2021届步步高数学(理)大二轮复习小题满分练6
2021届高考数学步步高第二轮复习训练：专题六第1讲 排列与组合
2021届高考数学步步高第二轮复习训练：专题六第1讲排列与组合----a9f3f615-6ea1-11ec-bd94-7cb59b590d7d2021届高考数学步步高第二轮复习训练：专题六第1讲排列与组合、专题六概率与统计第1讲排列与组合、二项式定理（建议时间：60分钟）一、填空题1.五名学生参加三项比赛：唱歌、跳舞和下棋。
每项比赛至少有一人参加。
其中，a 同学不能参加舞蹈比赛，参加方案为____________________2．(1－2)＝a＋b2(a，b为有理数)，则a－2b＝______.3.五名志愿者将被分配到三个不同的世博会展厅参与接待工作。
每个场馆将至少分配一名志愿者。
计划的数量是_____4．若(1＋mx)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a6x，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为________．5.（2022年北京）四位数字由数字2和3组成，数字2和3至少出现一次。
总共有四位数字（用数字回答）6．(2021安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.7.对于任意实数x，如果x=A0+A1（x-2）+…+A5（X-2），然后a1+a3+A5-a0=___?x＋1?88．? 4.在展开式中，非整数次幂为X的项的系数之和为____?x?9．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数为________．在10的二项式展开中。
（2022）（1-x）20，x的系数和x9的系数之差为__11。
有四张标有数字1、2、3、4的红牌和四张标有数字1、2、3、4的蓝牌。
从八张牌中取出四张牌，并把它们排成一行。
如果四张卡片上标记的数字之和等于10，则有不同的排列方式（用数字回答）？x＋1？812.? 4.在展开式中，包含X的整数幂的项的系数之和是__________________？十、二、解答题13．如果?3x2－3?n的展开式中含有非零常数项，求正整数n的最小值．? 十、14.从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，分别按下列要求，各有多少种不同选法？（1）分别有两名男学生和两名女学生；(2)男、女同学分别至少有1名；（3）在（2）的前提下，男同学a和女同学B不能同时当选15．已知(1＋2x)的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一5项系数6（1）求所有项的系数之和以及展开后所有项的二项式系数之和；（2）在展开式中找到有理项n五5六2六10二2答复1．1002.13．1504．1或－35．146．07.898.1849.7010.011．43212.7213．解∵tr＋1＝cn(3x)2n－rrn－rr2n－5r？－23? r＝1）rc32x，n？十、如果tr+1是常数项，则必须有2n-5r=05rn的最小值=，∵ n、R∈ n*，∵ n是52214.溶液（1）c5c4=60；232231（2）应分别至少有一名男性和一名女性学生。
小题满分练3(解析版)-2021年高考数学二轮专题突破(新高考)
小题满分练3一、单项选择题1．若集合M ＝{x|x<3}，N ＝{x|x 2>4}，则M ∩N 等于( ) A ．(－2,3) B ．(－∞，－2) C ．(2,3) D ．(－∞，－2)∪(2,3)【答案】 D【解析】 ∵N ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∴M ∩N ＝(－∞，－2)∪(2,3)． 2．(2020·全国Ⅰ)若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z|等于( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2 【答案】 C【解析】 ∵z ＝1＋2i ＋i 3＝1＋2i －i ＝1＋i ， ∴|z|＝12＋12＝ 2.3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且|b ＋a |＝2，则向量a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.22 B.23 C.28 D.24【答案】 D【解析】 由题意可知，|b ＋a |2＝b 2＋2a ·b ＋a 2＝3＋2a ·b ＝4， 解得a ·b ＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝122＝24.4．(2020·全国Ⅰ)已知圆x 2＋y 2－6x ＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 B【解析】 圆的方程可化为(x －3)2＋y 2＝9， 故圆心的坐标为C(3,0)，半径r ＝3. 如图，记点M(1,2)，则当MC 与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小， 此时|MC|＝22，弦的长度l ＝2r 2－|MC|2＝29－8＝2.5．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) ( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天 【答案】 B【解析】 由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6， 得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍， 则I(t 2)＝2I(t 1)，即20.38et ＝10.382et ，所以()210.38et t -＝2，即0.38(t 2－t 1)＝ln 2，所以t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.6．已知a>0，b>0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3 【答案】 B【解析】 因为a>0，b>0， 所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b)＝10＋3b a ＋3a b 恒成立， 因为3b a ＋3ab≥23b a ·3ab＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立， 所以10＋3b a ＋3ab ≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16.7．已知双曲线C ：y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0)，直线x ＝a 与C 的交点为A ，B(B 在A 的下方)，直线x ＝a 与C 的一条渐近线的交点D 在第一象限，若|AB||BD|＝43，则C 的离心率为( )A.32 B ．2 C.1＋174 D.7 【答案】 B【解析】 将x ＝a 代入y 2a 2－x 2b 2＝1，得y 2＝a 2c 2b 2，即y ＝±ac b ，则|AB|＝2acb.将x ＝a 代入y ＝a b x ，得y ＝a 2b ，则|BD|＝ac b ＋a2b .因为|AB||BD|＝43，所以2ac ac ＋a 2＝43，即2e e ＋1＝43，解得e ＝2. 8．(2020·重庆模拟)已知函数f(x)＝x 3－3x ＋1，若∀x 1∈[a ，b]，∃x 2∈[a ，b]，使得f(x 1)＝f(x 2)，且x 1≠x 2，则b －a 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】 C【解析】 令f ′(x)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，易得当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，当x ∈(－1,1)时，f ′(x)<0，f(x)在(－1,1)上单调递减，且f(－1)＝3，f(1)＝－1，作出函数f(x)的图象如图， 令f(x)＝3，解得x ＝－1或x ＝2， 令f(x)＝－1，解得x ＝1或x ＝－2， 由图象可知，b －a 的最大值为2－(－2)＝4. 二、多项选择题9．空气质量指数(简称：AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：[0,50)为优，[50,100)为良，[100,150)为轻度污染，[150,200)为中度污染，[200,250)为重度污染，[250,300]为严重污染．下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论正确的是( )A．在北京这22天的空气质量中，按平均数来考查，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量B．在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度C．在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最差D．在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有7天【答案】ABC【解析】因为97>59,51>48,36>29,68>45，所以在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量，即选项A正确；AQI不低于100的数据有3个：143,225,145，所以在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度，即选项B正确；因为12月29日的AQI为225，为这22天中AQI的最大值，所以该天的空气质量最差，即选项C正确；AQI在[0,50)内的数据有6个：36,47,49,48,29,45，即达到空气质量优的天数有6天，所以选项D错误．10．(2020·山东新高考名校联考)某班期末考试数学成绩(满分150分)的频率分布直方图如图所示，其中分组区间为[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，根据频率分布直方图，判断下列说法正确的是( )A．估计本次考试数学成绩的平均数为114.8分B ．估计本次考试数学成绩的众数为115分C ．估计本次考试数学成绩的中位数为114分D ．本次考试数学成绩110分以上的人数等于110分以下的人数 【答案】 ABC【解析】 由频率分布直方图可知，本次数学成绩的平均数为85×0.04＋95×0.06＋105×0.24＋115×0.36＋125×0.16＋135×0.12＋145×0.02＝114.8，A 正确；由图易知本次考试数学成绩的众数为115分，B 正确；前三组的频率和为(0.004＋0.006＋0.024)×10＝0.34，所以中位数应落在[110,120)之间，中位数为110＋0.5－0.340.36×10≈114(分)，C 正确；因为0.04＋0.06＋0.24<0.36＋0.16＋0.12＋0.02，故本次考试数学成绩在110分以上的人数多于110分以下的人数．11．将函数f(x)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是( ) A ．最大值为3，图象关于直线x ＝π12对称B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 【答案】 BCD【解析】 将函数f(x)＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3－1＝3cos(2x ＋π)－1＝－3cos 2x －1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－3cos 2x 的图象，对于函数g(x)，它的最大值为3，由于当x ＝π12时，g(x)＝－32，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x ＝π12对称，故A 错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为2π2＝π，故C 正确；当x ＝π4时，g(x)＝0，故函数g(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，故D 正确． 12．(2020·济南质量评估)若实数a ，b 满足2a＋3a ＝3b＋2b ，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．0<a<b<1 B ．b<a<0 C ．1<a<b D ．