高中数学选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》单元测试题(含答案)
这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →
|取最小值时，x 的值等于________．
解析：AB →
＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则 |AB →
|＝1－x
2
＋2x －3
2
＋－3x ＋3
2
＝14x 2－32x ＋19＝
14⎝
⎛
⎭⎪⎫x －872＋57，
故当x ＝8
7时，|AB →|取最小值．
答案：87
14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析：如图，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)， 易证AC 1→
是平面A 1BD 的一个法向量．
AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→
＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→
，BC 1→
〉＝
1＋13×2＝6
3
. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为6
3.
答案：
63
设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，
则N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， ∴NE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－22，－22，1. 又A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线．
∴NE ∥AM .
又NE ⊂平面BED ，AM ⊄平面BDE ，
∴AM ∥平面BDE .
(2)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，
则PF →＝(2－t ，2－t,1)，CD →＝(2，0,0)．
又∵PF →与CD →所成的角为60°，
|
2－t ·2|2－t
2＋2－t 2＋1·2＝12， 解之得t ＝22，或t ＝322
(舍去)． 故点P 为AC 的中点．
22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．。
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测卷含解析
选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间四个点O 、A 、B 、C ，OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( ) A ．O 、A 、B 、C 四点不共线 B ．O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线 C ．O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线 D ．O 、A 、B 、C 四点不共面2．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．45°3．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝135．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( )A ．0B ．2C ．4D ．66．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥ BD →.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a·b ＝2，则x 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定9．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 10．若向量a ＝(2,3，λ)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，63的夹角为60°，则λ等于( ) A.2312 B.612 C.23612 D ．－2361211．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 12．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12 B.32 C.13 D.33第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________. 14．若A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝__________.15．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为__________． 16.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α、β、γ的值．18.(本小题满分12分)如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且SA ＝SC ＝2a ，SB ＝SD ＝2a ，点E 是SC 上的点，且SE ＝λa (0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD ⊥AE ；(2)若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小．19.( 本小题满分12分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．20．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥S —ABC 中，SO ⊥平面ABC ，侧面SAB 与SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，求二面角A —SC —B 的余弦值．21.(本小题满分12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；(2)求点B到平面PCD的距离．22．(本小题满分12分)如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证： AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P —AC —D 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题参考答案【第1题解析】如果O 、A 、B 、C 四点共面，则OA ，OB ，OC 共面，则OA ，OB ，OC 不可能为空间的一个基底.故选B.【第4题解析】AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12AB →＋12AD →，由空间向量的基本定理知，x ＝y ＝12.故选C.【第5题解析】利用线面角的公式可以求得其中有BD ，11B D ，11,B A C D 四条直线对角线满足题意，由题得C 是正确答案，故选C.【第6题解析】∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP ⊥AD ，②正确；由①②知AP →是平面ABCD 的法向量，∴③正确，④错误．故选C. 【第7题解析】32525x x -+-=∴=，故选C.【第8题解析】△BCD 中，BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AB →2>0.∴∠B 为锐角，同理，∠C ，∠D 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．故选B. 【第9题解析】建系如图，设AB ＝1，则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)．∴BA 1→＝(－1,0,1)，A C 1→＝(0,1,1)∴cos 〈BA 1→，A C 1→〉＝＝12·2＝12.∴〈BA 1→，A C 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°.故选C.【第11题解析】∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则QA →＝(1－x ，2－x,3－2x )，QB →＝(2－x,1－x,2－2x )．∴QA →·QB →＝6x 2－16x ＋10，∴x ＝43时，QA →·QB →最小，这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.故选C.【第12题解析】以点D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1C →＝(－1,1，－1)，A C 1→＝(－1,1,1)．可以证明A 1C ⊥平面BC 1D ，AC 1⊥平面A 1BD .又cos 〈A C 1→，A 1C →〉＝13，结合图形可知平面A 1BD 与平面C 1BD所成二面角的余弦值为13.故选C.【第13题解析】∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，∴c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)． ∴(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝－2，∴x ＝2. 故填2.【第14题解析】AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，－74，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1，－74，由a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y z ＝－43y ，x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．故填2∶3∶(－4)【第15题解析】∵cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝－12·2＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.故填60°或120°. 【第16题解析】建立如图所示坐标系，则AD →＝(－1,1，－2)， B C 1→＝(0,2，－2)， ∴cos 〈AD →，B C 1→〉＝622·6＝32，∴〈AD →，B C 1→〉＝π6.即异面直线AD 和BC 1所成角的大小为π6.故填π6.【第18题答案】（1）证明见解析；（2）SA 与平面BED 所成的角为π6.【第18题解析】(1)证明 连结BD ，AC ，设BD 与AC 交于O .由底面是菱形，得BD ⊥AC . ∵SB ＝SD ，O 为BD 中点， ∴BD ⊥SO . 又AC ∩SO ＝O ， ∴BD ⊥面SAC .