1--专题一:基本初等函数图像及其性质

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1.指数函数图像及其性质

2.对数函数

对数的定义

①若

(0,1)

x

a N a a

=>≠

且,则x叫做以a为底N的对数,记作log a

x N

=

,其中a叫做底数,

N叫做真数.

②负数和零没有对数.

③常用对数与自然对数

常用对数:lg N,即

10

log N

;自然对数:ln N,即

log

e

N

(其中 2.71828

e=…).

3.对数函数图像及其性质

定义域

(0,

)

+∞

值域R

过定点图象过定点(1,0),即当1

x=时,0

y=.奇偶性非奇非偶

单调性在(0,)

+∞上是增函数在(0,)

+∞上是减函数函数值的变化情况

log0(1)

log0(1)

log0(01)

a

a

a

x x

x x

x x

>>

==

<<<

log0(1)

log0(1)

log0(01)

a

a

a

x x

x x

x x

<>

==

><< a变化对图象的影响在第一象限,a越大图象越靠低;在第四象限,a越大图象越靠高.

4.幂函数

(1)幂函数的定义:一般地,函数

y xα

=叫做幂函数,其中x为自变量,α是常数.

(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象 分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限 (图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).

③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则 幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限,图象无限接近x 轴与y 轴.

④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当

q

p α=

(其

中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q p

y x =是奇函数,若p 为 奇数q 为偶数时,则q

p

y x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则q p

y x =是非奇 非偶函数.

⑤图象特征:幂函数

,(0,)y x x α

=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方, 若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x = 上方,若1x >,其图象在直线y x =下方.

5.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式:

2

()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式:

2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式:

12()()()(0)

f x a x x x x a =--≠

(2)求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时,宜用一般式.

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求()f x 更方便. (3)二次函数图象的性质

①二次函数

2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线, 对称轴方程为,2b x a =-顶点坐标是2

4(,)

24b ac b a a --.

(-∞,+∞) (-∞,+∞) 6.二次函数图像及其性质

7.一元二次函数表达式形式

顶点式:f(x)=a(x-h)2+k,定点坐标(h,k)

分解式:f(x)=a(x-x1)(x-x2), 一元二次方程的两根为x1,x2

一般式:f(x)=ax2+bx+c,(a≠0).

8.反函数

互为反函数的两个图像关于y=x 成轴对称关系;

原函数的定义域是其反函数的值域,原函数的值域是其反函数的定义域

专题一基本初等函数图像及其性质练习一

一、选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要

求的一项填在答题卡上.

1.(新课标全国卷)下列函数中,既是偶函数,又是在(0,+∞)上单调递增的函数是( ) A.y=x3B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 D.y=2-|x|

2.(卷)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )

A .f (x )+|g (x )|是偶函数

B .f (x )-|g (x )|是奇函数

C .|f (x )|+g (x )是偶函数

D .|f (x )|-g (x )是奇函数

3.(卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足下列关系

f (x )+

g (x )=a x -a -x

+2(a >0,且a ≠1).若g (2)=a ,则f (2)=( )

A .2 B.154 C.174

D .a

2

4.(卷)对于函数y =f (x ),x ∈R ,“y =|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y =f (x )是奇函数”的(B)

A .充分而不必要条件

B .必要而不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

5.(全国卷)设f (x )是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=2x (1-x ),则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫-52=( )

A .-12

B .-14 C.14 D.12

6.在实数集R 中定义一种运算“*”,对任意给定的a ,b ∈R ,a *b 为唯一确定的实数,且具有性质:

(1)对任意a ,b ∈R ,a *b =b *a ; (2)对任意a ∈R ,a *0=a ;

(3)对任意a ,b ∈R ,(a *b )*c =c *(ab )+(a *c )+(c *b )-2c .关于函数f (x )=(3x )*1

3x 的性质,有如下

说法:①函数f (x )的最小值为3;②函数f (x )为奇函数;

③函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-13,⎝ ⎛⎭⎪⎫13,+∞.其中所有正确说法的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上. 7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪

-x 2

+2x x >0,0 x =0,

x 2+mx x <0

为奇函数,若函数f (x )在区间[-1,|a |-2]上单调递增,

则a 的取值围是 .

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