a ＝b【答案】 ABD【解析】 设f(x)＝2x＋3x ，g(x)＝3x＋2x ，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．x ∈(－∞，0)时，f(x)<g(x)；x ∈(0,1)时，f(x)>g(x)；x ∈(1，＋∞)时，f(x)<g(x)．由函数f(x)与g(x)的图象可知，若f(a)＝2a＋3a ＝3b＋2b ＝g(b)，则b<a<0或0<a<b<1或a>b>1或a ＝b. 三、填空题13.⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －3x 5的展开式中xy 2的系数为________． 【答案】 －270【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －3x 5的展开式中xy 2的项为C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2×(－3x)3＝－270xy 2，故其系数为－270.14.在如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字和为20，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为________．【答案】 15【解析】 由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为20－14＝6.从1,2,3,4,5中任取两个数字的所有情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，而其中数字之和为6的情况有(1,5)，(2,4)，共2种，所以所求概率P ＝15.15．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，AB ＝BD ＝2，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC ＝________. 【答案】 2【解析】 取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，如图所示，则EF ∥AC ，∠BEF 为异面直线AC 与BE 所成的角，所以∠BEF ＝60°.设BC ＝x ，则BE ＝EF ＝x 2＋42，BF ＝2，从而△BEF 为等边三角形，则x 2＋42＝2，解得x ＝2.故BC ＝2.16．定义p(n)为正整数n 的各位数字中不同数字的个数，例如p(555)＝1，p(93)＝2，p(1 714)＝3.在等差数列{a n }中，a 2＝9，a 10＝25，则a n ＝________，数列{p(a n )}的前100项和为________．【答案】 2n ＋5 227【解析】 因为a 2＝9，a 10＝25，所以公差为d ＝25－910－2＝2，所以a n ＝9＋2(n －2)＝2n ＋5.因为a 1＝7，a 100＝205，且a n 为奇数，所以当a n ＝7,9,11,33,55,77,99,111时，p(a n )＝1；当a n ＝101,113,115,117,119,121,131,133,141,151,155,161,171,177,181,191,199时，p(a n )＝2.在数列{a n }中，小于100的项共有47项，这47项中满足p(a n )＝2的共有47－7＝40(项)，故数列{p(a n )}的前100项和为1×8＋2×(40＋17)＋3×(100－8－40－17)＝227.。
【步步高】2021届高考数学总温习 第六章 数 列章末检测 理 北师大版(1)
第六章 章末检测(时刻：120分钟 总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．(2020·茂名月考)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，那么a 12的值是 ( )A ．15B ．30C ．31D ．642．各项均不为零的等差数列{a n }中，假设a 2n －a n －1－a n ＋1＝0 (n ∈N *，n ≥2)，那么S 2 010等( )A ．0B ．2C ．2 009D ．4 0203．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，那么|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于 ( )A ．66B ．65C ．61D ．564．(2020·南阳模拟)等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，假设T 5＝1，那么 ( )A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝15．(2020·东北师大附中高三月考)由a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1给出的数列{a n }的第34项( ) A.34103 B ．100 C.1100 D.1104 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项知足5<a k <8，那么k 等于 ( )A ．9B ．8C ．7D ．67．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，那么项数n 等于 ( ) A ．13 B ．10 C ．9 D ．68．(2020·福建)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，那么当S n 取最小值时，n 等于 ( )A ．6B ．7C ．8D ．99．在如图的表格中，若是每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．410．(2020·衡水月考)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线持续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果是年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为爱惜环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年 11．在△ABC 中，tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，那么B 的取值范围是 ( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 12．(2020·安徽)设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和别离为X ，Y ，Z ，那么以劣等式中恒成立的是 ( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X )13．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，假设{a n }的前n 项和为24，那么n ＝________. 14．(2020·海口调研)在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，那么等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________.15．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规那么分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，那么第100组中的第一个数是________．16．(2020·哈师大附中高三月考)已知S n 是等差数列{a n } (n ∈N *)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有以下四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11.其中正确的命题是________．(将所有正确的命题序号填在横线上)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(2020·德州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，S 10＝190.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设p ，q ∈N *，试判定a p ·a q 是不是仍为数列{a n }中的项并说明理由．18．(12分)在等差数列{a n }中，假设a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求数列{a n }的通项公式．19．(12分)(2020·武汉月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且向量a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1na n 的前n 项和T n . 20．(12分)(2020·唐山月考)已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n ) (n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)设a 为常数，求证：{a n }成等比数列；(2)假设b n ＝a n f (a n )，{b n }的前n 项和是S n ，当a ＝2时，求S n .21．(12分)(2020·周口月考)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是不是存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请说明理由．22．(12分)为了治理“沙尘暴”，西部某地域政府通过量年尽力，到2006年末，将本地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每一年将显现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部份叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少通过几年的绿化，才能使该地域的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最后结果精准到整数)答案 1．A [由{a n }是等差数列知a 7＋a 9＝2a 8＝16，∴a 8＝8.又a 4＝1，∴a 12＝2a 8－a 4＝15.]2．D [a 2n ＝a n －1＋a n ＋1＝2a n ，a n ≠0，∴a n ＝2.∴S n ＝2n ，S 2 010＝2×2 010＝4 020.]3．A [当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n －5，∴a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝3，…，a 10＝15，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋81＋152＝2＋64＝66.] 4．B [因为{a n }是等比数列，因此a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，代入已知式T 5＝1，得a 53＝1，因此a 3＝1.]5．C [由a n ＋1＝a n 3a n ＋1知，1a n ＋1＝1a n ＋3， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，公差为3的等差数列． ∴1a n＝1＋(n －1)×3＝3n －2. ∴a n ＝13n －2，a 34＝13×34－2＝1100.] 6．B [∵S n ＝n 2－9n ，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10， a 1＝S 1＝－8适合上式，∴a n ＝2n －10 (n ∈N *)，∴5<2k －10<8，得7.5<k <9.∴k ＝8.]7．D [∵a n ＝1－12n ， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n －1＋12n . ∵S n ＝32164，∴n －1＋12n ＝32164＝5＋164. ∴n ＝6.]8．