又AE ⊂面SAC ，∴BD ⊥AE . (2)解 由(1)知BD ⊥SO ，同理可证AC ⊥SO ，∴SO ⊥平面ABCD .取AC 和BD 的交点O 为原点建立如图所示的坐标系，设SO ＝x ，则OA ＝4a 2－x 2，OB ＝2a 2－x 2. ∵OA ⊥OB ，AB ＝2a ，∴(4a 2－x 2)＋(2a 2－x 2)＝4a 2，解得x ＝a .∴OA ＝3a ，则A (3a,0,0)，C (－3a,0,0)，S (0,0，a )． ∵SC ⊥平面EBD ，∴SC →是平面EBD 的法向量． ∴SC →＝(－3a,0，－a )，SA →＝(3a,0，－a )． 设SA 与平面BED 所成角为α，则sin α＝||||||SC SA SC SA ⋅⋅＝|－3a 2＋a 2|3＋1a·3＋1a ＝12， 即SA 与平面BED 所成的角为π6.(2)ka ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)，∴ (k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.【第20题答案】二面角A —SC —B 的余弦值为33. 【第20题解析】以O 为坐标原点，射线OB ，OA ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空直角坐标系Oxyz .设B (1,0,0)，则C (－1,0,0)，A (0,1,0)，S (0,0,1)，SC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12.【第21题答案】（1）证明见解析；（2）455. 【第21题解析】(1)证明 如图，以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (4,2,0)，D (4,0,0)，P (0,0,2)．∴PD →＝(4,0，－2)，CD →＝(0，－2,0)，PA →＝(0,0，－2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －2y ＝04x －2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0x ＝12，所以平面PCD 的一个法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1. ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又∵AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD .∴平面PAD 的法向量为AB →＝(0,2,0)．∵n ·AB →＝0，∴n ⊥AB →.∴平面PDC ⊥平面PAD .(2)由(1)知平面PCD 的一个单位法向量为n |n|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255. ∴＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 4，0，0 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255＝455，∴点B 到平面PCD 的距离为455.于是S (0,0，62a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0， OC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，22a ，0， SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，∴OC →·SD →＝0.∴OC ⊥SD ，即AC ⊥SD .(2)由题意知，平面PAC 的一个法向量DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，平面DAC 的一个法向量 OS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ， 设所求二面角为θ，则cos θ＝＝32， 故所求二面角P —AC —D 的大小为30°.。
高中数学第三章空间向量与立体几何单元综合测试(含解析)新人教A版选修2-1
单元综合测试三（第三章）时间:90分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题,共60分）一、选择题(每小题5分，共60分)1．与向量a＝(1,－3,2)平行的一个向量的坐标可以是( C )A.错误!B．(－1，－3，2）C。
错误!D．（错误!，－3，－2错误!)解析:a＝（1，－3，2)＝－2错误!。
2．如图所示,在平行六面体ABCD。
A1B1C1D1中，已知错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c，则用向量a，b,c表示向量错误!为( D )A．a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b－cD．－a＋b＋c解析：错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝－a＋b＋c.3．已知a＝（2，－1,3),b＝（－4，2，x），c＝(1，－x，2）,若(a＋b）⊥c,则x 等于（ B ）A．4 B．－4C。
错误!D．－6解析：a＋b＝（－2，1，3＋x）,∵（a＋b)⊥c，∴(a＋b)·c＝0,∴－2－x＋2(3＋x）＝0，得x＝－4。
4．若a＝(1,λ,2），b＝（2,－1，2),且a，b的夹角的余弦值为错误!，则λ等于（ C ）A．2 B．－2C．－2或错误!D．2或－错误!解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ＝错误!×3×错误!.解得λ＝－2或错误!.5．已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别是AB、AD、DC 的中点,则a2是下列哪个选项的计算结果( C ）A．2错误!·错误!B．2错误!·错误!C．2错误!·错误!D．2错误!·错误!解析：2错误!·错误!＝－a2，A错;2错误!·错误!＝－a2，B错;2错误!·错误!＝－错误!a2，D错;只有C对．6．若A（x,5－x,2x－1）,B（1，x＋2,2－x），当｜错误!|取最小值时，x的值等于（ C ）A．19 B．－错误!C。
错误! D。
错误!解析：错误!＝（1－x，2x－3,－3x＋3），则|错误!｜＝错误!＝错误!＝错误!,故当x＝错误!时,|错误!|取最小值,故选C.7．已知ABCD，ABEF是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与EF所成的角为（ B ）A．30°B．45°C．60°D．90°解析：∵错误!＝错误!＋错误!,四边形ABCD，ABEF均为正方形，∴错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·错误!＝－错误!·错误!＋错误!2＝1。
2021年高中数学 第三章 空间向量与立体几何单元检测(A)(含解析)苏教版选修2-1
2021年高中数学 第三章 空间向量与立体几何单元检测（A ）（含解析）苏教版选修2-1一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，使a ⊥b 成立的x 与使a ∥b 成立的x 分别为________．2．设a ＝(x,4,3)，b ＝(3,2，z )，且a∥b ，则xz 的值为________． 3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______. 4．若向量(1,0，z )与向量(2,1,2)的夹角的余弦值为25，则z ＝________. 5．已知a 、b 、c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是________．(填序号) ①2a ，a －b ，a ＋2b ； ②2b ，b －a ，b ＋2a ； ③a,2b ，b －c ；④c ，a ＋c ，a －c .6．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.7．设直线a ，b 的方向向量是e 1，e 2，平面α的法向量是n ，则下列命题中错误的是________．(写出所有错误命题的序号) ①⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥e 2e 1∥n b ∥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫e 1∥n e 2∥n a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫e1∥nbαe1⊥e2b∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫e1∥e2e1∥nb⊥α.8．如图所示，已知正四面体ABCD中，AE＝14AB，CF＝14CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．9．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为________．10．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则α与β的关系为________．11．在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D 在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin α的值是________．12．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是________．13．已知力F1＝(1,2,3)，F2＝(－2,3，－1)，F3＝(3，－4,5)，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从M1(0，－2，1)移到M2(3,1,2)，则合力作的功为________．14．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则x＝______，y＝______.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.16．(14分)在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，若F是AE的中点．求证：DF∥平面ABC.17．(14分)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．19．(16分)在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB ＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面所成的角为30°.(1)若AE⊥PD，垂足为E，求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：CF ⊥平面BDE ；(2)求二面角A －BE －D 的大小．