导数中的分类讨论，这样分，不会错！
导数中含参分类问题课件
对转化与化归思想运用不当
01
总结词：运用不当
02
详细描述：有些同学在处理 问题时，无法将问题转化为 更简单的形式或者无法从简 单形式中归纳出问题的答案 。
03
错误示例：在求解函数的单 调区间时，无法将函数的单 调性与导数的关系对应起来 ，或者在求解函数的极值时 ，无法利用单调性来求解。
04
正确理解：转化与化归思想 是一种将复杂问题转化为简 单问题的思考方式。在处理 导数问题时，需要将问题转 化为与导数相关的简单形式 ，并利用导数的性质来求解 。
讨论函数的最值
总结词
通过求函数在区间端点或一阶导数不连续点的函数值来判定原函数的最值。
详细描述
根据最值的定义，函数在某个区间内的最大值和最小值分别出现在区间端点或一阶导数不连续点上。 因此，在讨论函数的最值时，我们需要先求出函数的端点值和一阶导数不连续点的函数值，然后比较 这些值找出最大值和最小值。
数形结合思想在导数中的应用非常广泛，它可以 帮助我们直观地理解问题的本质，从而更好地解 决问题。
数形结合思想是解决导数中含参分类问题的有效 手段。
数形结合思想是数学中非常重要的思想方法之一 。
03
导数中含参分类问题的常见类型及解题方 法
讨论函数的单调性
总结词
通过研究导函数的正负性来判定原函数的单调性。
实际应用问题
经济问题
在经济学中，导数可以用来研究 经济变量的变化率，通过导数的 分析可以更好地理解经济的运行
情况。
物理问题
在物理学中，导数可以用来描述物 理量的变化率，如速度、加速度等 。通过导数的分析可以更好地理解 物理现象。
图像处理
在图像处理中，导数可以用来描述 图像的边缘信息，通过导数的分析 可以更好地进行图像分割和识别。
导数中分类讨论地三种常见类型
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论. 1.导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -. 当1a =-时， ()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -. 综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间； 当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况. 2.导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x > 在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得1x =，2x =12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：综上所述，当a ≤≤()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
导数中如何分类讨论
导数中如何分类讨论在微分学中，导数是一个非常重要的概念，描述了函数在其中一点的变化率。
导数的分类讨论主要有以下几种情况：1.右导数和左导数：对于函数在其中一点的导数来说，如果左极限和右极限都存在且相等，则这个导数称为右导数和左导数。
如果左右导数相等，则称为函数在这一点处可导。
否则，函数在这一点处不可导。
2.一阶导数：函数的一阶导数描述的是函数的瞬时变化率，也就是在特定点的切线斜率。
如果函数在其中一点可导，则这一点的一阶导数存在。
通过函数的一阶导数，可以推断出函数的增减性、极值点和拐点等信息。
3.高阶导数：函数的高阶导数描述的是函数的瞬时变化率的变化率，即变化率的二阶或更高阶的导数。
高阶导数主要用于研究曲线的弯曲程度、拐弯点等。
如果函数的一阶导数存在，且一阶导数也再次可导，则可以得到函数的二阶导数。
以此类推，得到三阶导数、四阶导数，依此类推。
4.导数的连续性：对于函数的导数，我们可以考虑导数本身在其中一区间上的连续性。
如果导数在其中一区间上连续，则称该函数在该区间处可导。
连续导数的函数是很常见的类型，如多项式函数、三角函数等。
但也有一些函数在一些点处的导数不连续，如绝对值函数在零点处。
5.可导函数的性质：对于可导函数而言，还有一些特殊的性质可以讨论。
例如，连续函数的定义域上的导函数在整个区间上是无穷可微的。
光滑函数是指具有任意阶导数的函数。
对于光滑函数而言，它的导数在整个定义域上是无穷可微的。
在实际问题中，导数的分类讨论可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
通过分析导数的分类情况，可以确定函数的增减性、极值点和拐点等重要信息，从而为更深入的研究函数提供了基础。
同时，导数的分类讨论也有助于我们理解函数之间的关系和运算法则，如链式法则、乘积法则和商法则等。
综上所述，导数的分类讨论在微分学中是非常重要的。
对函数的导数进行分类讨论，可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，并进一步研究更复杂的数学问题。
(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）， 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。
