量子力学专题讲座-1-波函数的统计解释与薛定鄂方程

一、波函数的统计解释在量子力学中，我们用波函数),(t x ψ来描述一个微观粒子的状态，从这个波函数我们可以得到微观粒子的所用信息。

如何从波函数得到微观粒子的信息是量子力学的一个主要内容。

波恩的统计解释：{}2.(,)baa b x t dx t ψ=⎰在时刻发现粒子处于和之间的几率也就是说，ψψ=ψ*2),(t x 是几率密度，它给出在t 时刻粒子处于x 处单位体积内的几率。

由于这个性质，波函数必须满足1. 是归一化的1),(2=ψ⎰∞∞-dx t x（或者说是可归一化的，dx t x ⎰∞∞-ψ2),( 积分为有限值）2. 满足波函数的标准条件：有限性（不排除在个别点上，ψ和它的微商在保持平方模可积条件下可以趋于无限大。

）；单值性（ψ应该是坐标和时间的单值函数，这样才能使粒子的几率密度在时刻t ，坐标x 有唯一确定值）；连续性（由于几率密度应当连续，波函数和它的微商也必须连续，不排除微商在势能为无限大处不连续）。

由波函数的统计解释，对处于ψ态的一个粒子，对其坐标多次测量的平均值（期待值）是dx x 2⎰ψ是你所得到结果的平均值。

而是相反：第一次测量(其结果是不确定的)将使波函数坍塌至位于实际获得的测量值处的一个尖峰，以后的测量(如果它们立即进行)将得到同样的结果。

.测量引起波函数的坍塌而x是所有测量都是对处在ψ态的粒子所进行的平均值，这意味着你要么发现某种方法使测量后粒子的状态回到ψ态，要么你准备一个系综,其中每个粒子都处在ψ态，然后测量每个粒子的位置, x是所有结果的平均值。

(你们可以想象在一个书架上放一行瓶子,每个瓶子中放一个处在ψ态(相对瓶子的中心)的粒子，每一个学生被分配拿一把尺子测量一个瓶子中粒子的位置，一声令下他们同时开始测量自己瓶子中粒子的位置。

计算平均值,它应该符合x。

简短而言，期待值是对含有相同体系的一个系综中不同体系的重复测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。

如果紧接着第一次测量进行第二次测量，能测量到什么结果？粒子还是在C？还是每次都测量到一个完全的不同的新结果？事实是第一次测量完全改变了波函数，所以它现在是尖锐的在C 点耸起。

我们称之为由于测量产生的波函数的坍塌,在C 点生成针状波形(由于波函数遵从薛定鄂方程,这个波将很快弥散开来,所以第二次测量要立即进行)。

所以存在两类完全不同的物理过程:“正常”类，波函数按薛定鄂方程“从容不迫”的演化，“测量”类，由于测量，波函数突然和不连续的坍塌。

对于坐标这个力学量，由波函数我们可以得出它的信息，那么其他力学量呢？当体系随时间演化时,x 将发生变化(因为ψ是依赖时间的),我们可能对它运动的变化快慢感兴趣。

我们计算dx x x x x mi dx t x dtxd ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψ∂ψ∂-∂ψ∂ψ∂∂=ψ∂∂=**22 利用分部积分公式,上式可以写为dx x x m i dtxd ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛ψ∂ψ∂-∂ψ∂ψ-=**2(我们利用了1/=∂∂x x ,并丢掉了边界项,因为在)(±无限大处ψ趋于零。

