优化设计孙靖民课后答案习题解答
2025优化设计一轮素能培优(十二) 破解基于问题情境的数列问题
高考总复习优化设计
GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
素能培优(十二) 破解基于问题情境的数列问题
基于问题情境的数列问题是高考的热点内容,通过具体的问题背景,考察数
列的应用,以此来检验学生的核心价值、学科素养、关键能力、必备知识.
解决情境下的数列问题,常用的解题思路是:审题、建立数列模型、研究模
275.
[对点训练3](2024·江西五市九校第二次联考)如图为“杨辉三角”示意图,已
知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为Sn,
设 bn= 52 ( + 1)-1 ,将数列{bn}中的整数项依次取出组成新的数列记
为{cn},则c2 023的值为( B )
A.5 052
A. 8 8
6 -5
,则第一个工程队承建的基站数(单位:万个)为( B )
10×67
B. 8 8
6 -5
8×67
C. 8 8
6 -5
10×66
D. 8 8
6 -5
解析 设第一个工程队承建的基站数为m万个,依题意,每个工程队承建的基
站数由大到小依次排成一列构成等比数列{an},n∈N*,n≤8,
数列{an}的公比
168 里,故 C 错误;
1
1
a5+a6=192×(16 + 32)=18,此人第五天和第六天共走了
BD.
18 里路,故 D 正确.故选
探究二
实际生活中的数列问题
实际生产生活中的许多问题都与数列问题紧密相关,解决这些问题的关键
是弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,建立相应的数列模型,抽象出
பைடு நூலகம்
优化设计选择性必修第一册《课后训练》3.1波的形成
2.一列横波正沿水平方向由西向东传播,则下列说法正确的是( ) A.波中的各个质点都在由西向东运动 B.波中的各个质点一定沿水平方向振动 C.波中的各个质点一定沿竖直方向振动 D.以上说法都错误 答案:D 解析:机械波传播的是振动的形式和能量,而介质中各个质点仅在平衡位置附近振 动,质点不会随波迁移,横波沿水平方向由西向东传播,质点振动方向与其传播方 向垂直,不一定沿水平方向,也不一定沿竖直方向。故选项 A、B、C 错误,D 正确。
4
D.波源是 M,由波源起振开始计此时 Q 质点向下振动,且 Q 质点右方邻近质点在 Q 质点下方,则波向左 传播,N 是波源。经过一个周期,振动从 N 点传播到 M 点,因从波源 N 起振开始计
时,需经3T,P 质点才开始振动,故 P 质点已振动了 ,选项 C 正确。
4
4
4.下图为一列沿 x 轴负方向传播的机械波在某一时刻的波形,下列说法正确的是 ()
A.该时刻 a 点和 d 点处的质点位移相同,加速度相反 B.该时刻 b 点和 c 点处的质点位移相同,速度方向也相同 C.质点 b 比质点 c 先回到平衡位置 D.质点 a 比质点 d 先回到平衡位置 答案:D 解析:该时刻 a 点和 d 点处的质点位移相同,加速度方向均指向 y 轴正向,选项 A 错 误;该时刻 b 点和 c 点的质点位移相同,b 点速度方向向上,c 点速度方向向下,故质 点 c 比质点 b 先回到平衡位置,选项 B、C 错误;质点 a 振动方向向上,质点 d 振动 方向向下,故质点 a 比质点 d 先回到平衡位置,选项 D 正确。