A [设该数列的公差为d ，那么由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6，∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11，∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n n －12×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时S n 取最小值．]9．B [由表格知，第三列为首项为4，第二项为2的等比数列，∴x ＝1.依照每行成等差数列得第四列前两个数字别离为5，52，故该数列所成等比数列的公比为12，∴y ＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝58，同理z ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38.故x ＋y ＋z ＝2.] 10．C [由题意知第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量别离为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)·(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2 (n ∈N *)，令3n 2≤150，∴1≤n ≤52，∴1≤n ≤7. 故生产期限最大为7年．]11．D [由已知得2tan B ＝tan A ＋tan C >0(显然tan B ≠0，假设tan B <0，因为tan A >0且tan C >0，tan A ＋tan C >0，这与tan B <0矛盾)，又tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－2tan B 1－tan A tan C≠0，因此tan A tan C ＝3. 又∵tan A ＋tan C ≥2tan A tan C ＝23， ∴tan B ≥3，∵B ∈(0，π)∴B 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.] 12．D [由题意知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z .又∵{a n }是等比数列，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 为等比数列，即X ，Y －X ，Z －Y 为等比数列，∴(Y －X )2＝X ·(Z －Y )，即Y 2－2XY ＋X 2＝ZX －XY ，∴Y 2－XY ＝ZX －X 2，即Y (Y －X )＝X (Z －X )．]13．624解析 a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n . ∴(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝24， ∴n ＋1＝25，∴n ＝624.14．52解析 ∵log 2(a 5＋a 9)＝3，∴a 5＋a 9＝23＝8.∴S 13＝13×a 1＋a 132＝13×a 5＋a 92＝13×82＝52. 15．34 950解析 由“第n 组有n 个数”的规那么分组中，各组数的个数组成一个以1为首项，1为公差的等差数列，前99组数的个数共有1＋99×992＝4 950个，故第100组中的第1个数是34 950. 16．①②解析 由S 6>S 7得a 7<0，由S 6>S 5得a 6>0，由S 7>S 5得a 6＋a 7>0.因为d ＝a 7－a 6，∴d <0；S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝(a 1＋a 11)＋(a 2＋a 10)＋…＋a 6＝11a 6>0，S 12＝a 1＋a 2＋…＋a 12＝(a 1＋a 12)＋(a 2＋a 11)＋…＋(a 6＋a 7)＝6(a 6＋a 7)>0；∵a 6>0，a 7<0，∴{S n }中S 6最大．故正确的命题为①②.17．解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 2d ＝810a 1＋10×92d ＝190，………………………………………………………………(4分)解得a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3.………………………………………………………(6分)(2)a p a q ＝(4p －3)(4q －3)＝16pq －12(p ＋q )＋9＝4[4pq －3(p ＋q )＋3]－3，∵4pq －3(p ＋q )＋3∈N *，………………………………………………………………(8分) ∴a p ·a q 为数列{a n }中的项．……………………………………………………………(10分)18．解 ∵a 3＋a 13＝2a 8，a 3＋a 8＋a 13＝12，∴a 8＝4，…………………………………………………………………………………(2分)那么由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 13＝8，a 3a 13＝7， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝1，a 13＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝7，a 13＝1.…………………………………………………………(7分) 由a 3＝1，a 13＝7，可知d ＝a 13－a 313－3＝7－110＝35. 故a n ＝a 3＋(n －3)·35＝35n －45；……………………………………………………………(9分) 由a 3＝7，a 13＝1，可知d ＝a 13－a 313－3＝1－710＝－35. 故a n ＝a 3＋(n －3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝－35n ＋445.……………………………………………………………………………(11分) 综上可得，a n ＝35n －45，或a n ＝－35n ＋445.……………………………………………(12分) 19．(1)证明 ∵a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线，∴n (n ＋3)－4S n ＝0，∴S n ＝n n ＋34.……………………………………………………(3分)∴a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋12，……………………………………………………(5分) 又a 1＝1知足此式，∴a n ＝n ＋12.………………………………………………………(6分)∴a n ＋1－a n ＝12为常数， ∴数列{a n }为首项为1，公差为12的等差数列．………………………………………(7分) (2)解 ∵1na n ＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，…………………………………………………(9分) ∴T n ＝1a 1＋12a 2＋…＋1na n . ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2n n ＋1.……………………………………(12分) 20．(1)证明 f (a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，…………………………………………(2分) 即log a a n ＝2n ＋2，可得a n ＝a 2n ＋2.∴a na n －1＝a 2n ＋2a 2n －1＋2＝a 2n ＋2a 2n＝a 2 (n ≥2)为定值．………………………………………………………………………(4分) ∴{a n }为以a 2为公比的等比数列．……………………………………………………(5分)(2)解 b n ＝a n f (a n )＝a 2n ＋2log a a 2n ＋2＝(2n ＋2)a 2n ＋2.…………………………………………………………………………(7分) 当a ＝2时，b n ＝(2n ＋2)(2)2n ＋2＝(n ＋1)2n ＋2.S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2，①2S n ＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3，②①－②，得－S n ＝2·23＋24＋25＋…＋2n ＋2－(n ＋1)·2n ＋3 …………………………………………(9分)＝16＋241－2n －11－2－(n ＋1)·2n ＋3＝16＋2n ＋3－24－n ·2n ＋3－2n ＋3＝－n ·2n ＋3.∴S n ＝n ·2n ＋3.……………………………………………………………………………(12分)21．解 (1)已知得a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n＝8n (n ∈N *)，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)．②由①－②，得2n －1a n ＝8.∴a n ＝24－n .……………………………………………………(3分) 在①中，令n ＝1，得a 1＝8＝24－1，∴a n ＝24－n (n ∈N *)．由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2，∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2，∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2.∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6.…………………………………………………(5分) ∴b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)．…………………………………………………………………(7分)(2)∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，设f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k ，单调递增， 且f (4)＝1.∴k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋4－24－k ≥1.…………………………………………………(10分) 又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，…………………………………………………………………(11分) ∴不存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)．………………………………………………(12分)22．解 设该地域总面积为1,2006年末绿化面积为a 1＝25，通过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2006年末沙漠面积为b 1，通过n 年后沙漠面积为b n ＋1，那么a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.…(3分)依题意a n ＋1由两部份组成：一部份是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部份8%·a n 的剩余面积92%·a n ，另一部份是新绿化的12%·b n ，∴a n ＋1＝92%·a n ＋12%(1－a n ) ＝45a n ＋325，………………………………………………………………………………(6分) 即a n ＋1－35＝45(a n －35)． ∴{a n －35}是以－15为首项，45为公比的等比数列， 则a n ＋1＝35－15·(45)n .………………………………………………………………………(9分) ∵a n ＋1>50%，∴35－15·(45)n >12. ∴(45)n <12，n >451log 2＝lg 21－3lg 2≈3.……………………………………………………(11分) 那么当n ≥4时，不等式(45)n <12恒成立． ∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.…………………………………………(12分)。
2021届新高考步步高大二轮数学专题复习：思想方法 第5讲 客观题的解法)
