第五章刚体的定轴转动共60页
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大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
第5章 刚体的定轴转动
（1） 式中n表示转动方向，ω表示角速度的大小。 2、角加速度矢量
角加速度矢量定义为
（2） 显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图 （a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见 下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速 度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手 指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方 向。
(4) 其中
为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出
现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有 相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向 相反，其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩 二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理 量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来讨论这个问 题。 刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面 我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的 情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m， 对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动 量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为
第5章 刚体的定轴转动 ◆ 本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守
恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量
守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆ 本章教学内容
1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆ 本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆ 本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
角加速度矢量定义为
（2） 显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图 （a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见 下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速 度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手 指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方 向。
(4) 其中
为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出
现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有 相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向 相反，其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩 二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理 量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来讨论这个问 题。 刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面 我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的 情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m， 对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动 量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为
第5章 刚体的定轴转动 ◆ 本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守
恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量
守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆ 本章教学内容
1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆ 本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆ 本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
2010大学物理学——5.刚体的转动
c a b
(2) 刚体的定轴转动
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径 圆周运动， 的 圆周运动 ， 且在相同时间内转过相 同的角度(角速度相同 角速度相同)。 同的角度 角速度相同 。
at v an
o
θ
v vv
s
S = Rθ v = Rω at = Rα 2 an = Rω
R
dθ ω = dt 2 α = dω = d θ 2 dt dt
= 6bt −12ct
2
Note:
角速度的矢量表示法： 角速度的矢量表示法：
ω
v
大小： 大小：ω 方向： 转轴 转轴, 方向：//转轴 符合右手螺旋
ω
r⊥
v
v v
v v v 线速度： 线速度：v = ω × r
验证： 验证：
v r Ｏ
v v ω×r
大小： 大小： r⊥ ω 方向： 方向： 圆周切向
§5.5 转动中的功和能 (Rotational Work and Energy) 1.力矩的功 力矩的功
v F ⊥
F⊥t
ω
对于θ →θ +dθ，有
例5-8 已知：圆盘转动惯量J，初角速度ω0 已知：圆盘转动惯量 ， 阻力矩M=-kω (k为正的常量 为正的常量) 阻力矩 为正的常量 所需的时间. 求：角速度从ω0变为ω0/2所需的时间 所需的时间 dω 转动定律： 解：转动定律： − kω = J dt t ω0 / 2 dω k → ∫ − dt = ∫ 0 ω0 J ω k ω /2 J ln 2 →− t = (ln ω) ω →t = J k [思考 思考] 思考
2
dm ∫
2
O
R
= mR
大学物理第5章刚体的定轴转动
Jz Jx Jy
Jc J mC
质心
d
yi
xi
ri
y
x
Δmi
1 2
mR
2
R
1 4
mR
2
6
第六页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
常用的转动惯量
细杆：
J过中点垂直于杆
1 12
mL2
J过一端垂直于杆
1 3
mL2
圆柱体：
J对称轴
1 2
mR 2
薄球壳：
J 直径
2 3
mR
2
球体：
J 直径
2 5
mR
2
7
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
d L Lsin dΘ M d t
旋进角速度： Ω dΘ
dt
Ω d
dL
Lsin L
Ω M M
Lsin J sin
O
当 90 时 ，Ω M J
Ω
1
，
Ω
演示 车轮旋进（KL023) TV 旋进防止炮弹翻转（注2）
M外z 0 ，则 J z const .