第3章 空间向量与立体几何(A)1.103，－6 解析 若a ⊥b ，则－8－2＋3x ＝0，x ＝103；若a∥b ，则2∶(－4)＝(－1)∶2＝3∶x ，x ＝－6. 2．9解析 ∵a ＝(x,4,3)，b ＝(3,2，z )，且a∥b ， ∴存在实数λ使得a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，4＝2λ，3＝zλ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，z ＝32.∴xz ＝9.3．－9解析 ∵l ⊥α，∴u ⊥v ，∴(1，－3，z )·(3，－2,1)＝0，即3＋6＋z ＝0，∴z ＝－9.4．2或12解析 由题知1，0，z ·2，1，21＋z 2·3＝2＋2z 1＋z 2·3＝25，即2z 2－5z ＋2＝0，得z ＝2或12.5．③解析 ∵a ，b 不共线，由共线向量定理知由a ，b 表示出的向量与a ，b 共面，即①、②中的向量因共面不能构成空间一个基底，同理④中的三向量也不能构成空间一个基底． 6．16解析 PA →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设PC →＝xPA →＋yPB →(x 、y ∈R )，则(2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4)＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.7．① 8.413解析 因四面体ABCD 是正四面体，顶点A 在底面BCD 内的射影为△BCD 的垂心，所以有BC ⊥DA ，AB ⊥CD .设正四面体的棱长为4，则BF →·DE →＝(BC →＋CF →)·(DA →＋AE →)＝0＋BC →·AE →＋CF →·DA →＋0＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4，BF ＝DE ＝42＋12－2×4×1×cos 60°＝13，所以异面直线DE 与BF 的夹角θ的余弦值为：cos θ＝|BF →·DE →||BF →||DE →|＝413.9．60°解析 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，即〈CA →，BD →〉＝120°，所以二面角的大小为60°.10．α∥β解析 ∵v ＝－3u ，∴v ∥u .故α∥β.11.64解析如图所示，建立坐标系，易求点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，1， 平面AA 1C 1C 的一个法向量是 n ＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AD →〉＝322＝64，即sin α＝64. 12．60° 解析 ∵cos θ＝a·b |a|·|b |＝12，∴θ＝60°.13．16解析 合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(2,1,7)，F 对物体作的功即为W ＝F ·M 1M 2→＝(2,1,7)·(3,3,1)＝2×3＋1×3＋7×1＝16.14.16 －32解析 ∵a∥b ，∴2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.15．证明 如图所示，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系A —xyz .设D (0，a,0)，则B (2，0,0)，C (2，a,0)，P (0,0，2)，E (22，0，22)．于是AE →＝(22，0，22)，BC →＝(0，a,0)，PC →＝(2，a ，－2)，则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0.所以AE →⊥BC →，AE →⊥PC →， 即AE ⊥BC ，AE ⊥PC . 又因为BC ∩PC ＝C ， 所以AE ⊥平面PBC .16．证明 如图所示，以点B 为原点，BA 、BC 、BE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，D (0,2,1)，E (0,0,2)． 由中点坐标公式知F (1,0,1)．∴DF→＝(1，－2,0)，BE→＝(0,0,2)．∵BE⊥平面ABC，∴BE→是平面ABC的一个法向量．∵DF→·BE→＝(1，－2,0)·(0,0,2)＝0，∴DF→⊥BE→.又∵DFD平面ABC，∴DF∥平面ABC.17．解因为BC→＝AC→－AB→，所以OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→＝|OA→||AC→|cos〈OA→，AC→〉－|OA→||AB→|cos〈OA→，AB→〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－162＋24.所以cos〈OA→，BC→〉＝OA→·BC→|OA→||BC→|＝24－1628×5＝3－225.即OA与BC所成角的余弦值为3－225.18．解如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.(1)DA→＝(1,0,0)，CC′→＝(0,0,1)．连结BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设DH→＝(m，m,1) (m>0)，由已知〈DH→，DA→〉＝60°，由DA→·DH→＝|DA→||DH→|cos〈DH→，DA→〉，可得2m＝2m2＋1.解得m＝22，所以DH→＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1.因为cos〈DH→，CC′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH→，CC′→〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是DC→＝(0,1,0)．因为cos〈DH→，DC→〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH→，DC→〉＝60°，可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.19．(1)证明以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A—xyz，由题意知A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)．∵PD在底面的射影是DA，且PD与底面所成的角为30°，∴∠PDA＝30°，∴P⎝⎛⎭⎪⎫0，0，233a，∵AE⊥PD，∴|AE→|＝12|AD→|＝a，E⎝⎛⎭⎪⎫0，12a，32a，∴BE→＝⎝⎛⎭⎪⎫－a，12a，32a，PD→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，2a，－233a，∴BE→·PD→＝0·(－a)＋a2·2a＋3a2·⎝⎛⎭⎪⎫－23a＝0，∴BE→⊥PD→，即BE⊥PD.(2)解由(1)知AE→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，a2，3a2，CD→＝(－a，a,0)，∴AE→·CD→＝a22，又|AE→|＝a，|CD→|＝2a，∴cos〈AE→，CD→〉＝AE→·CD→|AE→||CD→|＝24，∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为24.20．(1)证明因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C－xyz.则C(0,0,0)，A(2，2，0)，B(0，2，0)，D(2，0,0)，E(0,0,1)，F(22，22，1)．精品文档 实用文档 所以CF →＝(22，22，1)，BE →＝(0，－2，1)，DE →＝(－2，0,1)． 所以CF →·BE →＝0－1＋1＝0， CF →·DE →＝－1＋0＋1＝0.所以CF →⊥BE →，CF →⊥DE →，即CF ⊥BE ，CF ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以CF ⊥平面BDE .(2)解 由(2)知，CF →＝(22，22，1)是平面BDE 的一个法向量． 设平面ABE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·BA →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎨⎧ x ，y ，z ·2，0，0＝0，x ，y ，z ·0，－2，1＝0.所以x ＝0，且z ＝2y .令y ＝1，则z ＝2，所以n ＝(0,1，2)．从而cos 〈n ，CF →〉＝n ·CF →|n ||CF →|＝32. 因为二面角A －BE －D 为锐角，所以二面角A －BE －D 的大小为π6.C[ B27283 6A93 檓39870 9BBE 鮾34596 8724 蜤24689 6071 恱33172 8194 膔31471 7AEF 端 v{28623 6FCF 濏{。
2021高中数学人教A版选修2-1(第三章+空间向量与立体几何)章节练习试题(含详细解析)
2021年09月30日试卷一、单选题(共25题；共0分)1、(0分)如图，已知二面角 α－ PQ － β的大小为60°，点 C 为棱 PQ 上一点， A ∈ β ， AC ＝2，∠ ACP ＝30°，则点 A 到平面 α的距离为( )A. 1B. 12C.√32D. 322、(0分)在正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1中，若AB=2, AA 1=1,则点A 到平面 A 1BC 的距离为（ ）A.√34B.√32C.3√34D. √33、(0分)正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值为( )A.√23B.√33C. 23D.√634、(0分)已知m 、n 、l 是三条不同的直线， α、 β、 γ是三个不同的平面，给出以下命题：①若 m ⊂α,n ∥α ， 则 m ∥n ； ②若 m ⊂α,n ⊂β,α⊥β,α∩β=l,m ⊥l ， 则 m ⊥n ；③若 n ∥m ， m ⊂α ， 则 n ∥α；④若 α∥γ,β∥γ ， 则 α∥β 其中正确命题的序号是（ ）A. ②④B. ②③C. ③④D. ①③5、(0分)下列各组向量不平行的是（ ） A. a →=(1,0,0),b →=(−3,0,0) B. a →=(0,1,0),b →=(1,0,1)C. a →=(0,1,−1),b →=(0,−1,1)D. a →=(1,0,0),b →=(0,0,0)6、(0分)若平面α，β的法向量分别为n 1=(2，-3，5)，n 2=(-3，1，-4)，则( ). A. α∥βB. α⊥βC. α，β相交但不垂直D. 以上均不正确7、(0分)如图,半径为√3的扇形AOB 的圆心角为120∘,点C 在AB 上,且∠COB =30∘,若OC →=λOA →+μOB →,则λ+μ=( )A. √3B.√33C.4√33D. 2√38、(0分)已知a=(cos θ，1，sin θ)，b=(sin θ，1，cos θ)，则向量a+b 与a-b 的夹角是( ).A. 0°B. 30°C. 60°D. 90°9、(0分)正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 在A 1C 上运动（包括端点），则BP 与AD 1所成角的取值范围是（ ）A. [π4,π3]B. [π4,π2]C. [π6,π2]D. [π6,π3]10、(0分)点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的底面 ABCD 上一点，则 PA →⋅PC 1→的取值范围是 ( )A. [−1,−14] B. [−12,−14]C. [−1,0]D. [−12,0]11、(0分)在正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1中，若AB=2， AA 1=1则点A 到平面 A 1BC 的距离为（ ）A.√34B.√32C.3√34D. √312、(0分)已知平面向量a 、b ，|a|＝1，|b|＝ √3 ， 且|2a ＋b|＝ √7 ， 则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A. π2B. π3C. π6D. π13、(0分)设 α、 β是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题：①若 l ⊥α ， α⊥β ， 则 l ⊂β；②若 l ∥α ， α∥β ， 则 l ⊂β； ③若 l ⊥α ， α∥β ， 则 l ⊥β；④若 l ∥α ， α⊥β ， 则 l ⊥β。