第5讲 客观题的解法 题型概述 数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．方法一 直接法直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知M (－1,2)，N (1,0)，动点P 满足|PM →·ON →|＝|PN →|，则动点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4xD ．x 2＝－4y思路分析 动点P 的轨迹方程→P 点满足条件→直接将P 点坐标代入化简即可 答案 A解析 设P (x ，y )，由题意得M (－1,2)，N (1,0)，O (0,0)，PM →＝(－1－x,2－y )，ON →＝(1,0)，PN →＝(1－x ，－y )，因为|PM →·ON →|＝|PN →|，所以|1＋x |＝(1－x )2＋y 2，整理得y 2＝4x .直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键.方法二 特例法从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．例2 (1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3M C →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20B ．15C ．9D ．6思路分析 AM →·NM →的值→某种特殊情况下AM →·NM →的值→取▱ABCD 为矩形答案 C解析 若四边形ABCD 为矩形，建系如图，由BM →＝3M C →，DN →＝2NC →，知M (6,3)，N (4,4)，所以AM →＝(6,3)，NM →＝(2，－1)，所以AM →·NM →＝6×2＋3×(－1)＝9.(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1的长轴的两端点分别是M ，N ，P 是C 上异于M ，N 的任意一点，则直线PM 与PN 的斜率之积等于________．思路分析 直线PM ，PN 斜率之积→特殊情况下的k PM ·k PN →取P 点为椭圆短轴端点答案 －34解析 取特殊点，设P 为椭圆的短轴的一个端点(0，3)，又M (－2,0)，N (2,0)，所以k PM ·k PN ＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．方法三 排除法排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项．例3 (1)(2020·天津)函数y ＝4x x 2＋1的图象大致为( )思路分析 选择函数大致图象→排除错误选项→利用函数图象上的特殊点或性质验证排除 答案 A解析 令f (x )＝4x x 2＋1，则f (x )的定义域为R ， 且f (－x )＝－4xx 2＋1＝－f (x )， 所以函数为奇函数，排除C ，D.又当x ＝1时，f (1)＝42＝2，排除B. (2)已知椭圆C ：x 24＋y 2b＝1(b >0)，直线l ：y ＝mx ＋1.若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1,4)B ．[1，＋∞)C ．[1,4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞) 思路分析 求b 的取值范围→取b 的特殊值→特殊情况验证排除答案 C解析 注意到直线l 恒过定点(0,1)，所以当b ＝1时，直线l 与椭圆C 恒有公共点，排除D ；若b ＝4，则方程x 24＋y 2b＝1不表示椭圆，排除B ；若b >4，则显然点(0,1)恒在椭圆内部，满足题意，排除A.故选C.(3)(多选)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则下列说法正确的是( )A ．当x >0时，f (x )＝e x (1－x )B ．f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)C ．函数f (x )有2个零点D ．∀x 1，x 2∈R ，都有|f (x 1)－f (x 2)|<2思路分析 观察选项，从易于判断真假的选项出发.答案 BD解析 对于C ，当x <0时，令f (x )＝0⇒x ＝－1，∴f (x )有3个零点分别为－1,0,1，故C 错误；对于A ，令x >0，则－x <0，∴f (－x )＝e －x (1－x )，又f (x )为奇函数，∴－f (x )＝e －x (1－x )，∴f (x )＝e －x (x －1)，故A 错误．∵A ，C 错误，且为多选题，故选BD.排除法使用要点：,(1)从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其它选项.,(2)当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特值(例)法、验证法等常结合使用.方法四 构造法用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化． 例4 (1)(2019·全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26π D.6π思路分析 求球O 体积→求球O 半径→构造正方体(补形)答案 D解析 如图所示，构造棱长为2的正方体PBJA －CDHG ，显然满足题设的一切条件，则球O 就是该正方体的外接球，从而体积为6π.(2)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是______________．思路分析 解f (x )>0→利用函数单调性(结合已知含f (x )的不等关系)→构造函数答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 构造函数g (x )＝f (x )x，则g ′(x )＝f ′(x )·x －f (x )x 2. 根据条件，g (x )为偶函数，且x >0时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，g (－1)＝g (1)＝0.∴当0<x <1时，g (x )>0，∴f (x )>0，同理当x <－1时，g (x )<0，∴f (x )>0，故使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题. 方法五 估算法因为单选题提供了唯一正确的答案，解答又不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省了时间，从而显得更加快捷．例5 (1)(2019·全国Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm思路分析 估计身高→人体各部分长度大致范围→题中长度关系估算答案 B解析 头顶至脖子下端的长度为26 cm ，可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm ，肚脐至足底的长度小于110 cm，则该人的身高小于178 cm，又由肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于65 cm，则该人的身高大于170 cm，所以该人的身高在170 cm～178 cm之间，选B.(2)(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 3思路分析V三棱锥D－ABC最大值→三棱锥高的最大值→依据三棱锥和球的关系估算答案 B解析等边三角形ABC的面积为93，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈(4,8)，所以13×93×4<V三棱锥D－ABC <13×93×8，即123<V三棱锥D－ABC<24 3.选B.估算法使用要点：(1)使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值(例)法结合起来使用.(2)使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算.。
【步步高】2021届高考数学总温习 常考题型强化练 数列 理 新人教B版(1)
常考题型强化练——数列A 组 专项基础训练 (时刻：40分钟)一、选择题1． 设等差数列{a n }前n 项和为S n ，假设a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，那么当S n 取最小值时，n 等于 ( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 A解析 设该数列的公差为d ，则a 4＋a 6＝2a 1＋8d ＝2×(－11)＋8d ＝－6，解得d ＝2， ∴S n ＝－11n ＋n n －12×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36， ∴当n ＝6时，取最小值．2． 已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．假设a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，那么S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，那么由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12， ∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2， ∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.3． 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且知足2a n －a 1＝S 1·S n (a 1≠0，n ∈N ＋)，则a 7等于( )A ．16B ．32C ．64D ．128答案 C解析 令n ＝1，那么a 1＝1，当n ＝2时，2a 2－1＝S 2＝1＋a 2， 解得a 2＝2，当n ≥2时，由2a n －1＝S n ， 得2a n －1－1＝S n －1，两式相减， 解得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1，于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 因此a n ＝2n －1.故a 7＝26＝64.4． 已知等差数列{a n }的公差d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值是( )A ．－78B ．－82C ．－148D ．－182答案 B解析 ∵a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＋2d ×33 ＝50＋66×(－2) ＝－82.5． 设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，假设－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N ＋，且m ≥2)，那么必然有 ( )A ．S m >0，且S m ＋1<0B ．S m <0，且S m ＋1>0C ．S m >0，且S m ＋1>0D ．S m <0，且S m ＋1<0 答案 A解析 －a m <a 1<－a m ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0.易患S m ＝a 1＋a m2·m >0，S m ＋1＝a 1＋a m ＋12·(m ＋1)<0.二、填空题6． 假设数列{a n }知足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)，那么称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，那么x 5＋x 16＝________. 答案 20解析 由题意知，假设{a n }为调和数列，那么⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，∴由⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，可得数列{x n }为等差数列，由等差数列的性质知，x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11＝20010＝20. 7． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －a n ，那么数列{a n }的通项公式a n ＝_________.答案 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1解析 由于S n ＝2n －a n ，因此S n ＋1＝2(n ＋1)－a n ＋1，后式减去前式， 得S n ＋1－S n ＝2－a n ＋1＋a n ，即a n ＋1＝12a n ＋1，变形为a n ＋1－2＝12(a n －2)，那么数列{a n －2}是以a 1－2为首项，12为公比的等比数列．又a 1＝2－a 1，即a 1＝1.