曲线与方程,圆的方程
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
曲线与方程圆的方程
曲线与方程、圆的方程1.曲线C的方程为：f(x,y)=o 曲线C上任意一点P (X o,y o)的坐标满足方程f(x,y)=O，即f(x o,y o)=0 ;且以f(x,y) =0的任意一组解(x o,y o)为坐标的点P (x o,y o)在曲线C上。
依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。
求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P的坐标(x,y)满足的方程(等式)。
求动点轨迹方程的步骤：①建系，写(设)出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。
解析：原方程等价于: x y 1 0 2 2 2 2 '，或x y 4；x y 4其中当x y 1 0需；x2y24有意义，等式才成立，即x2y24，此时它表示直线x y 1 0上不在圆x2y? 4内的部分，这是极易出错的一个环节。
选［举例2］已知点A (- 1 , 0), B (2, 0),动点M满足2 / MAB2 MBA求点M的轨迹方程。
解析：如何体现动点M满足的条件2/ MAB M MBA是解决本题的关键。
用动点M的坐标体现2 / MAB M MBA 的最佳载体是直线MA MB的斜率。
设M(x, y), / MAB=，则/ MBA=2，它们是直线MA MB的倾角还是倾角的补角，与点M在x轴的上方还是下方有关；以下讨论：① 若点M在x轴的上方，(00,900), y 0 ,此时，直线MA的倾角为，MB的倾角为-2 ,tan k MA xV an( 2)七(2 900)［举例1］方程(x y 1). x2y2 4 0所表示的曲线是：( )［巩固2］已知点R (-3, 0),点P 在y 轴上，点 Q 在x 轴的正半轴上，点 M 在直线PQ 上, PM =0 , 2 PM +3MQ =0，当点P 移动时，求M 点的轨迹方程。
高二数学 07曲线和方程 圆的方程培优教案
曲线和方程 圆的方程[本讲主要内容]1. 曲线的方程的定义.2. 用直接法求曲线的方程一般步骤.3. 设曲线C 1, ()0,1=y x f ,()0,:22=y x f C ,则有以下结论:①若21,C C 有交点,则21,C C 的交点M ⇔方程组()()⎩⎨⎧==0,0,21y x f y x f 的实数解.②方程组有几组实数解,而曲线21,C C 就有几个交点;方程组无实数解,两曲线21,C C 就无交点.4. 圆的定义及圆的标准方程.5. 圆的一般方程及参数方程.6. 点与圆,直线与圆及圆与圆的位置关系.]学习指导]1. 根据曲线形成的几何条件,在选定的坐标系下求出曲线方程,这是解析几何的基本问题,也是代数方法研究几何问题的基础,求曲线方程的方法,一般有定义法、直接法、变量代换法(转移法).直接法的一般步骤是: (1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标;(2)写出适合条件P 的点M 的集合(){}M P M P =;(3)用坐标表示条件P(M)列出方程()0,=y x f ;(4)化方程()0,=y x f 为最简形式;(5)证明化简后的方程是所求曲线的方程.2. 方程022=++++F Ey Dx y x ,当0422>-+=F E D t 时,表示一个圆;当t=0时,表示一个点;当t<0时,无轨迹.3. 解决和圆有关的问题,通常可考虑三种方法: (1)代数法,(2)几何法,(3)参数方程法. 如直线被圆所截得的弦长的求法: ① 几何法: 用弦心距半径及半弦构成的直角三角形.② 代数法: 由方程组⎩⎨⎧直线方程圆的方程消元得一元二次方程,再由韦达定理可求出弦长:()()221B Ax xk AB -+=.再如求某些最值问题常利用圆的参数方程.4. 在判断点与圆,直线与圆,圆与圆的位置关系时,要注意位置关系与数量关系的等价性,在解决直线与圆相切时,除运用代数法外,还应注意运用几何知识去求解往往更加简便.[例题精讲]例1. 过点(2,0)平行于y 轴的直线l 的方程是2=x 吗?如果是,请说明理由;如不是,应怎样改? [分析及解]根据“曲线的方程”的概念,过点(2,0)平行于y 轴的直线l 上任一点的坐标是方程2=x 的解,即满足轨迹的“纯粹性”,但以方程2=x 的解为坐标的点不都在直线l 上,所以不满足轨迹的完备性,故2=x 不是直线l 的方程.正确答案应是直线l 的方程,为x=2.例2. 过定点A(a,b)作互相垂直的两条直线l 1和l 2,它们分别与x 轴,y 轴交于M,N 两点,求线段MN 的中点B 的轨迹方程. [分析及解]此题按求曲线方程的一般步骤,先设MN 的中点B 的坐标为(x,y),则N(0,2y),M(2x,0),由勾股定理得,222MNAMAN=+,即点M,N 满足此关系式,所以()022222=---+b a b y a ,化简得02222=--+b a by ax .即是所求线段MN 的中点B 的轨迹方程.例3. 已知点P 是圆0422=-+x y x 上的一个动点,点Q 的坐标为(2,6),当点P 在圆上运动时,线段PQ 的中点M 的轨迹是什么? [分析及解]因为中点M 依赖于P 在圆上的运动,所以设M 点的坐标为(x,y),P 点坐标为()00,y x ,则有26,2200+=+=y y x x ,即62,2200-=-=y y x x ,即可用变量代换法求解.由P 点是圆0422=-+x y x 的点,得0402020=-+x y x .即()()()0224622222=---+-x y x ,整理得()()13222=-+-y x ,故所求点的轨迹是以点(2,3)为圆心,以1为半径的圆.此题也可考虑圆的参数方程,将圆方程化为()4222=+-y x ,其参数方程是⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x ,故可设()θθsin 2,cos 2+P ,由中点坐标公式得点M 轨迹的参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin 3cos 22y x . 