高二数学选修2-1第三章空间向量与立体几_知识点+习题+答案
空间向量与立体几何1、空间向量的概念：()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．()3向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作AB ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．3、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．4、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 8、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB+A ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA +OB +O ++=．9、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A=，b OB =，则∠A O B 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈． 10、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．11、已知两个非零向量a 和b ，则c o s ,a b ab 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即c o s ,a b a bab ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．12、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 13、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．14、向量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．15、若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得p xi yj zk =++，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量．16、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．17、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．18、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．19、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ()721a a a x =⋅=+()82cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =20、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．21、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点． 22、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置． 23、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 24、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．25、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔ 0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．26、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．27、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．28、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．29、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．30、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 31、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．32、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．空间向量与立体几何练习题1一、选择题（每小题5分，共50分）1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是A.－21a +21b +c B.21a +21b +c C.21a －21b +c D.－21a －21b +c2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是A.--=23B.OC OB OA OM 513121++=C.0=+++D.0=++3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则⋅等于A.41B.41-C.43D.43- 4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.15.设)2,1,1(-=，)8,2,3(=，)0,1,0(=，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A.213 B.253 C.453D.4536.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥A.9πB.10πC.11πD.12π8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A.BD ∥平面CB 1D 1 B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1D.异面直线AD 与CB 1所成的角为60°9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为55210.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为A.5B.41C.4D.52二、填空题（每小题5分，共20分）11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy .12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ． 14.如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A BC D -是正方体，其中2,AB PA ==，则1B 到平面PAD 的距离为 .三、解答题（共80分）俯视图正(主)视图 侧(左)视图15.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点，设c b a ===AP AD AB ,,． （1）试用c b a ,,表示出向量BM ；（2）求BM 的长．16.（本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG..17.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F，正视图MPD C BA分别是AB BD ，的中点．求证： （1）直线//EF 面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ． 18.（本小题满分14分）如图，已知点P 在正方体''''D C B A ABCD -的对角线'BD 上，∠PDA=60°.（1）求DP 与'CC 所成角的大小；（2）求DP 与平面D D AA ''所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论;D 'C 'B'A'PD C BA俯视图侧视图正视图ED CBA P （3）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．20.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点．（1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD所成最大角的正切值为2，求二面角E AF C --的余弦值．参考答案 一、选择题PBECDFA1.)(21111A B B ++=+==c +21(－a +b )=－21a +21b +c ，故选A.2.1),,(=++∈++=⇔z y x R z y x OC z OB y OA x OM C B A M 且四点共面、、、由于C B A --=⇔=++∴0由于都不正确、、选项.)()()(共面使所以存在y x y x ,,,1,1∴+==-=四点共面，、、、为公共点由于C B A M M ∴故选D. 3.∵的中点分别是AD AB F E ,,,BD EF BD EF 21,21//=∴=∴且, 41120cos 1121,210-=⨯⨯⨯>=<=⋅=⋅∴DC BD DC BD DC EF 故选B.4.B5.B6.D7.D8.D9.D 10.4,cos ==><=AC AB ，5==,故选A二、填空题 11.9 12.313.作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则++=θθcos 6)180,0,0,2530-=-⋅=⋅=⋅===DB AC DB CD CD AC0022222120,1800 .21cos ),cos 600(2253)112()(2)(=∴≤≤-=∴--+++=∴⋅+⋅+⋅+++=++=θθθθ由于AC DB DB CD CD AC DB CD AC14.