专题1 含参数导数问题的分类讨论

专题一 含参数导数问题的分类讨论导数是研究函数的图象和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题几乎是每年高考的必考试题之一．随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题成为了历年高考命题的热点．由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行分类讨论，如何进行分类讨论成为绝大多数考生答题的难点．模块1 整理方法 提升能力在众多的含参数导数问题中，根据所给的参数的不同范围去讨论函数的单调性是最常见的题目之一，求函数的极值、最值等问题，最终也需要讨论函数单调性．对于含参数导数问题的单调性的分类讨论，常见的分类讨论点有以下三个：分类讨论点1：求导后，考虑()0f x '=是否有实根，从而引起分类讨论；分类讨论点2：求导后，()0f x '=有实根，但不清楚()0f x '=的实根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；分类讨论点3：求导后，()0f x '=有实根，()0f x '=的实根也落在定义域内，但不清楚这些实根的大小关系，从而引起分类讨论．以上三点是讨论含参数导数问题的单调性的三个基本分类点，在求解有关含参数导数问题的单调性时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论．因此，对含参数的导数问题的分类讨论，还是有一定的规律可循的．当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就会复杂一些了，也有些题目可以根据其式子和题目的特点进行灵活处理，减少分类讨论，需要灵活把握．例1设0a >，讨论函数()()()2ln 121f x x a a x a x =+---的单调性． 【解析】()f x 的定义域是()0,+∞．()()()12121f x a a x a x'=+--- ()()221211a a x a x x---+=．令()()()221211g x a a x a x =---+，则()0f x '=的根的情况等价于()0g x =的根的情况．由于()g x 的函数类型不能确定，所以需要对a 进行分类讨论从而确定函数的类型．（1）当1a =时，()g x 是常数函数，此时()1g x =，()10f x x'=>，于是()f x 在()0,+∞上递增．（2）当1a ≠时，()g x 是二次函数，类型确定后，我们首先考虑讨论点1——()0f x '=是否有实根的问题．由于()g x 不能因式分解，所以我们考虑其判别式()()4131a a ∆=--，判别式的正负影响到()0g x =的根的情况，由此可初步分为以下三种情况：①当0∆<，即113a <<时，()0g x =没有实根；②当0∆=，即13a =时，()0g x =有两个相等的实根；③当0∆>，即103a <<或1a >时，()0g x =有两个不等的实根．对于第①种情况，()0g x =没有实根且永远在x 轴上方，于是()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上递增．对于第②种情况，()0g x =有两个相等的实根32x =，于是()0f x '≥，所以()f x 在()0,+∞上递增．对于第③种情况，()0g x =有两个不等的实根，112x a=-和212x a=．由于不知道两根是否落在定义域()0,+∞内，因此要考虑讨论点2，而利用韦达定理进行判断是一个快捷的方法．因为121x x a +=，()12121x x a a =-，所以当103a <<时，有120x x +>且120x x >，此时两个根都在定义域内切120x x <<（因为1x 与2x 的大小关系已经确定，所以不需要考虑讨论点3）．由()0f x '>可得10x x <<或2x x >，所以()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递增；由()0f x '<可得12x x x <<，所以()f x 在()12,x x 上递减．当1a >时，有120x x +>且120x x <，此时210x x <<，由()0f x '>可得10x x <<，所以()f x 在()10,x 上递增；由()0f x '<可得1x x >，所以()f x 在()1,x +∞上递减．综上所述，当103a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递增，在()12,x x 上递减；当113a ≤≤时，()f x 在()0,+∞上递增；当1a >时，()f x 在()10,x 上递增，在()1,x +∞上递减．其中112x a=212x a =．【点评】只要按照3个分类讨论点进行思考，就能很好地处理含参数导数问题的单调性．此外，涉及两根与0的大小比较的时候，利用韦达定理往往比较简单．例2已知函数()ln f x x kx k =-+（k ∈R ）． （1）求()f x 在[]1,2上的最小值；（2）若1ln 1x a x x ⎛⎫+≥ ⎪ ⎪-⎝⎭对()1,1x ∈-恒成立，求正数a 的最大值．【解析】（1）定义域为()0,+∞，()11kx f x k x x-+'=-=． 法1：①当0k =时，()10f x x'=>，函数()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．