北京四中2014年下学期高二期中考试数学试卷(文) 有答案

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北京四中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科) 后有答案

北京四中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分。

卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1. 设i 为虚数单位，则31t ＝（） A. iB. －iC. 1D. －12. 函数x xe y =的导函数y '＝（） A. xxeB. xeC. xe +1D. x e x )1(+3.⎰+1)2(dx x e x 等于（）A. 1B. 1-eC. eD. 1+e4. 在复平面内，复数iiz -=1（i 是虚数单位）对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 函数x x x f ln 3)(+=的单调递增区间为（） A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0B. ),(+∞eC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1eD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,16. 由直线0,3,3==-=y x x ππ与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为（）A.21B. 1C.23 D.37. 函数)(x f 是定义在),(+∞-∞内的可导函数，且满足：0)()(>>'x f x f x ，对于任意的正实数b a ,，若b a >，则必有（）A. )()(a bf b af >B. )()(b af a bf >C. )()(b bf a af <D. )()(b bf a af >8. 函数nmx ax x f )1()(-=在区间]1,0[上的图象如图所示，则n m ,的可能值是（）A. 1,1==n mB. 2,1==n mC. 1,2==n mD. 1,3==n m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 的值为____________。

10. 已知R b a ∈,，i 是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2)(bi a ____________。

北京四中2013-2014学年高二第二学期期中测验数学

参考答案卷Ⅰ1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．A 7．B 8．C 9．1 1 10．ln2－1 11．n+(n+1)+(n+2)+…+(3n―2)=(2n―1)212．②13．解：（1）121111131314a a a a +====++；232114331714a a a ===++ 3431173311017a a a ===++ （2）猜想：132n a n =- 证明：①当n=1时，11132n a a ===-，成立。

②假设当n=k （k ＞1且k ∈N*）时，132k a k =-成立。

则n=k+1时，11113233132331132k k k a k a a k k k +-====+-+++- 又∵111313(1)2k a k k +==++- 当n=k+1时也成立。

∴由①②得，N*n ∀∈，132n a n =-成立。

14．解：（1）当a=3时，3211()632f x x x x =-++，∴D ：x ∈R ∴2'()6(3)(2)f x x x x x =-++=-++ 令'()0f x >，则－2＜x ＜3则：x ，'()f x ，()f x 变化如下表：∴()f x 在（－∞，－2），（3，+∞）上递减，在（－2，3）上递增。

（2）2'()2f x x x a =-++∴若令2'()20f x x a a =-++= 则Δ=b2－4ac=1+8a ；a ∈（0，2），则Δ＞0 ∴x ==∵a ∈（0，2），则1+8a ∈（1，17）1(2∴若4<，则()f x 在[1，4]上单调增，min 1116()(1)2323f x f a ==-++=- ∴此时114a =-，不合题意，舍。

∴14<<，即()f x 在上单增，在4]上单减。

∴min 1116()(4)64168323f x f a ==-⨯+⨯+=- ∴a=12=，符合条件。

2017-2018年北京四中高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF

18．（5 分）对于函数 f（x）＝（2x﹣x2）ex （1）（2）是 f（x）的单调递减区间；是 f（x）的极小值，是 f（x）的极大值；
（3）f（x）有最大值，没有最小值；（4）f（x）没有最大值，也没有最小值．其中判断正确的是．
三、解答题：本大题共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分. 19．（15 分）已知函数 f（x）＝ax3+x2（a∈R）在（1）确定 a 的值；（2）若 g（x）＝f（x）ex，讨论 g（x）的单调性． 20．（15 分）设 f（x）＝a（x﹣5）2+6ln x，其中 a∈R，曲线 y＝f（x）在点（1， f（1））处的切线与 y 轴相交于点（0，6）．（1）确定 a 的值；（2）求函数 f（x）的单调区间与极值． 21．（15 分）已知函数 f（x）＝ex+ ．处取得极值．
11．（5 分）设函数 f′（x）是奇函数 f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当 x＞0 时， xf′ （x） ﹣f （x）＜0，则使得 f （x）＞0 成立的 x 的取值范围是（ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞））
14．（5 分）如图，函数 y＝f（x）的图象在点 P 处的切线方程是 y＝﹣x+8，则 f （2018）+f'（2018）＝．
15．（5 分）已知函数 f（x）＝ex﹣2x+a 有零点，则 a 的取值范围是 16．（5 分）已知函数（ f x）＝x3+ax2+bx+a2 在 x＝l 处有极值 10，则（a， b）＝

北京四中2014-2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷(文科) 后有答案

北京四中2014-2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）卷（Ⅰ）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. 某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生人数之比为4：3：2：1，使用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则抽取三年级的学生人数为A. 80B. 60C. 40D. 202. 将一组数中的每个数减去同一个非零的常数，则这一组数的 A. 平均数不变、方差不变 B. 平均数改变、方差改变 C. 平均数不变、方差改变 D. 平均数改变、方差不变3. 用1、2、3、4、5组成无重复数字的四位偶数的个数为 A. 8 B. 24 C. 48 D. 1204. 执行如下图所示的程序框图，若输入a=2、b=2，则输出a=A. 4B. 16C. 256D. 4log 32 5. 设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x ，表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A.4π B.22-π C.6π D.44π- 6. 某工厂对一批产品进行抽样检测，下图是依据样品的净重数据（单位：克）绘制的频率分布直方图，其中数据的范围是[96，106]，分组为[96，98）、[98，100）、[100，102）、[102，104）、[104，106]，已知净重小于100克的样品个数是36，则净重不小于98克且小于104克的样品个数是A. 90B. 75C. 60D. 457. 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个为样本．①采用随机抽样，将零件编号为00，01，02，…，99，抽签取出20个； ②采用系统抽样，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组随机抽取1个； ③采用分层抽样，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．以下结论正确的是A. 不论采用哪种抽样方法，这100个零件中的每一个被抽到的概率都是51 B. ①②两种抽样方法，这100个零件中的每一个被抽到的概率都是51而方法③并非如此C. ①③两种抽样方法，这100个零件中的每一个被抽到的概率都是51而方法②并非如此D. 采用不同的抽样方法，这100个零件中的每一个被抽到的概率是互不相同的． 8. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为A. 32 B.52 C.53 D.109二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的某科考试成绩，则甲组数据的中位数是_____，乙组数据的平均数是_____。

