高三期末质量评估试题数学理科
高三下册数学理科期末试卷及答案
精心整理高三下册数学理科期末试卷及答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的5.右图的算法中，若输入A=192，B=22，输出的是()6.给出命题p：直线互相平行的充要条件是;命题q：若平面内不共线的三点到平面的距离相等，则∥。
对以上两个命题，下列结论中正确的是()A.命题“p且q”为真B.命题“p或q”为假()∠=90°，||=1，则的值为()10.已知点,动圆C与直线切于点B，过与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()A.B.C.D.11.函数有且只有两个不同的零点，则b的值为()，则。
则此几何体的体积等于㎝3。
16.定义函数，其中表示不超过的整数，当时，设函数的值域为集合A，记A中的元素个数为，则的最小值为。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分).于。
男女998865074211151617名志㎝以上(㎝)(Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”*抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率?(II)若从所有“高个子”中选出3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.20.(本小题满分12分)在直角坐标系xoy上取两个定点，再取两个动点且=3.(Ⅰ)求直线与交点的轨迹的方程;(II)已知，设直线：与(I)中的轨迹交于、两点，直线、的倾斜23.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)试分别将曲线Cl的极坐标方程和曲线C2的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程和普通方程：(II)若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线Cl和曲线C2上爬行，求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的距离(视蚂蚁为点).2012—2013学年度上学期期末考试网高三年级理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小………9分，故函数在区间上的值域为.………12分18.解：(Ⅰ)∵CD=，∴AC=，满足∴………2分又平面，故以CD为x轴，CA为y轴，以CE为z轴建立空间直角坐标系，其中C(0，0，0)，D(1，0，0)，A(0，，0)，F(0，，)B(-1，，0) (4)分人，分用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”，则.因此，至少有一人是“高个子”的概率是.…………6分(Ⅱ)依题意，的取值为.，，，.因此，的分布列如下：20.解：(Ⅰ)依题意知直线的方程为：①直线的方程为：②设是直线与交点，①×②得分(4，0).21(Ⅰ)证明:设则,则,即在处取到最小值,则,即原结论成立.………3分(Ⅱ)解:由得即,另,另,则单调递增,所以因为,所以,即单调递增,则的值为所以的取值范围为.………7分。
2022-2023学年河南省南阳市高三上学期期终质量评估(期末考试)数学(理)试卷含答案
2022年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（理）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}2230A x x x =--≤∣，{}2log 1B x x =≤∣，则A B ⋃＝（ ） A ．［－1，3]B ．(,3]-∞C ．（0，2]D ．（0，3]2．已知复数z 满足(i 1)2i z -=，则 z （ ）A ．1B CD ．23．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．344．已知向量(4,2a =-，(1,5)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影是（ ）A ．B ．－1C ．1D5．已知x ∈R ，y ∈R ，若:|1||2|1p x y ++-≥，22:2440q x y x y ++-+≥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 点M 在C 的右支上，直线1F M 与C 的左支交于点N ，若1F N b =，且2||MF MN =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．13y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±7．设f （x ）是定义在R 上且周期为4的奇函数，当02x ≤≤时，,01()2,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，令g （x ）＝f （x ）＋f （x ＋1），则函数y ＝g （x ）的最大值为（ ） A ．1B ．－1C ．2D ．－28．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上单调递增，且2()3f x f π⎛⎫≥-⎪⎝⎭恒成立，则ω的值为（ ） A ．2B ．32C ．1D ．129．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于点A ，B （A 在x 轴上方），与抛物线准线交于点M ．若|BM |＝2|BF |，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．60°B ．30°或150°C ．30°D ．60°或120°10．对于函数()sin xf x x x e =+-，[0,]x π∈，下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）有唯一的极大值点 B ．函数f （x ）有唯一的极小值点 C ．函数f （x ）有最大值没有最小值D ．函数f （x ）有最小值没有最大值11．如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n 项和为n S ，设n b ={}n b 中的整数项依次取出组成新的数列记为{}n c ，则2023c 的值为（ ）A ．5052B ．5057C ．5058D ．506312．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a ，b ，c 分别是ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且22()6b a c --=，cos sin 2cos 6A C B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若点P 为ABC △的费马点，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（ ） A ．－6B ．－4C ．－3D ．－2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．上级将5名农业技术员分派去3个村指导农作物种植技术，要求每村至少去一人，一人只能去一个村，则不同的分派种数有______．（数字作答）14．如图，△ABC 内接于椭圆，其中A 与椭圆右顶点重合，边BC 过椭圆中心O ，若AC 边上中线BM 恰好过椭圆右焦点F ，则该椭圆的离心率为______．15．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、泰、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P －ABCD 为一个阳马，其中PD ⊥平面ABCD ，若DE PA ⊥，DF PB ⊥，DG PC ⊥，且PD ＝AD ＝2AB ＝4，则几何体EFGABCD 的外接球表面积为______．16．已知函数1()ln (0)mx x f x x mx x e+=-+>的值域为[0,)+∞，则实数m 取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚） 17．（本题满分12分）已知数列{}n a 是各项均为正数．．的等差数列， n S 是其前n 项和，且()()122n n n a a S -+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若89nn n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求n b 取得最大值时的n ． 18．（本题满分12分）在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得－1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为12，乙每次踢球命中的概率为23，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率15，且各次踢球互不影响，（1）经过一轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）若经过两轮踢球，用2p 表示经过第2轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求2p ．19．（本题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，PB ⊥底面ABCD ，112PB AB AD BC ====，设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面P AB ；（2）设Q 为l 上的动点，求PD 与平面QAB 所成角的正弦值的最大值． 20．（本题满分12分）已知函数2()ln f x a x x ax =-+． （1）当a ＝1时，求证：()0f x ≤；（2）若函数f （x ）有且只有一个零点，求实数a 的取值范围． 21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，离心率为12，其左右焦点分别为1F ，2F ，点A （1，－1）在椭圆内，P 为椭圆上一个动点，且1||PF PA +的最大值为5． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 的上半部分取两点M ，N （不包含椭圆左右端点），且122FM F N =，求四边形12F F NM 的面积．选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（10分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）， （1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C 极坐标方程； （2）若点A ，B 为曲线C 上的两个点且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值． 23．【选修4－5：不等式选讲】（10分）已知存在0x ∈R ，使得0024x a x b +--≥成立，a ，b +∈R ． （1）求a ＋2b 的取值范围；（2）求22a b +的最小值．2022年秋期高中三年级期终质量评估数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）13．150 14．13 15．20π 16．21,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解析】（1）当1n =时，()()1111122a a S a -+==，解得：12a =或者11a =-，因为0n a >，故12a =． 方法一：因为()()1222n n n n a a n a S ++==，所以()()()21222n n n n a a a +-+=，又0n a >，即可得1n a n =+．方法二：当2n =时，()()22221222a a S a -+=+=，易得：23a =．因为数列{}n a 是等差数列，故1n a n =+．（2）由（1）知，()819n n b n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，故()11829n n b n ++⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．18799nn n n b b +-⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭， 当7n <时，1n n b b +>；当7n =时，1n n b b +=； 当n >7时，1n n b b +<；故数列{}n b 的最大项为7b ，8b ，即7n =或8 18．