二次函数知识点总结归纳
数学二次函数知识点总结
数学二次函数知识点总结数学二次函数知识点总结在平平淡淡的学习中，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。
为了帮助大家更高效的学习，下面是店铺为大家收集的数学二次函数知识点总结，希望能够帮助到大家！数学二次函数知识点总结篇1二次函数（quadraticfunction）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f（乘）=a乘^2b乘c（a不为0）。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量乘和因变量y之间存在如下关系：一般式y=a乘∧2；b乘c（a≠0，a、b、c为常数），顶点坐标为（-b/2a，-（4ac-b∧2）/4a）；顶点式y=a（乘m）∧2k（a≠0，a、m、k为常数）或y=a（乘-h）∧2k （a≠0，a、h、k为常数），顶点坐标为（-m，k）对称轴为乘=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a乘∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式y=a（乘-乘1）（乘-乘2）[仅限于与乘轴有交点A（乘1，0）和B（乘2，0）的抛物线]；重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小，a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）y=（y3（乘-乘1）（乘-乘2））/（（乘3-乘1）（乘3-乘2）（y2（乘-乘1）（乘-乘3））/（（乘2-乘1）（乘2-乘3）（y1（乘-乘2）（乘-乘3））/（（乘1-乘2）（乘1-乘3）。
由此可引导出交点式的系数a=y1/（乘1乘乘2）（y1为截距）求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
乘是自变量，y是乘的二次函数乘1，乘2=[-b±（√（b^2-4ac））]/2a（即一元二次方程求根公式）求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2乘的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。
在这个表达式中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$ 和 $c$ 是系数，其中 $a$ 称为二次项系数，$b$ 称为一次项系数，$c$ 称为常数项。
二、二次函数的性质1. 抛物线形状：二次函数的图像是一个向上或向下开口的抛物线。
2. 开口方向：当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
3. 对称轴：二次函数图像关于直线 $x = -\frac{b}{2a}$ 对称，这条直线称为抛物线的对称轴。
4. 顶点：抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。
5. 与 X 轴的交点：二次函数与 X 轴的交点称为根，可以通过解方程$ax^2 + bx + c = 0$ 来找到。
三、二次函数的图像1. 顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是顶点坐标。
2. 交点式：$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是与 X 轴的交点坐标。
3. 标准式：$y = ax^2 + bx + c$。
四、求解二次方程1. 因式分解法：当能够找到两个数，它们的和等于 $b$，积等于$c$ 时，可以使用因式分解法。
2. 完全平方法：通过配方将二次方程转化为完全平方的形式。
3. 公式法：使用二次公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ 来求解。
五、二次函数的应用1. 物理运动：描述物体在重力作用下的自由落体运动和抛体运动。
2. 优化问题：在商业和工程中，用于寻找最大利润或最小成本。
3. 数据拟合：在统计学中，用于拟合数据点，找到最佳曲线。
二次函数知识点总结3篇
二次函数知识点总结第一篇：二次函数的基本定义及图像二次函数是指一个多项式中最高次为二次的函数，通常写成 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的形式，其中 a,b,c 为常数，a 不为零。
二次函数是数学中一类重要的函数类型，其图像为对称的抛物线。
一、基本定义对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，其中 a,b,c 为常数，a 不为零：1. a 是二次函数的开口方向和开口程度的决定因素，当a>0 时，抛物线开口向上；当 a<0 时，抛物线开口向下。
2. x=-b/2a 是二次函数的对称轴。
3. (x, y) = (-b/2a, c-b^2/4a) 是二次函数的顶点，也是对称轴上的最高点或最低点。
4. 当 a>0 时，对于任何 x，有$f(x)≥y_{min}$；当a<0 时，对于任何 x，有$f(x)≤y_{max}$，其中$y_{min}$ 和 $y_{max}$ 分别为二次函数的最小值和最大值。
二、图像特征二次函数的图像是一条对称的抛物线，其最高点或最低点位于对称轴上，最大值或最小值发生在相应顶点处。
抛物线与 x 轴的交点称为根，由于对称性，常见情况下二次函数最多有两个根。
三、常用的二次函数图像变换1. 上下移动。
将二次函数整体向上或向下平移 k 个单位，得到一种新的二次函数 $y=f(x)+k$。
2. 左右移动。
将二次函数整体向左或向右平移 k 个单位，得到一种新的二次函数 $y=f(x-k)$ 或 $y=f(x+k)$。
3. 垂直方向压缩或拉伸。
将二次函数沿 y 轴缩短或拉长至原来的 s 倍，得到一种新的二次函数 $y=sf(x)$。
4. 水平方向压缩或拉伸。
将二次函数沿 x 轴缩短或拉长至原来的 s 倍，得到一种新的二次函数 $y=f(sx)$。
总之，二次函数的图像特征以及常用的变换方式是掌握二次函数知识的重要基础。
在实际应用中，这些基础概念和操作将为我们处理二次函数相关问题提供宝贵的帮助和指导。
二次函数的关系知识点总结
二次函数的关系知识点总结一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是指数为2的多项式函数，形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a不等于0。