2023-2024学年北京四中高二(下)期中数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京四中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共13小题，共62分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.将一枚均匀硬币抛3次，设正面朝上的硬币数为X，则()A. B. C. D.2.在的展开式中，x的系数为()A.4B.C.1D.3.从2位男生中选1人，3位女生中选2人，组成一个由其中一名女生为组长的活动筹备组，可以选择的方法种数为()A.36B.24C.18D.124.从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.则第一张抽到奇数且第二张抽到偶数的概率是()A. B. C. D.5.在一段时间内，甲去博物馆的概率为，乙去博物馆的概率为，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是()A. B. C. D.6.由数字0，1，2，3，4，5组成三位数允许重复，各位数字之和等于6的有()A.13个B.15个C.17个D.20个7.某成品仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器成品，第一、二车间生产的成品比例为2：3，已知第一车间的一等品率为，第二车间的一等品率为今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，该产品是一等品的概率为()A. B. C. D.8.某射手射击所得环数的分布列如下：78910P x y若，x，，y成等差数列，则()A. B. C.9 D.9.动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离．经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为()A.7B.9C.11D.1310.一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.试验一：从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，每次抽取后都放回，记取到白球的个数为；实验二：从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，每次抽取后都不放回，记取到白球的个数为则下列判断正确的是()A. B. C. D.11.设等比数列的前n项和为，若，，则()A.31B.32C.63D.6412.已知1，，成等比数列，3，a，b成等差数列，则该等差数列的公差为()A.或B.或4C.D.213.某人有一笔闲置资金想用于投资，现有三种投资时间均为10天的方案，这三种方案的回报预期如下：方案一：风险投资，有的概率获得回报400元，有的概率获得回报800元；方案二：第一天获得回报10元，以后每天获得的回报比前一天多10元；方案三：第一天获得回报元，以后每天获得的回报都是前一天的两倍.若为使投资的回报最多，应该选择的投资方案是()A.方案一B.方案二C.方案三D.都可以二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

2016-2017年北京四中高二下学期期中数学试卷及答案(文科)