则a n －2＝(－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，因此a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.8． 已知等比数列{}a n 中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，那么a 9＋a 10a 7＋a 8的值为______．答案 3＋22解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2. ∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q . ∴q 2－2q －1＝0.∴q ＝1± 2.∵各项都是正数， ∴q ＞0.∴q ＝1＋ 2.∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋22.三、解答题9． 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N ＋，a 3＝5，S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，因此a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝2na ＋2n ＝12×4n ＋2n ，因此T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n ) ＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23×4n ＋n 2＋n －23.10．已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n .(1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n ＝S n n，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值．解 (1)由已知得a 1＝a －1，a 2＝4，a 3＝2a ， 又a 1＋a 3＝2a 2，∴(a －1)＋2a ＝8，即a ＝3. ∴a 1＝2，公差d ＝a 2－a 1＝2. 由S k ＝ka 1＋k k －12d ，得2k ＋k k －12×2＝2 550，即k 2＋k －2 550＝0，解得k ＝50或k ＝－51(舍去)． ∴a ＝3，k ＝50. (2)由S n ＝na 1＋n n －12d ，得S n ＝2n ＋n n －12×2＝n 2＋n .∴b n ＝S n n＝n ＋1.∴{b n }是等差数列．则b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n －1＋1)＝4＋4n n2.∴b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝2n 2＋2n . B 组 专项能力提升 (时刻：30分钟)1． 已知数列{a n }是首项为a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，那么其公比q 等于( )A ．1B ．－1C ．1或－1 D.2答案 C解析 依题意，有2a 5＝4a 1－2a 3， 即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，整理得q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1(q 2＝－2舍去)， 因此q ＝1或q ＝－1.2． 在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，假设1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，那么△OP 1P 2的面积是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 由等差、等比数列的性质， 可求得x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4， ∴P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴12OP P S ＝1.3． 已知数列{a n }知足：a 1＝1，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a 2n， n 为偶数，12＋2a 21-n ， n 为奇数，n ＝2,3,4，…，设b n ＝a 2n －1＋1，n ＝1,2,3，…，那么数列{b n }的通项公式是________． 答案 b n ＝2n解析 由题意，得关于任意的正整数n ，b n ＝12n a -＋1，∴b n ＋1＝2n a ＋1，又2n a ＋1＝(222n a ＋1)＋1＝2(12n a -＋1)＝2b n ，∴b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝a 1＋1＝2，∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴b n ＝2n .4． 某音乐酒吧的霓虹灯是用，，三个不同音符组成的一个含n ＋1(n ∈N ＋)个音符的音符串，要求由音符开始，相邻两个音符不能相同．例如n ＝1时，排出的音符串是，；n ＝2时，排出的音符串是，，，；…….记这种含n ＋1个音符的所有音符串中，排在最后一个的音符仍是的音符串的个数为a n .故a 1＝0，a 2＝2.那么 (1)a 4＝________； (2)a n ＝________.答案 (1)6 (2)2n ＋2－1n3解析 由题意知，a 1＝0，a 2＝2＝21－a 1，a 3＝2＝22－a 2，a 4＝6＝23－a 3，a 5＝10＝24－a 4， 因此a n ＝2n －1－a n －1，因此a n －1＝2n －2－a n －2，两式相减得a n －a n －2＝2n －2.当n 为奇数时，利用累加法得a n －a 1＝21＋23＋…＋2n －2＝2n －23，因此a n ＝2n －23.当n 为偶数时，利用累加法得a n －a 2＝22＋24＋…＋2n －2＝2n －223，因此a n ＝2n ＋23.综上所述，a n ＝2n ＋2－1n3.5． 已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 知足S n ＝12－12a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n，求T 2 012；(3)假设c n ＝a n ·f (a n )，求{c n }的前n 项和U n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＝13，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， 又S n ＝12－12a n ，因此a n ＝13a n －1，即数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .(2)由已知可得f (a n )＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝－n ，则b n ＝－1－2－3－…－n ＝－n n ＋12，故1b n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 又T n ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，因此T 2 012＝－4 0242 013.(3)由题意得c n ＝(－n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，故U n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，则13U n ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，两式相减可得 23U n ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝－12＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，则U n ＝－34＋34·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋32n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1.。
【步步高】2021届高考数学总温习 第二章 函数强化训练 理 北师大版(1)
常考题型强化练——函数A 组 专项基础训练 (时刻：40分钟)一、选择题 1． 若f (x )＝1log 122x ＋1，那么f (x )的概念域为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 答案 C解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，log 122x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，2x ＋1≠1，即x >－12且x ≠0，∴选C.2． 已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，那么函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x ＋b |的图像为( )答案 B解析 由大体不等式得f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2x ＋1×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时取得最小值1，故a ＝2，b ＝1，因此g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|， 只需将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图像向左平移1个单位即可，其中y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图像可利用其为偶函数通过y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 作出，应选B. 3． 已知函数f (x )＝e x －e －x ＋1(e 是自然对数的底数)，假设f (a )＝2，那么f (－a )的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 D解析 依题意得，f (a )＋f (－a )＝2,2＋f (－a )＝2，f (－a )＝0，选D. 4． 设概念在区间(－b ，b )上的函数f (x )＝lg1＋ax1－2x是奇函数(a ，b ∈R ，且a ≠－2)，那么a b 的取值范围是( )A ．(1，2]B ．(0，2]C ．(1，2)D ．(0，2) 答案 A解析 ∵函数f (x )＝lg1＋ax1－2x是区间(－b ，b )上的奇函数，∴f (x )＋f (－x )＝lg 1＋ax1－2x ＋lg 1－ax1＋2x ＝lg 1－a 2x 21－4x 2＝0，即得1－a 2x 21－4x 2＝1，从而可得a 2＝4，由a ≠－2可得a ＝2， 由此可得f (x )＝lg 1＋2x 1－2x，因此函数的概念域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，那么有0<b ≤12，∴a b ＝2b ∈(20,212]＝(1，2]，故应选A.5． 已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，那么函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 ∵f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)，∴当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x <6时，f (x )＝0有两个根，即x 5＝4，x 6＝5；x 7＝6也是f (x )＝0的根． 故函数f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴交点的个数为7. 二、填空题6． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ＋1x ≥1，1x <1，那么不等式f (3－x 2)>f (2x )的解集为________．