二元一次不定方程精品教案
全国初中数学竞赛辅导第十七讲《二元一次不定方程的解法》教案
第十七讲二元一次不定方程的解法我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程x-y=2的正整数解．解我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+bx＇=c. ③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at 的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例1求11x+15y=7的整数解．解法1将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11x+15y=1，通过观察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程6x+22y=90的非负整数解．解因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37=37×(-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300．③③-②得 14x+8y=200，即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0＜x，y，z＜100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．练习十七1．求下列不定方程的整数解：(1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；(3)103x-91y＝5．2．求下列不定方程的正整数解：(1)3x-5y=19； (2)12x+5y=125．3．求下列不定方程的整数解：(1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=78．4．求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．5．求不定方程组的正整数解.。
探究二元一次不等式方程组——教案设计
本文旨在探究二元一次不等式方程组的教学方法和策略，为教师教授这一知识点提供有益的参考和指导。
一、教学目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.掌握二元一次不等式方程组的相关概念和基本性质；2.了解如何解二元一次不等式方程组，并掌握相关的解法技巧；3.培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
二、教学内容本课程的教学内容主要分为以下几个部分：1.二元一次不等式方程组的定义和性质；2.二元一次不等式方程组的解法；3.相关例题及习题训练。
三、教学方法1.导入通过讲述一个实际生活中的例子，引导学生了解不等式方程组的基本概念和作用，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.讲授根据教材的要求，讲授二元一次不等式方程组的定义、性质及解法。
教师应该注重从事例中引出概念，从概念中深化理解，从求解中提高技巧，使学生能够全面了解这一知识点。
3.案例演练通过多个实例演练，让学生更深入地理解二元一次不等式方程组的解法及相关的技巧，提升学生的解题能力和创造性思维。
4.小组合作通过小组合作，让学生合作解决难题，激发学生的独立思考和团队协作能力。
教师应该在小组合作中起到引导和辅导的作用，及时解答学生的疑惑和困惑。
5.反思与总结及时进行学生的反思和总结，让学生在理论和实践的基础上形成系统化的知识体系，为下一步的学习打下扎实的基础。
四、教学策略1.启发学生的思维，培养学生的创新能力和实践能力，充分发挥学生的主体性和积极性。
2.通过案例演练提高学生的解题能力和分析问题的能力，让学生在思考之中掌握知识。
3.促进学生之间的互动和合作，增强学生的团队合作能力和集体荣誉感，提高课堂教学的实效性和互动性。
4.不断创新教学方法，吸收新鲜的教学资源和信息，提高教师的教育教学水平和知识储备。
五、教学评估1.以课堂讨论、小组合作、答辩演讲等形式进行教学评估和考核，全面了解学生的学习状态和成果。
2.使用量化的评估工具，如试卷、成绩单、考试、调查表等，对学生的成绩和专业素养进行评估和分析，以便及时调整教学策略和方法。
新人教版七年级数学上册第三章二元一次不等式教案设计
新人教版七年级数学上册第三章二元一次不等式教案设计一、教学目标1. 理解二元一次不等式的概念和基本性质。
2. 掌握解二元一次不等式的方法和技巧。
3. 能够应用二元一次不等式解决实际问题。
二、教学内容1. 二元一次不等式的定义和基本性质。
2. 解二元一次不等式的方法和步骤。
3. 应用二元一次不等式解决实际问题的例子。
三、教学步骤1. 导入通过一个简单的问题引入二元一次不等式的概念：“小明今年的数学成绩比小红高，且小红今年的数学成绩比去年提高了10分。
设小明去年的数学成绩为x分，小红去年的数学成绩为y分，如何用不等式表示出小明今年的数学成绩比小红今年的数学成绩高？”2. 讲解- 介绍二元一次不等式的定义和基本性质，例如大于等于和小于等于符号的意义。
- 解释解二元一次不等式的方法和步骤，包括变形、消元和代入等操作。
3. 练通过一些简单的练题帮助学生掌握解二元一次不等式的方法和技巧。
例题1：解不等式组{x + y > 10，x - y < 5}。
例题2：解不等式组{3x - 2y ≥ 4，2x + y ≤ 10}。
4. 拓展给学生提供一些应用二元一次不等式解决实际问题的例子，例如购买商品的优惠条件、约束条件等。
例子1：小明去商场购买了苹果和橙子，记苹果的单价为x元/斤，橙子的单价为y元/斤。
小明购买了3斤苹果和5斤橙子，总共支付了18元。