)对第二项再进行一次分部积分,有dx xmi dtxd ⎰∂ψ∂ψ-=*我们拿这个结果做什么? 注意我们讨论的是x 期待值的“速度”，它同粒子的速度不是一回事。

在量子力学中速度意味着什么都不是很清楚的：如果粒子没有一个确定的位置(在测量之前)，那么它也不会有一个明确定义的速度。

我们只能问的是得到一个特定值的几率是多少。

对我们目前的而言，我们假设速度的期待值等于位置期待值对时间的导数就足够了：dtx v =这个式子告诉我们如何从ψ计算v 。

实际中,习惯使用动量)(mv p =,而不是速度：*.d x p mi dx dtx ∂ψ⎛⎫==-ψ ⎪∂⎝⎭⎰让我们把x 和p 的表示式写作更有启发意义的形式：()*,x x dx =ψψ⎰*.p dx i x ∂⎛⎫=ψψ ⎪∂⎝⎭⎰我们说在量子力学中算符x “表示”位置，算符)/)(/(x i ∂∂ “表示”动量；计算期待值时我们把适当的算符放在*ψ和ψ之间，然后积分。

事实上，所有经典力学量都可以表示为坐标和动量的函数（当然还有非经典量，比如自旋，方法一样）。

例如，动能是mpmvT 22122==角动量是pr mv r L ⨯=⨯=(当然,角动量对一维运动不存在)。

要计算任何物理量),(p x Q 的期待值,我们简单地可以用)/)(/(x i ∂∂取代每一个p ，再把得到的算符放在*ψ和ψ之间，然后积分。

当粒子处于态),(t x ψ时，对于一个力学量，如果我们还想知道测量这个力学量可以得到那些特定值，得到某个特定值的几率是多少，那么该如何做？波函数的统计解释（广义统计解释）给出，首先，我们需要知道这个力学量的本征函数。

,n n n F Φ=Φ∧λ ,...3,2,1=n 分立谱本征函数满足正交归一条件nm n mdx δ=ΦΦ⎰∞∞-*将体系的状态波函数ψ用算苻∧F的本征函数nΦ展开n nncΦ=ψ∑则在ψ态中测量力学量∧F 得到结果为n λ的几率是2nc ，在测量后波函数坍塌为n Φ。

对一个系综（含有大量相同体系）每一个体系进行测量的平均值为dxF c F nnnψψ==⎰∑∞∞-∧*2λ如果力学量的本征谱为连续谱,λλλΦ=Φ∧F ∞<<∞-λ本征函数满足δ函数归一化)('*'λλδλλλ-=ΦΦ⎰∞∞-d同样将体系的状态波函数ψ用算苻∧F 的本征函数λΦ展开λλλd c Φ=ψ⎰∞∞-如果对体系测量λ，得到结果在λλλd +→范围内的几率是λλd c 2，2λc 是几率密度。

测量同样导致波函数的坍塌，坍塌为λ处的一个尖锐波峰。

对一个系综（含有大量相同体系ψ）每一个体系进行测量力学量的平均值为dx F d c F ψψ==⎰⎰∞∞-∧∞∞-*2λλλ这样由体系的状态波函数，我们就可以得到粒子的全部信息。

二、薛定鄂方程的一般求解方法 对给定的体系（给定势能函数），如何得到体系的波函数是量子力学的另一个基本内容。

体系状态波函数随时间的演化满足薛定鄂方程（相当于经典力学中的牛顿运动方程）：ψ=∂ψ∂∧H ti其中哈密顿算苻（能量算苻）VmV mpH +∇-=+=∧∧22222薛定鄂方程的性质与特点： 1.方程是线性的，满足态叠加原理，如果1ψ和2ψ都是方程的解，那么它们的线性叠加21ψ+ψb a 也是方程的解。

2. 方程是非相对论的，时间t 和坐标xyz 地位不等价，t 是作为一个参数，而坐标是算符。

3.如果定义几率流密度()ψ∇ψ-ψ∇ψ=**2mi J可以得到连续性方程0J =⋅∇+∂ψ∂t2这表明空间一体积内几率密度随时间的变化等于从包围这体积面积流入（出）的几率流密度量值。

