求曲线方程的几种常用方法

求曲线方程的几种常用方法
求曲线的方程，是学习解析几何的基础，求曲线的方程常用的方法主要有：
1．直接法：就是课本中主要介绍的方法。

若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。

从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。

例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。

解法一：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的有中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则A (,0)a -，B (,0)a 。

设动点C 为(,)x y ，
∵222||||||AC BC AB +=，
∴2
224a +=，
即222x y a +=．
由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点， 故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。

解法二：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，C (,)x y
∵1AC BC k k =-， （1） ∴1y y x a x a =-+- ， （2）
化简得：222x y a += ， （3）
由于在x a ≠±时方程（2）与（3）不等价，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。

解法三：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，且设动点C (,)x y 。

∵1||||2
CO
AB =， a =，即222x y a +=。

轨迹中应除去A 、B 两点(理由同解法一)，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。

说明：利用这种方法求曲线方程的一般方法步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示曲线上任意点M 的坐标；
(2)写出适合条件p 的点M 的集合{|()}p M p m =；
(3)用坐标表示()p m ，列出方程(,)0f x y =；
(4)化简方程(,)0f x y =为最简形式；
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（此步骤经常省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点。

）。

这种按照上述五个步骤来求曲线方程的方法，又称“五步法”或“条件直译法”，这是求曲线方程的基本方程。

本例虽然有三种解法，但实质上都是利用等量关系，直接求出轨迹的方程。

2．代入法（或利用相关点法）：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。

例2：已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且:1:2AM MB =，求动点M 的轨迹方程。

解：设A (,0)a ，B (0,)b ，M (,)x y ，
一方面，∵||6AB =，∴2236a b +=， ①
另一方面，M 分AB 的比为12
， ∴1022133122130121312
a x a a x
b y b y b ⎧+⨯⎪==⎪⎪+⎧=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+⎩⎪==⎪+⎪⎩ ② ②代入①得：223()(3)362
x y +=，即221164x y +=。

说明：本例中，由于M 点的坐标随着A 、B 的变化而变化，因而动点M 的坐标(,)x y 可以用
A 、
B 点的坐标来表示，而点M 又满足已知条件，从而得到M 的轨迹方程。

此外，与上例一样，求曲线的方程时，要充分注意化简过程是否完全同解变形，还要考虑曲线上的一些特殊点。

3．几何法：求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作几何法。

例3：如图，已知两定点A （6,0-），B （2,0），O 为原点，动点P 与线段AO 、BO 所张的角
相等，求动点P 的轨迹方程。

解：设P (,)x y ，由题APO BPO ∠=∠，由三角形角平分线定理有||||||||
PA AO PB BO =，
3=，整理得22
60x y x +-=， 当0x =时，0y =，P 和O 重合，无意义，∴0x ≠，
又易知P 落在x 轴上时，除线段AB 以外的任何点均有00APO BPO ∠=∠=，∴0y =（6x <-或2x >）也满足要求。

综上，轨迹方程为2260x y x +-=（0x ≠）或0y =（6x <-或2x >）。

说明：本例利用平面几何的知识（三角形的角平分线定理进行解题），方便了求轨迹的方程。

4．参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。

如果借助中间量（参数），使(,)x y 之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。

例4：过不在坐标轴上的定点M (,)a b ,的动直线交两坐标轴于点A 、B ，过A 、B 作坐标轴的垂线交于点P ，求交点P 的轨迹方程。

解：设P (,)x y ，并设过M 的动直线为：()y b k x a -=-，
由于与坐标轴交于A 、B 两点，所以k 必存在，且0k ≠，
则A （0,b ak -），B （,0b a k -），所以P （,b a b ak k
--）， 即b x a k y b ak
⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，
消去参数k ，即：()()x a y b ab --=。

说明：本题由k 把,x y 联系在一起，k 称之为参数。

由于P 点是直线的交点，则P 的坐标一定会满足这两条动直线的方程，解出,x y ，消去参数k 就得到了,x y 的关系，这种求曲线方程的方法称为参数法。

以上介绍了求曲线方法的几种主要方法，即直译法、相关点法、几何法及参数法。

求曲线方程的关键是仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，寻找曲线上任一点（动点）所满足的条件，然后把动点所适合的条件转化为动点坐标所适合的等式。

其间要注意同解变形，并考虑一些特征点是否适合方程。

5.定义法:当支点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)，我们可以直接根据定义写出动点的轨迹方程。

这种方法称为定义法。

例：在△ABC 中固定底边BC 且||BC a =，如果三内角满足：1sin sin sin ,2C B A -=
试求顶点A 的轨迹方程。

分析：本题的基本关系为三角关系1sin sin sin ,2
C B A -=需将这三角关系转化为代数关系，这就需要借助于正、余弦定理等进行合理地转化。

解：以BC 所在的直线为x 轴，BC 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则(,0),(,0)22a a B C -。

设点A 的坐标为(,)x y ，由正弦定理及1sin sin sin ,2
C B A -=得1,:2c b a -=即11||||||()22
AB AC BC a -==定值。

由双曲线的定义知：点A 的轨迹为以B 、C 为焦点，焦距为a ，实轴长为2
a 的双曲线的右支（不包括顶点）
，虚轴长为22
b a == 故可得轨迹方程为22221()34
1616
x y a x a a -=> 评注：这里由已知条件推得1||||()2
AB AC a -=定值后，即由双曲线的定义得出轨迹方程，其中将已知条件进行转化是关键。

6．交轨法：在求动点的轨迹方程时，经常会遇到要求两动曲线的交点轨迹方程问题，这类问题的解法有一定技巧性，主要是想方设法消去动曲线中的参数，得出所求的轨迹方程，这种方法便称为交轨法。

例：已知点P 在直线2x =上移动，直线l 通过原点且与OP 垂直，通过点A （1，0）及点P 的直线m 和直线l 交于点Q ，求Q 点的轨迹方程，并指出轨迹的名称和它的焦点坐标。

分析：如图所示，纵观两条动直线l 与m ，它们的变化是随着点P 的变化而变化的，因此可以选取OP 的斜率为参数表示出动直线m, l 的方程。

解：设直线OP 的斜率为k ，则P 点的坐标为（2，2k ），从而得出直线l 的方程为0x ky +=,直线m 的方程为2(1)y k x =-，上述两式联立消去k ，得22
220(1).x y x x +-=≠ 即Q 点的轨迹方程为221()21(1)11
42
x y x -+=≠。

其轨迹为以1111(,)(,)2222
-和为焦点，除去点（1，0）的椭圆。