(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。
这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。
因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。
（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。
故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。
帮你归纳总结五导数中常见的分类讨论
帮你归纳总结五导数中常见的分类讨论在导数的学习中，我们经常会遇到各种不同的函数和问题，为了更好地理解和解决这些问题，我们需要进行分类讨论。
下面将介绍导数中常见的五种分类讨论，并探讨每种分类讨论的应用。
一、基本函数的导数基本函数是指一些常见的函数，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
对于这些函数，我们可以通过公式或运用基本性质来求导数。
例如，对于常数函数f(x) = c，其导数为f'(x) = 0；对于幂函数f(x) = x^n，其中n为常数，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
基本函数的导数可以通过记忆公式或基本性质来求解，这是导数求解中最基础的分类讨论。
二、复合函数的导数复合函数是指由两个或多个函数相互组合而成的函数。
对于复合函数的导数求解，我们可以运用链式法则。
链式法则指出，若y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别是两个可导函数，则复合函数y的导数可以表示为y'=f'(g(x))*g'(x)。
通过链式法则的应用，我们可以将复合函数的导数求解转化为求两个基本函数的导数，从而简化导数的计算。
三、隐函数的导数隐函数是指由一个关系式所定义的函数，其自变量和因变量的关系并不明显。
对于隐函数的导数求解，我们可以运用隐函数求导法。
隐函数求导法是一种通过求全微分和利用导数的定义来求解隐函数的导数的方法。
具体而言，我们可以将隐函数的方程两边求导，并利用导数的表示推导出隐函数的导数表达式。
隐函数的导数求解不仅可以帮助我们理解隐函数的性质，还可以解决一些与隐函数相关的问题。
四、参数方程的导数参数方程是指用参数的形式表示的函数。
对于参数方程的导数求解，我们可以运用参数方程的求导法。
参数方程的求导法是一种通过将参数作为自变量，并利用导数的定义和基本性质来求解参数方程的导数的方法。
具体而言，我们可以将参数方程中的每个参数视为独立的变量，然后对每个参数分别求导得到参数方程对应的导数表达式。
考前归纳总结：导数中常见的分类讨论
导数中的分类讨论问题分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” 一、参数引起的分类讨论例1.：已知函数1)1(ln )(2+-+=x p x p x f , 当0>p 时，讨论函数)(x f 的单调性。
练习1：已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+，求函数()f x 的单调区间；二、判别式引起的分类讨论例2：已知函数2()ln f x x x a x =-+，()a R ∈，讨论()f x 在定义域上的单调性。
三、二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论 例3：已知函数322()233f x x ax x ，令()ln(1)3()g x x f x ，若()g x 在1(,)2-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.四、二项系数引起的分类讨论例4.已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)设a ≤－2，求证：对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|.三、针对性练习1.已知函数)0(3ln )(≠∈--=a R a ax x a x f 且 ．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当2=a 时，设函数32)2()(-+--=xep x p x h ，若在区间],1[e 上至少存在一个0x ，使得)()(00x f x h >成立，试求实数p 的取值范围．2.已知函数))(1ln()(2R a x a ax x x f ∈---=,求函数)(x f 的单调区间；3.若函数x xx x f ln 2)(++=，求函数)(x f 的极值点。
导数分类讨论解决含参问题(三种常见类型)
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
导数中分类讨论的三种常见 类型
若，符合题意 若，符合题意 若，符合题意 若，不符合题意 若，不符合题意 若，不符合题意 综上所述：p的取值范围为 下面笔者就海南2010年高考的压轴题来说明本人提出的解题步骤和讨论方法具有一定的
实用价值，当然解答的过程可能不够严谨，处于定性的范围，不足之处，望全体同仁多多指 教。 例6：（海南2010理）
-1
