《数值分析》
数值分析课件
辛普森方法
一种基于矩形法思想的数值积分方法 ，适用于计算定积分。
自适应辛普森方法
一种基于辛普森方法和梯形法的自适 应数值积分方法，能够根据函数性质 自动选择合适的积分策略。
常微分方程的数值求解
01
欧拉方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过逐步逼近的方式求解近 似解。
02
龙格-库塔方法
定积分是函数在区间上积分和的极限；不定积分是函数在 某个区间上的原函数。
02
应用领域
积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，如求曲线下面 积、求解变速直线运动位移等。
03
数值计算方法
使用数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）来近似计算 定积分和不定积分的值。这些方法将积分区间划分为若干 个小段，并使用已知的函数值和导数值来近似计算每个小 段的积分值，最后求和得到积分的近似值。
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造龙格-库塔曲线来 逼近解。
03
阿达姆斯-图灵 方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造阿达姆斯-图灵曲 线来逼近解。
04
自适应步长控制 方法
一种基于欧拉方法和龙格 -库塔方法的自适应步长 控制方法，能够根据误差 自动调整步长。
偏微分方程的数值求解
高斯消元法的步骤
1. 将方程组按照行进行排列，并将每个方程中的未知数 按照列排列。
2. 对于每个方程，选取一个未知数作为主元，并将其余 的未知数用主元表示。
3. 将主元所在的行与其他行进行交换，使得主元位于对 角线上。
4. 将主元所在的列中位于主元下方的元素消为0，从而得 到一个阶梯形矩阵。
线性方程组的解法
数值分析是一种工具，它可以帮助我 们更好地理解和解决实际问题，同时 也可以帮助我们更好地理解和应用数 学理论。
《数值分析》课程教案
《数值分析》课程教案数值分析课程教案一、课程介绍本课程旨在介绍数值分析的基本概念、方法和技巧，以及其在科学计算和工程应用中的实际应用。
通过本课程的研究，学生将了解和掌握数值分析的基本原理和技术，以及解决实际问题的实用方法。
二、教学目标- 了解数值分析的基本概念和发展历程- 掌握数值计算的基本方法和技巧- 理解数值算法的稳定性和收敛性- 能够利用数值分析方法解决实际问题三、教学内容1. 数值计算的基本概念和方法- 数值计算的历史和发展- 数值计算的误差与精度- 数值计算的舍入误差与截断误差- 数值计算的有效数字和有效位数2. 插值与逼近- 插值多项式和插值方法- 最小二乘逼近和曲线拟合3. 数值微积分- 数值积分的基本原理和方法- 数值求解常微分方程的方法4. 线性方程组的数值解法- 直接解法和迭代解法- 线性方程组的稳定性和收敛性5. 非线性方程的数值解法- 迭代法和牛顿法- 非线性方程的稳定性和收敛性6. 数值特征值问题- 特征值和特征向量的基本概念- 幂迭代法和QR方法7. 数值积分与数值微分- 数值积分的基本原理和方法- 数值微分的基本原理和方法四、教学方法1. 理论讲授：通过课堂授课，讲解数值分析的基本概念、原理和方法。
2. 上机实践：通过实际的数值计算和编程实践，巩固和应用所学的数值分析知识。
3. 课堂讨论：组织学生进行课堂讨论，加深对数值分析问题的理解和思考能力。
五、考核方式1. 平时表现：包括课堂参与和作业完成情况。
2. 期中考试：对学生对于数值分析概念、原理和方法的理解程度进行考查。
3. 期末项目：要求学生通过上机实验和编程实践，解决一个实际问题，并进行分析和报告。
六、参考教材1. 《数值分析》（第三版），贾岩. 高等教育出版社，2020年。
2. 《数值计算方法》，李刚. 清华大学出版社，2018年。
以上是《数值分析》课程教案的概要内容。
通过本课程的研究，学生将能够掌握数值分析的基本原理和技术，并应用于实际问题的解决中。
《数值分析》教学大纲
《数值分析》教学大纲
一、课程名称：数值分析
二、课程性质：专业选修课
三、授课学时：48学时（实验室32学时）
四、授课对象：计算机专业本科课程学生
五、课程目前：
1.数值分析的定义、内容及其在科学计算中的重要性；
2.数值积分的原理及其应用，包括高斯积分、拉格朗日积分、Lagrange插值法、梯形法等；
3.常微分方程的数值解法，包括隐式Euler方法、欧拉法、Runge-Kutta方法、Adams方法、Lorenz方法等；
4.最优化的原理和算法，包括一阶最优化方法、梯度方法、拟牛顿法、二阶最优化方法及其应用；
5.系统辨识的原理及其应用；
6.数值计算实践，使用MATLAB编程实现数值计算；
六、教学进度安排
第1讲：数值分析的定义、内容及其在科学计算中的重要性
第2讲：数值积分的原理及其应用：高斯积分、拉格朗日积分、Lagrange插值法
第3讲：隐式Euler方法
第4讲：欧拉法
第5讲：Runge-Kutta方法
第6讲：Adams方法
第7讲：Lorenz方法