所以,线段PQ 的中点是M 的轨迹是以点(2,3)为圆心,以1为半径的圆.例4. 直线l 经过点P(5,5),且和圆O:2522=+y x 相交于A,B,若54=AB ,求直线l 的方程. [分析及解]此题一般思路可由直线l 过点P(5,5),设直线l 的点斜式方程()55-=-x k y ,然后利用弦长54=AB 的条件,列出关于k 的方程,确定k 的值,这就需要联立方程组求A,B 的坐标.这种方法运算较繁,其实,我们还可以避免解方程组求A,B 的坐标,即利用平面几何的知识求解.作OH ⊥AB 于H,则H 是AB 的中点.5,5,52===∴OH AO AH这样即可得()51152=+--k k ,解得21=k 或2=k . ∴直线l 的方程是x-2y+5=0或2x-y-5=0.例5. 求过点P(2,4)向圆()()13122=++-y x 所引的切线的方程.[分析及解]此题首先要判断点P 与已知圆的位置关系,即()()150341222>=++- ,∴点P(2,4)在圆()()13122=++-y x 外.接下来可以有二个思路,一是利用圆和直线相交的两个交点重合时,直线和圆相切.当过P(2,4)的直线的倾斜角2πα≠时,设切线方程是()24-=-x k y .把①代入圆的方程得()()[]1342122=++-+-x k x ,即()()049284214412222=+-++--+k k x k kx k 19256-=∆∴k .令0=∆,得724=k ,把724=k 代入①,得020724=--y x .当过P(2,4)的直线的倾斜角2πα=,此直线方程是x=2.∵圆心(1,-3)到该直线的距离d=1∴x=2是所求的另一条切线,因此,所求的切线方程是020724=--y x 和x=2. 二是利用圆心到切线的距离等于半径.圆心是(1,-3),r=1,将切线方程写成一般形式024=-+-k y kx ,可是有112432=+-++=k kk d ,解得724=k ,下面再考虑k 不存在的特殊情况,即可得到x=2是另一条所求直线.[能力训练部分] A. 基础性训练题1. 下列各组方程中表示相同曲线的是( ) A. 1,==xyx y B. 2,x y x y == C. y x x y ==, D. 22,y x x y ==2. 曲线C 的方程是F(x,y)=0,则C 关于直线x+y=0的对称的方程是( ) A. F(y,x)=0 B. F(-y,x)=0 C. F(-y,-x)=0 D. F(y,-x)=03. 到两坐标轴距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是( )A, 二条直线 B. 四条直线 C. 四条射线 D. 八条射线 4. 若方程()022222=++++a ax y a x a 表示圆,则a 的值是( ) A. –1 B. 2 C. –1或2 D. 15. 直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点,则b 的取值范围是( )A. 2=bB. 11≤<-b 且2-=bC. 11≤≤-bD. 非A,B,C 的结论6. 当曲线241x y -+=与直线()42+-=x k y 有两个相异交点时,实数k 的取值范围是( ) A. ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛43,125 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0 D. ⎪⎭⎫⎝⎛43,31 7. 过点P 1(1,5)任作直线交x 轴于点A,过点P 2(2,-7)作直线P 1A 的垂线,交y 轴于B,点M 在线段AB 上,且BM:MA=1:2,求动点M 的轨迹方程.8. 两条直线分别过点A(a,0),B(-a,0),且绕A,B 旋转,它们在y 轴上的截距分别是OC=c,OD=d,且2a d c =⋅(a 是定值,c,d 是可变的),求两直线的交点M 的轨迹方程. 9. 若实数x,y 满足024222=++-+y x y x ,试求y x 3-的最大值和最小值.10.已知经过点A(0,1),B(4,a)且与x 轴相切的圆只有一个,求此时a 的值及相应的 圆的方程. B. 提高性训练题1. 已知动点P 到点A(-3,4)和B(4,6)的连线互相垂直,则P 点的轨迹方程是__________.2. 已知两点A(0,1),B(1,0),若直线y=k(x+1)与线段AB 总有公共点,则k 的取值范围是___________.3. 已知两点A(1,1),B(3,3),P 是x 轴上一个动点,那么使∠APB 最大的点P 的坐标是______.4. 过直线x+3y+7=0与3x-2y-12=0的交点,圆心为C(-1,1)的圆的方程为__________.5. 若P(x,y)在圆()()63322=-+-y x 上运动,则xy的最大值为_______. 6. 当实数m 的取值范围是________时,直线02=--y x 与曲线m y x 422=-的交点P 在圆()4422=+-y x 内部.7. 如图,已知两点A(-1,0),B(2,0),求使夹角αβ2=的点M 的轨迹方程.8. 直线32=+y x 与曲线0622=+-++P y x y x 的两个交点为A,B,O 是原点,当P 为何值时,有OA ⊥OB.9. AB,CD 是半径为a 的定圆O 的两互相垂直的直径,作动弦AF 交CD 于E,引EP ∥AB,且交BF 于P,求点P 的轨迹方程. 10. 已知圆012222=+--+y x y x ,点A(2a,0),B(0,2b)且a>1,b>1, ① 若圆与AB 相切时,求AB 中点的轨迹方程.②若圆与AB 相切时,且△AOB 面积最小,求直线AB 的方程及面积最小值. C. 研究性习题已知圆()024*********=--+---+m m y m mx y x ()R m ∈ (1)求证: 不论m 为何值,圆心在同一直线上.(2)与l 平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离;(3)求证: 任何一条平行l 且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等. [解答](1)配方得()()[]251322=--+-m y m x .