2016-2017学年北京四中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）复数=（）A．+i B．+i C．1﹣i D．1+i2．（5分）下列求导正确的是（）A．（3x2﹣2）'=3x B．（log2x）'=C．（cosx）'=sinx D．（）'=x3．（5分）曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．14．（5分）设a＞0，b＞0，则“a＞b”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件5．（5分）函数：f（x）=3+xlnx的单调递增区间是（）A．（0，）B．.（e，+∞） C．（，+∞）D．（，e）6．（5分）在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限7．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣18．（5分）已知f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则f'（0）=（）A．n B．n﹣1 C．D．n（n+1）9．（5分）已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A．[﹣3，6]B．（﹣3，6）C．（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）10．（5分）方程x2=xsinx+cosx的实数解个数是（）A．3 B．0 C．2 D．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）复数（2+i）•i的模为．12．（5分）命题“若a﹣b=0，则（a﹣b）（a+b）=0”的逆否命题为．13．（5分）曲线f（x）=x3+x﹣2在点P0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则P0点坐标为．14．（5分）函数f（x）=在区间[0，3]的最大值为．15．（5分）若命题“x∈{x|x2﹣5x+4＞0}”是假命题，则x的取值范围是．16．（5分）对于函数y=f（x），x∈D，若对于任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．那么函数f（x）=x3﹣x2+1，在x∈[1，2]上的几何平均数M=．三、解答题：本大题共2小题，共20分.17．（10分）设函数f（x）=lnx﹣x2+x．（I）求f（x）的单调区间；（II）求f（x）在区间[，e]上的最大值．18．（10分）已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．一、卷（II）选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．19．（5分）若函数f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）20．（5分）观察（）'=﹣，（x3）'=3x2，（sinx）'=cosx，由归纳推理可得：若函数f（x）在其定义域上满足f（﹣x）=﹣f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．﹣f（x）B．f（x）C．g（x）D．﹣g（x）21．（5分）若i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则|z﹣1+i|的最大值为（）A．﹣1 B．2﹣C．+1 D．2+二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．22．（5分）曲线y=x n在x=2处的导数为12，则n=．23．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx在x=1处有极值，则ab的最大值为．24．（5分）已知函数.（x0∈[0，π]），那么下面命题中真命题的序号是．①f（x）的最大值为f（x0）②f（x）的最小值为f（x0）③f（x）在[0，x 0]上是减函数④f（x）在[x0，π]上是减函数．三、解答题：本大题共2小题，共20分．25．（10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2．（I）若f（x）在x=1处有极值10，求a，b的值；（II）若当a=﹣1时，f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．26．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3ax+e，g（x）=1﹣lnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l：x+2y=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）设函数，若F（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值；（Ⅲ）用max{m，n}表示m，n中的较大者，记函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0）．若函数h（x）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a的取值范围．2016-2017学年北京四中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）复数=（）A．+i B．+i C．1﹣i D．1+i【解答】解：==1+i．故选：D．2．（5分）下列求导正确的是（）A．（3x2﹣2）'=3x B．（log2x）'=C．（cosx）'=sinx D．（）'=x【解答】解：（3x2﹣2）'=6x，（log2x）'=，（cosx）'=﹣sinx，（）'=﹣，故选：B．3．（5分）曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1【解答】解：曲线y=x•e x，可得y′=e x+xe x，曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率：e+e=2e．故选：A．4．（5分）设a＞0，b＞0，则“a＞b”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【解答】解：a＞0，b＞0，则“a＞b”⇔“lna＞lnb”．因此a＞0，b＞0，则“a＞b”是“lna＞lnb”的充要条件．故选：D．5．（5分）函数：f（x）=3+xlnx的单调递增区间是（）A．（0，）B．.（e，+∞） C．（，+∞）D．（，e）【解答】解：由函数f（x）=3+xlnx得：f（x）=lnx+1，令f′（x）=lnx+1＞0即lnx＞﹣1=ln ，根据e＞1得到此对数函数为增函数，所以得到，即为函数的单调递增区间．故选：C．6．（5分）在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【解答】解：由=，得，∴在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：D．7．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C．8．（5分）已知f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则f'（0）=（）A．n B．n﹣1 C．D．n（n+1）【解答】解：根据题意，f（x）=1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n，则其导数f′（x）=1+2（1+x）+3（1+x）2+4（1+x）3+…+n（1+x）n﹣1，则f'（0）=1+2+3+4+…+n=；故选：D．9．（5分）已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A．[﹣3，6]B．（﹣3，6）C．（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以f′（x）=3x2+2ax+（a+6），因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即3x2+2ax+（a+6）=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，解得：a＜﹣3或a＞6．故选：D．10．（5分）方程x2=xsinx+cosx的实数解个数是（）A．3 B．0 C．2 D．1【解答】解：令f（x）=x2﹣xsinx﹣cosx，则f′（x）=2x﹣sinx﹣xcosx+sinx=x（2﹣cosx），∵2﹣cosx＞0，∴当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴当x=0时，f（x）取得最小值﹣1，又x→﹣∞时，f（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→+∞，∴f（x）有2个零点，即发出x2=xsinx+cosx有2解．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）复数（2+i）•i的模为．【解答】解：∵（2+i）•i=﹣1+2i，∴复数（2+i）•i的模为．故答案为：．12．（5分）命题“若a﹣b=0，则（a﹣b）（a+b）=0”的逆否命题为（a﹣b）（a+b）≠0则a﹣b≠0．【解答】解：根据逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若（a﹣b）（a+b）≠0则a﹣b≠0，故答案为：（a﹣b）（a+b）≠0则a﹣b≠0，13．（5分）曲线f（x）=x3+x﹣2在点P 0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则P0点坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．【解答】解：设P0点的坐标为（a，f（a）），由f（x）=x3+x﹣2，得到f′（x）=3x2+1，由曲线在P0点处的切线平行于直线y=4x，得到切线方程的斜率为4，即f′（a）=3a2+1=4，解得a=1或a=﹣1，当a=1时，f（1）=0；当a=﹣1时，f（﹣1）=﹣4，则P0点的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．故答案为：（1，0）或（﹣1，﹣4）．14．（5分）函数f（x）=在区间[0，3]的最大值为3．【解答】解：x=0时，f（0）=0．x∈（0，3]时，f（x）=≤=3，当且仅当x=1时取等号．