【解析】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立， 由题意得：()1121?255P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()2111323P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 甲的得分X 的可能取值为－1，0，1，()()()()21111535P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()21218011535315P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()214115315P X P AB P A P B ⎛⎫====⨯-=⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：所以()411015151515E X =-⨯+⨯+⨯= （2）根据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种； 分别是：甲两轮中第1轮得0分，第2轮得1分； 或者甲第1轮得1分，第2轮得0分； 或者甲两轮各得1分，于是：()()()()()201101p P X P X P X P X P X ⎡⎤==⋅=+=⋅=+=⎣⎦8448416151515151545⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭ 19．【解析】（1）证明：因为PB ⊥底面ABCD ，所以PB BC ⊥． 又底面ABCD 为直角梯形，且2ABC BAD π∠∠==，所以AB BC ⊥．因此BC ⊥平面PAB ．因为BC AD ∥，BC ⊄平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD ．又由题平面PAD 与平面PBC 的交线为l ， 所以l BC ∥，故l ⊥平面PAB ．（2）以B 为坐标原点，BC 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则()0,0,0B ，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()0,0,1P ，由（1）可设(),0,1Q a ，则(),0,1BQ a =．设(),,n x y z =是平面QAB 的法向量，则00n BQ n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00ax z y +=⎧⎨=⎩，可取()1,0,n a =-所以cos ,3n PD n PD n PD⋅-==⋅设PD 与平面QAB 所成角为θ，则sinθ==因此：当0a>≤（当且仅当1a=时等号成立）又当0a≤时，易知不符合题意．所以PD与平面QAB所成角的正弦值的最大值为3．20．【解析】（1）()()()221112121x xx xf x xx x x----++='=-+=故f（x）在（0，1）上是单调增加的，在（1，＋∞）上是单调减少的．所以()()max10f x f==，即()0f x≤（2）当a＝0时，()2f x x=-，不存在零点当0a≠时，由()0f x=得21ln x xa x+=，()0,x∞∈+设()2ln x xg xx+=，则()312ln x xg xx--'=令()12lnh x x x=--，易知()h x在()0,∞+上是单调减少的，且()10h=．故()g x在()0,1上是单调增加的，在()1,∞+上是单调减少的．由于21111egee-+⎛⎫=<⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，()11g=，且当1x>时，()0g x>故若函数()f x有且只有一个零点，则只须11a=或1a<即当(){},01a∞∈-⋃时，函数()f x有且只有一个零点．21．【解析】（1）由题意知：12ca=，即2a c=，又由椭圆定义可得：()122PF PA a PA PF+=+-2225a AF a≤+==，又∵222a b c =+，且52a ≤， 故可得：2a =，b =1c =．即椭圆C ：的方程为：22143x y += （2）延长1F M 交椭圆于点P ，由122FM F N =， 根据椭圆的对称性可得112F M PF =．设()11,M x y ，()22,P x y ，则()22,N x y --．显然，10y >． 设直线PM 的方程为1x my =-，联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()2234690m y my +--=，∴122634my y m +=+① 122934y y m =-+②又112FM PF =，得122y y =-③由①②③得，m =得直线PM的方程为15x y =-20y -+=， 设2F 到直线PM 的距离为d ，则由距离公式得：3d ==，又由弦长公式得：12PM y =-==将m =278PM =， 设四边形12F F NM 的面积为S ，易知1127228S PM d =⋅⋅=⨯= 【选做题】 22．【解析】（1）因为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=． 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以，曲线C 的极坐标方程为：2243sin 1ρθ=+（2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭21243sin 1ρθ=+，22243cos 1ρθ=+，所以2222121111||||OA OB ρρ+=+ ()()223cos 13sin 1544θθ+++==．即2211||||OA OB +为定值5423．【解析】（1）由题知：()()2222x a x b x a x b a b a b +--≤+--=+=+， 因为存在0x R ∈，使得0024x a x b +--≥，所以只需24a b +≥， 即2a b +的取值范围是[)4,∞+． （2）方法一：由（1）知24a b +≥，因为,a b R +∈，不妨设22t a b =+， 当2b ≥时，224t a b =+>，当02b <<时，有222(42)t b a b -=≥-，整理得，2281651616555t b b b ⎛⎫≥-+=-+ ⎪⎝⎭，此时t 的最小值为165；综上：22a b +的最小值为165．方法二：令222t a b =+，不妨设cos a t θ=，sin b t θ=，因为24a b +≥，所以4cos 2sin t θθ≥≥+，所以：2165t ≥，即22a b +的最小值为165．。
河南省高三下学期质量检测理科数学试题Word版含答案
河南省高三质量检测考试数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．2、请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(5)4},{|}A x x x B x x a =->=≤，若A B B =，则a 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知复数322a i z i+=-，在复平面对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(4,)+∞C ．(1,4)-D ．(4,1)--3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是 （ ）4. 已知23cos tan 3θθ=+，且()k k Z θπ≠∈，则sin[2()]πθ-等于（ ）A ．13-B ．13 C ．23 D ．23- 5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图示解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出点 1.5S =（单位：升）则输入k 的值为 （ ）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．96. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点，过点(0,2)-的直线l 与双曲线C 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．．4 D ．7. 若()f x 为奇函数，且0x 是函数()xy f x e =-的一个零点，额下列函数中，0x -一定是其零点的函数是（ ） A ．()1xy f x e -=-⋅- B ．()1x y f x e -=⋅+ C ．()1x y f x e -=⋅- D ．()1xy f x e-=-⋅+8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103 B ．113 C ．4 D ．1439. 在ABC ∆中，060,5,4,BAC AB AC D ∠===是AB 上一点，且5AB CD ⋅=，则BD 等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．110. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为2,F O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且22OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13 B ．25C11. 如图，矩形ABCD 中，2,AB AD E =为边AB 的中点，将ADE ∆直线DE 翻转成1(A BE A ∆∉平面ABCD )，若,M O 分别为线段1,A C DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线垂直B ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值12.若曲线()21(11)ln(1)f x e x e a x =-<<-+和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ，使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点y 轴上，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．2(,)e e B ．2(,)2e e C ．2(1,)e D ．[1,)e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数,x y 满足条件302403x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最小值为 ．14.把3男2女工5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分别的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为 ．15.函数()sin()(0,)2f x A wx w πϕϕ=+><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移724π个 单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[,]()33ππθθ->-上的值域为[]1,2-， 则θ= ．16.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，ABC ∆的面积为22,()tan 8S a b C S +=， 且sin cos 2cos sin A B A B =，则cos A = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前()n n N +∈项和为3,3n S a =，且1n n n S a a λ+=，在等比数列{}n b 中，13152,1b b a λ==+.（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前()n n N +∈项和为n T ，且()12n n S c π+=，求n T .18. （本小题满分12分）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4到题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每道的回答都是相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，090ADC ∠=，//,,AD BC AB AC AB AC ⊥==E 在AD 上，且2AE ED =.（1）已知点F 在BC ，且2CF FB =，求证：平面PEF ⊥平面PAC ；（2）当二面角A PB E --的余弦值为多少时，直线PC 与平面PAB 所成的角为045？20. （本小题满分12分）已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点(2,0)B 为直径的圆C 交直线1x =于,M N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于,P Q 两点.（1）求线段MN 的长；（2）若3OP OQ ⋅=-，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与MN 相等，求直线l 的方程.21. （本小题满分12分）设函数()()2,1()xf x eg x kx k R ==+∈.（1）若直线()y g x =和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意(0,)x m ∈，都有()()2f x g x x ->恒成立， 求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.23. （本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t=⎧⎨=⎩为参数，0)a >，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=- （1）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()13,()2f x x x g x a x =++-=--.