设圆心为(x,y),则⎩⎨⎧-==13m y mx 消去m 得,033:=--y x l ,则圆心恒在直线l:033=--y x 上.(2)设与l 平行的直线是03:=+-b y x l ,则圆心到直线l 的距离为()10310133b bm m d +=+--=∴圆的半径为r=5.∴当d<r 时,即31053105-<<--b 时,直线与圆相交; 当d=r 时,即3105-±=b 时,直线与圆相切;当d>r 时,即3105--<b 或3105->b 时,直线与圆相离.(3)对于任一条平行l 且与圆相交的直线03:1=+-b y x l ,由于圆心到直线l 1的距离103b d +=,从而弦长222d r -=与m 无关.能力训练题点拨与解答: 基础性训练题1. D 因为A 中y=x 表示一条直线,而1=xy表示这条直线除去一点(0,0);在B 中y=x 表示一条直线,而2x y =表示一条折线;在C 中x y =表示两条相交直线,而y x =表示一条射线;在D 中x y =与22y x =都表示两条相交直线.故应选D.2. C 设点M 的坐标为M(x,y),易得到点M 关于直线x+y=0的对称点坐标为M ’(-y,-x),所以曲线C 关于直线x+y=0的对称方程为F(-y,-x)=0,故应选C.3. D 设动点为M(x,y),则2=-y x ,即2±=-y x .当0,0≥≥y x 时,2±=-y x ;当0,0≤≤y x 时, 2±=+-y x ;当0,0≤≥y x 时,2±=+y x ;当0,0≥≤y x 时, 2±=--y x ,所以动点的轨迹是八条射线.4. A 由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧>⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ② ①04222222a aa a a a 由①得,a= -1或a=2.当a= -1时,②成立;当a=2时,②不成立.5. B 将曲线21y x -=化为122=+y x ()0≥x ,当直线b x y +=与曲线122=+y x 相切时,则满足1200=--b,即2±=b .观察图形可得当2-=b 或11≤<-b 时,直线与曲线21y x -=有且仅有一个公共点.6. B 曲线241x y -+=是以(0,1)为圆心,2为半径的圆(如图)直线()42+-=x k y 是过定点(2,4)的直线.设切成PC 的斜率为k,切成PC 的方程为()420+-=x k y 圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2,即125,2142020==+-+k k k . 直线PA 的斜率为431=k ,所以,实数k 的范围是43125≤<k . 7. 如图,设M(x,y) ∵BM:MA=1:2∴211210++=A x x 即x x A 3=,∴A(3x,0)211021+⨯+=B y y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴y B y y B 23,0,23 B P A P 21⊥121-=⋅∴B P A P k k , 故1022373105-=---⋅--yx化简后得动点的轨迹方程是4x+5y+22=0.当直线A P 1的斜率不存在时,点A 是(1,0),点B 是(0,-7),此时点M 是⎪⎭⎫⎝⎛-314,31,也满足轨迹方程4x+5y+22=0. 8. 如图,设M(x,y) ∵点M 在直线AC 上∴点M(x,y)满足直线AC 的方程,即1=+cya x . 同理,点M(x,y)满足直线BD 的方程,即1=+-dya x . ∴x,y 应是方程①,②构成的方程组的解. 下面设法从①,②中消去变量c,d由①得,a x c y -=1 由②得,axd y +=1③×④得,2221ax cd y -= 将2a cd =代入⑤,整理得点M 的轨迹方程是222a y x =+.9. 圆方程化为()()32122=-+-y x ,其参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θθsin 32cos 31y x (θ为参数) ()θθsin 323cos 313+--+=-∴y x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=θθsin 23cos 2132321 ⎪⎭⎫⎝⎛+++=3cos 32321πθ∴最大值为134+,最小值为1.10. 设圆心为()00,y x ,则圆的方程为()()202020y y y x x =-+-.∵A(0,1),B(4,a)在圆上()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+∴2202020202041y y a x y y x 消去y 0,得()()016812020=+-+--a a x x a当1=a 时, x 0=2,相应的250=y ; 当1≠a 时,由()()0161442=+---=∆a a a b ,解之得a=0. 此时, x 0=4, 2170=y . 故所求a 的值为0或1,相应圆的方程为:()42525222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x 或()4289217422=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x .提高性训练题1. 0121022=+--+y x y x设P 点的坐标为(x,y),则1-=⋅BP AP k k .即14634-=--⋅+-x y x y , 整理得0121022=+--+y x y x .2. 