第8讲：一阶最优化方法、梯度方法和拟牛顿法
第9讲：二阶最优化方法及其应用
第10讲：系统辨识原理及其应用
第11讲：MATLAB编程实现数值计算
七、教学要求
1.熟悉数值分析的定义、内容及其在科学计算中的重要性；。
南京大学《数值分析》课件-第2章
有限元方法的适用性
有限元方法适用于各种复杂的几何形状和边界 条件，具有较高的灵活性和通用性。
有限元方法的应用
有限元方法广泛应用于各种工程领域，如结构分析、流体动力学、电磁场等。
04
数值分析的应用案例
线性方程组的求解
线性方程组在科学计算、工程 技术和经济领域有广泛的应用 ，如物理、化学、生物、金融
数值分析的发展历程
1
数值分析的发展可以追溯到古代数学的发展，如 古代中国的算术和代数、古希腊的几何学等。
2
17世纪微积分的出现为数值分析的发展奠定了基 础，而计算机的出现则为数值分析的发展提供了 重要的工具和平台。
3
现代数值分析的研究领域不断扩大，涉及的领域 也越来越广泛，如数值优化、数值逼近、数值线 性代数等。
数值分析的重要性
01 数值分析是解决实际问题的重要工具，如科学计 算、工程设计、金融分析等领域都需要使用数值 分析的方法。
02 数值分析提供了许多实用的数值计算方法和算法 ，这些算法可以快速、准确地求解各种数学问题 和实际问题。
02 数值分析的发展推动了计算机科学技术的发展， 为计算机科学技术的广泛应用提供了重要的支撑 。
数值分析与其他学科的交叉研究
数学物理反问题
数值分析与数学物理反问题相结 合，将为解决实际问题提供更精 确、更可靠的数值方法。
数据科学
数值分析将与数据科学相结合， 为大数据分析和机器学习等领域 提供更有效的算法和工具。
工程应用
数值分析将与各种工程领域相结 合，如流体动力学、电磁学、生 物学等，为解决实际问题提供更 精确的数值模型和算法。
05
数值分析的未来展望
数值分析的发展趋势
高效算法
随着计算机技术的进步，数值分析将不断探索更高效、更精确的算 法，以解决大规模、高维度的数值计算问题。
《数值分析》杨大地-答案(第一章)精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版数值分析-第1章1．填空题(1)为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为有限次的四则运算；(2)在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个相近数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值远小于分子的绝对值；(3)误差有四大来源,数值分析主要处理其中的截断误差和舍入误差；(4)有效数字越多,相对误差越小；2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字。
//见P4解题思路：假定x0是√a的一个近似值，x0>0，则ax0也是√a的一个近似值,且x0和ax0两个近似值必有一个大于√a，另一个小于√a，设想它们的平均值应为√a的更好的近似值，于是x k+1=1 2(x k+ax k)，k=0，1，2，……解：取x0=3，按算法x k+1=12(x k+ax k)，k=0，1，2，……迭代3次有：x1=12(x0+10x0)=(3+103)≈3.167x2=12(x1+10x1)=(3.167+103.167)≈3.162x3=12(x2+10x2)=(3.162+103.162)≈3.1623. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差。
//见P8解：已知f(x)=√x，设x∗是准确值，令x是x∗的一个近似值,则相对误差e(f(x))=f(x)−f(x∗)，由Taylor公式f(x∗)=f(x)0！ +f′(x)1！(x∗−x)+f"(x)2！(x∗−x)2+⋯+f n(x)n！(x∗−x)n+R n(x)其中，R n(x)=f n+1(ξ)(n+1)！(x∗−x)n+1将f(x∗)展开分析有：f(x∗)=√x2√x x∗−x)+⋯+f n(ξ)n！(x∗−x)n+R n(x)∴e(f(x))=f(x)−f(x∗)=− (2√x x∗−x)+⋯+f n(ξ)n！(x∗−x)n+R n(x))∴|e(f(x))|≤ ε(f(x))≤|2√x |ε(x)+⋯+|f n(ξ)n！εn(x)|+|R n(x)|忽略二阶以上无穷小，可得f(x)的误差限公式为ε(f(x))≈2√x(x)。
数值分析课程教学大纲
《数值分析》课程教学大纲一、课程基本信息
二、课程目标及对毕业要求指标点的支撑
注：“学生学习预期成果，，是描述学生在学完本课程后应具有的能力，可以用认知、理解、应用、分析、综合、判断等描述预期成果达到的程度。
四、课程考核
五、教材及参考资料
[1]李庆扬，王能超，易大义.数值分析（第5版）[M],北京：清华大学出版
社,2003.ISBN:9787302185659
[2]傅凯新，黄云清，舒适.数值计算方法[M],长沙：湖南科学技术出版
社,2002.ISBN:7535734847∕O∙198.