大小不变 正、负不变
对刚体系， M外z = 0 时， Jizi const.，
此时角动量可在系统内部各刚体间传递，
而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
演示 角动量守恒：茹科夫斯基转椅(KL016)
转台车轮 (KL017)
陀螺仪（KL029）
30
第三十页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
5、车轮进动
2
第二页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
§5.1 刚体的定轴转动定律
z
Mz
dLz dt
《刚体绕定轴转动》课件
对于多个物体组成的系统，其转动惯量等于 各个物体转动惯量的矢量和。
转动惯量是惯性大小的量度
转动惯量越大，刚体越不容易改变其转动状 态。
转动惯量的平行轴定理
刚体绕某轴转动时，其转动惯量与通过质心 并与该轴平行的轴的转动惯量相同。
转动惯量的应用
在动力学中的应用
通过计算刚体的转动惯量，可 以求得刚体在力矩作用下的角
转动惯量的定义：描述刚体绕定轴转动惯性大小的物理 量。
转动惯量的单位：kg*m^2。
转动惯量的计算公式：I=∑mr^2，其中m为质量，r为 质点到转轴的距离。
转动惯量的特点：只与刚体的质量和各质点到转轴的距 离有关，与转动角速度和转动的加速度无关。
转动惯量的性质
转动惯量是标量
没有方向，只有大小。
转动惯量具有叠加性
势能的特点
与物体的质量、转动惯量和角速度 有关。
动能与势能的关系
动能与势能可以相互转化，满足能量 守恒定律。
动能与势能的转化关系可以通过动力 学方程式表示，如牛顿第二定律等。
在刚体绕定轴转动过程中，动能和势 能之间可以相互转化，但总能量保持 不变。
CHAPTER
04
刚体绕定轴转动的转动惯量
转动惯量的定义与计算
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用或外力矩的矢量和为零。
角动量守恒定律的应用
天体运动
行星绕太阳的公转、卫星绕地球的轨道运动等都 遵循角动量守恒定律。
陀螺仪
利用角动量守恒定律，陀螺仪可以保持自身的旋 转轴指向一个固定的方向。
机械系统
在机械系统中，通过合理设计，可以利用角动量 守恒定律来优化系统的运动性能。
飞机的飞行控制
飞行员通过操作杆施加力矩，改 变机翼的攻角，实现飞机的升降
转动惯量是惯性大小的量度
转动惯量越大，刚体越不容易改变其转动状 态。
转动惯量的平行轴定理
刚体绕某轴转动时，其转动惯量与通过质心 并与该轴平行的轴的转动惯量相同。
转动惯量的应用
在动力学中的应用
通过计算刚体的转动惯量，可 以求得刚体在力矩作用下的角
转动惯量的定义：描述刚体绕定轴转动惯性大小的物理 量。
转动惯量的单位：kg*m^2。
转动惯量的计算公式：I=∑mr^2，其中m为质量，r为 质点到转轴的距离。
转动惯量的特点：只与刚体的质量和各质点到转轴的距 离有关，与转动角速度和转动的加速度无关。
转动惯量的性质
转动惯量是标量
没有方向，只有大小。
转动惯量具有叠加性
势能的特点
与物体的质量、转动惯量和角速度 有关。
动能与势能的关系
动能与势能可以相互转化，满足能量 守恒定律。
动能与势能的转化关系可以通过动力 学方程式表示，如牛顿第二定律等。
在刚体绕定轴转动过程中，动能和势 能之间可以相互转化，但总能量保持 不变。
CHAPTER
04
刚体绕定轴转动的转动惯量
转动惯量的定义与计算
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用或外力矩的矢量和为零。
角动量守恒定律的应用
天体运动
行星绕太阳的公转、卫星绕地球的轨道运动等都 遵循角动量守恒定律。
陀螺仪
利用角动量守恒定律，陀螺仪可以保持自身的旋 转轴指向一个固定的方向。
机械系统
在机械系统中，通过合理设计，可以利用角动量 守恒定律来优化系统的运动性能。
飞机的飞行控制
飞行员通过操作杆施加力矩，改 变机翼的攻角，实现飞机的升降
刚体的定轴转动定律
物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
T1
T2
T1
T2
am
a
1
a
m
m1
m1g 2
m2
m2g
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以
顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方
程
T1 G1 m1a
G2 T2 m2a
T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示.
角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动
,
,
均相同，但
v,
a不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
三、 匀变速转动公式
轴的力矩 Mzk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
z
Байду номын сангаас
F
M
O
r P
d
五. 定轴转动刚体的转动定律：
Fit
Fi
fit
•
ri
fi
mi• fin
Fin
O
•
j
d
fij
fji
i
Fit ri (miri2 )
I miri2
i
T2、 T2’(T2’= T2)
T1
T2
T1
T2
am
a
1
a
m
m1
m1g 2
m2
m2g
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以
顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方
程
T1 G1 m1a
G2 T2 m2a
T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示.