以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系 设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z =，(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==，∴02,0=++=z y x y ，取1=z 得(2,0,1)m =-，1(2,0,2)B A =-，∴1B 到平面PAD 的距离15B A m d m⋅==三、解答题15.解：（1）∵M 是PC 的中点，∴)]([21)(21BM -+=+=c b a a c b 212121)]([21++-=-+= （2）2,1,2,1===∴===c b a PA AD AB 由于160cos 12,0,60,00=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴=∠=∠⊥c b c a b a PAD PAB AD AB 由于),(21c b a ++-=BM 由于23)]110(2211[41)](2[41)(412222222=+-+++=⋅+⋅-⋅-+++=++-=c b c a b a c b a c b a2626的长为，BM ∴=. 16.解：（1）如图（2）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2284(cm )3=． （3）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中，连结AD '，则AD BC ''∥． 因为E G ，分别为AA '，A D ''中点， 所以AD EG '∥， 从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ，所以BC '∥面EFG ．17.证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵AD ⊂面ACD ，EF ⊄面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ；（2）∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .18.解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -． 则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''．A C D E F GA 'B 'C 'D '在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ． 设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，， 由cos DA DH DA DH DA DH =<>，，可得2m = 解得2m=，所以21DH ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭．（1）因为0011cos DH CC ++⨯'<>==， 所以45DH CC '<>=，，即DP 与CC '所成的角为45．（2）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，．因为01101cos 2DH DC +⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，，可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30．19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2.∴1233P ABCD ABCD V S PC -=⋅=(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC又ACPC C =∴BD ⊥平面PAC∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE(3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DG ⊥AE 于G ，连结BG∵CD=CB,EC=EC ，∴Rt ECD ∆≌Rt ECB ∆，∴ED=EB ∵AD=AB ，∴△EDA ≌△EBA ，∴BG ⊥EA ∴DGB ∠为二面角D －EA －B 的平面角 ∵BC ⊥DE ，AD ∥BC ，∴AD ⊥DE在R ｔ△ADE 中AD DE DG AE ⋅==BG在△DGB 中，由余弦定理得212cos 222-=⋅-+=∠BG DG BD BG DG DGB∴DGB ∠=23π，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 解法2：以点C 为坐标原点，CD 所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B E ,从而(1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1)DE DA BA BE =-===- 设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为(,,),(',',')m a b c n a b c ==由法向量的性质可得：0,0a c b -+==，'0,''0a b c =-+= 令1,'1c c ==-，则1,'1a b ==-，∴(1,0,1),(0,1,1)m n ==-- 设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则1cos 2||||m n m n θ⋅==-⋅∴23πθ=，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 20.（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PAAD A =，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ， 所以AE PD ⊥．（2）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，． 由（1）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角．在Rt EAH △中，AE = 所以当AH 最短时，EHA ∠最大， 即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大．此时tan AE EHA AH ∠===因此AH =2AD =，所以45ADH ∠=，所以2PA =．解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，在Rt AOE△中，3sin302EO AE==3cos302AO AE==，又F是PC 的中点，在Rt ASO△中，3sin454 SO AO==，又SE==Rt ESO△中，cos SOESOSE∠===即所求二面角的余弦值为5．解法二：由（1）知AE AD AP，，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又EF，分别为BC PC，的中点，所以(000)10)(020)A B C D-，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，，所以31(300)12AE AF⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，，，，，．设平面AEF的一法向量为111()x y z=，，m，则AEAF⎧=⎪⎨=⎪⎩，，mm因此1111122x y z=++=⎪⎩，．取11z=-，则(021)=-，，m，因为BD AC⊥，BD PA⊥，PAAC A=，所以BD⊥平面AFC，故BD为平面AFC的一法向量．又(0)BD=，，所以cos55BDBDBD<>===，mmm．因为二面角E AF C--为锐角，所以所求二面角的余弦值为5．空间向量与立体几何2B一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g 2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b aλ，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或552D ．2或552-4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ）A ．不等边锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A取最小值时，x 的值等于（ ） A ．19 B ．78-C ．78D ．14196．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（ ）A ．21B ．22 C ．－21 D ．07．设n m 、表示直线，βα、表示平面，则下列命题中不正确．．．的是（ ）． A ．βα⊥⊥m ,m ，则α//β B ．m//n ,=βαα ，则m//n C ．α⊥m ,β//m , 则βα⊥ D ．n //m ,α⊥m , 则 α⊥n8．在棱长均为2的正四面体BCD A -中，若以三角形ABC 为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（ ）． A ．3 B ．362 C ．2 D ．22 9、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD 在原正方体中的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交且垂直ABC DDCABC ． 异面D ．相交成60°10、点P 在平面ABC 外，若PA=PB=PC ，则点P 在平面ABC 上的射影 是△ABC 的 （ ）A ．外心 B.重心 C.内心 D.垂心11、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）（A）2（B）12 （C）22+ （D）112、已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ） （A ）2对 （B ）3对 （C ）4对 （D ）5对二、填空题（每小题4分，共24分）13．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a，则(23)(2)a b a b -+=__________________。
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》典型练习题(含答案)