（1）若关于x 的不等式()()g x g x <有解，求实数的取值范围； （2）若关于x 的不等式()()g x g x <的解集为7(,)2b ，求a b +的值.试卷答案一、选择题1-5:DCDCB 6-10: ABACD 11、C 12：B二、填空题13. 5 14. 16 15.4π三、解答题17. 解：（1）1n n n S a a λ+=，33a =，所以112a a a λ=且12232()3a a a a a λ+==， ① 所以2123,3a a a a λ=+==， ②因为数列{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，即2123a a -=， 由①②得121,2a a ==，所以,2n a n λ==，所以134,16b b ==，则12n n b +=.（2）因为(1)2n n n S +=，所以2(2)n c n n =+，所以22222122435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++ 2323232n n n +=-++. 18.解：（1）由题意可知，所求概率12211123242423336622221()(1)(1)(1)333315C C C C P C C C =⨯-+⨯--=,(2)设甲公司正确完成面试的题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3，122130424242333666131(1),(2),(3)555C C C C C C P X P X P X C C C =========， 则X 的分布列为：()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=，()2221312(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=设乙公司正确完成面试的题数为Y ，则Y 取值分别为0,1,2,3，1222331212214(0),(1)(),(2)()27339339P Y P Y C P Y C ====⨯⨯===⨯⨯=， 328(3)()327P Y ===则Y 的分布列为：所以()124801232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=(或因为2(3,)3Y B ，所以()2323E Y =⨯=) ()222212482(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，由()()()(),E X E Y D X D Y =<可得，甲公司成功的可能性更大. 19.证明：因为,AB AC AB AC ⊥=，所以C ，因为底面ABCD 是直角梯形，090,//ADC AD BC ∠=， 所以045ACD ∠=，即AD CD =，所以2BC AD ==，因为2,2AE ED CF FB ==，所以23AE BF AD ==. 所以四边形ABFE 是平行四边形，则//AB EF , 所以AC EF ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA EF ⊥， 因为PAAC A =，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC .(2)因为,PA AC AC AB ⊥⊥，所以AC ⊥平面PAB ，则APC ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角，若PC 与平面PAB 所成角为045，则tan 1ACAPC PA∠==，即PA AC ==取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，以A 坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.则2(1,1,0),(1,1,0),(0,,0),3B C E P -，所以2(1,1,0),(0,3EB EP =-=-，设平面PBE 的法向量(,,)n x y z =，则0n EB n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即503203x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令3y =，则5,x z ==，(5,3,2)n =， 因为(1,1,0)AC =是平面PAB 的一个法向量，所以cos ,3n AC ==， 即当二面角A PB E --的余弦值为3时，直线PC与平面PAB 所成的角为045.20.解：（1）设200(,)4y A y ，圆C 的方程2200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，所以200,14M N M N y y y y y y +==- ，2M N MN y y =-===（2）设直线l 的方程为1122,(,),(,)x my n P x y Q x y =+，则 由24x my ny x=+⎧⎨=⎩ 消去x ，得2440y my n --=.12124,4y y m y y n +==-，因为3OP OQ ⋅=-，所以12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-， 所以2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，点(2,0)B 到直线l的距离为d =因为圆心C 到直线l 的距离等于到直线1x =的距离，所以208y =又2024y m y -=，消去m 得4200646416y y +⋅=，求得208y =， 此时2024y m y -=，直线l 的方程为3x =，综上，直线l 的方程为1x =或3x =.21.（1）设切点的坐标为2(,)t t e ，由()2x f x e =，得()22xf x e '=，所以切线方程为222()tty e e x t -=-，即222(12)tty e x t e =+-，由已知222(12)xxy e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，所以222,(12)1tte k k e =-=， 令()(1)xh x x e =-，则()xh x xe '=-，当(,0)x ∈-∞时，()()0,h x h x '>单调递增，当(0,)x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()()01h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，所以0,2t k ==.（2）①当2k >时，有（1）结合函数的图象知：存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x <， 则不等式()()2f x g x x ->等价()()2g x f x x ->，即2(2)10x k x e-+->，设22(2)1,(2)2x x t k x e t k e '=-+-=-- ， 由0t '>得12ln 22k x -<，由0t '<得12ln 22k x ->， 若1224,ln 022k k -<≤≤，因为012(0,)(,ln )22k x -⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递减，因为()00t =， 所以任意()12(0,ln ),022k x t x -∈>，与题意不符， 若1212124,ln 0,(0,ln )(,ln )222222k k k k --->>⊆-∞，所以()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增，因为()00t =，所以对任意()12(0,ln ),022k x t x -∈>符合题意， 此时取120min{0,ln }22k m -<≤，可得对任意(0,)x m ∈，都有()()2f x g x x ->. ②当02k <≤时，有（1）结合函数的图象知2(21)0(0)x ex x -+≥>， 所以()()221(21)(2)(2)0x x f x g x ekx e x k x k x -=--=-++-≥-≥对任意0x >都成立， 所以()()2f x g x x ->等价于2(2)10x ek x -+->， 设()2(2)1x x e k x ϕ=-+-，则()22(2)x x e k ϕ'=-+，由()0x ϕ'>得()12ln ,022k x x ϕ+'><得，12ln 22k x +<， 所以()x ϕ在12(0,ln )22k -上单调递减，注意到()00ϕ=， 所以对任意()12(0,ln ),022k x x ϕ-∈<，不符合题设，总数所述，k 的取值范围为(4,)+∞.22.（1）由cos()4πρθ+=-cos sin )2ρθρθ-=-，)x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离2cos()4d t π===+， 当24t k πππ+=+，即32,4t k k Z ππ=+∈时，min 1d =. （2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，所以对t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立，)4t t ϕ+>- （其中2an aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故的取值范围为(0,.23.解：（1）当2x =时，()2g x a x =--取得最大值为a ，因为()134f x x x =++-≥，当且仅当()13,x f x -≤≤取最小值4， 因为关于x 的不等式()()g x g x <有解，所以4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞.（2）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =， 所以当2x <时，()922g x =+， 令()942g x x =+=，得1(1,3)2x =-∈-， 所以12b =-，则6a b +=.。
高三理科数学第一学期期末质量评估测试试题及答案
山东省聊城一中—上学期高三年级期末综合测试数 学 试 题（理）一.选择题（12⨯5=60）1. 设全集是(){}(){},2|,,,|,+==∈=x y y x A R y x y x U (),124|,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=x y y x B 则=B C A U( )A. φB. (2,4)C. BD.(){}4,22. 函数()2)1(22+-+=x a x x f 在区间(4,∞-)上是减函数,那么实数a 的取值范围是( )A. )[+∞,3B. (]3,-∞-C. {}3-D. (5,∞-)3. 已知不等式012≥--bx ax 的解集是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,21,则不等式02<--a bx x 的解集是 ( ) A. (2,3)B. ()(),32,+∞∞-C. (21,31)D. () ⎝⎛∞+⎪⎭⎫∞-,2131,4. 关于函数),(33)(R x x f xx ∈-=-下列三个结论正确的是 ( )(1) )(x f 的值域为R; (2) )(x f 是R 上的增函数;(3) 0)()(,=+-∈∀x f x f R x 成立.A. (1)(2)(3)B. (1)(3)C. (1)(2)D. (2)(3)5. 若数列{}n a 满足),0(*N n q q a n n ∈>=,以下命题正确的是( )(1) {}n a 2是等比数列; (2) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等比数列;(3) {}n a lg 是等差数列; (4) {}2lg n a 是等差数列;A. (1)(3)B. (3)(4)C. (1)(2)(3)(4)D.(2)(3)(4) 6. 已知=+++=)2007()2()1(,3sin)(f f f n n f π( )A.3 B.23 C. 0 D. --237. 设βα,为钝角，=+-==βαβα,10103cos ,55sin （ ）A ．π43 B. π45 C. π47 D. π45或π478. 已知函数)0)(3sin()(>+=ωπωx x f 的最小正周期为π,则该函数图象( )A. 关于点)0,3(π对称; B. 关于直线4π=x 对称; C. 关于点)0,4(π对称; D. 关于直线3π=x 对称;9. 已知向量,夹角为︒60=-⊥+==m m ),()53(,23 ( ) A.2332B. 4229C. 4223D. 294210. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-<-1)1(log ,2222x x 的解集为( )A. )3,0(B. )2,3(C. )4,3(D. (2,4) 11. 已知点A(2,3),B(--3,--2).若直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k的取值范围是 ( ) A. 43≥k B. 243≤≤k C. 2≥k 或43≤k D. 2≤k 12. 设21,F F 分别是双曲线1922=-y x 的左右焦点。
2023届陕西省渭南市高三下学期教学质量检测(Ⅰ)理科数学试题(解析版)
【答案】A
【解析】
【分析】根据线线平行可得 或其补角是异面直线 与 所成的角，利用三角形三边关系，由余弦定理即可求解.