角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动
,
,
均相同，但
v,
a不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
三、 匀变速转动公式
轴的力矩 Mzk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
z
Байду номын сангаас
F
M
O
r P
d
五. 定轴转动刚体的转动定律：
Fit
Fi
fit
•
ri
fi
mi• fin
Fin
O
•
j
d
fij
fji
i
Fit ri (miri2 )
I miri2
i
第五章 刚体的定轴转动
单位: 单位:rad / s 角速度
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向 沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量 的极限方向相同,在定轴转动中, 与 同向 的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向 或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意 退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量 质元的质量 r—质元到转轴的距离 质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向 沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量 的极限方向相同,在定轴转动中, 与 同向 的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向 或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意 退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量 质元的质量 r—质元到转轴的距离 质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ
刚体定轴转动的转动定律力矩PPT
求 θ角及着陆滑行时的速度多大？
解 引力场（有心力）
v0
系统的机械能守恒
质点的动量矩守恒
m r0
v R
OM
m 1 2m v v 0 r 00 2s iGπ n r0 M) ( 1 2 m m m vv 2 R GRMm vv0r0R sin4v0sin
sin14123RGv0M 21/2
1/2
LZ Δmiviri Δmiri2 JZ
i
i
LZJZ(所有质元对 Z 轴的动量矩之和)
2. 刚体定轴转动的动量矩定理
对定轴转动刚体，Jz 为常量。
dLZ dt
JZ
d
dt
dLZ dt
Mz
M zd t d L z d J
动量矩定理 微分形式
t1 t2M zd t 1 2d JJ2 J1（动量矩定理积分形式）
0tm1m 1m 2m 21 2 gmtr
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
1. 刚体定轴转动的动能
Δ m 1 ,Δ m 2 ,,Δ m k ,,Δ m N r 1 ,r 2 ,,r k ,,r N v 1 , v 2 , , v k , , v N
Δmk 的动能为
Ek 12Δmkvk212Δmkrk22
F FF Fn
2)力对点的力矩
Mo
M O r F
F
大小 M OrF sin
O . r
指向由右螺旋法则确定 力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
F
M Z r F
（力对轴的力矩只有两个指向）
r
A
FF
2. 刚体定轴转动的转动定律
第 k个质元 F k f k m k a k
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刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
二. 刚体的运动
1、平动
当刚体中所有点的运动轨迹都 保持完全相同时，或者说刚体内任 意两点间的连线总是平行于它们的 初始位置间的连线时，刚体的运动
叫作平动。
特点：刚体内所有的点具有相同的位移、 速度和加速度。
－－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
Fn
z
O rj
Fej
m
j
Fij
M ej M ij m jrj2 α
j
j
M ijM ji M ij0
j
Mej ( mjrj2)α
j
z
O rj
Fej
m j
Fij
定义转动惯量 J mjrj2
2
J r dm
j
转动定律
MJ
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
本章主要内容
1、刚体描述 2、刚体转动定律 3、转动惯量计算 4、刚体的角动量和角动量守恒 5、转动中的功和能
§5.2 转动定律( 牛顿第二定律）
一 力矩
用来描述力对刚体
的转动作用．
z
F
FM M 对 转F r 轴sF Z ri的n 力矩FdO dM rP*
d: 力臂
F
F
F i 0 , M i 0
轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的
张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 离 y 时，其速率是多少？
解 (1) 用隔离法物 体分别对各物作受力分 析，取坐标如图．
A
mA
FN
m A FT1
PA
O
x
C
mC
mB B
FT1
FC
PC
FT2
FT2
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩
互相抵消．
M ij
rj
j
O
dri
i
Fij
F ji
M ji
MijMji
转动定律
1）单个质点m与转
轴刚性连接
Ft mtamr
M rF sinMrF t m2r2）刚体 质量元受外力
F
e
，内力
j
Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
z
M
Ft
F
O rm
刚体平动 质点运动
2、转 动
刚体中所有的点都绕同一条直
线作圆周运动，这种运动称为转 动。这条直线叫作转轴。
定轴转动：转轴固定不动的转动。 特点： •各质点都作圆周运动； •各质点圆周运动的平面垂直于轴线， 圆心在轴线上； •各质点的矢径在相同的时间内转过的 角度相同。具有相同的角位移、角速 度和角加速度.