10≤≤k线段AB 与直线y=k(x+1)总有公共点,须满足的条件是:()[]()[]0011110≤-+⋅-+k k ,即()021≤⋅-k k ,解得10≤≤k .3. ()0,6P设P 点的坐标为(x 0,0),则0011,33x k x k PA PB -=-=, 46224626421tan 0200200-⋅≤-+=+-=⋅+-=∠∴x x x x x k k k k APB PB PA PB PA 此时等号成立的条件是006x x =60=∴x ,即()0,6P .4. ()()251122=-++y x⎩⎨⎧=--=++01223073y x y x 解得⎩⎨⎧-==32y x 又∵点(2,-3)在圆上,圆心为C(-1,1) ∴半径为()()5131222=--++=r∴圆的方程为()()251122=-++y x . 5. 32+设直线OP 的斜率为k,直线OP 的方程为y=kx,圆心O 1坐标为()3,3,半径为6,圆心O 1到直线OP 的距离等于6,可列出方程:61332=+-kk,解得23,3221-=+=k k .xy∴的最大值是32+.6. 1<m<3 ⎩⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=-=-11224222m y m x m y x y x m y x y x 即为P 点坐标. ∵若P 在圆内()()0414122<--+-+∴m m ∴1<m<3 7. 设点M(x,y)① 若︒=90β,则︒=45α,从而由△ABM 是等腰直角三角形,可得M(2,3),(2,-3). ② ︒≠90β,设点M 在x 轴或x 轴上方,则αααβ2tan 1tan 22tan tan -==2tan ,1tan --=+=x y x y βα ()03322=--∴y x y当M 在x 轴下方时,同样可得上方程.y=0,由于只有在()2,1-∈x 时,0==βα符合题意,在x 轴的其它各线段(包括A,B 本身)都不合题意,所以轨迹方程为y=0,(-1<x<2).03322=--y x 满足题意,动点M 应在AB 的垂直平分线右面,所以应有x ≥1且x ≠2.综上所述,所求轨迹方程为y=0, (-1<x<2)或1322=-y x (x ≥1且x ≠2). 8. 设()()2211,,,y x B y x A由方程组⎩⎨⎧=+-++=+063222P y x y x y x 消去x,得0122052=++-P y y ∵直线与曲线有两个交点()8,01254400<>+⨯-=∆∴P P ,且根据韦达定理有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅=+51242121P y y y x()()2211,23,,23y y B y y A --∴又∵OA ⊥OB123232211-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴y y y y即()09652121=++-y y y y即094612=+⨯-+P∴P=3.9. 以直线AB,CD 分别为x,y 轴建立直角坐标系, 如图,则圆O 的方程为:222a y x =+.设θ=∠BOF ,取θ为参数. 则点F 的坐标为()θθsin ,cos a a 直线AF 的方程为:()()θθsin 1cos a x y +=+ ①BF 的方程为:()()θθsin 1cos a x y -=- ② 以x=0代入①解得点E 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+1cos sin ,0θθa E∵EP ∥AB∴直线EP 的方程为()θθsin 1cos a y =+ ③ ②×③得, ()()θθ222sin 1cosa x a y -=-即()a x a y --=2 ()a x ≤≤0.10. 如图,①设AB 的中点M(x,y),b b y a a x =+==+=220,202 直线AB: bx+ay-2ab=0.∵AB 与圆相切∴d=r,即121122=+-⋅+⋅b a aba b整理化简为 2a+2b-2ab-1=0 (*)∴AB 中点的轨迹方程: 2x+2y-2xy-1=0 (x>1,y>1)②设△AOB 面积为AOB S ∆.()14121222-≥-+=-+==∆ab b a b a ab S AO B 122-=∆AOB S令2>=∆AOB S t1,1>>b a 1222-≥∴t t即101222≥+-t t ,解得12-≤t 或12+≥t . 223+≥∴∆AO B S ,当且仅当a=b 时,等号成立. 代入(*)式得: 22101422±=⇒=+-a a a 221+=∴a ∴直线AB 的方程:022=--+y x .。
曲线与方程、圆(3)
课堂小结(一)
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上 的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条 曲线叫做方程的曲线（图形）。
如果曲线C的方程是f(x，y)= 0，那么 点P0 (x0，y0)在曲线C上的充要条件是 f(x0，y0) = 0。
曲线与方程
苏州第二高级中学数学组 潘敏荣
曲线的方程与方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看
作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与 一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立如下的 关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上 的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条 曲线叫做方程的曲线（图形）。
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五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。——俞敏洪
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六、将相本无主，男儿当自强。——汪洙
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七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。——方志敏