②当0k ≠时，令()0f x '=可得1x k=． （i ）当10k<，即0k <时，()0f x '>在[]1,2上恒成立，函数()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．（ii ）当101k<≤，即1k ≥时，()0f x '≤在[]1,2上恒成立，所以()f x 在[]1,2为减函数，所以()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．（iii ）当12k ≥，即102k <≤时，()0f x '≥在[]1,2上恒成立，所以()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．（iv ）当112k <<，即112k <<时，由()0f x '>可得11x k <<，由()0f x '<可得12x k<<，所以()f x 在11,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,2k ⎛⎫⎪⎝⎭上递减．于是()f x 在[]1,2上的最小值为()10f =或()2ln 2f k =-．当0ln2k <-，即1ln 22k <<时，()()min10f x f ⎡⎤==⎣⎦；当0ln2k ≥-，即ln21k ≤≤时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．综上所述，当ln2k <时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦；当ln2k ≥时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦． 法2：①当0k ≤时，()0f x '>，函数()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦． ②当0k >时，由()0f x '>可得10x k <<，由()0f x '<可得1x k >，所以()f x 在10,k ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减．于是()f x 在[]1,2上的最小值为()10f =或()2ln 2f k =-．（i ）当0ln2k <-，即0ln2k <<时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦． （ii ）当0ln2k ≥-，即ln2k ≥时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．综上所述，当ln2k <时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦；当ln2k ≥时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦． （2）解答详见专题三例1．【点评】处理好函数的单调性，就能求出函数的最值．法1是按照常见的3个分类讨论点进行讨论：当0k =时，()0f x '=没有实根．当0k ≠时，()0f x '=有实根1x k=，此时需考虑根在不在定义域[]1,2内．当10k <或101k <≤或12k ≥时，根都不在定义域内（把11k=和12k =并在里面是为了减少分类的情况）；当112k<<时，根在定义域内，由于定义域内只有1个根，所以就不用考虑第3个分类讨论点了．法2是根据式子和题目的特点进行分类：由()1f x k x'=-可知当0k ≤时，()f x 在[]1,2上递增；当0k >时，()f x 在()0,+∞上先增后减，所以最小值只能在()1f 或()2f 处取到，此时只需要比较两者的大小就可以了．由于法2是根据式子和题目的特点进行分类的，所以能减少分类的情况．例3设函数()()2ln 1f x x b x =++，其中0b ≠． （1）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （2）当0b ≠时，求函数()f x 的极值点．【解析】（1）函数()()2ln 1f x x b x =++的定义域为()1,-+∞，()222211b x x b f x x x x ++'=+=++．令()222g x x x b =++，则48b ∆=-．当12b >时，0∆<，所以()g x 在()1,-+∞上恒大于0，所以()0f x '>，于是当12b >时，函数()f x 在定义域()1,-+∞上递增．（2）首先考虑()0g x =是否有实根． ①当0∆<，即12b >时，由（1）知函数()f x 无极值点．②当0∆=，即12b =时，()0g x =有唯一的实根，()0g x ≥，于是()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立，所以函数()f x 在()1,-+∞上递增，从而函数()f x 在()1,-+∞上无极值点．③当0∆>，即12b <时，()0g x =有两个不同的根1x =，2x =，其中12x x <．这两个根是否都在定义域()1,-+∞内呢？这需要对参数b 的取值进一步分类讨论．当0b <时，11x <-，21x =>-，由()0f x '>可得2x x >，由()0f x '<可得21x x -<<，所以()f x 在()21,x -上递减，在()2,x +∞上递增，所以当0b <时，()f x 在()1,-+∞上有唯一极小值点2x =．