问苹果和橙子的单价各是多少？例子2：某公司生产A、B两种产品，每个月生产的数量分别为x件和y件。
已知A产品的利润为3x元/件，B产品的利润为2y元/件。
设某月总利润不少于100元，且A产品的数量不少于20件。
问B产品的最少生产数量是多少？四、教学评价通过课堂练习的情况和学生的思维表达评价学生的掌握程度。
可采用小组讨论、个人答题等方式进行评价。
高中数学二元一次不等式教学设计
高中数学二元一次不等式教学设计般地,关于两个未知数的几个二元一次不等式合在一起,就组成一个二元一次不等式组。
下面店铺为你整理了高中数学二元一次不等式教学设计，希望对你有帮助。
高中二元一次不等式教学设计高中二元一次不等式教学反思通过本节课的教学实践，我发现一些比较成功的地方：利用知识联系实际的教学方法，激发学生的学习兴趣，提高学生学习效果。
例如：在新课引入时，提出了上节课所留的问题，老牛背上的包裹数是多少，小马驮的是多少，很自然的引入本节课的内容：解二元一次方程组。
你想知道x、y是多少吗?如何求出来呢?我们解过什么样的方程?是如何解的，能把这个二元一次方程组变成我们学过的一元一次方程组吗?提出了一连串的问题，激发了学生的好奇心、好胜心，学生们争先恐后的回答问题，增加了课堂的活跃氛围。
这样的教学方法使学生对如何解二元一次方程组的印象更加深刻。
注重学生的合作精神与探究能力的培养，体现了新课改的精神。
例如：在解决老牛与小马驮的包裹数时，我采用了分组讨论的方法，学生通过这个活动后，最好一致认为要想解决此类问题，关键是把其中的一个未知数用另一个未知数表示出来，从而达到了消元的目的。
于是，我借机就把用一个未知数表示另一个未知数的形式复习了一遍，总结了解题的五个步骤。
注重知识的拓展与综合。
比如：在做最后一个练习时，联系了完全平方与绝对值的综合性问题。
求式子(x+y-2)2+|x-y-4|=0中x与y 的值。
注重及时巩固练习，加深印象。
本节课我采用了一对一的练习，每讲一种类型就让学生做三道相应的练习题，起到了很好的巩固效果。
同时，在本节课的教学过程中与出现了一些不足之处：我觉得虽然课堂纪律不太好，但基本上所有学生都动了起来，注意力比较集中，对重点内容也都能掌握，感觉比以前所上的这节课效果要好。
所以我想无论什么样的课只要在备课时能真正的将“备教材”“备学生”“用学生的眼光看教材”三者结合起来，那么我们就能将每一节课都上成学生不仅能学到知识，同时能主动参与其中的课，让数学课不再枯燥，不再死板，让学生在愉悦的心情中学到知识，成为学生喜爱的课课堂上没有顾及到全体学生，虽然有大部分学生都参与到了教学过程当中，但有一部分学生的积极性还没有调动起来，他们还没有真正完全的参与到教学当中。
二元一次不定方程优秀教学设计
二元一次不定方程【教学目标】1．掌握二元一次不定方程。
2．熟练运用二元一次不定方程解决实际问题。
3．亲历二元一次不定方程求解的探索过程，体验分析归纳得出二元一次不定方程通解规律，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：掌握二元一次不定方程和求解。
难点：解二元一次不定方程。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习二元一次不定方程，这节课的主要的内容有二元一次不定方程以及解二元一次不定方程，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解二元一次不定方程内容，形成初步感知。
（2）首先，我们来学习二元一次不定方程的概念，它的具体内容是：未知数个数多于方程的个数的方程或方程组叫做不定方程.二元一次不定方程是最简单的不定方程，它的一般形式为ax by ca b c位置整数，且,a b不等于零。
+=其中,,它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：241+=是否是不定方程？x y解析：因为未知数个数多于方程的个数，所以241+=是不定方程。
x y根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：写出3个二元一次不定方程。
解：514-=x y+=p e11311+=12139r t（3）接着，我们再来看下二元一次不定方程有整数解的内容，它的具体内容是： 已知不定方程（1）()00ax by c a b c a b +=∈≠≠、、整数，且，，如果不定方程（1）有整数解，那么(),a b c |.反过来，当(),a b c |时，不定方程（1）有整数解.它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：判断不定方程3155x y +=有没有整数解.解析：显然()3,155Œ，所以不定方程3155x y +=没有整数解. 根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：判断不定方程4168x y +=有没有整数解.解：显然()4,168|，所以不定方程4168x y +=有整数解.（4）最后，我们来看二元一次不定方程的求解的内容，它的具体内容是：设(),=1a b ，则不定方程ax by c +=的整数通解为00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩其中t 为任意整数，00,x x y y ==为不定方程ax by c +=的一个特解。
第一节二元一次不定方程教程文件
Q P0 1, P1 q1 2, P2 q2P1 P0 1 2 1 3, P3 q3P2 P1 8 3 2 26, 37 (26) 107 9 1,即(-26,9)是37x 107 y 1的解. 37x -107 y 1的一组解是(-26, -9), 从而(-26 25, -9 25)是37x -107 y 25的一组解,
若d c ,则存在整数q,使c dq, 可知存在整数x0 , y0 , 适合ax0 by0 d , 则ax0q by0q dq, 即方程ax by c有整数解(qx0 , qy0 ).