+
0
_
0
+
单调递 极大值 单调递 极小值 单调递
增
减
增
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 当时， 在上恒成立，所以函数的单调递增区间为，没有单调递减区间. 当时，，随的变化情况如下：
-1
+
0
_
0
+
单调递 极大值 单调递 极小值 单调递
增
减
增
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 综上所述， 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确 定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于，所以要 分，，三种情况，这里注意不能漏了的情况. 2.导函数的根的存在性讨论 实例2：求函数的单调区间 分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数进行 求导可以得到导函数，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无 法确定方程是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我 们可以求出根判别式， 若即，方程没有实根，即 在上恒成立，所以在上单调递增； 若即，方程有两个相等的实根，即在上恒成立，所以在上单调递增； 若即，则方程有两个不同实根，由求根公式可解得，，显然 此时，随的变化情况如下：
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导数中的分类讨论，这样分，不会错！
小数老师说
导数里的分类讨论是同学们最头疼的点，其实在小数老师看来，导数题目不难，关键是要找准分类讨论的标准，然后计算能力过关就OK了，这个假期小数老师会通过几道例题分别给大家讲解一下这个知识点，希望能让绝大多数同学都能拿到满分！
分析
这道题显然是一道典型的利用导数求函数极值的题目，函数也是比较中规中矩的三次函数，因此，只要是基础知识扎实，这道题的难度不大！但是对于分类讨论部分，很多同学分类不清晰，再加上导数里面有参数a还有自变量x，同学们很容易会出现错误，下面，跟着小数老师一起看看，怎么分类才能拿满分？！
一般小数老师会根据求导后需要讨论的那部分解析式进行分类，比如，一次函数型，二次函数能分解因式型，二次函数不能分解因式型，能转化为一次或二次函数型，等，其中前三类是基础类型，同学们务必要掌握好，今天这道题属于二次函数能分解因式型。
解析
（1）对于求极值或者求单调性的题目，第一步是求导并求函数定义域（是原函数的定义域，而不是导函数的定义域哦）所以
接下来，观察导函数，会发现导函数可以是一个二次函数型的（一定不能直接说是二次函数，因为a的范围不确定），再回到条件里，可以看到a>0，所以就是属于二次函数，还是能分解因式的，所以继续往下，
我们知道，求函数的极值，一般是令导函数为0，求出根，然后判断函数在区间上的单调性，得到极值，
所以，令，即ax(ax-2)=0,所以，
由于a>0，所以x2>x1，所以可以得到
x （-∞，0）0 （0,2/a）2/a （2/a，
+∞）
f‘（x）+ 0 —0 +
f(x) 递增极大值递减极小值递增注意：第一问由于限制了条件a>0，所以不需要讨论，只要比较一下两根的关系即可，难度不是很大！
（2）第二问与第一问的区别在于两点：一是a的范围放大了，二是函数的定义域变小了，这样一来难度就有点增大了，我们从上面求出的导函数开始，
由于a的范围扩大了，对于这个导函数，形式上是二次函数，但其实不一定，因为二次项系数是a^2，所以第一步要先考虑a=0时，此时f’（x）=0，所以此时f(x)是常函数，不存在极值；
当a不等于0时，导函数为二次函数型的，
由（1）得，两根为
，
接下来由于a的范围不定，再加上定义域是[-1,1]，必须要分类讨论了，那么应该怎么分类呢？
小数老师送你一个法宝，数轴，请看图：
这个图上三个点分别是定义域的两个端点，以及根x1，对于根x2，此时无法确定位置，但是我们要分类讨论了，通过数轴我们可以看到x2可以有以下几种情况了，
x2≤-1,
-1<><>
0<><>
X2≥1
共四种情况，接下来，我们就这四种情况进行讨论，
①当x2≤-1，即-2≤a<>导函数的大体图像为
通过图像列表可得
x [-1,0）0 (0,1]
f’(x)- 0 +
f(x) 递减极小值递增
②当-1<><>，即a<>导函数的大体图像为
通过图像列表为
2/a （2/a，0）0 (0,1]
x [-
1,2/a）
f’(x)+ 0 - 0 +
f(x) 递增极大值递减极小值递增
③当0<><>，即a>2时，导函数的大体图像为：
通过图像列表为
2/a (2/a,1]
x [-1,0） 0 （0，
2/a，）
f’(x)+ 0 - 0 +
f(x) 递增极大值递减极小值递增
④当X2≥1，即0<>≤2时，导函数的大体图像为：
通过图像列表为
x [-1,0）0 (0,1] f’(x)+ 0 -
f(x) 递增极大值递减
最后注意：刚才小数老师画的数轴与导函数的简图，不要出现在答题纸上，那仅仅是帮助你解题的一个工具而已哦，答题格式可以是列表，可以是描述，但是最后都不要忘了综上所述，把所有的情况都说明白，今天小数老师的目标是让大家会分类讨论，所以这题没有写标准答案，同学们自己要注意哈！。