5.沿绳传播的一列横波,当波源突然停止振动时(设绳无限长,且波传播过程无能量 损失)( ) A.绳上各质点同时停止振动,波同时消失 B.离波源较近的质点先停止振动,直到所有质点全部停止振动 C.离波源较远的质点先停止振动,直到所有质点全部停止振动 D.以上说法都不对 答案:D 解析:波源振动后,通过介质将波源的振动形式传递出去的同时,也将能量传递出 去了;波源停止振动后,传出去的能量不会消失;当没有其他阻力时,这种波的形式 和能量继续存在并且将继续传递下去。如图所示,波源停止振动后,离波源最近的 质点 0、1、2、3……依次停止振动,之后质点 a、b、c……将依次开始振动起来, 所以 A、B、C 都错误。
九年级物理优化设计答案全册省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
9.(1)a (2)打气筒旳上部筒壁只是略有发烧，而气筒旳下部筒壁，
尤其是底部附近筒壁旳温度较高，甚至烫手。
《优化设计》 13.3 比热容 快乐预习：
一.1.控制变量法 2.不相同 二.1.吸热 2.它旳质量和升高旳温度乘积 c 3.J/(kg˙℃) 焦每公斤摄氏度 4.（1）4.2×103J/(kg˙℃)（2）1kg 1℃ 4.2×1035.Q=cmΔt轻 松尝试： 1.A 2.D 3.比热容 4.C 5.2.94×105 智能演练：
本章整合 1～5：BBCDC 6.不大于 6.3×104
《优化设计》 14.1 热机
快乐预习：
一.1.内能 内能 机械能 2.内能 3.内燃机
二.1.进气门 排气门 火花塞 活塞 曲轴
2.吸气 压缩 做功 排气 3.机械能 内能 内能 机械能
三.1. 喷油嘴 2.空气
轻松尝试：1.蒸汽机 内燃机 汽油 柴油 汽缸 化学 内 内 机械能
二、1.电流表 2.(1)串 (2)“＋” “－” (3)量程 (4)直接
连到
3.(1)量程 (2)分度值 (3)表针总共偏过了多少个小格
轻松尝试：1.D 2.电流强弱 I 安培 安 A
3.B 4. B 5.B 6. 0.02A 0.3A 0.1A 1.5A
智能演练：1～4：DBBD 5.0.12 1.2×10-4
《优化设计》 16.2 串、并联电路中电压旳规律
快乐预习：一.1.之和 2.之和 二.相等
轻松尝试：1.C 2.L2 4 3.B 4.C 5.2.5 2.5 6.4 6 6 智能演练：1～7：DACDB CA 8.1.8V 4V 2.2V 9.断路 3
2019初中物理八上优化设计课后习题Word版第三章 第2节 熔化和凝固
第2节熔化和凝固知能演练提升能力提升1.下列现象中,不属于熔化的是()A.冰变成水B.把糖块放在热水里,一会儿消失了C.初春,皑皑的白雪开始消融D.开灯的瞬间,灯丝烧断了2.下列物质属于晶体的是()A.沥青B.冰C.玻璃D.石蜡3.关于物质的熔化和凝固,下列说法正确的是()A.各种固体都有一定的熔点B.晶体在熔化时要吸收热量,但温度不变C.各种晶体的熔点都相同,且都大于凝固点D.非晶体在凝固时要吸收热量,温度不断上升4.右图是某种物质温度随时间变化的图像。
该图像描述的过程可能是()A.蜡的熔化B.海波的熔化C.水的凝固D.玻璃的凝固5.如图所示,由冰的熔化曲线可知()A.冰是非晶体B.冰的熔点为0 ℃C.冰的熔化过程经历了5 minD.冰在熔化过程中,吸收热量,温度持续升高6.(2018·江苏无锡中考)右图是探究蜡烛的熔化特点的实验,下列说法错误的是()A.蜡烛应碾碎后放入试管中B.温度计的玻璃泡应插入蜡烛内部C.“水浴法”加热可以使蜡烛受热均匀D.蜡烛熔化过程中,温度逐渐上升,说明蜡烛是晶体探究创新7.某综合实践活动小组在制作一个医用冷藏盒时,不知道给药品降温用水结成的冰好,还是盐水结成的冰好,于是他们动手测量了盐水的凝固点。
(1)在选择器材时,小明提出不要使用量程为-2~102 ℃的温度计,要使用量程为-20~102 ℃的温度计,这样考虑主要是基于什么假设?(2)小明和小红分别通过实验得到了盐水的凝固图像如图所示,则小明所测盐水的凝固点是℃。