O
mB
PB y
FT 1mAa m BgF T2 m Ba
RTF 2 RTF 1 J
aR
FN
m A FT1
PA
O
x
FT1
FC
PC
FT2
FT2
O
mB
PB y
解得：
a
mBg
mAmBmC 2
·R 绳 v0=0
m
对 M ： M ＝ T 1 R ＝ J
T1 T2
J＝ 1 MR 2 2
aR
解 方 程a得 m： m M2g
例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳
索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与
F
F
F i 0, M i 0
讨论 （1）若力 F不在转动平面内，把力分
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
F FzF
其中 Fz对转轴的
力矩为零，故 F对转
轴的力M 矩zk r F
z
F
k
O
r Fz F
M z r Fsin
（2）合 力矩 等于 各分力 矩的矢量和 M M 1 M 2 M 3
➢ 转动定律应用 MJ
说明
(1) MJ, 与 M方向相同
(2) 为瞬时关系
(3) 转动中MJ与平动中Fma
地位相同
例1 一个质量为M、半径为R 的定滑轮上
面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上， 另一端挂一质量为m 的物体而下垂。忽略 轴处摩擦，求物体m下落时的加速度。
定轴O
解： 对 m : m g T 2m a
+ 3、刚体的一般运动 平动
绕转轴的转动
三. 刚体定轴转动的描述
1. 定轴转动的角量描述 非定轴转动？
角位置： (t)
角位移： (t)(t0)
角速度： d
dt
角加速度：
d
dt
d2
dt2
• 角速度和角加速度均为矢量， 定轴转动中其方向沿转轴的方向 并满足右手螺旋定则。
2、 角量和线量的关系
vr
解：
aa t,
a t a0 .40 .8 (ra d/s) r r 0 .5
t 0 .8 5 4 (r a d /s )
1t2 10.852 10rad
2
2
n 10 1.6圈
2
rr r a at an
t
a n 2r
a
a
2 n
a
2 t
a rc ta n a n at
本章主要内容
1、刚体描述 2、刚体转动定律 3、转动惯量计算 4、刚体的角动量和角动量守恒 5、转动中的功和能
教学基本要求(力学重点）
一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌 握角量与线量的关系.
二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕 定轴转动的转动定理.
三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运 动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.
四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能 在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能 守恒定律
能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体 的简单系统的力学问题.
§5.1 刚体转动的描述
一. 刚体
受力时不改变形状和体积的物体。
说明： 1) 理想化的力学模型； 2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 3)刚体可以看成是无数质点组成的质点系，每一个质点 叫做刚体的一个质元; 4)关于质点系的运动基本定律适用.
例5.1一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径 r=0.5m，如果升降机从静止开始以加速度a=0.4m/s2 匀加速上升，求:
（1）滑轮的角加速度。
（2）开始上升后，t=5s末滑轮的角速度。
（3）在这5秒内滑轮转过的圈数。
（4）开始上升后，t’=1s末滑轮边缘上一点的加速度 （绳索和滑轮不打滑）
a r
a n
r
2
a vrevt r2evn
3、 匀加速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀 加速转动。
刚体匀加速转动与质点匀加速直线运动公式对比
质点匀加速直线运动
vv0 at
xv0t12at2 v2 v02 2as
刚体绕定轴作匀加速转动
0t
0t12t2
2 02 2
P142 例5.1
二. 刚体的运动
1、平动
当刚体中所有点的运动轨迹都 保持完全相同时，或者说刚体内任 意两点间的连线总是平行于它们的 初始位置间的连线时，刚体的运动
叫作平动。
特点：刚体内所有的点具有相同的位移、 速度和加速度。
－－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
Fn
z
O rj
Fej
m
j
Fij
M ej M ij m jrj2 α
j
j
M ijM ji M ij0
j
Mej ( mjrj2)α
j
z
O rj
Fej
m j
Fij
定义转动惯量 J mjrj2
2
J r dm
j
转动定律
MJ
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
本章主要内容
1、刚体描述 2、刚体转动定律 3、转动惯量计算 4、刚体的角动量和角动量守恒 5、转动中的功和能
§5.2 转动定律( 牛顿第二定律）
一 力矩
用来描述力对刚体
的转动作用．
z
F
FM M 对 转F r 轴sF Z ri的n 力矩FdO dM rP*
d: 力臂
F
F
F i 0 , M i 0
轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的
张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 离 y 时，其速率是多少？
解 (1) 用隔离法物 体分别对各物作受力分 析，取坐标如图．
A
mA
FN
m A FT1
PA
O
x
C
mC
mB B
FT1
FC
PC
FT2
FT2
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩
互相抵消．
M ij
rj
j
O
dri
i
Fij
F ji
M ji
MijMji
转动定律
1）单个质点m与转
轴刚性连接
Ft mtamr
M rF sinMrF t m2r2）刚体 质量元受外力
F
e
，内力
j
Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
z
M
Ft
F
O rm
刚体平动 质点运动
2、转 动
刚体中所有的点都绕同一条直
线作圆周运动，这种运动称为转 动。这条直线叫作转轴。
定轴转动：转轴固定不动的转动。 特点： •各质点都作圆周运动； •各质点圆周运动的平面垂直于轴线， 圆心在轴线上； •各质点的矢径在相同的时间内转过的 角度相同。具有相同的角位移、角速 度和角加速度.