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八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。——佚名
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十四、信仰，是人们所必须的。什麽也不信的人不会有幸福。——雨果
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十五、对一个有毅力的人来说，无事不可为。——海伍德
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十六、有梦者事竟成。——沃特
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十七、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？——丁尼生
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十八、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实。——林语堂
曲线的方程与方程的曲线
由曲线的方程的定义可知，如果曲线C的方程 是f(x，y) = 0，那么点P0 (x0，y0)在曲线C上 的充要条件是f(x0，y0) = 0。
圆的方程参数方程
xyP0P rθx1O(,)P x y 111(,)P x yy圆的参数方程1．圆的参数方程的推导设圆O 的圆心在原点，半径是r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点 是0P ，设点在圆O 上从0P 开始按逆时针方向运动到达点P ，0P OP θ∠=，则点P 的位置与旋转角θ有密切的关系：当θ确定时，点P 在圆上的位置也随着确定； 当θ变化时，点P 在圆上的位置也随着变化． 这说明，点P 的坐标随着θ的变化而变化． 设点P 的坐标是(,)x y ，你能否将x 、y 分别 表示成以θ为自变量的函数？ 根据三角函数的定义，c o ss i nx r y r θθ=⎧⎨=⎩， ① 显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在圆O 上。
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数 方程，θ是参数．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的 参数方程是怎样的？ 圆1O 可以看成由圆O 按向量(,)v a b =平移得到的（如图），由11O P OP = 可以得到圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程是cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）②2．参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩ ③ 并且对于t 的每一个允许值，方程组③所确定的点(,)M x y 都 在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数．3．参数方程和普通方程的互化相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标 x 、y 关系的方程，叫做曲线的普通方程．将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。
参数方程和普通方程可以互化．如：将圆的参数方程②的参数θ消去，就得到圆的普通方程222()()x a y b r -+-=．（三）例题分析：例1．把下列参数方程化为普通方程：（1）23cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数） （2）222121x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ （t 为参数）解：（1）2cos (1)33sin (2)2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，，由22(1)(2)+得22(2)(3)194x y --+=，这就是所求的普通方程． （2）由原方程组得y t x =，把yt x=代入221x t =+得y xθP221()x y x=+，化简得：2220x y x +-=（0x ≠）， 这就是所求的普通方程．说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围 与x 、y 的取值范围之间的制约关系，保持等价性． 例2．如图，已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？解：设点M (,)x y ，∵圆2216x y +=的参 数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴设点P (4cos ,4sin )θθ，由线段中点坐标公式得4cos 1224sin 2x y θθ+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点M 轨迹的参数方程为2cos 62sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？ 又解：设(,)M x y ，00(,)P x y ，∵点M 是线段PA 的中点，∴001222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴002122x x y y =-⎧⎨=⎩，∵点00(,)P x y 在圆上，∴220016x y +=，∴22(212)(2)16x y -+=， 即点M 的轨迹方程为22(6)4x y -+=，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 例3．