[3]王沫然.Mat1ab6.0与科学计算（第3版）[M],北京：电子工业出版社,2001.ISBN:
9787121180521.
六、教学条件
需要使用多媒体教室授课，授课电脑安装了WindOWS7、OffiCe2010、
1ingo1KMat1ab2015>Mathematica11>MathType6.9以上版本的正版软件：需要安装了授课系统及Windows7OffiCe2010、1ingo11、MaHab2015、Mathematica11MathTyPe6.9以上版本的电脑进行上机实训。
附录：各类考核评分标准表
小计
15。
数值分析ppt课件
数值积分与微分
数值积分
通过数值方法近似计算定积 分，如梯形法则、辛普森法 则等。
数值微分
通过数值方法近似计算函数 的导数，如差分法、中心差 分法等。
常微分方程的数值解法
通过数值方法求解常微分方 程，如欧拉方法、龙格-库塔 方法等。
03
数值分析的稳定性与误差分析
误差的来源与分类
模型误差
由于数学模型本身的近 似性和简化，与真实系
非线性代数方法
非线性方程组的求解
通过迭代法、直接法等求解非线性方程组，如牛顿法、拟牛顿法 等。
非线性最小二乘问题
通过迭代法、直接法等求解非线性最小二乘问题，如GaussNewton方法、Levenberg-Marquardt方法等。
多项式插值与逼近
通过多项式插值与逼近方法对函数进行近似，如拉格朗日插值、 样条插值等。
机器学习与数值分析的交叉研究
机器学习算法
利用数值分析方法优化和改进机器学 习模型的训练和预测过程，提高模型 的准确性和效率。
数据驱动的模型
通过数值分析方法处理大规模数据集 ，提取有用的特征和模式，为机器学 习模型提供更好的输入和输出。
大数据与数值分析的结合
大数据处理
利用数值分析方法处理和分析大规模数 据集，挖掘其中的规律、趋势和关联信 息。
数值分析PPT课件
contents
目录
• 引言 • 数值分析的基本方法 • 数值分析的稳定性与误差分析 • 数值分析的优化方法 • 数值分析的未来发展与挑战
01
引言
数值分析的定义
数值分析
数值分析是一门研究数值计算方法及 其应用的学科，旨在解决各种数学问 题，如微积分、线性代数、微分方程 等。
数值分析第5版
数值分析第5版简介数值分析是研究利用计算机进行数值计算的一门学科。
它包括了近似计算、数值解法、误差分析等内容，广泛应用于科学计算、工程计算以及其他领域。
《数值分析第5版》是数值分析领域的经典教材，由Richard L. Burden和J. Douglas Faires共同撰写。
内容概述本教材共分为12个章节，从基础概念开始，逐步介绍各种数值计算方法和技术。
以下是每个章节的简要介绍。
第1章：导论本章介绍了数值分析的基本概念和应用领域。
阐述了数值计算的重要性，并介绍了课程所涉及的主要内容和学习方法。
第2章：误差分析本章讲解了数值计算中的误差类型和误差分析方法。
包括绝对误差和相对误差的定义与计算、舍入误差、截断误差等。
第3章：插值与多项式逼近本章介绍了数值计算中的插值和多项式逼近方法。
包括拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等。
讲解了这些方法的原理和实现过程。
第4章：数值积分与数值微分本章讲解了数值计算中的数值积分和数值微分方法。
包括梯形法则、辛普森法则、数值微分的定义和计算过程。
第5章：非线性方程的数值解本章介绍了求解非线性方程的数值解法。
包括二分法、牛顿法、割线法等。
讲解了这些方法的原理和应用。