答案 (1，＋∞)解析 如图，作出已知函数的图像，据图像可得不等式f (3－x 2)>f (2x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x 2<1，2x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥1，2x ≥1，3－x 2<2x ，解两不等式组的解集且取并集为(1，＋∞)，即为原不等式解集．7． 假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，a ，x ＝0，x ＋b ，x <0是奇函数，那么a ＋b ＝________.答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，且x ∈R ， ∴f (0)＝0，即a ＝0.又f (－1)＝－f (1)，∴b －1＝－(1－1)＝0， 即b ＝1，因此a ＋b ＝1.8． (2021·上海)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.假设g (x )＝f (x )＋2，那么g (－1)＝________.答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数， ∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0.∴f (1)＋f (－1)＋2＝0. ∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3.∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1. 三、解答题9． 已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 知足ab ≠0.(1)假设ab >0，判定函数f (x )的单调性； (2)假设ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围． 解 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)． ∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，那么x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a 2b ，那么x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .10．某工厂生产某种产品，每日的本钱C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)知足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 知足函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋kx －8＋5，0<x <6，14， x ≥6.已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3. (1)求k 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润能够达到最大，并求出最大值．解(1)由题意可得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋kx －8＋2，0<x <6，11－x ， x ≥6.因为x ＝2时，L ＝3，因此3＝2×2＋k2－8＋2. 因此k ＝18.(2)当0<x <6时，L ＝2x ＋188－x ＋2. 因此L ＝2(x －8)＋188－x ＋18 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤28－x ＋188－x ＋18≤－2 28－x·188－x＋18＝6.当且仅当2(8－x )＝188－x ，即x ＝5时取得等号．当x ≥6时，L ＝11－x ≤5. 因此当x ＝5时，L 取得最大值6.因此当日产量为5吨时，每日的利润能够达到最大值6万元． B 组 专项能力提升 (时刻：25分钟)1． 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图像关于直线y ＝x 对称的图像大致是( )答案 A解析 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图像如下图，关于y ＝x 对称的图像大致为A 选项对应图像．2． 设0<a <1，那么函数f (x )＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ＋1( )A ．在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增B ．在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,1)上单调递减C ．在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,1)上单调递增D ．在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递减 答案 A解析 函数概念域为{x ∈R |x ≠±1}，令u (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋－2x ＋1x <－1或x >1，－1＋2x ＋1－1<x <1，∴u (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又y ＝log a x (0<a <1)在概念域上为减函数，因此u (x )在(－∞，－1)上递减，在(－1,1)上递增，应选A. 3． 设函数f (x )＝1＋－1x2(x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 关于x ∈Z ，f (x )的图像为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋－1x ＋12＋1＋－1x2＝1＋－1x ＋1＋－1x2＝1，③正确．4． (2021·江苏)设f (x )是概念在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，那么a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )的周期为2，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，因此－12a ＋1＝b ＋43.整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)， 因此－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a . ②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 因此a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.5． 已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)c 为何值时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立？ 解由题意得x ＝－3和x ＝2是函数f (x )的零点且a ≠0，那么⎩⎪⎨⎪⎧0＝a ·－32＋b －8·－3－a －ab ，0＝a ·22＋b －8·2－a －ab ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(1)由图像知，函数在[0,1]内单调递减， ∴当x ＝0时，y ＝18；当x ＝1时，y ＝12， ∴f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]． (2)方式一 令g (x )＝－3x 2＋5x ＋c . ∵g (x )在[56，＋∞)上单调递减，要使g (x )≤0在[1,4]上恒成立，那么需要g(x)max＝g(1)≤0，即－3＋5＋c≤0，解得c≤－2.∴当c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．方式二不等式－3x2＋5x＋c≤0在[1,4]上恒成立，即c≤3x2－5x在[1,4]上恒成立．令g(x)＝3x2－5x，∵x∈[1,4]，且g(x)在[1,4]上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝3×12－5×1＝－2，∴c≤－2.即c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．。
高考数学(理)自由复习步步高系列02(解析版).docx
【热点知识再梳理——胸有成竹】考点一 导数的几何意义[1]导数的概念与计算1.设函数在1x =处存在导数，则()()011lim 3x f x f x∆→+∆-=∆( ) A .()'1f B ()3'1f C .()1'13f D .()'3f[2]切线问题(已知切点)3.曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ） A .12- B .12C .22-D .22[3]切线问题(切点未知)5.曲线3ln 2y x x =++在点0P 处的切线方程为410x y --=，则点0P 的坐标是( )A .(0,1)B .(1,1)-C .(1,3)D .(1,0)6.过点A (0,16)作曲线()33f x x x =-的切线，则此切线的方程为_______.考点二 利用导数研究单调性[4]求单调区间(不含参数)7.设()()256f x a x lnx -=+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.(1)确定a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间．[5]求单调区间(含参数) [8]求极值或者最值(含参数)8.已知函数()3113f x x ax =-+ (1)当1x =时,()f x 取得极值,求a 的值. (2)求()f x 在[]0,1上的最小值.[6]已知单调区间求参数范围9.已知函数()322131,3f x x mx m x m R =+-+∈ (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若f (x )在区间(－2,3)上是减函数，求m 的取值范围．【答案】(1)153250x y --= (2) (,2][3,)-∞-+∞U[7]求极值或者最值(不含参数) [9]已知极值或者最值求参数范围10.已知函数()23ln f x ax x x=--,其中a 为常数. (1)当函数()f x 的图像在点22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为1时,求()f x 在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值; (2)若函数()f x 在区间()0,+∞上既有极大值又有极小值,求a 的取值范围.11.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是( )[9]已知极值或者最值求参数 [10]恒成立问题(分离参数)12.设函数()322338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =处取得极值,(1)求,a b 的值; (2)若对于任意的[]0,3x ∈都有()2f x c <成立,求c 的取值范围.[10]恒成立问题(分离参数) [11]恒成立问题(数形结合)13.已知函数()()ln 10f x a x a =+>(1)当0x >时,求证()111f x a x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭; (2)在区间()1,e 上()f x x >恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)详见解析 (2) [)1,e -+∞[13]零点问题14.已知函数a ax x a x x f ---+=232131)((),0x R a ∈> . (1)求函数)(x f 的单调区间;(2)若函数)(x f 在区间()2,0-内恰有两个零点，求a 的取值范围;[14]存在性问题16.已知函数()()324f x x ax x R =-+-∈,()'f x 是()f x 的导函数.(1)当2a =时,对任意的[][]1,1,1,1m n ∈-∈-,求()()'f m f n +的最小值;(2)若存在()00,x ∈+∞,使()00f x >,求a 的取值范围.【综合模拟练兵——保持手感】1.已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为___________.2.