已知实数x 、y满足2220x y x ++-=， （1）求22x y +的最大值；（2）求x y +的最小值．解：原方程配方得：22(1)(4x y ++=，它表示以(-为圆心，2为半径的圆，用参数方程可表示为12cos 2sin x y θθ=-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数，02θπ≤<）， （1）22x y+22(12cos )2sin )cos )8θθθθ=-++=-+8sin()86πθ=-+，∴当62ππθ-=，即23πθ=时，22max ()16x y +=． （2）2(sin cos )1)14x y πθθθ+=++=+，∴当342ππθ+=，即54πθ=时，m a x ()21x y +=．说明：本题也可数形结合解．五．小结：1．圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）；2．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．补充：已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），(,)P x y 是曲线C 上任意一点，yt x=，求t 的取值范围．。
高中数学知识要点重温之曲线与方程,圆的方程
x y O B A M高中数学知识要点重温之曲线与方程,圆的方程江苏 郑邦锁1．曲线C 的方程为:f(x,y)=0⇔曲线C 上任意一点P 〔x 0,y 0〕的坐标满足方程f(x,y)=0，即f 〔x 0,y 0〕=0；且以f(x,y)=0的任意一组解〔x 0,y 0〕为坐标的点P 〔x 0,y 0〕在曲线C 上。
依据该定义：点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。
求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P 的坐标(x,y)满足的方程〔等式〕。
求动点轨迹方程的步骤：①建系，写〔设〕出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一样设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标差不多上方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。
[举例1] 方程04)1(22=-+-+y x y x 所表示的曲线是： 〔 〕A B C D 解析：原方程等价于：⎩⎨⎧≥+=--40122y x y x ，或422=+y x ； 其中当01=--y x 需422-+y x 有意义，等式才成立，即422≥+y x ，现在它表示直线01=--y x 上不在圆422=+y x 内的部分，这是极易出错的一个环节。
选D 。
[举例2] 点A 〔－1，0〕，B 〔2，0〕，动点M 满足2∠MAB=∠MBA ，求点M 的轨迹方程。
解析：如何表达动点M 满足的条件2∠MAB=∠MBA是解决此题的关键。
用动点M 的坐标表达2∠MAB=∠MBA 的最正确载体是直线MA 、MB 的斜率。
设M 〔x ，y 〕，∠MAB=α，那么∠MBA=2α，它们是直线 MA 、MB 的倾角依旧倾角的补角，与点M 在x 轴的上方 依旧下方有关；以下讨论：① 假设点M 在x 轴的上方, ,0),90,0(00>∈y α现在，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为π-2α，,2)2tan(,1tan -=-+==∴x y x y k MA απα 〔2090≠α〕 ,2tan )2tan(ααπ-=- ,)1(112222+-+•=--∴x y x yx y得： 1322=-y x ，∵1,>∴>x MB MA ． 当2090=α时, α=450，MAB ∆为等腰直角三角形,现在点M 的坐标为(2,3)，它满足上述方程． ②当点M 在x 轴的下方时, y ＜０，同理可得点M 的轨迹方程为)1(1322≥=-x y x , ③当点M 在线段AB 上时,也满足2∠MAB=∠MBA,现在y=0(-1＜ｘ＜２)． 综上所求点的轨迹方程为)21(0)1(1322<<-=≥=-x y x y x 或． [巩固1]右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，那么它的方程是A ．〔21y x -+〕·〔21x y -+〕=0B ．〔21y x --〕·〔21x y --〕=0C ．〔21y x -+〕·〔21x y --〕=0D ．〔21y x --〕·〔21x y -+〕=0[巩固2]点R 〔-3，0〕，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足·PM =，2PM +3=，当点P 移动时，求M 点的轨迹方程。
课件1：1.参数方程的概念~2.圆的参数方程
为参数)
名师点睛
1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、 纵坐标之间的联系,而参数方程是通过参数反映坐标变量x、 y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意 义,也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常 是方程组的形式,任意给定一个参数的允许取值就可得到曲 线上的一个对应点,反过来对于曲线上任一点也必然对应着 其中的参数的相应的允许取值．
(1)求常数a； (2)求曲线C的普通方程． 【思维启迪】本题主要应根据曲线与方程之间的关系,可知 点M(5,4)在该曲线上,则点M的坐标应适合曲线C的方程，从 而可求得其中的待定系数,进而消去参数得到其普通方程．
解 (1)由题意可知有1at＋2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
∴x2＋y2 的最大值为 11＋6 2，最小值为 11－6 2.