(3)他们同时发现所测的盐水凝固点并不相同,于是对比了双方实验过程,发现烧杯中都装有水200 mL,小明加了1汤匙的盐,而小红加了3汤匙的盐,由此作出猜想:盐水的凝固点与盐水的质量分数有关。
接着多次实验得出不同质量分数盐水的凝固点,数据记录如下表:盐水质量分数/%03691215182124273036凝固点/℃0-2-4-6-8-11-15-18-17-1.8-0.4分析表格中数据可知,当盐水质量分数增大时,其凝固点。
优化设计七年级下册数学全部答案
学前温故1、两方无2、180°新课早知1、邻补角2、对顶角3、∠BOD ∠AOC和∠BOD 4、相等5、C 轻松尝试应用 1～3 CAC 4、15°5、∠AOF 和∠BOE 6、解：因为∠AOD与∠BOC是对顶角所以∠AOD=∠BOC 又因为∠AOD+∠BOC=220°所以∠AOD=110°而∠AOC与∠AOD是邻补角则∠AOC+∠AOD=180°所以∠AOC=70°智能演练能力提升 1～3 CCC 4、10°5、对顶角邻补角互为余角 6、135°40°7、90°8、不是9、解：因为OE平分∠AOD, ∠AOE=35°, 所以∠AOD=2∠AOE=70°由∠AOD与∠AOC是邻补角，得∠AOC=180°-∠AOD=110°因此∠COE =∠AOE+∠AOC=35°+110°=145° 10、2 6 12 n(n-1) 40461325.1.2垂线学前温故90°新课早知1、垂直垂线垂足2、D BE CD C 3、一条垂线段4、B 5、垂线段的长度6、D 轻松尝试应用1～3 DBD 4、∠1与∠2互余 5、30°6、解：由对顶角相等，可知∠EOF=∠BOC=35°,又因为OG⊥AD, ∠FOG=30°,所以∠DOE=90°-∠FOG-∠EOF=90°-30°-35°=25°智能演练能力提升1～3 AAB 4、①④ 5、解:如图.6、解：因为CD⊥EF, 所以∠COE=∠DOF=90 °因为∠AOE=70°,所以∠AOC=90°-70°=20°, ∠BOD=∠AOC=20°,所以∠BOF=90°-∠BOD=90°-20°=70°因为OG平分∠BOF,所以∠BOG=0.5×70°=35°,所以∠BOG=35°+20°=55°7、解（1）因为OD平分∠BOE,OF平分∠AOE, 所以∠DOE=1/2∠BOE, ∠EOF=1/2∠AOE,因为∠BOE+∠AOE=180°,所以∠DOE+∠EOF=1/2∠BOE+1/2∠AOE=90°,即∠FOD=90°,所以OF⊥OD(2)设∠AOC=x,由∠AOC: ∠AOD=1:5,得∠AOD=5x.因为∠AOC=∠AOD=180°,所以x+5x=180°,所以x=30°.所以∠DOE=∠BOD=∠AOC=30°.因为∠FOD=90°,所以∠EOF=90°-30°=60°8、D 9解:(1)如图所示:(2)如图所示:(3)==(4)角平分线上的点到角两边的距离相等.5.1.3同位角、内错角、同旁内角快乐预习感知学前温故1、相等互补2、直角新课早知1、同位角内错角同旁内角2、B 3、A 互动课堂例解：同位角有∠1和∠2，∠3和∠5; 内错角有∠1和∠3，∠2和∠5；同旁内角有∠1和∠4，∠4和∠5轻松尝试应用1、B 2、B 3、同位同旁内内错 4、内错 AB BC AC 同旁内 AC BC AB5、解：（1）中，∠1与∠2是直线c、d被直线l所截得的同位角，∠3与∠4是直线a,b被直线l所截得的同旁内角；（2）中，∠1与∠2是AB,CD被直线BC所截得的同位角，∠3与∠4是直线AB,CD被直线AC 所截得的内错角；（3）中，∠1与∠2是直线AB,CD被直线AG所截得的同位角，∠3与∠4是直线AG,CE 被直线CD所截得的内错角；（4）中，∠1与∠2是直线AD,BC被直线AC所截得的内错角，∠3与∠4是直线AB,CD被直线AC所截得的内错角能力升级 1～5 ADCCB 6、∠B ∠A ∠ACB和∠B 7、BD 同位 AC 内错 AC AB BC 同旁内 AB AC BD 同位 AB EF BD 同旁内 8、解：∠1与∠5；∠1与7；∠4与∠39、解：因为∠1与∠2互补，∠1=110°，所以∠2=180°-110°=70°，因为∠2与∠3互为对顶角，所以∠3=∠2=70°因为∠1+∠4=180°所以∠4=180°-∠1=180°-110°=70°10、解：（1）略（2）因为∠1=2∠2，∠2=2∠3，所以∠1=4∠3.