∴函数f（x）=在区间[0，3]的最大值为3．故答案为：3．15．（5分）若命题“x∈{x|x2﹣5x+4＞0}”是假命题，则x的取值范围是1≤x≤4．【解答】解：命题“x∈{x|x2﹣5x+4＞0}”是假命题，说明对于任意x，不等式x2﹣5x+4＞0不成立，即x2﹣5x+4≤0成立．解得1≤x≤4．∴x的取值范围是1≤x≤4．故答案为：1≤x≤4．16．（5分）对于函数y=f（x），x∈D，若对于任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．那么函数f（x）=x3﹣x2+1，在x∈[1，2]上的几何平均数M=．【解答】解：根据已知中关于函数f（x）在D上的几何平均数为M的定义，由于f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x，在[1，2]内f′（x）＞0，则f（x）=x3﹣x2+1在区间[1，2]单调递增，则x1=1时，存在唯一的x2=2与之对应，且x=1时，f（x）取得最小值1，x=2时，取得最大值5，故M==．故答案为：三、解答题：本大题共2小题，共20分.17．（10分）设函数f（x）=lnx﹣x2+x．（I）求f（x）的单调区间；（II）求f（x）在区间[，e]上的最大值．【解答】解：（I）因为f（x）=lnx﹣x2+x其中x＞0，所以f'（x）=﹣2x+1=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，所以f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．（II）由（I）f（x）在[，1]单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=0．18．（10分）已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，，．…（2分）∴f'（0）=2，∵f（0）=0，∴曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x﹣y=0．…（4分）（Ⅱ）求导函数可得，．…（6分）当a=0时，，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．…（7分）当a≠0，．①当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=﹣a ，，f（x）与f'（x）的情况如下：故f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣a），；单调增区间是．…（10分）②当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：所以f（x）的单调增区间是，（﹣a，+∞）；单调减区间是，（﹣a，+∞）．…（13分）综上，a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣a），单调递减；在单调递增．a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减；a＜0时，f（x）在，（﹣a，+∞）单调递增；在单调递减．一、卷（II）选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．19．（5分）若函数f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）【解答】解：f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1，f′（x）=x2﹣ax+（a﹣1）=[x﹣（a﹣1）]（x﹣1），a﹣1≤1时，符合题意，a﹣1＞1时，令f′（x）≥0，解得：x≥a﹣1或x≤1，若f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，则a﹣1≤1，解得：a≤2，故选：C．20．（5分）观察（）'=﹣，（x3）'=3x2，（sinx）'=cosx，由归纳推理可得：若函数f（x）在其定义域上满足f（﹣x）=﹣f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．﹣f（x）B．f（x）C．g（x）D．﹣g（x）【解答】解：由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数”，∵若函数f（x）在其定义域上满足f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∵g（x）为f（x）的导函数，∴g（﹣x）=g（x）．故选：C．21．（5分）若i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则|z﹣1+i|的最大值为（）A．﹣1 B．2﹣C．+1 D．2+【解答】解：|z﹣1+i|=|z﹣（1﹣i）|，其几何意义为动点Z到定点P（1，﹣1）的距离，又|z|=1，如图：则|z﹣1+i|的最大值为．故选：C．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．22．（5分）曲线y=x n在x=2处的导数为12，则n=3．【解答】解：由y=x n，得y′=nx n﹣1，又曲线y=x n在x=2处的导数为12，所以n•2n﹣1=12，n=3．故答案为3．23．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx在x=1处有极值，则ab的最大值为9．【解答】解：由题意，导函数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，∵在x=1处有极值，f′（1）=0，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号，∴ab的最大值等于9．故答案为：9．24．（5分）已知函数.（x0∈[0，π]），那么下面命题中真命题的序号是①④．①f（x）的最大值为f（x0）②f（x）的最小值为f（x0）③f（x）在[0，x0]上是减函数④f（x）在[x0，π]上是减函数．【解答】解：的导数又.（x0∈[0，π]），∴函数f（x）在[0，x0]上是增函数，f（x）在[x0，π]上是减函数∴f（x）的最大值为f（x0）由此知①④是正确命题故答案为①④三、解答题：本大题共2小题，共20分．25．（10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2．（I）若f（x）在x=1处有极值10，求a，b的值；（II）若当a=﹣1时，f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（I）f'（x）=3x2+2ax+b，由题设有f'（1）=0，f（1）=10，即，解得：或，经验证，若，则f'（x）=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2，当x＞1或x＜1时，均有f'（x）＞0，可知此时x=1不是f（x）的极值点，故舍去符合题意，故．（II）当a=﹣1时，f（x）=x3﹣x2+bx+l，若f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立，即x3﹣x2+bx+1＜0在x∈[1，2]恒成立，即b＜在x∈[1，2]恒成立，令g（x）=，则g'（x）==，由﹣2x3+x2+1=1﹣x3+x2（1﹣x）可知x∈[1，2]时g'（x）＜0，即g（x）=在x∈[1，2]单调递减，g（x）max=g（2）=﹣，∴b＜﹣时，f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立．26．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3ax+e，g（x）=1﹣lnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l：x+2y=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）设函数，若F（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值；（Ⅲ）用max{m，n}表示m，n中的较大者，记函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0）．若函数h（x）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）易得，f'（x）=3x2﹣3a，所以f'（1）=3﹣3a，依题意，，解得；…（3分）（Ⅱ）因为==，则F'（x）=lnx+1﹣x+1=lnx﹣x+2．设t（x）=lnx﹣x+2，则=．令t'（x）=0，得x=1．则由t'（x）＞0，得0＜x＜1，F'（x）为增函数；由t'（x）＜0，得x＞1，F'（x）为减函数；而=，F'（1）=1＞0．则F'（x）在（0，1）上有且只有一个零点x 1，且在（0，x1）上F'（x）＜0，F（x）为减函数；在（x1，1）上F'（x）＞0，F（x）为为增函数．所以x1为极值点，此时m=0．又F'（3）=ln3﹣1＞0，F'（4）=2ln2﹣2＜0，则F'（x）在（3，4）上有且只有一个零点x2，且在（3，x2）上F'（x）＞0，F（x）为增函数；在（x2，4）上F'（x）＜0，F（x）为减函数．所以x2为极值点，此时m=3．综上m=0或m=3．…（9分）（Ⅲ）（1）当x∈（0，e）时，g（x）＞0，依题意，h（x）≥g（x）＞0，不满足条件；（2）当x=e时，g（e）=0，f（e）=e3﹣3ae+e，①若f（e）=e3﹣3ae+e≤0，即，则e是h（x）的一个零点；②若f（e）=e3﹣3ae+e＞0，即，则e不是h（x）的零点；（3）当x∈（e，+∞）时，g（x）＜0，所以此时只需考虑函数f（x）在（e，+∞）上零点的情况．因为f'（x）=3x2﹣3a＞3e2﹣3a，所以①当a≤e2时，f'（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上单调递增．又f（e）=e3﹣3ae+e，所以（i）当时，f（e）≥0，f（x）在（e，+∞）上无零点；（ii）当时，f（e）＜0，又f（2e）=8e3﹣6ae+e≥8e3﹣6e3+e＞0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；②当a＞e2时，令f'（x）=0，得．由f'（x）＜0，得；由f'（x）＞0，得；所以f（x）在上单调递减，在上单调递增．因为f（e）=e3﹣3ae+e＜e3﹣3e3+e＜0，f（2a）=8a3﹣6a2+e＞8a2﹣6a2+e=2a2+e ＞0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，．…（13分）。