题型三 参数方程的实际应用
例3 某飞机进行投弹演习,已知飞机离地面高度为H＝ 2 000 m,水平飞行速度为v1＝100 m/s,如图所示．
(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度； (2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车， 欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处 投弹？(g＝10 m/s2)
点击1 考查圆的参数方程的应用 1.已知圆 C 的参数方程为xy＝＝1c＋ os sαin，α(α 为参数)，以原点为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＝1，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为________．
曲线与方程 圆
曲线与方程圆
曲线与方程是数学中的重要概念，其中圆是一种特殊的曲线。
圆是一条包含无数个点的平面曲线，它的每个点到圆心的距离相等。
圆的方程可以用一组数学式子表示，通常是x²+y²=r²，其中 x
和 y 是圆上的任意点的坐标，r 是圆的半径。
圆有许多重要的性质和应用，比如用于计算周长、面积和弧长等。
圆还被广泛应用于地理、物理、工程学和建筑设计中，例如用于绘制
地球表面的经纬线和纬度线、设计圆形建筑和机械零件等。
总之，圆作为一种重要的曲线与方程，不仅具有美学价值，还拥
有广泛的应用领域，对于我们的日常生活和科学研究都有着重要的作用。
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曲线与方程、圆的方程江苏 郑邦锁1．曲线C 的方程为:f(x,y)=0⇔曲线C 上任意一点P （x 0,y 0）的坐标满足方程f(x,y)=0，即f （x 0,y 0）=0；且以f(x,y)=0的任意一组解（x 0,y 0）为坐标的点P （x 0,y 0）在曲线C 上。
依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。
求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P 的坐标(x,y)满足的方程（等式）。
求动点轨迹方程的步骤：①建系，写（设）出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。
[举例1] 方程04)1(22=-+-+y x y x 所表示的曲线是： （ ）A B C D解析：原方程等价于：⎩⎨⎧≥+=--40122y x y x ，或422=+y x ； 其中当01=--y x 需422-+y x 有意义，等式才成立，即422≥+y x ，此时它表示直线01=--y x 上不在圆422=+y x 内的部分，这是极易出错的一个环节。
选D 。
[举例2] 已知点A （－1，0），B （2，0），动点M 满足2∠MAB=∠MBA ，求点M 的轨迹方程。
解析：如何体现动点M 满足的条件2∠MAB=∠MBA是解决本题的关键。
用动点M 的坐标体现2∠MAB=∠MBA 的最佳载体是直线MA 、MB 的斜率。
设M （x ，y ），∠MAB=α，则∠MBA=2α，它们是直线 MA 、MB 的倾角还是倾角的补角，与点M 在x 轴的上方 还是下方有关；以下讨论：① 若点M 在x 轴的上方, ,0),90,0(00>∈y α此时，直线MA 的倾角为α，MB 的倾角为π-2α，,2)2tan(,1tan -=-+==∴x y x y k MA απα （2090≠α） ,2tan )2tan(ααπ-=- ,)1(112222+-+∙=--∴x y x yx y得： 1322=-y x ，∵1,>∴>x MB MA ．当2090=α时, α=450，MAB ∆为等腰直角三角形,此时点M 的坐标为(2,3)，它满足上述方程． ②当点M 在x 轴的下方时, y ＜０，同理可得点M 的轨迹方程为)1(1322≥=-x y x , ③当点M 在线段AB 上时,也满足2∠MAB=∠MBA,此时y=0(-1＜ｘ＜２)． 综上所求点的轨迹方程为)21(0)1(1322<<-=≥=-x y x y x 或．[巩固1]右图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则它的方程是A ．（21y x -+）·（21x y -+）=0B ．（21y x --）·（21x y --）=0C ．（21y x -+）·（21x y --）=0D ．（21y x --）·（21x y -+）=0[巩固2]已知点R （-3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足RP ·PM =0，2PM +3MQ =0，当点P 移动时，求M 点的轨迹方程。
[迁移]正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是棱AB 的中点，点P 是平面ABCD 上的一动点，且点P 到直线A 1D 1的距离两倍的平方比到点M 的距离的平方大4，则点P 的轨迹为： A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线2．圆的标准方程刻画了圆的位置特点（圆心与半径），圆的一般方程反映了圆的代数特点（二元二次方程Ax 2+By 2+Cxy+Dx+Ey+F=0⇔A=B ≠0，C=0,且D 2+E 2-4AF>0）。
判断点P （x 0,y 0）与⊙M ：(x-a)2+(y-b)2= r 2的位置关系，用|PM|与r 的大小，即：|PM|>r ⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2> r 2⇔P 在⊙M 外；|PM|<r ⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2< r 2⇔P 在⊙M 内；|PM|=r ⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2= r 2⇔P 在⊙M 上。
过两个定点A 、B 的圆,圆心在线段AB 的中垂线上。