若函数()()b f x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间单调递增的是( ) A ．(2,0)- B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(,2)-∞-3.已知21()ln(1),()(,)2f x xg x ax bx a b R =+=+∈． （Ⅰ）若2()(1)()bh x f x g x ==--且存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若0,1a b ==,求证：当(1,)x ∈-+∞时，()()0f x g x -≤恒成立；（Ⅲ）设0,0x y >>，证明：ln ln ()ln 2x y x x y y x y ++>+. 【答案】（Ⅰ）()1,-+∞；（Ⅱ）证明过程详见试题解析；（Ⅲ）证明过程详见试题解析.（Ⅲ）证明：∵0,0x y >>，4.已知函数2901xf x a ax =>+()() ． （1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．∴当1[,2]2x ∈时，()(4)0f x x --≤，即()4f x x ≤-．5.已知函数()f x 3233(0)ax x x a =-+>（1）当1a ≥时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在[1,3]的最大值为8，求a 的值.6.已知函数f (x )=ax 2+ln (x +1). （1）当a =14-时，求函数f (x )的单调区间； （2）当[0,)x ∈+∞时，函数y =f (x )图像上的点都在0,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围；（3）求证：12482(1)(1)(1)(1)233558(21)(21)n n ne -++++<⨯⨯⨯++L （其中n N *∈,e 是自然数对数的底数）7.已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ，(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l ， 并且1l 与2l 平行.（1）求(2)f 的值；（2）已知实数t ∈R ，求[]ln ,1,u x x x e =∈的取值范围及函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值； （3）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设.8.已知函数()()221xf x x x e =-+（其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）定义：若函数()h x 在区间[](),s t s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”.试问函数()f x 在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.因此函数()h x 在区间()1,+∞上单调递增，()110h =-<Q ，()22310h e =->，。
《新步步高》高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)第二篇第2讲填空题的解法技巧.doc
第2讲填空题的解法技巧【题型概述】填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨 度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力.由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、 规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合 理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”.方法一直接法直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方 法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题.直接法是求解填空 题的基木方法•13445556678 1若将运动员按成绩由好到差编为1〜35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在 区间［139J51］上的运动员人数是 _______ .sin2/4（2）（2015-北京）在厶ABC 中，a=4, b = 5, c = 6,则不石= __________ •解析（1）由题意知，将1〜35号分成7组，每组5名运动员，落在区间［139,151］上的运动员 共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名. (2)白余弦定理：b 2-\~c 2—a 225 + 36—16 3. 羽cosA=—页—=2X5X6・：皿=4 '—a 2~\~b 2—c 216+25 — 361 .小 3^/7cosC=~2^ —= 2X4X5 =0 ・：smC= 8 52/_2><钗¥ ••sinC_ ■匸例1（1）（2015-湖南）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所14 15答案(1)4 (2)1思维升华利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.跟踪演练1 (1)(2015-韶关联考)已知椭圆1的左、右焦点分别为鬥、尺，点P在椭圆上，则|"1|・『局|的最大值是 ________ .(2)己知方程x2 + 3ax + 3a + 1 = 0(a>2)的两根tana, tan0,且a f 0W (—号，号)，贝!] a+p=方法二特例法当填空题己知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选収一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.例2 (1)如图所示，在平行四边形ABCD +，APLBD,垂足为P,且4- ------------------------------------(2)已知定义在R上的奇函数./(X)满足./(x—4)=—/(x),且在区间[0,2]上是增函数，若方程./(X)=加(加>0)在区间[―8,8]±有四个不同的根X], X2，兀3，X4，则X\+x2+x3+x4 = ___________ .解析(1)把平行四边形ABCD看成正方形，则点尸为对角线的交点，AC=6f则APAC= 18.(2)此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化.根据函数特点取./(x)=sin¥x,再由图象可得(X| +^2)+(%3 + JV4)=(—6 X 2) + (2 X 2) = — &答案(1)18 (2)-8思维升华求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.跟踪演练2 (2015•课标全国I )若函数./(Q=xlnC卄寸忑？)为偶函数，贝山= _____________ .方法三数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析儿何中两点间距离等，求解的关键是明确儿何含义，准确规范地作出相应的图形.兀—2y+120,例3 (1)已知点P(x,尹)的坐标x, y满足，，一则x2+y2~6x+9的取值范围是⑵已知函数fix)=x\x~2\f则不等式/(迈一x)W/(l)的解集为______________解析⑴画出可行域如图，所求的x2+y2-6x+9 = (x-3)2+y2是点0(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为0到射线x-y -1 =0(x^0)的距离〃的平方，晶in == (-V2)2 = 2.最大值为点0到点/的距离的平方，•：d爲x=16.・•・取值范围是[2,16].(2)函数y=j{x)的图象如图，由不等式./(迈一x)W/⑴知，y[2-x^y[2+ 1,从而得到不等式/(、问一QW/(1)的解集为[一1, +°°)・答案(1)[2,16] (2)[-1, +oo)思维升华数形结合法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数.数形结合法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系.跟踪演练3 (1)(2015-山西大学附中月考)若方程x3~3x=k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是_______________________________________________________________________ .J+bx+c,兀W0,⑵(2015•兰州一中期中)设函数心)=仁°若/(—4)=/(0), /(—2)=—2,贝IJ函2,x>0.方法四构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推 理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积 累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.456上单调递增，因此有_/(4)</(5)</(6),即芳沅.456答案(1从兀(2)y^<25<36 思维升华 构造法解题的关键是由条件和结论的特征构造数学模型.在立体几何中，补形构 造是常用的解题技巧，构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用. 跟踪演练4已知三个互不重合的平面a 、卩、丫, G Q“=〃2，且直线n 不重合，由下 列三个条件：①〃?〃？，刃U0； n//p ； @wCy, n//p.能推得m//n 的条件是 __________方法五归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出儿个结论(或直接给出了儿个 结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解 决问题.归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想. 例5 (1)(2014-陕西)观察分析下表中的数据：例4 (1)如图，已知球0的球面上有四点4, B, C, D, D4丄平面ABC,丄BC, DA=AB=BC=^2,则球O 的体积等于 __________________ .456(2)怎，士, 士(其中e 为自然对数的底数)的大小关系是解析⑴如图，以加，AB, BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为凡 则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD| =7(何+(廊 +(何=2R,所以R 書,故球O 的体积7=警=4 4(2)由于討知 x 425 —雪=&，故可构造函数金)=?,于是.")=花，雁)=石，夬6)=36,e' ・ 丫厶—c"・ 2x e' (x? — 2 工)= - = 丿令・f (x)>0得x<0或x>2,即函数几丫)在(2, +oo) e 5 e 5 e 6 e 6 e 6e 5多面体面数(F)顶点数(耳棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F, r, E所满足的等式是______________________________________按照上面的规律，笫〃个“金鱼”图需要火柴棒的根数为解析(1)观察F, V, E的变化得F+V~E=2.(2)观察题图①，共有8根火柴，以后依次增加6根火柴，即构成首项为8,公差为6的等差数列，所以，第”个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6/7 + 2.答案(1)F+/—E=2 (2)6〃+ 2思维升华归纳推理法主要用于与自然数有关的结论，这类问题是近几年高考的热点，解题的关键在于找准归纳对象及其规律，如数列中项与项数之间的对应关系. 跟踪演练5观察下列各个等式：13=1;2—3 + 5；3‘ = 7 + 9+11；¥=13 + 15 + 17+19；若某数/按上述规律展开后，发现等式右边含有“2016”这个数，则加= ___________________ .方法六正反互推法多选型问题给出多个命题或结论，耍求从中选出所有满足条件的命题或结论.这类问题耍求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之I'可互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论.例6已知/(x)为定义在R上的偶函数，当时，有/(x+l)=—/(x),且当xW[0,l)日寸，./(X) = log2(x+l),给岀下列命题：©A2013)+/(-2014)的值为0；②函数/(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线与函数.心)的图象有1个交点；④两数.心)的值域为(一1,1).其中(2)用火柴棒摆“金鱼”正确的命题序号有 _________ .解析根据题意，可在同一坐标系中画出直线尹=兀和函数人力的图象如下:y/_丄__ _____ 丄」丄______ 丄____p\ n n >\-5：-4 审-2 -y >O \1 2 4 ：5 x__ i^So，.•・•L__\ 1 < -111 11根据图象可知©A2013）+A-2014）=0正确，②函数./（x）在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数.几丫）的值域是（-1,1）,正确.答案①③④思维升华正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能.两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断.利用正反互推结合可以快速解决这类问題.跟踪演练6给出以下命题：2①双曲线号一x?=l的渐近线方程为y=±y[2x；②命题p：u R+»是真命题；m LAA③已知线性冋归方程为y=3+2x,当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④设随机变量F服从正态分布N（O,1）,若尸（。