当102b <<时，1112x -=>-，2112x -+=>-，由()0f x '>可得11x x -<<或2x x >，由()0f x '<可得12x x x <<，所以()f x 在()11,x -上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增，所以当102b <<时，()f x 在()1,-+∞上有一个极大值点1x和一个极小值点2x =． 综上所述，当0b <时，()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点2x =；当102b <<时，()f x有一个极大值点112x -=和一个极小值点212x -=；当1b ≥时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点．12x x <，所以只需要考虑讨论点2，判断这两个根是否都在定义域()1,-+∞内就可以了，显然之间的大小符号待定为，则有11122112bb b -⇔----⇔-⇔1120b b -⇔，所以当0理，判断1x 、2x 与1-的大小关系等价于判断121x x +=-⎧⎪(1x ⎧+⎪模块2 练习巩固 整合提升练习1：设函数()1ln 1x f x a x x -=++，其中a 为常数． （1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性． 【解析】（1）当0a =时，()11x f x x -=+，()0,x ∈+∞．此时()()221f x x '=+，于是()112f '=，()10f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为210x y --=．（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()22221211ax a x a a f x x x x x +++'=+=++． ①当0a ≥时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,+∞上递增．②当0a <时，令()()221g x ax a x a =+++，则()()22414421a a a ∆=+-=+． （i ）当12a ≤-时，0∆≤，所以()0g x ≤，于是()0f x '≤，所以函数()f x 在()0,+∞上递减．（ii ）当102a -<<时，0∆>，此时()0g x =有两个不同的根，()11a x a -++=，()21a x a-+=，12xx <．下判断1x 、2x 是否在定义域()0,+∞内．法1：（待定符号法）()()101210121a a a a a a-+⇔+-+⇔++⇔()221210a a a ++⇔，由于0a >，所以10x >．法2：（韦达定理）由()121221010a x x ax x ⎧++=->⎪⎨⎪=>⎩可得120x x <<． 法3：（图象法）()g x 是开口方向向下的抛物线，对称轴为10a a+->，()00g a =<，由图象可知1x 、2x 都在定义域()0,+∞内．当10x x <<或2x x >时，有()0g x <，()0f x '<，所以函数()f x 递减；当12x x x <<时，有()0g x >，()0f x '>，所以函数()f x 递增．综上所述，当0a ≥时，函数()f x 在()0,+∞上递增；当12a ≤-时，函数()f x 在()0,+∞上递减；当102a -<<时，函数()f x 在()10,a a ⎛-++ ⎪⎝⎭，()1a a ⎛⎫-+-+∞⎪ ⎪⎝⎭上递减，在()()11a a a a ⎛-++-+ ⎪⎝⎭上递增．练习2：设函数()()2ln f x x a x =++．（1）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2． 【解析】（1）由()10f '-=解得32a =，此时()2123123322x x f x x x x ++'=+=++，由()0f x '>解得312x -<<-或12x >-，由()0f x '<解得112x -<<-，所以()f x 在区间3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递减． （2）()f x 的定义域为(),a -+∞，()2221x ax f x x a++'=+，记()2221g x x ax =++，其判别式为248a ∆=-．①若0∆≤，即a ≤时，()0f x '≥在(),a -+∞上恒成立，所以()f x 无极值．②若0∆>，即a >a <()0g x =有两个不同的实根1x =22a x -=，且12x x <，由韦达定理可得121212x x ax x +=-⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()()()121212x a x a a x a x a ⎧+++=⎪⎨+⋅+=⎪⎩．（i）当a <10x a +<，20x a +<，即1x a <-，2x a <-，从而()0f x '=在(),a -+∞上没有实根，所以()f x 无极值．（ii）当a 10x a +>，20x a +>，即1x a >-，2x a >-，从而()0f x '=在(),a -+∞上有两个不同的根，且()f x 在1x x =，2x x =处取得极值．综上所述，()f x 存在极值时，a的取值范围为)+∞．