又因为∠1+∠3=180°所以4∠3=∠3=180°所以∠3=36°所以∠1=36°×4=144°，∠2=36°×2=72°5.2.1平行线学前温故有且只有一个新课早知1、平行2、C 3、一条4、互相平行 5、A 轻松尝试 1～3 DBB 4、AB∥CD ,AD∥BC 5、③⑤ 6、略能力升级 1～4 BCAB 5、3 A′B′, C′D,CD 6、在一条直线上过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 7、解:(1)CD∥MN,GH∥PN.(2)略.8 解:(1)如图①示.(2)如图②所示.9解：（1）平行因为PQ∥AD,AD∥BC, 所以PQ∥BC .(2)DQ=CQ 10、解：（1）图略（2）AH=HG=GM=MC (3)HD:EG:FM:BC=1:2:3:45.2.2平行线的判定学前温故同一同侧之间两侧之间同侧新课早知1、不相交平行同位角平行内错角平行同旁内角互补平行 2、C 3、A 轻松尝试1～4、ABDC 5、EF 内错角相等，两直线平行 BC 同旁内角互补，两直线平行 AD BC 平行于同一条直线的两直线平行能力提升 1～5 DCDDD 6、∠FEB=100°7、内错角相等，两直线平行 8、AB EC 同位角相等地，两直线平行 AB EC 内错角相等，两直线平行 AC ED 内错角相等，两直线平行 AB EC 同旁内角互补，两直线平行 9、解：因为DE平分∠BDF,AF平分∠BAC, 所以2∠1=∠BDF,2∠2=∠BAC 又因为∠1=∠2，所以∠BDF=∠BAC.所以DF∥AC(同位角相等，两直线平行) 10、解：（1）因为AB⊥EF,CD⊥EF,所以AB∥CD. 理由:两条直线都垂直于同一条直线，这两条直线平行。
(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
2.黄金分割法（0.618法）
原理：提高搜索效率：1）每次只插一个值，利用一个前次的插值；2）每次的缩短率λ相同。左右对称。
程序：p52
（四）插值方法
1.抛物线法
原理：任意插3点：
算得： ； ；
要求：
设函数 用经过3点的抛物线 代替，有
解线代数方程
解得：
程序框图p57
网格法 ，缩小区间，继续搜索。
Monte Carlo方法 ， ，随机数。
比较各次得到的 得解
遗传算法(专题)
（二）区间消去法（凸函数）
1.搜索区间的确定：高—低--高（ ）则区间内有极值。
2.区间消去法原理：在区间[a, b]内插两个点a1, b1保留有极值点区间，消去多余区间。
缩短率：
（三）0.618法
可行方向—约束允许的、函数减小的方向。（图）约束边界的切线与函数等高线的切线方向形成的区域。
数学模型
用内点法或混合法，取 ，
直接方法
（一）随机方向法
1.在可行域产生一个初始点 ，因 （约束），则
--（0，1）的随机数。
2.找k个随机方向，每个方向有n个方向余弦，要产生kn个随机数 ， ， ，随机方向的单位向量为
3.取一试验步长 ，计算每个方向的最优点
4.找出可行域中的最好点 得搜索方向 。以 为起点， 为搜索方向得 。最优点必须在可行域内或边界上，为此要逐步增加步长。
得
穷举下去得递推公式
3.算例
p73
4.框图p72
5.特点
作业：1. 2.