北京市第四中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题

2016-2017学年北京四中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．复数21i=-（）AB +C ．1i -D ．1i +【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：22(1i)1i 1i (1i)(1i)+==+--+．故选：D ．2．下列求导正确的是（）．A ．2(32)3x x -'=B ．21(log )ln2x x '=⋅ C ．(cos )sin x x '=D ．1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭【考点】63：导数的运算．【分析】先根据基本导数公式和导数的运算法则求导，再判断【解答】解：2(32)6x x -'=，21(log )ln2x x '=⋅，(cos )sin x x '=-，211ln ln x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B ．3．曲线e x y x =⋅在1x =处切线的斜率等于（）．A ．2eB ．eC ．2D ．1【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率即可．【解答】解：曲线e x y x =⋅，可得e e x x y x '=+，曲线e x y x =⋅在1x =处切线的斜率：e e 2e +=．故选：A ．4．设0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b >”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【考点】2L ：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：0a >，0b >，则“a b >”⇔“ln ln a b >”．因此0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b >”的充要条件．故选：D ．5．函数：()3ln f x x x =+的单调递增区间是（）．A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．(e,)+∞C ．1,e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞D ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出()f x 的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单调递增区间．【解答】解：由函数()3ln f x x x =+得：()ln 1f x x =+，令()ln 10f x x '=+>即1ln 1ln e x >-=，根据e 1>得到此对数函数为增函数，所以得到1ex >，即为函数的单调递增区间．故选C ．6．在复平面内，复数2i1i -+（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）． A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数2i1i-+的共轭复数对应的点的坐标得答案．【解答】解：由2i (2i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222----===-++-，得13i 22z =+， ∴在复平面内，复数2i 1i -+的共轭复数对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限．7．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（）．A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【考点】2J ：命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故选：C ．8．已知23()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则(0)f '=（）．A ．nB ．1n -C ．(1)2n n -D ．1(1)2n n +【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，对函数()f x 求导，计算可得()f x '，将0x =代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，23()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则其导数231()12(1)3(1)4(1)(1)n f x x x x n x -'=+++++++++L ，则(1)(0)12342n n f n +'=+++++=L ；故选：D ．9．已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（）．A ．[]3,6-B ．(3,6)-C ．]([,36,)-∞-+∞UD ．(,3)(6,)-∞-+∞U【考点】6C ：函数在某点取得极值的条件．【分析】先求出导数()f x '，由()f x 有极大值、极小值可知()0f x '=有两个不等实根．【解答】解：函数32()(6)1f x x ax a x =++++，所以2()32(6)f x x ax a '=+++，因为函数有极大值和极小值，所以方程()0f x '=有两个不相等的实数根，即232(6)0x ax a +++=有两个不相等的实数根，∴0∆>，∴2(2)43(6)0a a +-⨯⨯>，解得：3a <-或6a >．10．方程2sin cos x x x x =+的实数解个数是（）．A ．3B ．0C ．2D ．1【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】令2()sin cos f x x x x x =--，判断()f x 的单调性，计算极值，从而得出()f x 的零点个数．【解答】解：令2()sin cos f x x x x x =--，则()2sin cos sin (2cos )f x x x x x x x x '=--+=-， ∵2cos 0x ->，∴当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， ∴()f x 在(0)-∞，上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， ∴当0x =时，()f x 取得最小值1-，又x →-∞时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞， ∴()f x 有2个零点，即发出2sin cos x x x x =+有2解．故选C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 11．复数(2i)i +⋅的模为__________．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵(2i)i 12i +⋅=-+，∴复数(2i)i +⋅12．命题 “若0a b -=，则()()0a b a b -+=”的逆否命题为__________．【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：根据逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若()()0a b a b -+≠则0a b -≠，故答案为：()()0a b a b -+≠则0a b -≠．13．曲线3()2f x x x =+-在点0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点坐标为__________．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设切点坐标，然后对()f x 进行求导，根据曲线在0P 点处的切线平行于直线4y x=建立等式，从而求出切点的横坐标，代入到()f x 即可得到答案．【解答】解：设0P 点的坐标为(())a f a ，，由3()2f x x x =+-，得到2()31f x x '=+，由曲线在0P 点处的切线平行于直线4y x =，得到切线方程的斜率为4，即2()314f a a '=+=，解得1a =或1a =-，当1a =时，(1)0f =；当1a =-时，(1)4f -=-，则0P 点的坐标为(1,0)或(1,4)--．故答案为：(1,0)或(1,4)--．14．函数26()1xf x x=+在区间[]0,3的最大值为__________．【考点】7F ：基本不等式．【分析】对x 分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：0x =时，(0)0f =．3](0,x ∈时，6()31f x x x==+，当且仅当1x =时取等号．∴函数26()1xf x x =+在区间[]0,3的最大值为3．故答案为：3．15．若命题“{}250|4x x x x -∈+>”是假命题，则x 的取值范围是__________．【考点】2K ：命题的真假判断与应用．【分析】由题意可得对于任意x ，不等式2540x x +>-不成立，即2540x x +-≤成立．求解不等式得答案．【解答】解：命题“{}250|4x x x x -∈+>”是假命题，说明对于任意x ，不等式2540x x +>-不成立，即2540x x +-≤成立．解得14x ≤≤．∴x 的取值范围是14x ≤≤．故答案为：14x ≤≤．16．对于函数()y f x =，x D ∈，若对于任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，M ，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．那么函数32()1f x x x -=+，在[]1,2x ∈上的几何平均数M =__________．【考点】34：函数的值域．【分析】根据已知中对于函数()y f x =，x D ∈，若存在常数C ，对任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈M ，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．我们易得若函数在区间D 上单调递增，则M 应该等于函数在区间D 上最大值与最小值的几何平均数，由32()1f x x x -=+，[]1,2D =，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数()f x 在D 上的几何平均数为M 的定义，由于()f x 的导数为2()32f x x x '=-，在[]1,2内()0f x '>，则32()1f x x x -=+在区间[]1,2单调递增，则11x =时，存在唯一的22x =与之对应，且1x =时，()f x 取得最小值1，2x =时，取得最大值5，故M ．三、解答题：本大题共2小题，共20分. 17．设函数2()ln f x x x x =-+．（I ）求()f x 的单调区间．（II ）求()f x 在区间1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的单调区间，得到函数的最大值和最小值即可．【解答】解：（I ）因为2()ln f x x x x =-+其中0x >，所以1(1)(21)()21x x f x x x x-+'=-+=，令()0f x '>，解得：1x >，令()0f x '<，解得：01x <<，所以()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞．（II ）由（I ）()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在[]1,e 上单调递减，∴max ()(1)0f x f ==．18．已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程．（Ⅱ）求()f x 的单调区间．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）当1a =时，求导函数，确定切点坐标与切线的斜率，即可得到曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求导函数可得，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，22()1x f x x =+，222(1)(1)()(1)x x f x x +-'=-+． ∴(0)2f '=， ∵(0)0f =，∴曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．（Ⅱ）求导函数可得，222()(1)()(1)x a ax f x x +-'=-+．