定理2
若 (a,b)1,如 果 (x0,y0)是 方 程 axbyc的 一 组 解 , 则 它 所 有 整 数 解 都 可 写 成 x y x y0 0 b att,其 中 t为 任 意 整 数 .
证 明 :由 定 理 1知 ,当 ( a , b ) 1时 , 方 程 (1)有 解 ,
如 果 ( x 0 , y 0 )是 方 程 (1)的 解 ,
Q ax by a(x0 bt) b(y0 at)
ax0 abt by0 abt ax0 by0 c,
x
y
x0 bt 为 y0 at
• 中国古代数学家张丘建曾经解答了下面的 问题:
• “鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱 一.百钱买百鸡.问鸡翁母雏各几何？”
• 此题系《张丘建算经》卷下的最后一题,作 者生卒年代已不易考,该书今传本在《算经 十书》之内.
设用x, y, z分别表示鸡翁, 鸡母, 鸡雏的数目, 得到下列方程 :
5x 3y 1 z 100, 3
x y z 100 化简,得7x 4y 100.
第二章 不定方程
第一节 二元一次不定方程
二元一次不等式与方程教案
二元一次不等式与方程教案教案目标：1. 了解二元一次不等式与方程的概念；2. 掌握解二元一次不等式与方程的方法；3. 能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：1. 区分二元一次不等式与方程的特点；2. 掌握解二元一次不等式与方程的步骤；3. 运用所学知识解决实际问题。
教学难点：1. 理解与运用二元一次不等式与方程的理论知识；2. 理解并解决实际问题中的二元一次不等式与方程。
教学准备：1. 教师：黑板、粉笔、教案；2. 学生：教科书、笔记本电脑。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师出示一道二元一次不等式或方程的例题，并引导学生分析其解法；2. 学生回顾上节课学习的知识，尝试解答导入问题。
二、学习二元一次不等式（15分钟）1. 教师通过讲解，引导学生理解二元一次不等式的定义；2. 教师给出解决二元一次不等式的步骤，并用示例进行辅助说明。
三、练习解决二元一次不等式（20分钟）1. 学生在教师的指导下，通过课本上的练习题独立解答；2. 学生相互之间交流解题思路与方法，教师巡回指导并纠正错误。
四、总结二元一次不等式的解题方法（10分钟）1. 教师与学生共同总结解决二元一次不等式的步骤，将重要内容写在黑板上；2. 学生将总结内容整理到笔记本上，以备复习使用。
五、学习二元一次方程（15分钟）1. 教师通过示例引导学生理解二元一次方程的定义与特点；2. 教师给出解决二元一次方程的步骤，并用示例进行辅助说明。
六、练习解决二元一次方程（20分钟）1. 学生在教师的指导下，通过课本上的练习题独立解答；2. 学生相互之间交流解题思路与方法，教师巡回指导并纠正错误。
七、总结二元一次方程的解题方法（10分钟）1. 教师与学生共同总结解决二元一次方程的步骤，将重要内容写在黑板上；2. 学生将总结内容整理到笔记本上，以备复习使用。
八、应用实际问题（15分钟）1. 教师给出一些实际问题，并引导学生将其转化为二元一次不等式或方程；2. 学生在教师的指导下解决实际问题，并将解题过程记录在笔记本上。
二元一次不定方程.ppt
6x 8y 46
二、新课
（一）有关概念
1.不定方程的定义 不定方程是指未知数个数多于方程的个数，且
其解受到某种条件限制（例如要求整数解，非负整
数解等）的方程或方程组。
2.二元一次不定方程的定义
形如：ax by c
a,b, c都是整数
a, b都不为零
3.二元一次不定方程的整数解
（二）不定方程ax by c在什么条件下有整数解？
1.先考察下面几个方程有没有整数解：
（1）2x y 10
x 5, y 0
（2）4x 2 y 20 2x y 10 x 5, y 0
（3）4x 2 y 25 （2 2x y） 25 没有整数解
2.再进一步考察这些方程x，y的系数a, b与方程 的解是否存在相互间的关系
d c.