2. 二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c分别表示二次项系数、一次项系数和常数项。
3. 二次函数的定义域：二次函数的定义域是实数集R，即自变量x的取值范围是整个实数集。
4. 二次函数的值域：二次函数的值域取决于二次项系数a的正负性，当a>0时，值域为[0,+∞)，当a<0时，值域为(-∞,0]。
5. 二次函数的最值：二次函数的最值与二次项系数a的正负性有关，当a>0时，最小值为c，无最大值；当a<0时，最大值为c，无最小值。
6. 二次函数的零点：二次函数的零点是指二次函数与x轴相交的点，是方程ax^2+bx+c=0的根，可以通过求根公式或配方法求得。
二、图像特征1. 二次函数的图像特征：二次函数的图像是一个抛物线，抛物线开口的方向取决于二次项系数a的正负性，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线，x=-b/2a即为二次函数的对称轴，对称轴上的点为抛物线的对称中心。
3. 二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，即抛物线的最值点，顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标为函数的最值。
4. 二次函数的焦点：二次函数的焦点是指抛物线的对称轴与抛物线的顶点之间的中点。
5. 二次函数的平移变换：二次函数的图像可以通过平移变换实现平移，平移的一般形式为y=ax^2+b(x-h)+k，其中h、k分别表示横坐标和纵坐标的平移量。
三、性质1. 二次函数的奇偶性：二次函数的奇偶性与一次项系数b有关，当b为偶数时，二次函数为偶函数；当b为奇数时，二次函数为奇函数。
2. 二次函数的导数：二次函数的导数是一次函数，由导数的定义可知，二次函数的导数等于二次项系数与一次项系数的和。
二次函数的相关知识点总结
二次函数的相关知识点总结一、二次函数的概念。
1. 定义。
- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项。
- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。
二、二次函数的图象。
1. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。
2. 抛物线的顶点坐标。
- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 例如，对于二次函数y=x^2-2x - 3，其中a = 1，b=-2，c=-3。
根据顶点坐标公式，-(b)/(2a)=-(-2)/(2×1)=1，frac{4ac - b^2}{4a}=frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=(-12 - 4)/(4)=-4，所以顶点坐标为(1,-4)。
3. 抛物线的对称轴。
- 对称轴方程为x =-(b)/(2a)。
4. 抛物线的开口方向。
- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 例如，y = 3x^2+2x - 1中a = 3>0，开口向上；y=-2x^2+5x+3中a=-2 < 0，开口向下。
三、二次函数的性质。
1. 增减性。
- 当a>0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大。
- 当a < 0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小。
2. 最值。
- 当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，y_min=frac{4ac - b^2}{4a}，此时x =-(b)/(2a)。
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
其中，a 控制抛物线的开口方向和大小，b控制抛物线在x轴方向的平移，c控制抛物线在y轴方向的平移。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个称为抛物线的曲线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的顶点和对称轴二次函数的图像在抛物线上的最高（或最低）点称为顶点，顶点的横坐标x=-b/2a，即抛物线的对称轴，纵坐标等于f(-b/2a)，即y的最小值或最大值。
4. 二次函数的零点二次函数在x轴上的交点称为零点，满足f(x)=0时的x值。
零点的判别式为Δ=b²-4ac，当Δ>0时，有两个不相等的实根；当Δ=0时，有两个相等的实根；当Δ<0时，无实根。
5. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。
二、解析式求解1. 一般形式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c。
通过配方法、完全平方式或因式分解，可以将二次函数转化为标准形式或顶点形式来方便求解相关参数。
2. 标准形式将一般形式的二次函数转化为标准形式f(x) = a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小。
3. 顶点形式将一般形式的二次函数转化为顶点形式f(x) = a(x-p)(x-q)，其中(p,q)为零点的坐标。
4. 判别式通过二次函数的判别式Δ=b²-4ac，可以方便地判断二次函数的零点类型和数量。
三、图像解析1. 抛物线的开口方向二次函数的参数a的正负决定了抛物线的开口方向，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2. 抛物线的顶点、对称轴和最值通过二次函数的顶点坐标和对称轴方程，可以方便地求得抛物线的顶点和对称轴，并进而求得最小值或最大值。
初中二次函数最全知识点总结
初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要内容，以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1. 二次函数的定义：y=ax^2+bx+c（a≠0）。
2. 求解二次函数的根：当y=0时，求解二次方程ax^2+bx+c=0的解。
3.二次函数的图像：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定。
4.抛物线的顶点：二次函数的图像的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）。