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》典型练习题一、选择题1．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a ρρB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d c ρρC ．)0,0,0(),0,3,2(==f e ρρD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g ρρ2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a ρρλ，且a ρ与b ρ的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或552D ．2或552-4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A ρ取最小值时，x 的值等于（ ）A ．19B ．78-C ．78D ．14196．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC u u u r u u u r>的值是（ ）A ．21B ．22C ．－21D ．0二、填空题1．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ρρ，则(23)(2)a b a b -+=r r rr g __________________。
2．若向量,94,2k j i b k j i a ρρρρρρρρ++=+-=，则这两个向量的位置关系是___________。
3．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=ρρ，若a ⊥r b ρ，则=x ______；若//a r b ρ则=x ______。
人教版 选修2-1 第三章 空间向量试卷(含答案)
第三章 空间向量与立体几何（时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题）班别 姓名 成绩一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.15，12 B ．5，2 C ．－15，－12D ．－5，－2 解析：选A.a ∥b ，则存在m ∈R ，使得a ＝m b ，又a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6m ，0＝m (2μ－1)，2λ＝2m ，可得⎩⎨⎧λ＝15，μ＝12.2．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)三点，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形解析：选A .AB →＝(3,4，－8)，BC →＝(2，－3,1)，CA →＝(－5，－1,7)， ∴BC →·CA →＝－10＋3＋7＝0.∴BC ⊥CA. ∴△ABC 是直角三角形．3．已知向量(1,1,0)a = ，(1,0,2)b =-，且ka b + 与2a b - 互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B 【答案】D 试题分析：依题意可得(1,,2),2(3,2,2)ka b k k a b +=--=-，由()(2)k a b a b +⊥- 可得()(2)0ka b a b +⋅-= ，所以3(1)240k k -+-=，解得 D.4．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)2c |等于( )A ．310B ．210 C.10 D ．5 解析：选A.|a －b ＋2c |＝(a －b ＋2c )2，∵a －b ＋2c ＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(9,3,0)， ∴|a －b ＋2c |＝92＋32＋0＝310. 5．给出下列命题： ①已知a ⊥b ，则a ·(b ＋c )＋c ·(b －a )＝b ·c ；②A 、B 、M 、N 为空间四点，若BA →、BM →、BN →不能构成空间的一个基底，则A 、B 、M 、N 四点共面； ③已知a ⊥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；④已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则基向量a ，b 可以与向量m ＝a ＋c 构成空间另一个基底． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选C.当a ⊥b 时，a ·b ＝0，a ·(b ＋c )＋c ·(b －a )＝a ·b ＋a ·c ＋c ·b －c ·a ＝c ·b ＝b ·c ，故①正确；当向量BA →、BM →、BN →不能构成空间的一个基底时，BA →、BM →、BN →共面，从而A 、B 、M 、N 四点共面，故②正确；当a ⊥b 时，a ，b 不共线，任意一个与a ，b 不共面的向量都可以与a ，b 构成空间的一个基底，故③错误；当{a ，b ，c }是空间的一个基底时，a ，b ，c 不共面，所以a ，b ，m 也不共面，故a ，b ，m 可构成空间的另一个基底，故④正确．6．已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0, 4),C(2,-2,3),则与的夹角θ的大小是( )(A) (B)π (C) (D)π 【答案】B 【解析】由题意知=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),故cos θ===-, 所以θ=π.7．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P(2,3,3)B ．P(－2,0,1)C ．P(－4,4,0)D ．P(3，－3,4)解析：选A.逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1,4,1)， ∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．8．已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12c 解析：选B.因MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12b ＋12c －23a .考点：1.空间向量的坐标运算；2.空间向量垂直的条件；3.空间向量的数量积.9．已知非零向量a,b 及平面α,若向量a 是平面α的法向量,则a ·b=0是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】∵a,b 是非零向量,且a 是平面α的法向量,∴当a ·b=0时,向量b 所在的直线平行于平面α或在平面α内,反之也成立.10．已知(2,2,5)u =- ，(6,4,4)v =-，u ，v 分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系式 A ．平行 B ．垂直 C ．所成的二面角为锐角 D ．所成的二面角为钝角 【答案】B试题分析：由(2,2,5)u =- ，(6,4,4)v =-，可得262(4)540u v ⋅=-⨯+⨯-+⨯= ，所以u v ⊥ ，而u ，v分别是平面α，β的法向量，所以αβ⊥，选B.考点：空间向量在解决空间垂直中的应用.11．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为DD 1的中点,O 为底面ABCD 的中心,P 为棱A 1B 1上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成的角是( )(A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】结合图形建立空间直角坐标系,通过向量的坐标运算可知AM ⊥OP 恒成立,即AM 与OP 所成的角为. 12．如图,正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G 分别是线段AE,BC 的中点,则AD 与GF 所成的角的余弦值为( )(A) (B)- (C) (D)-【答案】A【解析】如图, 正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G 分别是线段AE,BC 的中点.以C 为原点建立空间直角坐标系Cxyz,A(0,2,0),B(2,0,0),D(0,0,2),G(1,0,0),F(0,2,1),=(0,-2,2),=(-1,2,1),∴||=2,||=,·=-2, ∴cos<,>==-.∴直线AD 与GF 所成角的余弦值为. 【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选B.第II 卷（非选择题）二．填空题（每题5分，总20分）13．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 【答案】-1【解析】∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，∴a ＋b ＝(1，m －1)，∵(a ＋b)∥c ，c ＝(－1,2)，∴1×2－(－1)(m －1)＝0，∴m ＝－114．在空间直角坐标系O xyz -中，设点M 是点(2,3,5)N -关于坐标平面xoy 的对称点，则线段MN 的长度等于 .【答案】10 【解析】试题分析：点(2,3,5)N -关于坐标平面xOy 的对称点()2,3,5M --，故线段10MN =． 考点：空间中的距离．15．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1的中点，则异面直线D 1E 与AC 所成的角的余弦值是________．16．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ．以b a ,为邻边的平行四边形的面积为三、解答题(本题共5小题，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CM ＝2MA ，A 1N ＝2ND ，且AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示向量MN →.解：∵MN →＝MA →＋AA 1→＋A 1N →＝－13AC →＋AA 1→＋23A 1D →＝－13(AB →＋AD →)＋AA 1→＋23(A 1A →＋A 1D 1→)＝－13AB →－13AD →＋13AA 1→＋23AD →＝－13a ＋13b ＋13c ，∴MN →＝－13a ＋13b ＋13c .18．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，M 为四边形ABCD 的中心．求证：对A 1B 1上任一点N ，都有MN ⊥AP.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， M ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N(1，y,1)． ∴AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12， MN →＝⎝⎛⎭⎫12，y －12，1. ∴AP →·MN →＝(－1)×12＋0×⎝⎛⎭⎫y －12＋12×1＝0， ∴AP →⊥MN →， 即A 1B 1上任意一点N 都有MN ⊥AP. 19．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．O'N M D'C'B'A'CBA Dz yx【答案】64a 试题分析：解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M ，O'a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故a ）．