（2）充分性
（a，b) d 存在两个整数x0，y0，使得ax0 by0 d
ax0q by0q dq
d c 可令c dq
不定方程ax
by
c
ax
by
dq
不定方程ax by c有整数解x x0q, y y0q
3.定理2.1 不定方程ax by c有整数解的必要 且充分条件是d c,这里（a，b) d.
四、小结
（一）有关概念 1.不定方程的定义 不定方程是指未知数个数多于方程的个数，且
其解受到某种条件限制（例如要求整数解，非负整
数解等）的方程或方程组。
2.二元一次不定方程的定义
形如：ax by c
a,b, c都是整数
a, b都不为零
（二）定理2.1 不定方程ax by c有整数解的 必要且充分条件是d c,这里（a，b) d.
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【教学目标】
1．掌握二元一次不定方程。 2．熟练运用二元一次不定方程解决实际问题。 3．亲历二元一次不定方程求解的探索过程，体验分析归纳得出二元一次不定方程通解 规律，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】
重点：掌握二元一次不定方程和求解。 难点：解二元一次不定方程。
【教学过程】
（4）最后，我们来看二元一次不定方程的求解的内容，它的具体内容是：
设 a,b =1 ，则不定方程 ax by c 的整数通解为
x y
x0 y0
bt at
其中 t 为任意整数， x x0 , y y0 为不定方程 ax by c 的一个特解。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：求不定方程 5x 3y 10 的整数通解.
1/3
12r 13t 9
（3）接着，我们再来看下二元一次不定方程有整数解的内容，它的具体内容是：
已知不定方程（1） ax by ca、b、整c 数，且， a 0 b 0 ，如果不定方程（1）有整数
解，那么 a,b c .反过来，当 a,b c 时，不定方程（1）有整数解.
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例： 2x 4 y 1 是否是不定方程？
解析：因为未知数个数多于方程的个数，所以 2x 4 y 1 是不定方程。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习：写出 3 个二元一次不定方程。 解： 5x 1 4 y
11p 3e 11
再将 x, y 的值代入方程 x y z 100 ，可求得原不定方程有四组非负整数解：
x 0 x 4 x 8 x 12
y
25
，
y
18
，
y
4
z 75 z 78 z 81 z 84
三、课堂总结 （1）这节课我们主要讲了二元一次不定方程的概念，求通解的方法。 （2）它们在解题中具体怎么应用？
四、习题检测 1．求不定方程的整数通解： 5x 4 y 11
2．求不定方程的整数通解： 25x 13y 7
3．（百马问题）一百马，一百瓦，大马驮三，中马驮二，两小马驮一瓦，最后不剩马 和瓦．大马、中马、小马各有多少？
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它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：判断不定方程 3x 15y 5 有没有整数解.
解析：显然 3,15 Œ5 ，所以不定方程 3x 15y 5 没有整数解.
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习：判断不定方程 4x 16 y 8 有没有整数解.
解：显然 4,16 8 ，所以不定方程 4x 16 y 8 有整数解.
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：（百钱买白鸡）求下列不定方程的非负整数解：
5x 3y 1 z 100
3
x y z 100
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解：首先由原不定方程中第一个方程的 3 倍减去第二个方程，得 7x 4 y 100 ．通过观察发现，不
定方程 7x 4 y 1 有一个特解 x 1, y 2 因此 x 100, y 200 是不定方程 7x 4 y 100 的一个特
解．所以它的整数通解为
x 100 4t
y
200
7t
其中 t 为任意整数.
注意到 0 x 100,0 y 100 ，因此有 25 t 50 ，14 2 t 28 4
7
7
即 25 t 28 4 .从而 t 25, 26, 27, 28 7
一、直接引入 师：今天这节课我们主要学习二元一次不定方程，这节课的主要的内容有二元一次不定
方程以及解二元一次不定方程，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问 题。 二、讲授新课
（1）教师引导学生在预习的基础上了解二元一次不定方程内容，形成初步感知。 （2）首先，我们来学习二元一次不定方程的概念，它的具体内容是： 未知数个数多于方程的个数的方程或方程组叫做不定方程.二元一次不定方程是最简单 的不定方程，它的一般形式为 ax by c 其中 a,b,c 位置整数，且 a,b 不等于零。
解：因为 5,3 1，而110 ，所以元不定方程有整数解.容易观察， 5x 3y 1有一个特解
x 1, y 2 ，因此 x 10, y 20 就是原不定方程的一个特解.由上述结论，原不定方程的整数
通解为
x
y
10 3t 20 5t
其中
t
为任意整数