当0a =时，222()(1)xf x x '=+，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减．当0a ≠，221()()2(1)x a x a f x ax ⎛⎫+- ⎪⎝⎭'=-+． ①当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a=，()f x 与()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间是(,)a -∞-，,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞；单调增区间是,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．②当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，(,)a -+∞；单调减区间是,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(,)a -+∞．综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞单调递减；在1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增．0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，(,)a -+∞单调递增；在1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减．一、卷（II ）选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．19．若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,)+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是（）．A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(2],-∞D ．(,2)-∞【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：3211()(1)132f x x ax a x =-+-+，[]2()(1()(1)1)f x x ax a x a x '=+-=----，11a -≤时，符合题意，11a ->时，令()0f x '≥，解得：1x a -≥或1x ≤，若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，则11a -≤，解得：2a ≤，故选：C ．20．观察211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，323)(x x '=，(sin )cos x x '=，由归纳推理可得：若函数()f x 在其定义域上满足()()f x f x -=-，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（）．A ．()f x -B ．()f xC ．()g xD ．()g x -【考点】F1：归纳推理．【分析】由已知中211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，323)(x x '=，(sin )cos x x '=，L 分析其规律，我们可以归纳推断出，奇函数的导数是偶函数，即可得到答案．【解答】解：由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数”，∵若函数()f x 在其定义域上满足()()f x f x -=-， ∴()f x 为奇函数， ∵()g x 为()f x 的导函数， ∴()()g x g x -=．故选：C ．21．若i 为虚数单位，设复数z 满足1z =，则1i z -+的最大值为（）．A1B．2C1D．2【考点】A8：复数求模．【分析】由题意画出图形，再由1i 1i)z z --=+-(的几何意义，即动点Z 到定点(1,1)P -的距离求解．【解答】解：1i 1i)z z --=+-(，其几何意义为动点Z 到定点(1,1)P -的距离，又1z =，如图：则1i z -+1．故选：C ．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 22．曲线n y x =在2x =处的导数为12，则n =__________．【考点】63：导数的运算．【分析】求出函数线n y x =的导函数，把2x =代入导函数解析式可求n 的值．【解答】解：由n y x =，得1n y nx -'=，又曲线n y x =在2x =处的导数为12，所以1212n n -⋅=，3n =．故答案为3．23．若0a >，0b >，且函数32()42f x x ax bx --=在1x =处有极值，则ab 的最大值为__________．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a ，b 满足的条件，利用基本不等式求出ab 的最值．【解答】解：由题意，导函数2(_1222f x x ax b -'=-，∵在1x =处有极值，(1)0f '=， ∴6a b +=， ∵0a >，0b >，∴292a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，当且仅当3a b ==时取等号，∴ab 的最大值等于9．故答案为：9．24．已知函数1()sin 3f x x x =-，[]0,πx ∈，[]001cos (0,π)3x x =∈，那么下面命题中真命题的序号是__________． ①()f x 的最大值为0()f x ； ②()f x 的最小值为0()f x ； ③()f x 在[]00,x 上是减函数； ④()f x 在[]0,πx 上是减函数．【考点】2K ：命题的真假判断与应用；6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】可求出1()sin 3f x x x =-的导数，研究出它的单调性确定出最值，再由这些性质对四个命题进行比较验证，选出正确命题【解答】解：1()sin 3f x x x =-的导数1()cos 3f x '=-，又[]001cos (0,π)3x x =∈， ∴函数()f x 在[]00,x 上是增函数，()f x 在[]0,πx 上是减函数，∴()f x 的最大值为0()f x ，由此知①④是正确命题，故答案为①④．三、解答题：本大题共2小题，共20分．25．已知函数322()f x x ax bx a =+++．（I ）若()f x 在1x =处有极值10，求a ，b 的值．（II ）若当1a =-时，()0f x <在[]1,2x ∈恒成立，求b 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6K ：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于导函数的方程组，求出a ，b 的值即可；（Ⅱ）分离参数，问题转化为321x x b x -+-<在[]1,2x ∈恒成立，令321()x x g x x-+-=，根据函数的单调性求出b 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）2()32f x x ax b '=++，由题设有(1)0f '=，(1)10f =，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得：33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩，经验证，若33a b =-⎧⎨=⎩，则22()3633(1)f x x x x +=--'=，当1x >或1x <时，均有()0f x '>，可知此时1x =不是()f x 的极值点，故33a b =-⎧⎨=⎩舍去411a b =⎧⎨=-⎩符合题意，故411a b =⎧⎨=-⎩．（Ⅱ）当1a =-时，32()1f x x x bx -=++，若()0f x <在[]1,2x ∈恒成立，即3210x x bx ++<-在[]1,2x ∈恒成立，即321x x b x-+-<在[]1,2x ∈恒成立，令321()x x g x x-+-=，则2323222(32)(1)21()x x x x x x x g x x x -+--+--++'==，由32322111()x x x x x -++=-+-可知[]1,2x ∈时()0g x '<，即321()x x g x x-+-=在[]1,2x ∈单调递减， max 5()(2)2g x g ==-， ∴52b <-时，()0f x <在[]1,2x ∈恒成立．26．已知函数3()3e f x x ax -=+，()1ln g x x =-，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,)(1)f 处的切线与直线:20l x y +=垂直，求实数a 的值．（Ⅱ）设函数1()()22F x x g x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，若()F x 在区间(,1)()m m m +∈Z 内存在唯一的极值点，求m 的值．（Ⅲ）用{}m a x ,m n 表示m ，n 中的较大者，记函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>．若函数()h x 在(0,)+∞ 上恰有2个零点，求实数a 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算(1)f '，求出a 的值即可；（Ⅱ）求出函数()F x 的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点，求出对应的m 的值即可；（Ⅲ）通过讨论a 的范围求出函数()f x 的单调区间，结合函数的单调性以及函数的零点个数确定a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）易得，2()33f x x a '=-，所以(1)33f a '=-，依题意，1(33)12a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得13a =；（Ⅱ）因为2111()()2(1ln )2ln 222F x x g x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-=--+-=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()ln 11ln 2F x x x x x '=+-+=-+．设()ln 2t x x x =-+，则11()1x t x x x-'=-=．令()0t x '=，得1x =．则由()0t x '>，得01x <<，()F x '为增函数；由()0t x '<，得1x >，()F x '为减函数；而222111220e e e F ⎛⎫'=--+=-< ⎪⎝⎭，(1)10F '=>．则()F x '在(0,1)上有且只有一个零点1x ，且在1(0,)x 上()0F x '<，()F x 为减函数；在1(,)1x 上()0F x '>，()F x 为增函数．所以1x 为极值点，此时0m =．又(3)ln310F '=->，(4)2ln220F '=-<，则()F x '在(3,4)上有且只有一个零点2x ，且在2(3,)x 上()0F x '>，()F x 为增函数；在2(),4x 上()0F x '<，()F x 为减函数．所以2x 为极值点，此时3m =．综上0m =或3m =．（Ⅲ）（1）当(0,e)x ∈时，()0g x >，依题意，()(0)0h x g >≥，不满足条件；（2）当e x =时，(e)0g =，3()3f e e ae e -=+，①若3(e)e 3e e 0f a -=+≤，即2e 13a +≥，则e 是()h x 的一个零点； ②若3(e)e 3e e 0f a -=+>，即2e 13a +<，则e 不是()h x 的零点；（3）当(e,)x ∈+∞时，()0g x <，所以此时只需考虑函数()f x 在(e,)+∞上零点的情况．因为22()333e 3f x x a a ->-'=，所以①当2e a ≤时，()0f x '>，()f x 在(e,)+∞上单调递增．又3(e)e 3e e f a -=+，所以（i ）当2e 13a +≤时，(e)0f ≥，()f x 在(e,)+∞上无零点；（ii ）当22e 1e 3a +<≤时，(e)0f <，又333(2e)8e 6e e 8e 6e e 0f a =+-+->≥，所以此时()f x 在(e,)+∞上恰有一个零点；②当2e a >时，令()0f x '=，得x =由()0f x '<，得e x <由()0f x '>，得x >所以()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增．因为3(e )e f a -=<+-+<，32222(2)86e 86e 2e 0f a a a a a a =+=->+-+>，所以此时()f x 在(e,)+∞上恰有一个零点；综上，2e 13a +>．。