（六）变尺度法
1.引言
坐标变换
二次函数
令 为尺度变换矩阵
优化设计 孙靖民 课后答案第6章习题解答-3
９．图6-39所示为一对称的两杆支架，在支架的顶点承受一个载荷为2F=300000N ， 支架之间的水平距离2B=1520mm ，若已选定壁厚T=2.5mm 钢管，密度/1083-6mm Kg ⨯=.7ρ，屈服极限700=s σMpa ，要求在满足强度与稳定性条件下设计最轻的支架尺寸。
[解] 1．建立数学模型 设计变量：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=H D x x x 21目标函数：221422577600101.2252)(x x HB D T x f +⨯=+=πρ 约束条件： １）圆管杆件中的压应力σ应小于或等于y ο，即y TDHHB F σπσ≤+=22于是得2122157760019098.59)(x x x x g +=２）圆管杆件中的压应力α应小于或等于压杆稳定的临界应力c σ，由欧拉公式得钢管的压杆温度应力c σ222152222225776006.25102.6)8()(x x H B T D E AL EIC ++⨯=++==ππσ2式中 A ――圆管的截面积；L ――圆管的长度。
于是得0)6006.25)/(577(102.657760019098.59)(2221521222≤++⨯-+=-=x x x x x x g c σσ３） 设计变量的值不得小于或等于0于是得)(0)(2213≤-=≤-=x x g x x g2．从以上分析可知，该优化设计问题具有2个设计变量，4个约束条件，按优化方法程序的规定编写数学模型的程序如下：subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=1.225e-4*x(1)*sqrt(577600.0+x(2)*x(2)) endsubroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg)gx(1)=19098.59*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))/(x(1)*x(2))-700.0 gx(2)=19098.59*sqrt(577600.0+x(2)*x(2))/(x(1)*x(2))- 1 2.6e5*(x(1)*x(1)+6.25)/(577600.0+x(2)*x(2)) gx(3)=-x(1) gx(4)=-x(2) end3．利用惩罚函数法（SUMT 法）计算，得到的最优解为：============== PRIMARY DATA ============== N= 2 KG= 4 KH= 0 X : .7200000E+02 .7000000E+03 FX: .9113241E+01GX: -.3084610E+03 -.8724784E+03 -.7200000E+02 -.7000000E+03 PEN = .9132947E+01R = .1000000E+01 C = .4000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05=============== OPTIMUM SOLUTION ============== IRC= 18 ITE= 39 ILI= 39 NPE= 229 NFX= 0 NGR= 57 R= .1717988E-06 PEN= .6157225E+01 X : .4868305E+02 .6988214E+03 FX: .6157187E+01GX: -.1204029E+03 -.1266042E-01 -.4868305E+02 -.6988207E+0310．图6-40所示为一箱形盖板，已知长度L=6000mm ，宽度b=600mm ，厚度mm t s 5承受最大单位载荷q=0.01Mpa ，设箱形盖板的材料为铝合金，其弹性模量MPa E 4107⨯=，泊松比3.0=μ，许用弯曲应力[]MPa 70=σ，许用剪应力[]MPa 45=τ，要求在满足强度、刚度和稳定性条件下，设计重量最轻的结构方案。
优化设计复习资料有答案
现代设计方法参考书目:1、陈继平. 现代设计方法，华中科技大学出版社。
2、高健. 机械设计优化基础，科学出版社，2007，93、刘惟信. 机械最优化设计，第二版，清华大学出版社。
第一章习题例2 某工厂生产甲乙两种产品。
生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润，以及能够提供的材料、工时和电力见表。
试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。
设每天生产甲产品x1件，乙x2件，利润为f(x1,x2)f(x1,x2)=60x1+120x2每天实际消耗的材料、工时和电力分别用函数g1(x1,x2)、g2(x1,x2)、g3(x1,x2)表示：g1(x1,x2)=9x1+4x2g2(x1,x2)=3x1+10x2g3(x1,x2)=4x1+5x2于是上述问题可归结为：求变量 x1,x2使函数 f(x1,x2)= 60x1+120x2极大化满足条件 g1(x1,x2)=9x1+4x2≤360g2(x1,x2)=3x1+10x2≤300g3(x1,x2)=4x1+5x2≤200g4(x1,x2)=x1≥0g5(x1,x2)=x2≥0例3 一种承受纯扭矩的空心传动轴，已知传递的扭矩为T，试确定此传动轴的内外径，以使其用料最省。
例： 求下列非线性规划优化问题优化设计的迭代算法1、下降迭代算法的基本格式 迭代公式基本原理：从某一初始设计开始，沿某个搜索方向以适当步长得到新的可行的设计，如此反复迭代，直到满足设计要求，迭代终止。
k k k SX X k1S(k)——第k步的搜索方向，是一个向量； αk ——第k 步的步长因子，是一个数，它决定在方向S(k)上所取的步长大小。