根据空间两点距离公式，可得20．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 1和CC 1的中点． (1)求证：EF ∥平面ACD 1；(2)求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值；解：如图，分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，由已知得D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、B 1(2,2,2)、E(1,0,2)、F(0，2,1)．(1)证明：易知平面ACD 1的一个法向量DB 1→＝(2,2,2)． ∵EF →＝(－1,2，－1)，∴EF →·DB 1→＝－2＋4－2＝0， ∴EF →⊥DB 1→，而EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1.(2)∵AB →＝(0,2,0)， ∴cos 〈EF →，AB →〉＝EF →·AB →|EF →||AB →|＝426＝63，∴异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值为63.21、如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M.(1)求证：AM ⊥PD ；(2)求直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值．解：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AB.∵AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ， ∴AB ⊥平面PAD.∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ， ∴PD ⊥平面ABM.∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD.(2) 如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ， 则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，2,0)． ∵AM ⊥PD ，PA ＝AD ，∴M 为PD 的中点，∴M 的坐标为(0,1,1)． ∴AC →＝(1,2,0)，AM →＝(0,1,1)，CD →＝(－1,0,0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0y ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1.∴n ＝(2，－1,1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α＝|CD →·n ||CD →|·|n |＝63.∴cos α＝33，即直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为33.22.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD. (1)证明：PA ⊥BD ；(2)若PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值． 解：(1)证明：因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ， 由余弦定理得BD ＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD. 又因为PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD. 又因为AD ∩PD ＝D ，所以BD ⊥平面PAD ，故PA ⊥BD.(2)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则A(1,0,0)，B(0，3，0)， C(－1，3，0)，P(0,0,1)， AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)， BC →＝(－1,0,0)．设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －z ＝0，因此可取n ＝(3，1，3)． 设平面PBC 的法向量为m ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0，m ·BC →＝0，可取m ＝(0，－1，－3)，〈m ，n 〉等于二面角A －PB －C 的平面角，cos 〈m ，n 〉＝－427＝－277.故二面角A －PB －C 的余弦值为－277.。
(word完整版)高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题(含详解)
高中数学选修2-1第三章+空间向量与立体几何+测试题（时间：120分钟，满分：150分）5分，满分60分•在每小题给出的四个选项中，有且只有一项答案 B3.设11的方向向量为a = （1,2, — 2）,12的方向向量为b = （— 2,3, m ）,若11丄12,则实数m 的值为（ ）1 A . 3 B .2 C . 1D.2解析 • h 丄 12,a 丄 b ,二 a b = 0, — 2+ 6 — 2m = 0, m = 2.答案 B4 .若a , b 均为非零向量，则 a b = |a||b|是a 与b 共线的（ ）A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析 ■/ a b = |a||b|cos 〈 a , b>,而 a b = ••• cos 〈 a , b > = 1, ••• 〈 a , b > = 0.••• a 与b 共线.反之，若 a 与b 共线，也可能a b =— |a| |b|,因此应选B. 答案 Bf f f f5 .在△ ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD =（）1.向量a =(2x,1,3), b = (1, — 2y,9), 右a 与b 共线，则 ( )11A . x = 1, y = 1B . x =2, y =- 2112C . x = 6y = — 2D . x =— 6,y ==3解析由 a // b 知，a = ?b , • 2x =入1 =—2入y3= 9入 ；1 1 入 =3 x=6,y =答案 C2 .已知a =(—3,2,5), b = (1, x ,— 1 ），且a b = 2,贝U x 的值是（）A . 6B . 5C . 4D . 3是符合题目要求的）3 2.解析 a b =— 3 + 2x — 5 = 2,二 x = 5. 、选择题（本大题共12小题，每小题2 1A.3b+ 3C2 1C.3b —3c1 2D.3b+3c解析 BC 的中点D 的坐标为(2,1,4),T••• AD = (— 1,— 2,2).T• |AD |= - . 1 + 4 + 4= 3. 答案 B&与向量a = (2,3,6)共线的单位向量是( )2 3 6 236A . (7, 7, 7)B . (—7,— 7,— ?)ff解析如图，AD = AB + BDT T2=AB + 3BC3T T T2=AB + 3(AC — AB)T T1 2=3AB+ 3AC1 2 =3c + 3b 答案 A起构成空间的另一个基底的是() A . a B.bC . cD .以上都不对 解析 I a , b,c 不共面，•- a + b ,a — b, c 不共面， • p , q , c 可构成空间的一个基底 7 .已知△ ABC 的三个顶点 A(3,3,2), B(4, — 3,7), C(0,5,1)，贝U BC 边上的中线长为(厂64D. 657解析 设平面ABC 的一个法向量为 n = (x , y , z),v AB= (— 5, — 1,1), AC = (— 4, — 2, — 1),f f由 n AB = 0 及 n AC = 0,得 —5x — y + z = 0,令 z = 1,—4x — 2y — z = 0, 得 x = 2 y =— 3• n = g — |, 1).f又AD = (— 2,— 1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为0,则2 3 6 2 3 6 2 3 6 2 3 6 C - (7，- 7，— 7)和(—7，7，7) D . (7，7 7)和(_■?，— 7，— 7)解析|a|=- ‘22 + 32 + 62= 7, •••与a 共线的单位向量是 £(2,3,6)，故应选D. 答案 D9.已知向量 a = (2,4, x), b = (2, y,2)，若 |a|= 6 且 a 丄b ，则 x + y 为( )A . -3 或 1B . 3 或—1C . -3D . 1解析由|a|= 6, a 丄b ,4+ 16+ /= 36, 得 4+ 4y + 2x = 0,x = 4, 解得y = — 3,x = — 4, 或y = 1.•- x + y = 1，或一3.答案 A 10.已知 a = b = (3,2 — x , x 2)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数 x 的取值范围是()A . x>4x< — 4C . 0<x<4D . — 4<x<0.解析 ■/〈 a , b 〉为钝角，• a b = |a||b|cos 〈 a , b > <0, 即 3x + 2(2 — x)<0 , - - x< — 4.答案 B11. 已知空间四个点 A(1,1,1), B(— 4,0,2), C(— 3,— 1 , 的角为()0), D( — 1,0,4)，则直线 AD 与平面ABC 所成 A . 30 °B . 45 °C . 60 °D . 90 °sin 0=IAD n|f12, |AD||n|—1 +1 + 3••• 0= 30°答案 A12.已知二面角 a — l - B 的大小为50 ° P 为空间中任意一点，则过点 P 且与平面a 和平面B 所成的角都是25°的直线的条数为()A . 2B . 3C . 4D . 5解析 过点P 分别作平面 a, B 的垂线l i 和|2,则11与12所成的角为130或50 °问题转化为过点 P与直线l i , |2成65。
高二数学选修21第3章空间向量与立体几何单元测试题(含答案)
高二数学选修2-1第3章空间向量与立体几何单元测试题（含答案）空间向量是解立体几何的一种常用方法，以下是第3章空间向量与立体几何单元测试题，希望对大家有帮助。