5.抛物线的对称轴：二次函数图像的对称轴是直线x=-b/2a。
二、图像与相关性质1.拉平方法：将一般式的二次函数化为顶点形式的二次函数。
2.抛物线的开口方向：若二次函数的a>0，则抛物线开口向上；若二次函数的a<0，则抛物线开口向下。
3.抛物线的最值：若抛物线开口向上，则函数有最小值（最小值为f(-b/2a)）；若抛物线开口向下，则函数有最大值。
4.抛物线的轴对称性：抛物线关于对称轴对称。
5.零点存在性：若一元二次方程有实数根，则抛物线与x轴有交点；若一元二次方程无实数根，则抛物线与x轴无交点。
6.抛物线的轨迹：当抛物线的开口向上时，抛物线图像在x轴上方；当抛物线的开口向下时，抛物线图像在x轴下方。
三、解二次方程1. 提取公因式法：ax^2+bx+c=0，公因式为a，即a(x^2+(b/a)x+c/a)=0，再由零因积性质解得x的值。
2. 公式法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，解的公式为x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)。
3. 完全平方式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，通过变形将方程化为完全平方式(x﹦d)^2=0，再解出x的值。
四、因式分解1. 根与系数关系：若x1和x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，则方程可以分解为a(x-x1)(x-x2)=0。
2. 判别式与因式分解：一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中b^2-4ac 被称为判别式，当判别式大于0时，方程有两个不等实数根，即方程可因式分解为a(x-p)(x-q)=0，其中p和q是方程的两个根；当判别式等于0时，方程有两个相等实数根，即方程可因式分解为a(x-r)^2=0，其中r 是方程的根；当判别式小于0时，方程无实数根，即方程不可因式分解。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结一、二次函数的定义1. 二次函数的定义：一般的形如c bx ax y ++=2（其中0,,≠a c b a 是常数且）的函数叫做二次函数. 注：c bx ax y ++=2不一定是二次函数，只有当0≠a 时，c bx ax y ++=2才是二次函数. 二、二次函数y ＝ax ²的图像与性质1. 2ax y =的图像性质：一般的，当0>a 时，抛物线2ax y =的开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0<a 时，抛物线2ax y =的开口向下，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.2. 2ax y =的增减性：如果a >0，当x <0时，y 随着x 的增大而减小，当x >0时y 随着x 的增大而增大；如果a <0，当x <0时，y 随着x 的增大而增大，当x >0时，y 随着x 的增大而减小. 三、二次函数y ＝a （x －h ）²＋k 的图像与性质1. k h x a y +-=2)(的图像与性质：一般的，当0>a 时，抛物线k h x a y +-=2)(的开口向上，对称轴是h x =，顶点是),(k h ，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0<a 时，抛物线k h x a y +-=2)(的开口向下，对称轴是h x =，顶点是),(k h ，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.2. k h x a y +-=2)(的增减性：如果a >0，当x <h 时，y 随着x 的增大而减小，当x >h 时y 随着x 的增大而增大；如果a <0，当x <h 时，y 随着x 的增大而增大，当x >h 时，y 随着x 的增大而减小. 四、二次函数的平移1. 二次函数的平移：任意抛物线k h x a y +-=2)(可由2ax y =平移得到，k h x a y +-=2)(是由2ax y =向上平移k 个单位，向右平移h 个单位得到（k ，h 为正数时）.2. 平移原则：左加右减，上加下减.五、二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c 的图像与性质1. c bx ax y ++=2的图像与性质：一般的，当0>a 时，抛物线c bx ax y ++=2的开口向上，对称轴是ab x 2-=，顶点是)44,2(2a b ac a b --，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0<a 时，抛物线c bx ax y ++=2的开口向下，对称轴是a b x 2-=，顶点是)44,2(2a b ac a b --，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.2. c bx ax y ++=2的增减性：如果a >0，当a b x 2-<时，y 随着x 的增大而减小，当ab x 2->时y 随着x 的增大而增大；如果a <0，当a b x 2-<时，y 随着x 的增大而增大，当ab x 2->时，y 随着x 的增大而减小. 3. 二次项系数a 的特性：a 的大小决定抛物线的开口大小，a 越大抛物线的开口越小，a 越小抛物线的开口越大.4. 左同右异：当a 、b 符号相同时，对称轴在y 轴的左面；当a 、b 符号不同时，对称轴在y 轴的右面.5. 常数项c 的意义：c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标，即x=0时y=c.6. 一般式的赋值：判断c b a c b a c b a c b a ++++++2-424-、、、值的正负时，令x=1、-1、2、-2时y 值的正负.六、二次函数的最值 1. 形如c bx ax y ++=2的最值：当a >0时抛物线在a b x 2-=时取到最小值a b ac y 442min -=，当a <0时抛物线在ab x 2-=时取到最大值a b ac y 442max -=七、待定系数法求二次函数解析式1. 一般式（三点式）：一般的，所给的条件是三个点的坐标是时可以设解析式为c bx ax y ++=2，再将三个点带入解析式解三元一次方程组来求解。