简单的说：是一个搜索、迭代、逼近的过程。
最关键的是搜索的方向和步长。
迭代算法的基本步骤：1，选定初始点X(0)，令k=0;2、在X(k)处选定下降方向S(k);,3、从X(k)出发沿S(k)一维搜索，找到X(k+1)=X(k)+αkS(k), 使得f(X(k+1))<f(X(k)); 令k=k+1，转（2）。
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第六章习题解答1． 已知约束优化问题：2)(0)()1()2()(min 21222112221≤-+=≤-=⋅-+-=x x x g x x x g ts x x x f试从第k 次的迭代点[]T k x21)(-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点)1(+k x 。
并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。
[解] 1）确定本次迭代的随机方向：[]T TRS 0.4120.9110.2540.5620.2540.2540.5620.5622222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=2) 用公式：R k k S x xα+=+)()1( 计算新的迭代点。
步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。
到第二个约束边界上的步长可取为2，则：176.1)412.0(22822.0911.0212212111=-⨯+=+==⨯+-=+=++R kk R k k S x x S x xαα⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+176.1822.01k X即： 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。
2． 已知约束优化问题：)(0)(025)(124)(m in 231222211221≤-=≤-=≤-+=⋅--=x x g x x g x x x g ts x x x f试以[][][]T T T x x x 33,14,12030201===为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。
[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：[][][]935120101-=⇒==⇒=-=⇒=030302023314f x f x f x 经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。
为最好点，0203x x 2）计算去掉最坏点 02x 后的复合形的中心点：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑≠=3325.221132103312i i i c x Lx3）计算反射点1R x （取反射系数3.1=α）20.693.30.551422.51.322.5)(1102001-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+=R R c c R f x x x x x 值为可行点，其目标函数经判断α 4）去掉最坏点1R0301x x x x 和，，由02构成新的复合形，在新的复合形中 为最坏点为最好点，011Rx x ，进行新的一轮迭代。
5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3.151.7753.30.5533211c x 6）计算新一轮迭代的反射点得：，完成第二次迭代。
值为可行点，其目标函数经判断413.14 5.9451.4825123.151.7751.33.151.775)(1201112-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+=R R c c R f x x x x x α3． 设已知在二维空间中的点[]T x x x 21=，并已知该点的适时约束的梯度[]T g 11--=∇，目标函数的梯度[]T f 15.0-=∇，试用简化方法确定一个适用的可行方向。
[解] 按公式6-32 计算适用的可行方向：)(k k kx f P x f P d ∇∇-=/)(kx 点的目标函数梯度为：[]T k x f 15.0)(-=∇kx点处起作用约束的梯度G 为一个J n ⋅ 阶的矩阵，题中：n=2，J=1：[]T k x g G 11)(1--=∇=梯度投影矩阵P 为：[][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=--5.05.05.05.0011111111100111TTGGG G I P 则：适用可行方向为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=707.0707.010.50.50.50.50.510.50.50.50.50.5kd4． 已知约束优化问题：00)(34)(min 3322113)43(222121≤-=≤-=≤-=⋅-+-=x g x g x g ts x x x x x x f 试求在[]T kx1/21/4=点的梯度投影方向。