O
mB
PB y
FT 1mAa m BgF T2 m Ba
RTF 2 RTF 1 J
aR
FN
m A FT1
PA
O
x
FT1
FC
PC
FT2
FT2
O
mB
PB y
解得：
a
mBg
mAmBmC 2
·R 绳 v0=0
m
对 M ： M ＝ T 1 R ＝ J
T1 T2
J＝ 1 MR 2 2
aR
解 方 程a得 m： m M2g
例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳
索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与
F
F
F i 0, M i 0
讨论 （1）若力 F不在转动平面内，把力分
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
F FzF
其中 Fz对转轴的
力矩为零，故 F对转
轴的力M 矩zk r F
z
F
k
O
r Fz F
M z r Fsin
（2）合 力矩 等于 各分力 矩的矢量和 M M 1 M 2 M 3
➢ 转动定律应用 MJ
说明
(1) MJ, 与 M方向相同
(2) 为瞬时关系
(3) 转动中MJ与平动中Fma
地位相同
例1 一个质量为M、半径为R 的定滑轮上
面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上， 另一端挂一质量为m 的物体而下垂。忽略 轴处摩擦，求物体m下落时的加速度。
定轴O
解： 对 m : m g T 2m a
+ 3、刚体的一般运动 平动
绕转轴的转动
三. 刚体定轴转动的描述
1. 定轴转动的角量描述 非定轴转动？
角位置： (t)
角位移： (t)(t0)
角速度： d
dt
角加速度：
d
dt
d2
dt2
• 角速度和角加速度均为矢量， 定轴转动中其方向沿转轴的方向 并满足右手螺旋定则。
2、 角量和线量的关系
vr
解：
aa t,
a t a0 .40 .8 (ra d/s) r r 0 .5
t 0 .8 5 4 (r a d /s )
1t2 10.852 10rad
2
2
n 10 1.6圈
2
rr r a at an
t
a n 2r
a
a
2 n
a
2 t
a rc ta n a n at
本章主要内容
1、刚体描述 2、刚体转动定律 3、转动惯量计算 4、刚体的角动量和角动量守恒 5、转动中的功和能
教学基本要求(力学重点）
一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌 握角量与线量的关系.
二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕 定轴转动的转动定理.
三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运 动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.
四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能 在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能 守恒定律
能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体 的简单系统的力学问题.
§5.1 刚体转动的描述
一. 刚体
受力时不改变形状和体积的物体。
说明： 1) 理想化的力学模型； 2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 3)刚体可以看成是无数质点组成的质点系，每一个质点 叫做刚体的一个质元; 4)关于质点系的运动基本定律适用.
例5.1一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径 r=0.5m，如果升降机从静止开始以加速度a=0.4m/s2 匀加速上升，求:
（1）滑轮的角加速度。
（2）开始上升后，t=5s末滑轮的角速度。
（3）在这5秒内滑轮转过的圈数。
（4）开始上升后，t’=1s末滑轮边缘上一点的加速度 （绳索和滑轮不打滑）
a r
a n
r
2
a vrevt r2evn
3、 匀加速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀 加速转动。
刚体匀加速转动与质点匀加速直线运动公式对比
质点匀加速直线运动
vv0 at
xv0t12at2 v2 v02 2as
刚体绕定轴作匀加速转动
0t
0t12t2
2 02 2
P142 例5.1