()f x 的极值之和为()()()()()()()222121122121212ln ln ln 2f x f x x a x x a x x a x a x x x x +=+++++=⎡++⎤++-⎣⎦，而()()121ln ln 2x a x a ⎡++⎤=⎣⎦，()()222121212212x x x x a a +-=--⨯=-，所以()()21211eln 1ln 1ln 222f x f x a +=+->+=．练习3：已知函数()2e 1x f x ax bx =---，其中a 、b ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[]0,1上的最小值； （2）若()10f =，函数()f x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围． 【解析】（1）()()e 2x g x f x ax b '==--，()e 2x g x a '=-．因为[]0,1x ∈，所以()12e 2a g x a '-≤≤-．①若21a ≤，即12a ≤时，有()e 20x g x a '=-≥，所以函数()g x 在区间[]0,1上递增，于是()()min 01g x g b ⎡⎤==-⎣⎦．②若12e a <<，即1e22a <<时，当()0ln 2x a <<时，()e 20x g x a '=-<，当()ln 21a x <<时()e 20x g x a '=->，所以函数()g x 在区间()()0,ln 2a 上递减，在区间()ln 2,1a ⎡⎤⎣⎦上递增，于是()()()min ln 222ln 2g x g a a a a b ⎡⎤=⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦．③若2e a ≥，即e2a ≥时，有()e 20x g x a '=-≤，所以函数()g x 在区间[]0,1上递减，于是()()min 1e 2g x g a b ⎡⎤==--⎣⎦．综上所述，()g x 在区间[]0,1上的最小值为()()min11,21e 22ln 2,22e e 2,2b a g x a a a b a a b a ⎧-≤⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩．（2）法1：由()10f =可得e 10a b ---=，于是e 1b a =--，又()00f =，所以函数()f x 在区间()0,1内有零点，则函数()f x 在区间()0,1内至少有三个单调区间．由（1）知当12a ≤或e2a ≥时，函数()g x 即()f x '在区间[]0,1上递增或递减，所以不可能满足“函数()f x 在区间()0,1内至少有三个单调区间”这一要求．若1e22a <<，则()()()min22ln 232ln 2e 1g x a a a b a a a ⎡⎤=--=---⎣⎦．令()()32ln 2e 1h x x x x =---（1e 22x <<），则()()12ln 2h x x '=-．由()0h x '>可得1e2x <<，由()0h x '<e e2x <<，所以()h x 在区间1e 2⎛ ⎝上递增，在区间e e 2⎫⎪⎪⎭上递减，所以()max e e e e 32ln 2e 1e e 10h x h ⎡⎤⎡⎤==---=--<⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，即()min 0g x ⎡⎤<⎣⎦，于是函数()f x 在区间()0,1内至少有三个单调区间⇔()()02e 0110g a g a ⎧=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，由此解得e 21a -<<，又因为1e22a <<，所以e 21a -<<．综上所述，a 的取值范围为()e 2,1-．法2：由()10f =可得e 10a b ---=，于是e 1b a =--，又()00f =，所以函数()g x 在区间()0,1上至少有两个零点．()e e 10e 2e 1021x xg x ax a a x -+=⇔--++=⇔=-，所以()g x 在区间()0,1上至少有两个零点y a ⇔=与()e e 121x k x x -+=-，110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象至少有两个交点．()()()22e 3e 2e 121x x x k x x -+-'=-，令()()2e 3e 2e 1x x p x x =-+-，则()()e 21x p x x '=-，由()0p x '>可得12x >，由()0p x '<可得12x <，所以()p x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递增，()min12e 2e 202p x p ⎛⎫⎡⎤==-> ⎪⎣⎦⎝⎭，所以()0k x '>，于是 ()k x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上也递增．因为()0e 2k =-，()11k =，当12x -→时，()k x →+∞，当12x +→时，()k x →-∞，于是y a =与()e e 121x k x x -+=-，110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象有两个交点时，a 的取值范围是() -．e2,1。