ3≤θ1
【答案】D
【解析】设 O 为正方形 ABCD 的中心，M 为 AB 中点，
过 E 作 BC 的平行线 EF，交 CD 于 F，过 O 作 ON 垂直 EF 于 N，
连接 SO，SN，SE，SM，OM，OE，则 SO 垂直于底面 ABCD，OM 垂直于 AB，
因此 SEN 1, SEO 2, SMO 3,
为
AB，BC，CA
BQ
上的点，AP=PB，
CR
2 ，分别记二面角
D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P
的平面角为 , ,
，
QC RA
则
A． C．
B． D．
【答案】B
【解析】设 O 为三角形 ABC 中心，
则 O 到 PQ 距离最小，O 到 PR 距离最大，O 到 RQ 距离居中， 而三棱锥的高相等，因此 ，
2
|a||μ|
3．二面角 （1）几何法：利用定义作出二面角的平面角，然后计算． （2）向量法：利用两平面的法向量．设平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)，
设二面角α-a-β的平面角为 (0 ) ，则|cos θ|＝||μμ|·|vv||＝|cos〈μ，v〉|．
【方法总结】
1．异面直线所成的角 （1）异面直线所成角的定义 如图,已知两异面直线 a,b,经过空间任一点 O,分别作直线 a′∥a,b′∥b,相交直线 a′，b′所成的锐角（或直角）叫做 异面直线 a 与 b 所成的角（或夹角）．
3
（2）异面直线所成角的范围
异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是 (0, π ] ． 2
2．直线与平面所成的角 （1）几何法：按定义作出直线与平面所成的角（即找到斜线在平面内的投影），解三角形． （2）向量法：设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为μ＝(a2，b2，c2)，
设直线 l 与平面α的夹角为 (0 ) ，则 sin θ＝|a·μ|＝|cos〈a，μ〉|．
专题 08 空间角
【母题来源一】【2019 年高考浙江卷】设三棱锥 V–ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点（不 含端点）．记直线 PB 与直线 AC 所成的角为α，直线 PB 与平面 ABC 所成的角为β，二面角 P–AC–B 的平面角为γ， 则
A．β<γ，α<γ
B．β<α，β<γ