平面几何辅助线添加技巧

平面几何辅助线添加技巧

第一讲注意添加平行线证题

在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况.

1 为了改变角的位置

大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.

例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ , A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试 证明你的结论.

答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形.

证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA . 在△DBP ＝∠AQC 中,显然∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知△DBP ≌△AQC .

有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC .

于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP .

则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC .

这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形, ∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE .

由ABCD ,易知△PBA ≌△ECD .有

P A ＝ED ,PB ＝EC . 显然,四边形PBCE 、P ADE 均为平行四边形.有

∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE .

由∠BAF ＝∠BCE ,可知 ∠BAF ＝∠BPE .

有P 、B 、A 、E 四点共圆.

于是,∠EBA ＝∠APE . 所以,∠EBA ＝∠ADE .

这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙.

2 为了改变线段的位置 利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.

例3 在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为

∥＝A D

B P Q 图1

P E

D G A

B F

C 图2

垂足.求证：

PM ＋PN ＝PQ .

证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG .

由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ ＝PN .

显然,

PD EP ＝FD EF ＝GD

CG ,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是, PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ .

这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法非常简捷.

3 为了线段比的转化

由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.

例4 设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点,且BM 1＝CM 2.任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、AM 2于P 、Q 、N 1、N 2.试证：

AP AB ＋AQ

AC

＝11AN AM ＋22AN AM .

证明：如图4,若PQ ∥BC ,易证结论成立.

若PQ 与BC 不平行,设PQ 交直线BC 于D .过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于 E .

由BM 1＝CM 2,可知BE ＋CE ＝M 1E ＋ M 2E ,易知

AP AB ＝DE BE ,AQ AC ＝DE

CE

, 11AN AM ＝DE E M 1,22AN AM ＝DE

E

M 2. 则

AP AB ＋AQ AC ＝DE CE BE +＝DE E

M E M 21+＝11AN AM ＋22AN AM .

所以,

AP AB ＋AQ

AC

＝11AN AM ＋22AN AM .

这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE ,于是问题迎刃而解.

例5 AD 是△ABC 的高线,K 为AD 上一点,BK 交AC 于E ,CK 交AB 于F .求证：∠FDA ＝∠EDA . 证明：如图5,过点A 作BC 的平行线,分

别交直线DE 、DF 、BE 、CF 于Q 、P 、

N 、M . A N E B

Q K G C

D M F P 图3

A P

E

D

C M 2M 1B

Q N 1

N 2

图4M P A Q N

F B

D

C

E

K

显然,

AN BD ＝KA KD ＝AM

DC

. 有BD ·AM ＝DC ·AN . (1)

由

BD AP ＝FB AF ＝BC AM , 有AP ＝BC

AM BD ·. (2) 由DC AQ ＝EC AE ＝BC

AN

, 有AQ ＝BC AN DC ·.(3)

对比(1)、(2)、(3)有

AP ＝AQ . 显然AD 为PQ 的中垂线,故AD 平分∠PDQ . 所以,∠FDA ＝∠EDA .

这里,原题并未涉及线段比,添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.

4 为了线段相等的传递

当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.

例6 在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点M 在AB 边上,点N 在AC 边上,并且∠MDN ＝90°.如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2,求证：AD 2＝

4

1

(AB 2＋AC 2). 证明：如图6,过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E .连ME .

由BD ＝DC ,可知ED ＝DN .有

△BED ≌△CND . 于是,BE ＝NC . 显然,MD 为EN 的中垂线.有 EM ＝MN . 由BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2,可知△BEM 为直角三角形,∠MBE ＝90°.有 ∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°.

于是,∠BAC ＝90°. 所以,AD 2＝2

21⎪⎭

⎫

⎝⎛BC ＝41(AB 2＋AC 2).

这里,添加AC 的平行线,将BC 的以D 为中点的性质传递给EN ,使解题找到出路.

例7 如图7,AB 为半圆直径,D 为AB 上一点,

分别在半圆上取点E 、F ,使EA ＝DA ,FB ＝DB .过D 作AB 的垂线,交半圆于C .求证：CD 平 分EF .

证明：如图7,分别过点E 、F 作AB 的垂线,G 、H 为垂足,连F A 、EB .易知 DB 2＝FB 2＝AB ·HB ,

AD 2＝AE 2＝AG ·AB . 二式相减,得 DB 2－AD 2＝AB ·(HB －AG ),

或 (DB －AD )·AB ＝AB ·(HB －AG ). 于是,DB －AD ＝HB －AG ,

或 DB －HB ＝AD －AG .

就是DH ＝GD . 显然,EG ∥CD ∥FH . 故CD 平分EF .

这里,为证明CD 平分EF ,想到可先证CD 平分GH .为此添加CD 的两条平行线EG 、FH ,从而得到G 、H 两点.证明很精彩.

经过一点的若干直线称为一组直线束.

一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等. 如图8,三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束,DE 是与BC 平行的直线.于是,有

图6A N

C D

E

B M

A G D O H

B F

C E

图7