【详解】如图，在棱 上取一点 ，使得 ，取 的中点 ，连接 , ，
由于 分别是棱 的中点，所以 ，故四边形 为平行四边形，进而 ,
又因为 是 的中点，所以 ,所以 ，则 或其补角是异面直线 与 所成的角.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设人交谈时的声强为 ，从而得到 ，求出火箭发射时的声强为 ，代入解析式求出答案.
【详解】设人交谈时的声强为 ，则火箭发射时的声强为 ，
则 ，解得： ，
则火箭发射时的声强为 ，将其代入 中，得：
，故火箭发射时的声强级约为 .
故选：B
6.如图，在直三棱柱 中， ，且 分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（）
【详解】对②：由 ，可得 ，则 （ 与 为常数），
令 ，则 ，所以 ，则 ，
故 关于直线 对称，②正确；
对①：∵ 为偶函数，则 ，
∴ ，则 为奇函数，
故 ，即 ，则 是以4为周期的周期函数，
由 ，令 ，则 ，可得 ，
故 ，①正确；
由 ，令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
故 ，则 ，
对③：由 ，即 ，则 ，
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形CDNM为平行四边形，进而可得CM//DN，又中位线定理得GF//DN，则GF//CM，再由线面平行的判定定理即可证结论.
（2）过B作BH⊥AC交AC于H，由多面体ABCDE体积最大得BH最大，可知 ， 为 的中点，从而建立空间直角坐标系，求面ABE与面DBE的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示即可求二面角A BE D的正弦值.
辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高三上学期期末学业质量监测数学试题
………………………………………………装…………订…………线………………………………………………2024年1月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试高三数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．集合A={x|x2-x-2≤0}，B={y|y<0}，则A∩B=A．(0,2] B．[0,2] C．[-1,0] D．[-1,0)2．已知i为虚数单位，若1+mi1-i(m∈R)是纯虚数，则|m+i |A． 2 B．2 C．5 D． 53．下列函数既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是A．y=x2B．y=sin x C．y=x3D．y=ln|x|4．渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄，该方案将从正式实施开始每年延长几个月的退休时间，直到达到法定退休年龄．男性延迟退休的年龄情况如表所示：出生年份1961年1962年1963年1964年1965年1966年退休年龄60岁60岁+2月60岁+4月60岁+6月60岁+8月60岁+10月若退休年龄a n与出生年份n满足一个等差数列{a n}，则1981年出生的员工退休年龄为A．63岁B．62岁+10月C．63岁+2月D．63岁+4月5．62()xx-的展开式中常数项为第（）项A．4 B．5 C．6 D．76．已知点F是双曲线2219yx-=的左焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，点Q是双曲线渐近线上的动点，则|PF|+|PQ|的最小值为A．8 B．5 C．3 D．27．如图，正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1，已知A1B1=3，AB=4，AA1=2，则下列说法正确的是A．AF//B1D1B．AE⊥平面E1ECC1C．AA1//平面CED1D．AA1与底面所成的角为45︒8．已知直线y=ax-1与曲线ln xyx=相切，则a的值为A．1 B．1eC．1ln24-D．2e2二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．)9．下列选项中，与“1x>1”互为充要条件的是A．x<1 B．log0.5x2>log0.5x C．3x2<3xD．|x(x-1)|=x(1-x)10．某校4个班级学生的一次物理考试成绩的频率分布直方图如下，已知成绩在(80,90]范围内的人数为30人，则下列说法正确的是A．a的值为0.15B．4个班的总人数为200人C．学生成绩的中位数估计为66.6分D．学生成绩的平均数估计为71分11．如图，△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD=2，E为线段BD中点，将△ABC沿AD折成大小为2π的二面角，连接BC，形成四面体C-ABD，若P是该四面体表面或内部一点，则下列说法正确的是A．若点P为CD中点，则过A,E,P的平面将三棱锥A-BCD分成两部分的体积比为1:4B．若直线PE与平面ABC没有交点，则点P的轨迹与平面ADC的交线长度为 2C．若点P在平面ACD上，且满足2PA PD=，则点P的轨迹长度为4π9D．若点P在平面ACD上，且满足2PA PD=，则线段PE长度的取值范围是(133,213)学校姓名考号ABD CEAD EFA1B1D1E1C1 F1A B DC 12. 已知函数f (x )=sin(ωx +φ) (ω>0, φ∈R )在区间(π4,π2)上单调，且满足f (π4)=-f (5π12)，下列结论正确的有 A. f (π3)=0B. 若f (π3-x )= f (x )，则函数f (x )的最小正周期为2π3C. 关于x 方程f (x )=1在区间[0,2π)上最多有4个不相等的实数解D. 若函数f (x )在区间[π3,11π6)上恰有5个零点，则ω的取值范围为(83,3]第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．直线0x y k -+=与圆221x y +=相交，则k 的取值范围是 . 14．已知|a |=4, |b |=1，且|a -b |=13 ，则向量a ,b 夹角的余弦值为________.15．随着冬季到来，各种流行疾病也开始传播，国家为了防止患者集中在大型医院出现交叉感染，呼吁大家就近就医.某市有市级医院，区级医院，社区医院三个等级的医院，对于出现的流行疾病三个医院都能治愈患者.若患者去三个医院就医的概率是16，13，12，三个医院就医时出现交叉感染的概率分别为16，18，112，患者在医院没有出现交叉感染且治愈的概率为 .16．已知F 为抛物线C ：y =14x 2的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，抛物线在点A ，B 处的切线分别为l 1和l 2，若l 1和l 2交于点P ，则|PF |2+25|AB |的最小值为 .四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．（本小题满分10分）已知锐角△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，_________. 在条件：①(b -a )(sin B +sin A )=c (sin B -sin C )；②2sin A cos B =2sin C -sin B ；③S △ABC =12a (c sin C +b sin B -a sin A )；这三个条件中任选一个，补充到上面的问题中并作答．（1）求角A ；（2）若AC =2，如图，延长BC 到D ，使得AD ⊥AB ，求△ACD 的面积S 的取值 范围．18. （本小题满分12分）如图,矩形ABCD 的边AB 为圆O 的直径,点E ,F 为圆O 上异于A ,B 的两点，AB ∥EF ,BF ⊥DF . 已知AB =2,EF =1. （1）求证: AD ⊥平面ABEF ；（2）当AD 的长为何值时,二面角E -CF -B 的大小为45°.19. （本小题满分12分）某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求.（1）求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率；（2）用X 表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求X 的分布列和数学期望. 20．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=13，3nS n +1-3(n +1)S n =n (n +1).（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =3(-1)n a n (n +1)，求数列{b n }的前29项和T 29．21．（本小题满分12分）已知椭圆G ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过D (1,32)，E (2,0)两点．作斜率为12的直线l 与椭圆G交于A ，B 两点(A 点在B 的左侧)，且点D 在直线l 上方. （1）求椭圆G 的标准方程；（2）证明：△DAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.22．（本小题满分12分）已知函数f (x )=e x -a ln(ax +a )-a ，其中a ≠0． （1）当a =1时，求f (x )的单调区间；（2）已知a <0，若f (x )只有一个零点，求a 的取值范围．。
2022-2023学年内蒙古自治区包头市高三年级上册学期期末数学理试题【含答案】
2022-2023学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场、座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）{}2560A x x x =-->{}10B x x =->A B = A.B.C.D.()6,+∞()1,1-(),1-∞-()1,62. 设，则在复平面内对应的点位于（）32i z =-1z A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知，，，则（）31log 4a =322b -=2312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭A B. C. D.a b c>>a c b>>b c a>>c b a>>4. 已知A ，B ，C 三人都去同一场所锻炼，其中A 每隔1天去一次，B 每隔2天去一次，C 每隔3天去一次.若3月11日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（）A. 3月22日 B. 3月23日C. 3月24日D. 3月25日5. 某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a ,b ,c ,则（）A. B. C. D. a b c <<b a c <<a c b<<b<c<a6. 若函数与都在区间上单调递增，则的最大值()2sin f x x =()cos2g x x=(),m n n m -为（）A. B. C. D. π4π3π2π7. 已知，（）()4,2AB =()()1,0AC t t =>AB BC ⋅=A B. C. 8 D. 168-16-8. 设为直线，为平面，则的必要不充分条件是（）a βa β⊥A. 