【数学】北京市海淀区2013-2014学年高二下学期期中考试(文)

海淀区高二年级第二学期期中练习数学（文科）参考答案及评分标准 2014．04一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）(1,1) （10）ππcosisin33n n + （11）1212120x x y y z z ++= （12）53i -+ （13）66 （14）1(,1)2，2014注：（12）若填i a b -给1分；（14）题每空2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O ，连接OE . 在矩形ABCD 中，AO OC =. 因为 AE EP =，所以 OE ∥PC . ………………………2分因为 PC Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以 PC ∥平面BDE . ………………………5分（Ⅱ）在矩形ABCD 中，BC CD ^. 因为 PD BC ^，CDPD D =，PD Ì平面PDC ，DC Ì平面PDC ，所以 BC ^平面PDC . ………………………8分因为 PC Ì平面PDC ，所以 BC PC ^. ………………………10分（16）（本小题满分10分）证明：充分性：假设方程()0f x =至少有一个整数根0x .则 2000x bx c ++=. ………………………2分若0x 是奇数，因为,b c 均为奇数，所以200x bx c ++为奇数，不可能为0，矛盾；………………………4分OAEBCDP若0x 是偶数，因为,b c 均为奇数，所以200x bx c ++为奇数，不可能为0，矛盾.所以方程()0f x =无整数根.所以 “,b c 均为奇数”是“方程()0f x =无整数根”的充分条件. ……………………6分不必要性：令1,2b c ==，方程()0f x =即220x x ++=显然无整数根，但此时c 为偶数.所以 “,b c 均为奇数”是“方程()0f x =无整数根”的不必要条件.综上所述，“,b c 均为奇数”是“方程()0f x =无整数根”的充分而不必要条件.………………………10分（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图所示. ………………………2分（Ⅱ）因为散点图中的最左侧点和最右侧点分别是（2，3），（6，6.2），所以直线l 的方程是： 6.233(2)62y x --=--，即4570x y -+=. …………………5分（Ⅲ）由题意可设直线l 的方程为(4)5y k x =-+. ………………………6分则维修费用的每一个观察值与直线l 上对应点的纵坐标的差的绝对值之和()3(25) 4.4(5) 5.6(5) 6.2(25)S k k k k k =--++--++-++-+2140.6 k k =-+-4.46, 0.6,20.4, 0.61, 6 4.4, 1.k k k k k k -≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩………………………9分因为函数()S k 的单调递增区间是(0.6,)+∞，单调递减区间是(,0.6)-∞，所以当0.6k =时，()S k 取得最小值0.8，此时直线l 的方程是35130x y -+=.………………………12分（18）（本小题满分12分）（Ⅰ）解：（1）不是，因为线段23B B 与线段23A A 不垂直；（2）是，符合定义. ………………………2分（Ⅱ）命题“对任意n ∈N 且2n >，总存在一条折线12n C A A A ---：有共轭折线”是真命题.理由如下：当n 为奇数时，不妨令21,2,3,4,n k k =-=，取折线1221k C A A A ----：.其中(,)(1,2,,21)i i i A a b i k =-，满足2121(1,2,,21),0(1,2,,),1(1,2,,1)i i i a i i k b i k b i k -=-=-====-.则折线C 的共轭折线为折线C 关于x 轴对称的折线.如图所示.当n 为偶数时，不妨令2,2,3,4,n k k ==，取折线122k C A A A ---：.其中(,)(1,2,,2)i i i A a b i k =，满足22121(1,2,,21),2,0(1,2,,),1(1,2,,)i k i i a i i k a k b i k b i k -=-=-=====.折线C 的共轭折线为折线122'k C B B B ---：.其中(,)(1,2,,2)i i i B x y i k =满足22212211(1,2,,23),21,21,2,0(1,2,,1),i k k k i x i i k x k x k x k y i k ---=-=-=-=+===-2222121(1,2,,2),3,1,1i k k k y i k y y y --=-=-=-=-=.如图所示. ………………………7分注：本题答案不唯一.（Ⅲ）证明：假设折线1234B B B B ---是题设中折线C 的一条共轭折线（其中11B A =，44B A =），设1(,)t t t t B B x y += (1,2,3t =)，显然,t t x y 为整数.则由11t t t t B B A A ++⊥，得：11223312312330, 30, 30, 9, 1. x y x y x y x x x y y y +=⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩①②③④⑤由①②③式得11223,,.3333y x y x y x =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩这与⑤式矛盾，因此，折线C 无共轭折线. ………………………12分注：对于其它正确解法，相应给分.。

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北京四中2014年下学期高二期中考试数学试卷（文）有答案试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分，考试时间120分钟卷（Ⅰ）《选修1－1》一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．抛物线x 2=－8y 的焦点坐标为A. （0，－4）B. （0，－2）C. 1(0,)16-D. 1(0,)32- 2．下列函数求导运算正确的个数为 ①(21)'2x -=；②21(log )'ln 2x x =⋅；③()'x x e e =；④(cos )'sin x x = A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．函数()2cos f x x x =+在[0，π]上的极大值点为 A.12π B. 6π C. 3π D. 2π4．下列命题中，是假命题的是A ．如果x<2，则x<3B ．3+6=8或3+6=9C ．2,0x R x ∀∈> D. *x N ∃∈，使x 既是质数又是偶数5．若偶函数f （x ）定义域为(,0)(0,)-∞+∞，f （x ）在（0,+∞）上的图象如图所示，则不等式f （x ）f'（x ）>0的解集是A. (,1)(0,1)-∞-B. (1,0)(1,)-+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞D. (1,0)(0,1)-6．若ln (),3xf x a b x=<<，则 A ．()()f a f b > B ．()()f a f b = C ．()()f a f b < D ．()()1f a f b >7. 已知抛物线22y x =上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线y x m =+对称，若1212x x =-，则m 的值为A.23 B. 2 C. 52 D. 328. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图象大致可能为二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9. 若命题2:,2p x N x x ∃∈=+，则p ⌝为：。