[解] 按公式6-32 计算适用的可行方向：)(k k kx f P x f P d ∇∇-=/)(kx 点的目标函数梯度为：[]T k x f 125.0125.0--=∇)(kx点处起作用约束的梯度G 为一个J n ⋅ 阶的矩阵，题中：n=3，J=1：[]T k x g G 001)(1-=∇=梯度投影矩阵P 为：[][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=--10001000000100100100110001000111TT G GG G I P则：适用可行方向为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=97.0243.00125.0100010.250.1251000100000.12500100kd312)(2112221≤-=⋅+-+=x g ts x x x x f m in（提示：可构造惩罚函数 []∑=-=21)(ln )(),(u u x g r x f r x φ，然后用解析法求解。
） [解] 构造内点惩罚函数：[]∑=--+-+=-=21)()(),(u u x r x x x x g r x f r x )3ln(12ln 212221φ令惩罚函数对x 的极值等于零：0)3/()(222221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=x r x x dx d φ 得：48366121r x x +±== 舍去负根后，得483662rx ++=当 []T x x r 31302=→→该问题的最优解为，时，。
00)( min1 2221 121≤-=≤-=⋅+=xgx xgtsxxxf[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型：subroutine ffx(n,x,fx)dimension x(n)fx=x(1)+x(2)endsubroutine ggx(n,kg,x,gx)dimension x(n),gx(kg)gx(1)=x(1)*x(1)-x(2)gx(2)=-x(1)endsubroutine hhx(n,kh,x,hx)domension x(n),hx(kh)hx(1)=0.0end然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：============== PRIMARY DATA ==============N= 2 KG= 2 KH= 0X : .1000000E+01 .2000000E+01FX: .3000000E+01GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01X : .1000000E+01 .2000000E+01FX: .3000000E+01GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01PEN = .5000000E+01R = .1000000E+01 C = .2000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05=============== OPTIMUM SOLUTION ==============IRC= 21 ITE= 54 ILI= 117 NPE= 3759 NFX= 0 NGR= 0 R= .1048577E-13 PEN= .4229850E-06X : .9493056E-07 .7203758E-07FX: .1669681E-06GX: -.7203757E-07 -.9493056E-077．用混合惩罚函数法求下列问题的最优解：1)(0)()(2121112≤-+=≤-=⋅-=x x x h x x g ts x x x f ln m in[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型： subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=x(2)-x(1) endsubroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg) gx(1)=-log(x(1))] gx(2)=-x(1) gx(3)=-x(2) endsubroutine hhx(n,kh,x,hx) domension x(n),hx(kh) hx(1)=x(1)+x(2)-1 end然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：============== PRIMARY DATA ============== N= 2 KG= 3 KH= 1 X : .2000000E+01 .1000000E+01 FX: -.1000000E+01GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01 X : .2000000E+01 .1000000E+01 FX: -.1000000E+01GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01 HX: .2000000E+01 PEN = .5942695E+01R = .1000000E+01 C = .4000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05=============== OPTIMUM SOLUTION ============== IRC= 29 ITE= 143 ILI= 143 NPE= 1190 NFX= 0 NGR= 172 R= .7205765E-11 PEN= -.9999720E+00 X : .1000006E+01 .3777877E-05 FX: -.1000012E+01GX: -.5960447E-05 -.1000006E+01 .6222123E-05 HX: -.2616589E-06。