直线与平面内的两条相交直线垂直a βB. 直线与平面内任意直线都垂直a βC. 直线在与平面垂直的一个平面内a βD. 直线与平面都垂直于同一平面a β9. 记为等差数列的前项和.已知，，则（）n S {}n a n 55S =610a =AB.312n a n =+520n a n =-C.D.2314n S n n=-231322n S n n=-10. 已知，，则（）π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22sin2cos21cos ααα=++tan2α=A. B. C. 2 D. 3131211. 已知抛物线，斜率为的直线与的交点为E ，F ，与轴的交点为.2:3C y x =32l C x H 若，（）()1EH k HF k =>EF =k =A. 5B. 4C. 3D. 212. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，E ，F 分-P ABC O 4PA =2PB PC ==别是PA ，AB 的中点，，，，则球的体积为（）90CEF ∠=︒PB AC ⊥PC PA ⊥OA. B. C. D. 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线在点处的切线方程为______.()()224e xf x x x =++()()0,0f 14. 已知数列和满足，，，.{}n a {}n b 11a =12b =134n n n a a b +=-+134n n n b b a +=--则数列的通项______.{}n n a b +n n a b +=15. 甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是3:1______.16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为()2222:10x y C b a a b -=>>1F 2F 1F 的直线与的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若，则的离心率为______.4πC 2//BF OA C 三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC .()22sin sin sin 3sin sin A C B A C+=+（1）求；B （2）若，求.623a b c =+sin A 18. 9年来，某地区第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图如下图所示.根据x y 该图提供的信息解决下列问题.（1）在所统计的9个生产总值中任选2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分X X 布列和数学期望；()E X （2）由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值.（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和()11,x y ()22,x y (),n nx y ˆˆˆy bx a =+截距的最小二乘法估计分别为：，.()()()1122211ˆn niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑ ˆa y bx =-19. 如图，直四棱柱的底面是平行四边形，，，1111ABCD A B C D -14AA =2AB BC ==，，，分别是，，的中点.60BAD ∠=︒E FH 1A D 1BB BC （1）证明：平面；EF ⊥11BCC B （2）求平面与平面所成二面角的正弦值.1DC H DEF 20. 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，()0,3M -()0,3N (),P x y PM PN 3-记的轨迹为曲线.P C （1）求的方程，并说明是什么曲线；C C （2）过坐标原点的直线交C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，轴，垂足为，连AD y ⊥D接并延长交于点.BD C H （i ）证明：直线与的斜率之积为定值；AB AH （ii ）求面积的最大值.ABD △21. 已知函数.()()ln 11f x x a x =--+（1）若存在极值，求的取值范围；()f x a （2）当时，讨论函数的零点情况.2a =()()sin g x f x x=+（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（s 为参数），直线的参数xOyC 2222,1s x s y ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩l 方程为（为参数）.1cos 2sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩t （1）求和的直角坐标方程；C l （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的面积.C l AB ()1,2-OAB [选修4-5：不等式选讲]23. 已知()()4f x x m x x x m =-+--（1）当时，求不等式的解集；2m =()0f x ≥（2）若时，，求的取值范围.(),2x ∈-∞()0f x <m2022-2023学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场、座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）{}2560A x x x =-->{}10B x x =->A B = A.B.C.D.()6,+∞()1,1-(),1-∞-()1,6【答案】A 【解析】【分析】求出集合中元素范围，再求即可.,A B A B ⋂【详解】或，{}{2560|1A x x x x x =-->=<-}6x >，{}{}101B x x x x =->=>()6,A B ∴=+∞ 故选：A.2. 设，则在复平面内对应的点位于（）32i z =-1z A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】求出的代数形式，进而可得其对应的点所在象限.1z 【详解】，()()32i 32i 32i 1i 321321313i z ==--++-=其对应的点为，位于第四象限.32,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：D.3. 已知，，，则（）31log 4a =322b -=2312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B. C. D.a b c>>a c b>>b c a>>c b a>>【答案】D 【解析】【分析】先确定与中间量0的大小关系，再利用指数函数的单调性来比较大小.【详解】,331log log 104a =<=，332232211220c b -⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎭=⎝<⎭⎝故c b a >>故选：D.4. 已知A ，B ，C 三人都去同一场所锻炼，其中A 每隔1天去一次，B 每隔2天去一次，C 每隔3天去一次.若3月11日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（）A. 3月22日 B. 3月23日C. 3月24日D. 3月25日【答案】B【解析】【分析】三人各自去锻炼的日期实际上是等差数列，利用等差数列知识进行求解.【详解】由题意，三人各自去锻炼的日期分别是等差数列，公差分别为2,3,4，最小公倍数为12，所以下一次三人都去锻炼的日期是3月23日.故选：B.5. 某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a ,b ,c ,则（）A. B. C. D. a b c <<b a c<<a c b<<b<c<a【答案】B 【解析】【分析】根据众数,平均数,中位数的概念和公式,带入数字,求出后比较大小即可.【详解】解:由频率分布直方图可知众数为65,即,65b =由表可知,组距为10,所以平均数为:,450.15550.2650.25750.2850.1950.167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故,记中位数为,67c =x 则有:,()100.015100.02600.0250.5x ⨯+⨯+-⨯=解得:,即,66x =66a =所以.b a c <<故选：B.6. 若函数与都在区间上单调递增，则的最大值()2sin f x x=()cos2g x x=(),m n n m -为（）A. B. C. D. π4π3π2π【答案】C 【解析】【分析】分析在一个较大区间内的单调性，找出它们的公共增区间，分(),()f xg x (),m n 析出的最大值.n m -【详解】的周期为，的周期为，分析在内两个()2sin f x x=2π()cos2g x x=π5π[0,2函数的单调性，函数在上单调递增，()2sin f x x =π3π5π0,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数在上单调递增，()cos2g x x =π3π,π,,2π22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数与都在区间上单调递增，()2sin f x x =()cos2g x x =3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭且为的最大公共增区间3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭(),()f x g x 所以则，，所以的最大值为.max 2πn =min 3π2m =n m -3ππ2π22-=故选：C.7. 已知，（）()4,2AB =()()1,0AC t t =>AB BC ⋅=A. B. C. 8D. 168-16-【答案】A 【解析】，再利用数量积的坐标运算求即可.t AB BC ⋅【详解】由已知()()()1,4,23,2BC AC AB t t =-=-=--=或（舍去，）4t ∴=0=t 0t >()()84,3,21242AB BC ∴=⋅=⋅--+=-故选：A.8. 设为直线，为平面，则的必要不充分条件是（）a βa β⊥A. 直线与平面内的两条相交直线垂直a βB. 直线与平面内任意直线都垂直a βC. 直线在与平面垂直的一个平面内a βD. 直线与平面都垂直于同一平面a β【答案】C 【解析】【分析】根据题意知找一个由能推出的但反之不成立的一个结论.a β⊥【详解】根据题意知找一个由能推出的但反之不成立的一个结论.a β⊥对A ：根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则；a βa β⊥若，则直线与平面内的两条相交直线垂直，故A 错误；a β⊥a β对B ：根据线面垂直的定义，直线与平面内任意直线都垂直是的充要条件，故a βa β⊥B 错误；对C ：若，设，由面面垂直的判定知，故直线在与平面垂直的一a β⊥a α⊂αβ⊥a β个平面内；若直线在与平面垂直的一个平面内，不妨设平面，若取，则a βγβ⊥a γβ=⋂不成立，故C 正确；a β⊥对D ：若，又，则，不可能有平面与平面垂直，故D 错误.a β⊥a α⊥//βαβα故选：C 9. 