[举例1]一圆经过A （4，2），B （-1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，则圆的方程为 。
解析：研究圆在坐标轴上的截距，宜用一般方程（因为与圆心、半径没有直接联系），设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,∵圆过点A 、B ，∴4D+2E+F+20=0 ①，-D+3E+F+10=0 ②，圆在x 轴上的截距即圆与x 轴交点的横坐标，当y=0时，x 2+Dx+F=0，x 1+x 2=-D圆在y 轴上的截距即圆与y 轴交点的纵坐标，当x=0时，y 2+Ey+F=0，y 1+y 2=-E由题意知：-D-E=2 ③，解①②③得D=-2，E=0，F=-12。
[举例2]若存在实数k 使得直线l ：kx-y-k+2=0与圆C ：x 2+2ax+y 2-a+2=0无公共点，则实数a 的取值范围是： 。
解析：本题看似直线远的位置关系问题，其实不然。
注意到直线l 对任意的实数k 恒过定点M （1，2），要存在实数k 使得直线l 与⊙C 相离，当且仅当M 点在圆外；方程x 2+2ax+y 2-a+2=0变形为：(x+a)2+y 2= a 2+a -2, M 点在⊙C 外⇔(1+a)2+4>a 2+a -2>0，解得：-7<a<-2或a>1. 注：本题中a 2+a -2>0是极易疏漏的一个潜在要求。
[巩固1]过点A （3，-2），B （2，1）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程是 。
[巩固2]已知定点M(x 0,y 0)在第一象限，过M 点的两圆与坐标轴相切，它们的半径分别为r 1，r 2,则r 1r 2= 。
[迁移] 关于曲线42:1C x y +=给出下列说法：①关于直线0y =对称；②关于直线0x =对称；③关于点(0,0)对称；④关于直线y x =对称；⑤是封闭图形，面积小于π；⑥是封闭图形，面积大于π；则其中正确说法的序号是3．涉及直线与圆的位置关系的问题，宜用圆心到直线的距离d 来研究。
d =r （r 为圆的半径）⇔直线与圆相切；过圆x 2+y 2=r 2上一点M (x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y=r 2；过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线，则两切点A 、B 连线的直线方程为x 0x+y 0y=r 2。
过⊙A 外一点P 作圆的切线PQ （Q 为切点），则|PQ|=22||r PA -。
d <r ⇔直线与圆相交，弦长|AB|=222d r -;过直线A x +B y +C =0与圆：F Ey Dx y x ++++22=0的交点的圆系方程：F Ey Dx y x ++++22+λ（A x +B y +C ）=0 。
d >r ⇔直线与圆相离,圆周上的点到直线距离的最小值为d -r ，最大值为d +r 。
[举例1] 从直线x -y+3=0上的点向圆1)2()2(22=+++y x 引切线，则切线长的最小值是 A.223 B.214 C.423 D. 223-1 解析：圆1)2()2(22=+++y x 的圆心A （-2，-2），直线x -y+3=0上任一点P ，过引圆的切线PQ （Q 为切点），则|PQ|=1||2-PA ，当且仅当|PA|最小时|PQ|最小，易见|PA|的最小值即A 到直线x -y+3=0的距离，为223，此时|PQ|=214，选B 。
[举例2] 能够使得圆222410x y x y +-++=上恰有两个点到直线20x y c ++=距离等于1的c 的一个值为：A ．2 C ．3 D ．解析：本题如果设圆上一点的坐标，用点到直线的距离公式得到一个方程，进而研究方程解的个数，将是非常麻烦的。
注意到圆心M （1，-2），半径r =2，结合图形容易知道，当且仅当M 到直线l ：20x y c ++=的距离d ∈（1，3）时，⊙M 上恰有两个点到直线l 的距离等于1，由d =5||c ∈（1，3）得：)53,5()5,53(⋃--∈c ，选C 。
[巩固1] 若直线(1+a)x +y +1=0与圆x 2+y 2－2x =0相切，则a 的值为 （ ）（A ）1，－1 （B ）2，－2 （C ）1 （D ）－1[巩固2]直线l 1：y=kx +1与圆C ：x 2+y 2+2kx+2my=0的两个交点A 、B 关于直线l 2：x+y=0对称，则CB CA ⋅= 。
[迁移]实数x ,y 满足24,012222--=+--+x y y x y x 则的取值范围为 （ ）A ．),34[+∞ B ．]34,0[ C ．]34,(--∞ D ．)0,34[- 4．判断两圆的位置关系用圆心距与它们半径和、差的大小。
⊙M 、⊙N 的半径分别为1r 、2r ， |MN|>1r +2r ⇔外离，|MN|=1r +2r ⇔外切，|1r -2r |<|MN|<1r +2r ⇔相交，此时，若⊙M ：011122=++++F y E x D y x ，⊙N ：022222=++++F y E x D y x ，过两圆交点的圆（系）的方程为：11122F y E x D y x +++++λ（22222F y E x D y x ++++）=0（⊙N 除外）。
特别地：当λ= -1时，该方程表示两圆的公共弦。
连心线垂直平分公共弦。
|MN|=|1r -2r |⇔内切，|MN|<|1r -2r |⇔内含。
[举例1]已知两圆O 1：x 2+y 2=16，O 2：(x-1)2+(y+2)2=9，两圆公共弦交直线O 1O 2于M 点，则O 1分有向线段MO 2所成的比λ= （ ）A ．56B ．65C ．-56 D ．-65 解析：直线O 1 O 2：y= -2x ，两圆公共弦：x-2y=6，于是有：M （56，512-），有定比分点坐标公式不难得到λ的值，选C 。
[举例2] 若,}1)2(|),{(},16|),{(2222B B A a y x y x B y x y x A =-≤-+=≤+= 且 则a 的取值范围是 （ ） A ．1≤a B ．5≥a C ．51≤≤a D ．5≤a解析：集合A 、B 分别表示两个圆面（a=1时集B 表示一个点），A ∩B=B ⇔B ⊂A ，即两圆内含；有两圆圆心分别为原点和（0，2），半径分别为4和1-a ，于是有：2≤4-1-a ,解得：51≤≤a ，选C 。