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小题满分练61．(2020·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 C解析 A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}． 2．设复数z ＝1＋b i(b ∈R )，且z 2＝－3＋4i ，则z 的虚部为( ) A ．－2 B ．－4 C ．2 D ．4 答案 A解析 ∵z 2＝－3＋4i ，∴(1＋b i)2＝－3＋4i,1－b 2＋2b i ＝－3＋4i ， ∴1－b 2＝－3,2b ＝4，解得b ＝2. 则z ＝1－2i 的虚部为－2.3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 6＋a 8a 3＋a 5＝127，则a 6的值为( )A.127B.181C.1243D.1729 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 6＋a 8a 3＋a 5＝q 3＝127⇒q ＝13，所以a 6＝a 1·q 5＝1243.4．已知a ＝log 30.8，b ＝30.8，c ＝0.32.1，则( ) A ．a <ab <c B ．ac <b <c C ．ab <a <c D ．c <ac <b答案 C解析 ∵a <0，b >1,0<c <1，∴ab <a <c .5．如图所示的程序框图中，若输入x ＝1516，则输出的i 值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 模拟程序的运行，可得x ＝1516，i ＝0，执行循环体，x ＝78，i ＝1，不满足条件x ＝0，执行循环体，x ＝34，i ＝2，不满足条件x ＝0，执行循环体，x ＝12，i ＝3，不满足条件x ＝0，执行循环体，x ＝0，i ＝4， 此时，满足条件x ＝0，退出循环，输出i 的值为4.6．(2020·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.5－14 B.5－12 C.5＋14 D.5＋12答案 C解析 设正四棱锥的底面正方形的边长为a ，高为h ， 侧面三角形底边上的高(斜高)为h ′， 则由已知得h 2＝12ah ′.如图，设O 为正四棱锥S －ABCD 底面的中心，E 为BC 的中点，则在Rt △SOE 中，h ′2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫a 22， ∴h ′2＝12ah ′＋14a 2，∴⎝⎛⎭⎫h ′a 2－12·h ′a －14＝0，解得h ′a ＝5＋14(负值舍去)．7．函数f (x )＝x 2e x2的大致图象为( )答案 A解析 对于任意x ∈R ，f (x )＝x 2e x2≥0，故排除C ；x →＋∞时，f (x )→＋∞，故排除B ；因为函数是非奇非偶函数，故排除D.8．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0,0) 答案 B解析 设动圆的圆心为C ，半径为R ，则圆心C 在抛物线上，设与直线x ＋2＝0相切的切点为A ，与x 轴的交点为M ，由圆的性质可知，|CA |＝|CM |＝R ，直线x ＋2＝0为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该动圆必过抛物线的焦点(2,0)．9．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为25，则在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为( ) A.225 B.310 C.110 D.325 答案 C解析 在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局分两种情况： ①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为 P 1＝12×35×12×25＝350；②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为 P 2＝12×25×12×25＝125.所以甲以13∶11赢下此局的概率为P 1＋P 2＝110.10．(2020·全国Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝5，c 2＝a 2＋b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5a ，b ＝2a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝25a . ∵△PF 1F 2中，F 1P ⊥F 2P ， ∴|F 1P |2＋|F 2P |2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝20a 2. 不妨设P 在C 的右支上，则|F 1P |－|F 2P |＝2a . ∵△PF 1F 2的面积为4，∴12|F 1P ||F 2P |＝4，即|F 1P ||F 2P |＝8. ∴(|F 1P |－|F 2P |)2＝|F 1P |2＋|F 2P |2－2|F 1P ||F 2P | ＝20a 2－2×8＝4a 2，解得a ＝1.11．已知A (x 1,0)，B (x 2,0)是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1(ω>0，φ∈(0，π))与x 轴的两个交点，且满足|x 1－x 2|min ＝π3，现将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到的新函数图象关于y轴对称，则φ的可能取值为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 A解析 由f (x )＝0，可得sin(ωx ＋φ)＝－12，∵A (x 1,0)，B (x 2,0)是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1(ω>0，φ∈(0，π))与x 轴的两个交点， 设x 1>x 2，不妨令x 1ω＋φ＝－π6，x 2ω＋φ＝－5π6，∴(x 1－x 2)ω＝2π3，又|x 1－x 2|min ＝π3，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1，又函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到的新函数图象关于y 轴对称，∴π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝π6＋k π(k ∈Z )． 又φ∈(0，π)，∴φ＝π6.12．(2020·眉山诊断)函数f (x )＝ax －2与g (x )＝e x 的图象上存在关于直线y ＝x 对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，e 4B.⎝⎛⎦⎤－∞，e2 C ．(－∞，e] D ．(－∞，e 2] 答案 C解析 由题意可知，曲线f (x )＝ax －2与y ＝ln x 有公共点， 即方程ax －2＝ln x 有解， 即a ＝2＋ln x x 有解，令h (x )＝2＋ln xx ，则h ′(x )＝－1－ln xx 2，则当0<x <1e时，h ′(x )>0；当x >1e时，h ′(x )<0，故当x ＝1e 时，h (x )取得极大值h ⎝⎛⎭⎫1e ＝e ，也为最大值， 当x 趋近于0时，h (x )趋近于－∞， 所以a ≤e 满足条件．13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b＝________. 答案2113解析 在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.14．点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，若AE →·DB →＝－2，则AE →·BE →＝________. 答案 3解析 如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设正方形的边长为2a ，则E (a ,2a )，B (2a ,0)，D (0,2a )，可得AE →＝(a ,2a )，DB →＝(2a ，－2a )，由AE →·DB →＝－2，可得2a 2－4a 2＝－2，解得a ＝1，BE →＝(－1,2)，AE →＝(1,2)，则AE →·BE →＝3.15．已知数列{a n }，{b n }，其中数列{a n }满足a n ＋10＝a n (n ∈N *)，前n 项和为S n ，满足S n ＝－n 2－21n ＋12(n ∈N *，n ≤10)；数列{b n }满足b n ＋12＝b n (n ∈N *)，且b 1＝1，b n ＋1＝nn ＋1b n(n ∈N *，n ≤12)，则数列{a n ·b n }的第2 020项的值为________． 答案 14解析 ∵S n ＝－n 2－21n ＋12(n ∈N *，n ≤10)，∴a 1＝S 1＝192，a n ＝S n －S n －1＝－n 2－21n ＋12＋(n －1)2－21(n －1)＋12＝11－n (2≤n ≤10)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧192，n ＝1，11－n ，2≤n ≤10，∵b 1＝1，b n ＋1＝n n ＋1b n (n ∈N *，n ≤12)．∴nb n ＝(n ＋1)b n ＋1，∴数列{nb n }是常数列，即nb n ＝1×b 1＝1， ∴b n ＝1n(n ∈N *，n ≤12)，∵{a n }，{b n }的周期分别为10,12， ∴a 2 020＝a 10＝1，b 2 020＝b 4＝14，∴a 2 020·b 2 020＝14.16．(2020·常德模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BC ＝2AB ＝4AD ＝4，将直角梯形ABCD 沿对角线BD 折起，使点A 到P 点位置，则四面体P －BCD 的体积的最大值为________，此时，其外接球的表面积为________．答案8515 654π 解析 如图，四面体P －BCD 的体积最大时，平面PBD ⊥平面DBC ，点P 到平面DBC 的距离为△PDB 斜边DB 上的高h ， ∵12AB ·AD ＝12BD ·h ，∴h ＝25，故最大体积为V ＝13S △DBC ·h ＝13×12×4×2×25＝8515.△PDB 的外心为斜边DB 的中点M ，△DBC 的外心为O ，过M 作平面PDB 的垂线，过O 作平面BDC 的垂线，两垂线的交点即为球心．∵平面PBD ⊥平面DBC ，∴O 即为球心，△DBC 的外接圆半径即为球半径， ∴2R ＝BD sin ∠BCD＝5213＝652.∴外接球的表面积为S ＝4πR 2＝654π.。