记为等差数列的前项和.已知，，则（）n S {}n a n 55S =610a =A.B.312n a n =+520n a n =-C.D.2314n S n n=-231322n S n n=-【答案】D 【解析】【分析】先利用等差数列的通项公式和求和公式列方程求出，进而可得等差数列的通1,a d 项公式及求和公式，对照选项可得答案.【详解】设等差数列的公差为，{}n a d，解得51615105510S a d a a d =+=⎧∴⎨=+=⎩135d a =⎧⎨=-⎩，()()1153138n a a n d n n ∴=+-=-+-=-，()()2153132221132n S n n n n n n na d n -+=-=+=-⨯-故选：D.10. 已知，，则（）π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22sin2cos21cos ααα=++tan2α=A. B. C. 2 D. 31312【答案】A 【解析】【分析】先利用倍角变形求得，再利用二倍角的正切公式求即可.tan αtan2α【详解】22sin2cos21cosααα=++ 222224sin cos cos sin cos sin cos ααααααα∴=-+++即，24sin cos 3cosααα=，，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ cos 0α∴≠，即4sin 3cos αα∴=3tan 4α=，又22tan3241tan 2αα∴=-tan 0α>解得1tan 23α=故选：A.11. 已知抛物线，斜率为的直线与的交点为E ，F ，与轴的交点为.2:3C y x =32l C x H 若，（）()1EH k HF k =>EF =k =A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】C 【解析】【分析】直线方程，由值，求得E ，F 的纵坐标，再由l 32y x b=+EF =b 求得值.EH k HF =k 【详解】设直线方程，，l 3:(0)2l y x b b =+<()()1122,,,E x y F x y ，，2,03H b ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭112222,,,33EH b x y HF x b y ⎛⎫⎛⎫=---=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，112222,,,33EH k HF b x y k x b y ⎛⎫⎛⎫=∴---=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，12y ky ∴-=由得，，2323y x b y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩2220y y b -+=2(2)420b ∆=--⨯>，12122,2y y yy b ∴+==，||EF ∴===，=，123,32b y y ∴=-∴=-由解得或，12122,3y y y y +==-1213y y =-⎧⎨=⎩1231y y =⎧⎨=-⎩或(舍)，3k ∴=13k =故选:C12. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，E ，F 分-P ABC O 4PA =2PB PC ==别是PA ，AB 的中点，，，，则球的体积为（）90CEF ∠=︒PBAC ⊥PC PA ⊥O A.B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】先利用线面垂直的判定定理证得面，再推到两两垂直，PB ⊥PAC ,,PB PA PC 进而将三棱锥补形成长方体，从而求得球的半径，由此得解.-P ABC O 【详解】因为E ，F 分别是PA ，AB 的中点，所以，//EF PB 又，即，所以，90CEF ∠=︒EF EC ⊥PB EC ⊥因为，面，所以面，PB AC ⊥,,AC EC C AC EC =⊂ PAC PB ⊥PAC 因为面，所以，,PA PC ⊂PAC ,PB PA PB PC ⊥⊥又，所以两两垂直，PC PA ⊥,,PB PA PC 故将三棱锥补形成长方体，如图，-P ABC -ADHG PCTB 则长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，-ADHG PCTB -P ABC O设球的半径为，则，即，O R 2R ===R =所以球的体积为.O 34π3V R ==故选：B..【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线在点处的切线方程为______.()()224e xf x x x =++()()0,0f 【答案】540x y -+=【解析】【分析】先求导，然后求出和，再利用点斜式求直线方程即可.()0f '()0f 【详解】由已知，()()()()2241e 24e 255e x x xf x x x x x x '+=+++++=，又，()05f '∴=()04f =所以曲线在点处的切线方程为，()()224e xf x x x =++()()0,0f 45y x -=即540x y -+=故答案为：540x y -+=14. 已知数列和满足，，，.{}n a {}n b 11a =12b =134n n n a a b +=-+134n n n b b a +=--则数列的通项______.{}n n a b +n n a b +=【答案】132n -⨯【解析】【分析】将条件中两式相加可得数列为等比数列，利用等比数列的通项公式求解{}n n a b +即可.【详解】，，134n n n a a b +=-+ 134n n n b b a +=--()1134342n n n n n n n n a b a b b a a b ++∴=-++-=++-又，113a b +=所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列{}n n a b +132n n n a b -∴+=⨯故答案为：132n -⨯15. 甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是3:1______.【答案】0.21【解析】【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．【详解】甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是：3:1．0.60.50.40.50.60.50.60.50.40.50.60.50.21P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=故答案为：0.21．【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且倾斜角为()2222:10x y C b a a b -=>>1F 2F 1F的直线与的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若，则的离心率为______.4πC 2//BF OA C【解析】【分析】首先根据题意，设出直线的方程，之后与双曲线的渐近线联立，分别求出A ，B 两点的坐标，之后根据题中条件，得出A 是的中点，根据中点坐标公式，得2//BF OA 1F B 出其坐标间的关系，借助双曲线中的关系，求得该双曲线的离心率.,,a b c 【详解】设直线的方程为，两条渐近线的方程分别为和，l y x c =+b y x a =-by x a =分别联立方程组，求得，(,),(,ac bc ac bcA B a b a b b a b a -++--由，为的中点得A 是的中点，2//BF OA O 12F F 1F B 所以有，整理得，2ac acc b a a b -+=--+3b a =结合双曲线中的关系，可以的到，,,a bc c e a ===.三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC .()22sin sin sin 3sin sin A C B A C+=+（1）求；B （2）若，求.623a b c =+sin A 【答案】（1）π3（2【解析】【分析】（1）将条件展开后利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理求角；（2）利用正弦定理边化角，然后转化为关于角B 等式，整理得到，再求π1sin 63A ⎛⎫-=⎪⎝⎭出，利用展开求解即可.πcos 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ππsin sin 66A A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【小问1详解】()22sin sin sin 3sin sin A C B A C+=+ 222sin 2sin sin sin sin 3sin sin A A C C B A C∴++=+即222sin sin sin sin sin A C B A C +-=由正弦定理得，222a cb ac +-=，又2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴===()0,πB ∈；π3B ∴=【小问2详解】623a b c=+ 所以由正弦定理边化角得，6sin 2sin 3sin A B C =+，有，ππ6sin 2sin3sin 33A A ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭9sin A A -=化简得，又，π1sin 63A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ,333A ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，πcos 6A ⎛⎫∴-==⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin666666A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1132==18. 9年来，某地区第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图如下图所示.根据x y 该图提供的信息解决下列问题.（1）在所统计的9个生产总值中任选2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分X X 布列和数学期望；()E X （2）由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值.（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和()11,x y ()22,x y (),n nx y ˆˆˆy bx a =+截距的最小二乘法估计分别为：，.