一、填空题1.判断下列各命题的真假：①向量AB的长度与向量BA的长度相等;②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同;④两个有公共终点的向量，一定是共线向量;⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为________.2.已知向量AB，AC，BC满足|AB|=|AC|+|BC|，则下列叙述正确的是________.(写出所有正确的序号)①AB=AC+BC②AB=-AC-BC③AC与BC同向;④AC与CB同向.3.在正方体ABCD-A1B1C1D中，向量表达式DD1-AB+BC化简后的结果是________.4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D中，用向量AB，AD，AA1来表示向量AC1的表达式为___________________________________________________ _____________________.5.四面体ABCD中，设M是CD的中点，则AB+12(BD+BC)化简的结果是________.6.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，下列结论中正确的有________.(写出所有正确的序号)① +GH+PQ② -GH-PQ③ +GH-PQ④ -GH+PQ=0.7.如图所示，a,b是两个空间向量，则AC与AC是________向量，AB与BA是________向量.8.在正方体ABCD-A1B1C1D中，化简向量表达式AB+CD+BC+DA 的结果为________.二、解答题9.如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G 分别是BC，CD，DB的中点，请化简(1)AB+BC+CD，(2)AB+GD+EC，并标出化简结果的向量.10.设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心.求证：AG=13(AB+AC+AD).能力提升11.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD 的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC=a，BD=b，则AF=______________________.12.证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.解析①真命题;②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的;③真命题;④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.2.④解析由|AB|=|AC|+|BC|=|AC|+|CB|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC与CB同向.3.BD1解析如图所示，∵DD1=AA1，DD1-AB=AA1-AB=BA1，BA1+BC=BD1，DD1-AB+BC=BD1.4.AC1=AB+AD+AA1解析因为AB+AD=AC，AC+AA1=AC1，所以AC1=AB+AD+AA1.5.AM解析如图所示，因为12(BD+BC)=BM，所以AB+12(BD+BC)=AB+BM=AM.6.①解析观察平行六面体ABCDA1B1C1D1可知，向量EF，GH，PQ 平移后可以首尾相连，于是EF+GH+PQ=0.7.相等相反8.0解析在任何图形中，首尾相接的若干个向量和为零向量.9.解 (1)AB+BC+CD=AC+CD=AD.(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点.BE=EC，EF=GD.AB+GD+EC=AB+BE+EF=AF.故所求向量AD，AF，如图所示.10.证明连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，知BG=23BE.∵E为CD的中点，BE=12BC+12BD.AG=AB+BG=AB+23BE=AB+13(BC+BD)=AB+13[(AC-AB)+(AD-AB)]=13(AB+AC+AD).11.23a+13b解析 AF=AC+CF=a+23CD=a+13(b-a)=23a+13b.12.证明如图所示，平行六面体ABCDABCD，设点O是AC的中点，则AO=12AC=12(AB+AD+AA).设P、M、N分别是BD、CA、DB的中点.则AP=AB+BP=AB+12BD=AB+12(BA+BC+BB)=AB+12(-AB+AD+AA)=12(AB+AD+AA).同理可证：AM=12(AB+AD+AA)AN=12(AB+AD+AA).由此可知O，P，M，N四点重合.故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分.第3章空间向量与立体几何单元测试题的全部内容就是这些，查字典数学网预祝大家新学期可以取得更好的成绩。
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元质量测评(含答案)
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元质量测评（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若平面α外直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( )A ．a ＝(1,0,1)，n ＝(－2,0,0)B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)2．已知A (1,2，－1)，B 为A 关于平面xOy 的对称点，C 为B 关于y 轴的对称点，则BC →＝( )A ．(－2,0，－2)B ．(2,0,2)C ．(－1,0，－1)D ．(0，－2，－2) 3．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4-Ｂ．9Ｃ．9-Ｄ．6494．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为89，则λ=（ ）Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或255Ｄ．2或255-5．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2) 6．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( )A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14 D ．x ＝1，y ＝－17．已知向量i ，j ，k 是一组单位正交向量，m ＝8j ＋3k ，n ＝－i ＋5j －4k ，则m ·n ＝( )A ．7B ．－20C ．28D ．118．已知a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(x,2，x ＋2)，若a ⊥b ，则x 的值为( )A ．0B ．－143C ．－6D ．±69．如图，在四面体ABCD 中，已知AB →＝b ，AD →＝a ，AC →＝c ，BE →＝12EC →，则DE →＝( )A ．－a ＋23b ＋13cB ．a ＋23b ＋13cC ．a －23b ＋13c D.23a －b ＋13c10．如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π211．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共 面，则实数λ等于 （ ）A ．627B ．637C ．647D ．65712. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D 中，向量1BA 与向量AC 所成的角为 ． 14．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为矩形ABCD 的中心，设A 1E →＝A 1A →＋xA 1B 1→＋yA 1D 1→，则x ＝________，y ＝________.15．已知a ＝(3,1,5)，b ＝(1,2，－3)，向量c 与z 轴垂直，且满足a ·c ＝9，b ·c ＝－4，则c ＝________.16．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则A 1到平面MBD 的距离为________． 三、解答题：17．(本小题满分10分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1，1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．18．(本小题10分)如图所示，已知几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．化简12AA 1→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；19．(本小题满分10分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3. 证明：AC ⊥B 1D ；20．(本小题满分10分) 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求证：AD 1∥平面BDC 1. 参考答案 一．选择题二．填空题13． 120° 14． 12 12 15． (225，－215，0) 16．66a三、解答题：17． 解 a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．(1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010， ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)·(k ＋2)＋k 2－8＝0，即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.18． 解 如图所示，取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，连接EF ，则 12AA 1→＋BC →＋23AB → ＝EA 1→＋A 1D 1→＋D 1F →＝EF →.19． 解 由题意易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而B 1D →＝(－t,3，－3)，AC →＝(t,1,0)，BD →＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0.解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1,0)．因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0，所以AC →⊥B 1D →，即AC ⊥B 1D .20．证明 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1，则有D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，AD 1→＝(－1,0,1)，设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的法向量， 则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ，1，＝0，x ，y ，z，1，＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－1,1)，n ·AD 1→＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，故n ⊥AD 1→， 又AD 1⊄平面BDC 1， 所以AD 1∥平面BDC 1.。