第6章：线性代数方程组的数值解法本章讲解了求解线性代数方程组的数值解法。
包括高斯消元法、LU分解法、迭代法等。
详细讲解了这些方法的原理和计算过程。
第7章：矩阵特征值问题本章介绍了求解矩阵特征值问题的数值解法。
包括幂法、反幂法、QR方法等。
讲解了这些方法的原理和实现过程。
第8章：常微分方程的数值解本章介绍了求解常微分方程的数值解法。
包括欧拉法、龙格-库塔法、多步法等。
讲解了这些方法的原理和应用。
第9章：偏微分方程的数值解本章讲解了求解偏微分方程的数值解法。
包括有限差分法、有限元法等。
详细讲解了这些方法的原理和实现过程。
第10章：函数逼近与数据拟合本章介绍了函数逼近和数据拟合的方法。
包括最小二乘法、曲线拟合等。
数值分析第1章绪论
THANKS
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算法创新
在数值分析中，创新算法的提出是推 动学科发展的重要动力。新的算法可 以解决传统算法难以处理的问题，提 高计算效率和精度。
Part
05
Байду номын сангаас
数值分析的展望与启示
数值分析与其他学科的交叉研究
数值分析与物理学的交叉
数值分析在解决物理问题中扮演着重要角色，如流体动力学、电磁学和量子力学等领域。 通过数值模拟和计算，可以更深入地理解物理现象和预测新现象。
Part
04
数值分析的挑战与未来发展
数值稳定性的挑战
数值稳定性问题
在数值分析中，算法的数值稳定性是一个重要的问题。不稳定的算法可能会导致计算结果的误差累积，从而影响 结果的精度。
解决方法
为了提高数值稳定性，可以采用多种方法，如改进算法、增加迭代次数、使用稳定的数据类型等。
高性能计算的需求
高性能计算的重要性
或最小化线性目标函数问 题，如单纯形法等。
微分法
数值微分
利用已知函数值估计函数在某点 的导数值。
偏微分方程数值解
通过有限差分法、有限元法等求 解偏微分方程的数值解。
数值积分
利用已知函数值计算函数在某个 区间的积分值。
常微分方程数值解
通过离散化方法求解常微分方程 的数值解，如欧拉法、龙格-库塔 法等。
逼近法
最佳平方逼近
利用已知的离散数据点构造一个多项式，使得该 多项式在最小二乘意义下逼近目标函数。
傅里叶逼近
利用傅里叶级数的性质进行逼近，适用于周期函 数的逼近。
ABCD
切比雪夫逼近
利用切比雪夫多项式的性质进行逼近，具有最佳 逼近和一致逼近的特点。
《数值分析》课程简介
数值分析
(Numerica1Ana1ysis)
总学时：48学时理论：44学时实验（上机、实习等4学时
学分：3
课程主要内容：
数值分析是计算机专业的专业技术基础课，其主要介绍了数值理论、函数逼近、数值微积分、非线性方程求根、线性代数方程组、特征值问题的常用数值法。
它利用计算机使学生将已学的数学和程序设计知识等有关知识有机地结合起来，并应用它解决实际问题。
它要求学生能够评价各种算法的优劣，使用高级语言描述学过的算法并上机调试。
这对于学生从事数值软件的研制与维护是十分有益的。
通过本课程的学习，学生应充分理解数值方法的特点，熟练掌握使用各种数值方法解决数学问题的技巧，为今后结合计算机的应用而解决实际问题打下坚实的基础。
先修课程：
高等数学、线性代数、程序设计及数据结构。
适用专业：
计算机科学与技术
教材：
王能超.《数值分析简明教程》（第二版）.北京：高教出版社，2008
教学叁考书：
[1]同济大学计算数学教研室编.《数值分析》.上海：同济大学出版社，1998
[2]易大义，沈云宝，李有法编.《计算方法》.杭州：浙江大学出版社，1989。