()()()1122211ˆn niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑ ˆa y bx =-【答案】（1）分布列见解析，数学期望()34E X =（2）该地区第11年的第三产业生产总值约为134.6【解析】【分析】（1）求出平均值，得出不低于平均值的有3个，因此服从超几何分布，由此可X 计算出各概率得分布列，由期望公式可计算出期望；（2）由后面的四个数据求出线性回归直线方程，将代入回归方程即可得出预测值.11x =【小问1详解】依题知，9个生产总值的平均数为：，141620263342607898439++++++++=由此可知，不低于平均值的有3个，所以服从超几何分布，X ，()()23629C C ,0,1,2C k kP X k k -===所以，()0203629C C 11550C 3612P X -⨯====，()1213629C C 3611C 362P X -⨯====，()2223629C C 3112C 3612P X -⨯====分布列为：X 012P51212112所以；()5113013122124E X =⨯+⨯+⨯=【小问2详解】由后面四个数据得：，，67897.54x +++==4260789869.54y +++==，416427608789982178i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222216789230ii x==+++=∑所以，，217847.569.518.623047.57.5b -⨯⨯==-⨯⨯ 69.518.67.570a =-⨯=-所以线性回归方程为，18.670=-y x 当时，，11x =18.61170134.6=⨯-=y 所以该地区第11年的第三产业生产总值约为134.619. 如图，直四棱柱的底面是平行四边形，，，1111ABCD A B C D -14AA =2AB BC ==，，，分别是，，的中点.60BAD ∠=︒E F H 1A D 1BB BC （1）证明：平面；EF ⊥11BCC B （2）求平面与平面所成二面角的正弦值.1DC H DEF 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取的中点，连接、、，即可得到，再证明AD G BG EG BD //EF BG ，由直棱柱的性质证明，即可得到平面，从而得证；BG BC ⊥1BB BG ⊥BG ⊥11BCC B （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】取的中点，连接、、，AD G BG EG BD 又因为，分别是，的中点，E F 1A D 1BB 所以且，且，1//EG AA 112EG AA =1//BF AA 112BF AA =所以且，//EG BF EG BF =所以四边形为平行四边形，所以，BGEF //EF BG 又在直四棱柱的底面是平行四边形，，，1111ABCD A B C D -2AB BC ==60BAD ∠=︒所以为等边三角形，所以，又，所以，ABD △BG AD ⊥//AD BC BG BC ⊥又平面，平面，所以，1BB ⊥ABCD BG ⊂ABCD 1BB BG ⊥，平面，1BC BB B = 1,BC BB ⊂11BCC B 所以平面，BG ⊥11BCC B 所以平面.EF ⊥11BCC B 【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，()D ()1,0,0H ()12,0,4C ()0,0,2F，()2E所以，，，，()11,4DC =()0,DH =()1,0,2DE =-()1,2DF =-设平面的法向量为，则，令，则1DC H (),,n x y z =1400n DC x z n DH ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩1z =，，所以，4x =-0y =()4,0,1n =-设平面的法向量为，则，令，则DEF (),,m a b c =2020n DE a c n DF a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1c =，，所以，2a =0b =()2,0,1m =设平面与平面所成二面角为，则，1DC H DEFθcos m n m nθ⋅===⋅ 所以，即平面与平面所成二面角的正弦值为sin θ==1DC H DEF.20. 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，()0,3M -()0,3N (),P x y PM PN 3-记的轨迹为曲线.P C （1）求的方程，并说明是什么曲线；C C （2）过坐标原点的直线交C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，轴，垂足为，连AD y ⊥D 接并延长交于点.BD C H（i ）证明：直线与的斜率之积为定值；AB AH （ii ）求面积的最大值.ABD △【答案】（1）的方程为：，是一个长轴长为6，短轴长为C 22193y x +=()0x ≠C 的椭圆0x ≠（2）（i ）证明见解析（ii 【解析】【分析】（1）直接利用斜率公式即可求解；（2）（i ）设，根据坐标之间的联系，设直线的方程为()11,A x y ()110,0x y >>BD ，与联立消，运用韦达定理求出的坐标，再利用斜率1y kx y =+22193y x +=y ()22,H x y 公式求出，，然后代入化简即可证明；AH k ABk AB AH k k ⋅（ii ）将点代入，利用基本不等式即可求解.()11,A x y ()110,0x y >>22193y x +=()0x ≠【小问1详解】依题知，，，，()0,3M -()0,3N (),P x y 所以，33,PM PN y y k k x x +-==又直线与的斜率之积为，PM PN 3-即，整理得：，333y y x x +-⨯=-22193y x +=()0x ≠因此是一个长轴长为6，短轴长为且的椭圆.C 0x ≠【小问2详解】（i ）如图所示：设，，()11,A x y ()110,0x y >>()22,H x y 因为两点关于原点中心对称，所以，,A B ()11,B x y --因为轴，垂足为，所以，AD y ⊥D ()10,D y 所以直线的斜率，AB 11AB k y x =设直线的斜率为，则直线的方程为：，BD k BD 1y kx y =+由消整理得：，122193y kx y y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222113290k x ky x y +++-=因为点，是直线与的交点，()11,B x y --()22,H x y BD 22193y x +=所以，整理得：，2211193y x +=221193y x -=-由韦达定理得：，221111212222293,333ky y x x x x x k k k ---+=--==+++解得：，代入，12233x x k =+1y kx y =+解得：，即，221y kx y =+121233kx y y k -=+所以直线的斜率AH 1221112112333223AHkx y y x k k ky x x y k-+===---+所以，11113322AB AHy x k k x y ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭所以直线与的斜率之积为定值，其值为：.AB AH 32-（ii ）由（i ）知，1111122ABD S x y x y =⨯⨯=△因为在上，()11,A x y ()110,0x y >>22193y x +=()0x ≠所以，整理得：22111193x y y =+≥11x y ≤=当且仅当时，等号成立，11y =所以.ABD △【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．（3）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知函数.()()ln 11f x x a x =--+（1）若存在极值，求的取值范围；()f x a （2）当时，讨论函数的零点情况.2a =()()sin g x f x x=+【答案】（1）()1,+∞（2）共有两个零点.()g x 【解析】【分析】（1）先对求导，再分别讨论和两种情况，判断的正负，()f x 1a ≤1a >()f x '可得的单调性，从而得解.()f x （2）构造函数，利用导数判断得的单调性，再结合零()()11cos 0h x x x x =-+>()g x '点存在定理得到在和上各有一个零点；再构造函数，利用导数讨论()g x 21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,π在和的零点情况，从而得解.()g x (]π,2π()2π,+∞【小问1详解】因为，所以，()()ln 11f x x a x =--+()()11(0)f x a x x '=-->当，即时，，则为单调递增函数，不可能有极值，舍去；10a -≤1a ≤()0f x ¢>()f x 当，即时，令，解得，10a ->1a >()0f x '=11x a =-当时，；当时，；101x a <<-()0f x ¢>11x a >-()0f x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1,1a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭所以在取得极大值，符合题意；()f x 11x a =-综上：，故实数的取值范围为.1a >a ()1,+∞【小问2详解】当时，，则，2a =()ln 1sin (0)g x x x x x =-++>()11cos g x x x '=-+令，则，()()11cos 0h x x x x =-+>()21sin h x x x '=--（i ）当时，，则单调递减，即单调递减，(]0,πx ∈()0h x '<()h x ()g x '注意到，，()cos101g '=>()120ππg '=-<所以存在唯一的使，()01,πx ∈()00g x '=且当时，，单调递增，00x x <<()0g x '>()g x 当时，，单调递减，0πx x <≤()0g x '<()g x 注意到，，，则22211121sin 0e e e g ⎛⎫=--++< ⎪⎝⎭()1sin10g =>2ln πln e 2π1<=<-，()πln ππ10g =-+<所以在和上各有一个零点；()g x 21,1e⎛⎫⎪⎝⎭()1,π（ii ）当时，，故，(]π,2πx ∈sin 0x ≤()ln 1g x x x ≤-+令，则，()()ln 1π2πx x x x ϕ=-+<≤()110x x ϕ'=-<所以在上单调递减，故，()x ϕ(]π,2π()()πln ππ10x ϕϕ<=-+<所以，故在上无零点；()()0g x x ϕ≤<()g x (]π,2π（iii ）当时，，则，()2π,x ∈+∞sin 1x ≤()ln 2g x x x ≤-+令，则，所以在上单调递()()ln 22πm x x x x =-+>()110m x x =-<'()m x ()2π,+∞减，又，故，3ln 2πln e 32π2<=<-()()2πln 2π2π20m x m <=-+<所以，故在上无零点；()()0g x m x ≤<()g x ()2π,+∞综上：在和上各有一个零点，共有两个零点.