10. 函数313y x x =+-的极小值是。

11. 方程22121x y m m +=++表示双曲线的充要条件是。

12. 已知函数22,0,()3,0x a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是。

三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13. （本小题满分14分）设函数3211()232f x x x ax =-++。

（Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若y x =是曲线()y f x =的切线，求a 的值。

14. （本小题满分12分）已知函数1()ln (0,)f x a x a a R x=+≠∈ （Ⅰ）若a=1，求函数f （x ）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x 0，使得f （x 0）<0成立，求实数a 的取值范围。

15. （本小题满分14分）已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆上点到两焦点距离之和为2k （k ≠0）的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点M （0，m ）。

（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）试用m 表示△MPQ 的面积，并求面积的最大值．卷（Ⅱ）《选修1－2》一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1.1i= A. i B. －i C. 1 D. －12．满足12z i -+=的复数z 在复平面上对应的点组成的图形是 A ．线段 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线3．观察243()'2,()'4x x x x ==，(cos )'sin x x =-，由归纳推理可得出：若定义在R 上的偶函数f （x ），记'()()f x g x =，则()g x -=A ．f （x ）B ．－f （x ）C ．g （x ）D ．－g （x ）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）4. 已知复数(2)(1)z i i =-+，则z 的虚部为，z 在复平面内对应的点在第象限。

5. 若P =0)Q a =≥，则P 、Q 的大小关系是。

6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =-，112(2)n nS n S -+=-≥，通过计算1234,,,S S S S 可以归纳出n S = 。

三、解答题（本大题共2小题，共20分） 7. （本小题满分10分）设复数22(23)(32)z m m m m i =--+++，实数m 取何值时：（Ⅰ）z 是纯虚数；（Ⅱ）z 是实数；（Ⅲ）z 对应的点位于复平面的第二象限。

8. （本小题满分10分）设0a >，函数()x x e af x a e=+是R 上的偶函数。

（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增。

【试题答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分9. 2,2x N x x ∀∈≠+ 10. 1 11. 21m -<<- 12. 23a > 三、解答题：本大题共3小题，共40分解：（Ⅰ）当3a =时，3211()632f x x x x =-++ 2'()6f x x x =-++(2)(3)x x =-+- 3分可知当2x <-或3x >时，'()0f x <当23x -<<时，'()0f x > 5分所以此时函数()f x 的单调递增区间为：(2,3)-函数()f x 的单调递减区间为：(,2)-∞-和(3,)+∞ 7分（Ⅱ）设直线y x =与曲线()y f x =相切于点3211(,2)32P m m m am ++－， 8分则有2322111232m m a m m am m⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩ 11分解得113232a =或 14分 14. 解：（Ⅰ）因为2211'()a ax f x x x x-=+=－， 2分当1a =，21'()x f x x -=，令'()0f x =，得1x =， 3分又()f x 的定义域为(0,)+∞，'()f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：所以1x =时，()f x 的极小值为1。

5分()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为（0，1）； 6分（Ⅱ）解法一：因为2211'()a ax f x x x x-=-+=，且0a ≠，令'()0f x =，得到1x a=，若在区间（0，e]上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，其充要条件是()f x 在区间（0，e]上的最小值小于0即可。

7分（1）当10x a=<，即0a <时，'()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，所以，()f x 在区间（0，e]上单调递减，故()f x 在区间（0，e]上的最小值为11()ln f e a e a e e=+=+，由10a e +<，得1a e <-，即1(,)a e∈-∞- 9分（2）当10x a=>，即0a >时， ①若1e a≤，则'()0f x ≤对(0,]x e ∈成立，所以()f x 在区间(0,]e 上单调递减，所以，()f x 在区间（0，e]上的最小值为11()ln 0f e a e a e e=+=+>，显然，()f x 在区间（0，e]上的最小值小于0不成立 10分 ②若10e a <<，即1a e>时，则有所以()f x 在区间（0，e]上的最小值为()ln f a a a a=+，由11()ln(1ln )0f a a a a a a=+=-<，得1ln 0a -<，解得a e >，即(,)a e ∈+∞。

11分综上，由（1）（2）可知：1(,)(,)a e e∈-∞-+∞符合题意。

12分解法二：若在区间（0，e]上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，即001ln 0a x x +<，因为00x >，所以，只需001ln 0ax x +< 7分令()1ln g x ax x =+，只要()1ln g x ax x =+在区间（0，e]上的最小值小于0即可因为'()ln (ln 1)g x a x a a x =+=+，令'()(ln 1)0g x a x =+=，得1x e = 9分（1）当0a <时：因为(0,x ∈１）ｅ时，()1ln 0g x ax x =+>，而()1ln 1g e ae e ae =+=+，只要10ae +<，得1a e <-，即1(,)a e∈-∞- 10分（2）当0a >时：所以，当(0,)x e ∈时，()g x 极小值即最小值为1()1ln 1a g a e e e e=+⋅=-，由10ae-<，得a e >，即(,)a e∈+∞11分综上，由（1）（2）可知，有1(,)(,)a e e∈-∞-+∞ 12分15. 解：（Ⅰ）依题意可得，c a =，b c =，又222a b c =+，可得1b =，a =所以椭圆方程为2212y x +=。

3分（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(2)210k x kx ++-=。

4分设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则12222k x x k -+=+，12212x x k =-+。

可得121224()22y y k x x k +=++=+。

5分设线段PQ 中点为N ，则点N 的坐标为222(,)22k k k -++ 由题意有1MN k k ⋅=-，可得222212m k k k k -+⋅=-+。

可得212m k =+，又0k ≠，所以102m <<。

8分（Ⅲ）设椭圆上焦点为F ，则1212MPQ S FM x x ∆=⋅⋅-。

12x x -==9分由212m k =+，可得212k m+=。

所以12x x -== 11分又1FM m =-，所以MPQ S ∆=所以MPQ ∆1)2m <<。

设3()(1)f m m m =-，则2'()(1)(14)f m m m =--。