4. 波函数的归一化性质不随时间改变。

（这一点非常关键，如果波函数在0=t 时刻是归一化的，而随时间的演化(波函数按薛定鄂方程演化)，它不再是归一化的，整个量子力学体系将崩溃） 证明：22(,)(,).d x t dx x t dx dt t∞∞-∞-∞∂ψ=ψ∂⎰⎰ψ∂ψ∂+∂ψ∂ψ=ψψ∂∂=ψ∂∂tttt***2.薛定鄂方程可以写作22,2i i V tm x∂ψ∂ψ=-ψ∂∂及其共轭式*2**2,2i i V tm x∂ψ∂ψ=-+ψ∂∂所以22**2**22.22i i tm x x x m x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂ψ∂ψ∂∂ψ∂ψψ=ψ-ψ=ψ-ψ⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦*2*(,).2di x t dx dtm x x ∞∞-∞-∞⎛⎫∂ψ∂ψψ=ψ-ψ ⎪∂∂⎝⎭⎰但是当x 趋于)(±无限大时),(t x ψ必须趋于零−否则波函数是不可归一化的（物理上的波函数必须是可归一化的）这样有2(,)0,dx t dx dt∞-∞ψ=⎰因此积分是一个常数(不依赖时间)；如果ψ在0=t 时是归一化的，它在以后所有时刻保持归一化。

证毕求解薛定鄂方程的一般方法：如果势能函数不显含时间（绝大多数是这种情况），通过分立变量，得到定态薛定鄂方程（能量本征值方程）ψψE H =∧由此解出一组能量本征函数{}n ψ和能量本征值{}n E ，能量本征函数组成正交归一系。

定态解为)/exp()(),( t iE n n n -=ψr t r ψ薛定鄂方程的一般解为)/exp()(),( t iE c n nn -=ψ∑r t r nψ（分离谱）dEiEt c EE )/exp(),( -=ψ⎰ψt r （连续谱）叠加系数由t=0时刻的初始条件定。

)()0,(r r nnn c ψ∑=ψ利用本征函数的正交归一性r 0r d c n n ),(*ψ=⎰ψ为什么如此强调定态解呢？下面讲三个原因，其中两个是从物理上的，另一个是数学上的。

１．它们是定态(stationary states)。

尽管波函数本身(,)(),iEt x t x eψ-ψ=明显和时间有关，但是几率密度22(,)(),iEt iEt x t eex ψψψ**+-ψ=ψψ==却不依赖时间−时间因子被相互抵消。

计算任何动力学变量的期望值也是同样；(,)(,).d Q x p Q x dx i dxψψ*〈〉=⎰对定态，任何一个期待值都是不依赖时间的（当然是指算符本身不显含时间）；我们可以完全去掉()t ϕ，简单的用ψ来代替ψ。

（的确，通常都称ψ为“波函数”，但是这是粗略的语言，可能引起误解。

重要的是要记住真正的波函数总是含有指数时间因子的。

）特别是，x 〈〉是常数，因此0p 〈〉=。

定态不发生任何事情。

２．定态是具有确定总能量的态。

总能量的期望值是2.H H dx E dx E ψψψ∧*〈〉===⎰⎰（注意因为是ψ归一化的，所以ψ也是归一化的。

）另外，22()()(),HH H H E E H E ψψψψψ∧∧∧∧∧====所以22222.HHdx Edx E ψψψ∧∧*〈〉===⎰⎰所以H 的标准差是222220.HH H E E σ=〈〉-〈〉=-=结论是定态有这样一种性质，总能量的每次测量结果是确定的值E3. 一般解是定态解的线性迭加。

定态薛定谔方程给出一个无限的解集123((),(),(),)x x x ψψψ ，每一个解有相应的能量本征值123(,,,)E E E ；由于（含时）薛定谔方程是线性的，多个解的线性迭加仍然是其本身的解。

所以一旦得到定态解，便可以立即构造一个一般解，其形式为1(,)().n iE t n n n x t c x eψ∞-=ψ=∑这样每一个薛定鄂方程（含时的）解都能写成上面的形式−而余下的事情就是简单找出满足具体问题初始条件的适当常数123(,,,)c c c 。

所以一旦解出了定态薛定谔方程，就可以从它们得到含时薛定谔方程的一般解，这在原则上是简单明了的。