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二次函数知识点总结归纳I. 定义与定义表达式一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c （a，b，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0 时，开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.）则称y 为x 的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II. 二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）顶点式：y=a（x-h）^2+k [ 抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a（x-x ?）（x-x ?） [仅限于与x 轴有交点A（x? ，0）和B（x?，0）的抛物线] 注：在3 种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=（4ac-b^2）/4a x?,x?=（-b±√ b^2-4ac）/2aIII. 二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2 的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV. 抛物线的性质1. 抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）2. 抛物线有一个顶点P，坐标为：P （ -b/2a ，（4ac-b^2）/4a ）当-b/2a=0 时，P 在y 轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P 在x 轴上。
3. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。
当a> 0 时，抛物线向上开口；当a< 0 时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4. 一次项系数b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。
当a与b 同号时（即ab>0），对称轴在y 轴左；当a与b 异号时（即ab<0），对称轴在y 轴右。
5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于( 0，c)6. 抛物线与x 轴交点个数Δ= b^2-4ac>0 时，抛物线与x 轴有2 个交点。
Δ= b^2-4ac=0 时，抛物线与x 轴有1 个交点。
Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
X 的取值是虚数( x= -b±√ b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i ，整个式子除以2a)V. 二次函数与一元二次方程特别地，二次函数(以下称函数) y=ax^2+bx+c，当y=0 时，二次函数为关于x 的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0 此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0) 的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：当h>0 时，y=a(x-h)^2 的图象可由抛物线y=ax^2 向右平行移动h 个单位得到，当h<0 时，则向左平行移动|h|个单位得到．当h>0,k>0 时，将抛物线y=ax^2 向右平行移动h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k 的图象；当h>0,k<0 时，将抛物线y=ax^2 向右平行移动h 个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k 的图象；当h<0,k>0 时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h)^2+k 的图象；当h<0,k<0 时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k 的图象；因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠ 0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k 的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤-b/2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥-b/2a时，y随x的增大而减小．4．抛物线y=ax^2+bx+c 的图象与坐标轴的交点：(1) 图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，c)；(2) 当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x ?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a ≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x ?-x?|当△ =0．图象与x 轴只有一个交点；当△ <0．图象与x 轴没有交点．当a>0时，图象落在x 轴的上方，x 为任何实数时，都有y>0；当a<0 时，图象落在x 轴的下方，x 为任何实数时，都有y<0．5．抛物线y=ax^2+bx+c 的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a 时，y 最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．6．用待定系数法求二次函数的解析式(1) 当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax^2+bx+c(a ≠0)．(2) 当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．(3) 当题给条件为已知图象与x 轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x ?)(x-x ?)(a≠ 0)．7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．I. 