()g x 21,1e⎛⎫⎪⎝⎭()1,π【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（s 为参数），直线的参数xOyC 2222,1s x s y ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩l 方程为（为参数）.1cos 2sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩t （1）求和的直角坐标方程；C l （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的面积.C l AB ()1,2-OAB 【答案】（1）;22148x y +=()2x ≠-当时，直线的直角坐标方程为，cos 0α≠l tan 2tan y x αα=++当时，直线的参数方程为.cos 0α=l =1x -（2【解析】【分析】(1)将中的参数s 消去得曲线的直角坐标方程;2222,1s x s y ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩C 根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与l cos 0α≠两种情况.cos 0α=(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关l C sin ,cos αα系，得的方程，设与轴的交点为，以为底为高求的面积.l l x M OMA By y -OAB 【小问1详解】由得，而，2222,1s x s y ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩()()()()2222222221214811s s x ys s -+=+=++24221x s =->-+即曲线的直角坐标方程为，C ()221248x y x +=≠-由为参数），1cos (2sin x t t y t αα=-+⎧⎨=+⎩当时，消去参数，可得直线的直角坐标方程为，cos 0α≠t l tan 2tan y x αα=++当时，可得直线的参数方程为.cos 0α=l =1x -【小问2详解】将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，l C 整理可得：．①22(1cos )4(sin cos )20t t ααα++--=曲线截直线所得线段的中点在椭圆内，则方程①有两解，设为，，C l (1,2)-1t 2t 则，故，解得．的倾斜角1224cos 4sin 01cos t t ααα-+==+cos sin 0αα-=tan 1α=l ∴为．45所以直线方程，直线与轴的交点为，，3y x =+x ()3,0M -12221cos t t α-=+，21AB t t ==-==，13sin 4522AOB S OM AB =⋅== 故.OAB [选修4-5：不等式选讲]23. 已知()()4f x x m x x x m =-+--（1）当时，求不等式的解集；2m =()0f x ≥（2）若时，，求的取值范围.(),2x ∈-∞()0f x <m 【答案】（1）[)2,+∞（2）[)2,+∞【解析】【分析】（1）根据，将原不等式化为，分别讨论2m =()|2||4|20x x x x -+--≥，，三种情况，即可求出结果；2x <24x ≤<4x ≥（2）分别讨论和两种情况，即可得出结果.2m ≥2m <【小问1详解】解：当时，，2m =()()242f x x x x x =-+--原不等式可化为；()|2||4|20x x x x -+--≥当时，原不等式可化为，即，解得，2x <(2)(4)(2)0x x x x -+--≥22(2)0x -≤2x =此时解集为；∅当时，原不等式可化为，解得，此时解集为24x ≤<(2)(4)(2)0x x x x -+--≥2x ≥；[)2,4当时，原不等式可化为，即，显然成立；此4x ≥(2)(4)(2)0x x x x -+--≥22(2)0x -≥时解集为；[)4,+∞综上，原不等式的解集为；[)2,+∞【小问2详解】解：当时，因为，所以由可得，2m ≥(,2)x ∞∈-()0f x <()(4)()0m x x x x m -+--<即，显然恒成立，所以满足题意；2()(2)0x m x -->2m ≥当时，，2m <4(),2()2()(2),x m m x f x x m x x m -≤<⎧=⎨--<⎩因为时，显然不能成立，所以不满足题意；2m x ≤<()0f x <2m <综上，的取值范围是.m [)2,+∞。
高三数学理科期末统测试卷及答案
第一学期徐汇区高三年级数学学科 学习能力诊断卷 （理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） .1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、方程4220x x +-=的解是 。
2、设集合{}|0,|12x A x B x x x ⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋃= 。
3、已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 。
4、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。
5、已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为 。
6、已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是 。
7、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析式()f x = 。
8、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为a , 第二次得到的数值为b , 将它们作为关于x y 、的二元一次方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，的系数, 则方程组有唯一解的概率为 。
（用数字作答）9、已知函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(3,1)，则函数1()y f x -=的图象必经过点 。
10、若函数)1lg()(2--=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。
11、若2010220100122010(13)()x a a x a x a x x R -=++++∈，则20101222010333a a a +++= 。
12、已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2,x y -这四个数据的平均数为1，则1y x-的最小值为 。
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A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分28分
11. 若命题P：
则命题P的否定▲.
12. 右边程序框图输出的结果为▲.
13.已知双曲线 的离心率e=2，则其渐近线
的方程为▲.
14.右图是某学校举行十佳歌手比赛，七位评委为某选手打出
∵ C的一个法向量.………………7分
设二面角B—DE—C的平面角为 ，由图可知
∴
故二面角B—DE—C的余弦值为 ………………10分
（3）∵
∴
假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设 ，
则 ，
由 ………………13分
∴ ………………14分
（1）求 =20时的概率;
（2）求 的数学期望.
20. （本题满分15分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.
（1）证明PA//平面BDE；
（2）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？
证明你的结论.
18．（本题满分14分）
19.（本题满分14分）某商场在七月初七举行抽奖促销活动，要求一男一女参加抽奖，抽奖规则是:从装有3个白球和2个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回. 若1人摸出一个红球得奖金10元，1人摸出2个红球得奖金50元. 规定:一对男女中男的摸一次，女的摸二次.令 表示两人所得奖金总额.
的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，
所剩数据的平均数是▲，方差是▲.
15. ▲.
16. 设 是定义在R上的奇函数，在 上有 且 ，则不等式 的解集为▲.
17.设点 是 内一点（不包括边界），且 ，则 的取值范围是▲.
三、解答题：本大题共5小题，满分72分. 解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.
21.（本题满分15分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 .直线 交椭圆于 两不同的点.
22. （本题满分14分）已知 = ,数列 满足:
（1）求 在 上的最大值和最小值;
（2）证明： ;
（3）判断 与 的大小，并说明理由.
台州市第一学期高三年级期末质量评估试题
数学(理)参考答案与评分标准
第一学期高三年级期末质量评估试题
数 学（理）
注意事项：
●本卷所有题目都做在答题卷上.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U={1，2，3}，且 ，则集合A的子集最多有
A．4个B．5个C．6个D．7个
2．若z是复数，且 ，则 的一个值为
一、ABCBC AABBC
二、11. 12. 13 13. 14.85,2
15. 16. 17. ( ，3)
三、18.解：（1） ………………3分
最小正周期 ………………5分
递减区间为 ………………7分
（2）
………………10分
………………12分
得m的取值范围是 ………………14分
19. 对应的事件为：男的摸到红球且女的一次摸到红球，
即在棱PB上存在点F， PB，使得PB⊥平面DEF………………15分
用几何法证明酌情给分
21．
………………5分
22.解:(1)
当 时，
在 上是增函数………………6分
（2）（数学归纳法证明）
①当 时，由已知成立；
②假设当 时命题成立，即 成立，
那么当 时，由①得
，这就是说 时命题成立.
由①、②知，命题对于 都成立…………9分
………………5分
0
10
20
50
60
P
=16.8
20. 解（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），…………2分
B（2，2，0）
设 是平面BDE的一个法向量，
则由 ………………4分
A．180B．-180C．45D．-45
8．已知抛物线 的焦点是坐标原点，则以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为
A．1B．2C．3D．4
9. 将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有
A. 18种B. 24种C. 54种D. 60种
A．1-2 B．1+2 C．2- D．2+
3．
A． B．
C． D．
4．等差数列 为数列 的前 项和，则使 的 的最小值为
A．11B．10C．6D．5
5．已知几何体的三视图（如右图），则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
6．在 中，若 =1,C= , = 则A的值为
A． B． C． D．
7. 已知 =
（3）由
记 得 ……10分
当 时， 故
所以 <0得g(x)在 是减函数，
∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0∴ >0,即 >0
得 >