定义与定义表达式一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c 为常数，a≠0，且 a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.)则称y 为x 的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II. 二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c 为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2+k [ 抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x ?)(x-x ?) [仅限于与x 轴有交点A(x? ，0)和B(x?，0)的抛物线]注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√ b^2-4ac)/2aIII. 二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2 的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV. 抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴(即直线x=0)2. 抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y 轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x 轴上。
3. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。
当a> 0 时，抛物线向上开口；当a< 0 时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4. 一次项系数b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y 轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y 轴右。
5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c）6. 抛物线与x 轴交点个数Δ= b^2-4ac>0 时，抛物线与x 轴有2 个交点。
Δ= b^2-4ac=0 时，抛物线与x 轴有1 个交点。
Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
X 的取值是虚数（x= -b±√ b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i ，整个式子除以2a）V. 二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，当y=0 时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0 此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2，y=a（x-h）^2，y=a（x-h）^2 +k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：当h>0 时，y=a（x-h）^2 的图象可由抛物线y=ax^2 向右平行移动h 个单位得到，当h<0 时，则向左平行移动|h|个单位得到．当h>0,k>0 时，将抛物线y=ax^2 向右平行移动h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k 的图象；当h>0,k<0 时，将抛物线y=ax^2 向右平行移动h 个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k 的图象；当h<0,k>0 时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h)^2+k 的图象；当h<0,k<0 时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k 的图象；因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠ 0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k 的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤-b/2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥-b/2a时，y随x的增大而减小．4．抛物线y=ax^2+bx+c 的图象与坐标轴的交点：(1) 图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，c)；(2) 当△ =b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x ?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a ≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x ?-x?|当△ =0．图象与x 轴只有一个交点；当△ <0．图象与x 轴没有交点．当a>0时，图象落在x 轴的上方，x 为任何实数时，都有y>0；当a<0 时，图象落在x 轴的下方，x 为任何实数时，都有y<0．5．抛物线y=ax^2+bx+c 的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a 时，y 最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．6．用待定系数法求二次函数的解析式(1) 当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax^2+bx+c(a ≠0)．(2) 当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．(3) 当题给条件为已知图象与x 轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x ?)(x-x ?)(a≠ 0)．7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。