2015年基本初等函数的图像与性质

2015年高考数学基本初等函数的图像与性质

主编：宁老师 主编单位：永辉中学生学习中心

一、一次函数：

1、通式：b kx x f +=)(；

2、图像：直线；

①0,0>>b k ②0,0<>b k

③0,0>

3、单调性：

①)(,,0x f R x k ∈>单调递增；②)(,,0x f R x k ∈<单调递减； 4、正比例函数：

（1）、通式：kx x f =)(； （2）、正比例函数恒过点)0,0(； （3）、图像：

①0>k ②0

（4）、单调性：

①)(,,0x f R x k ∈>单调递增；②)(,,0x f R x k ∈<单调递减； 二、二次函数：

1、通式：c bx ax x f ++=2)(；

2、开口方向：

①0>a ，抛物线开口向上；②0

-=∆；

①当0>∆时，二次函数与x 轴有两个交点； ②当0=∆时，二次函数与x 轴有一个交点； ③当0<∆时，二次函数与x 轴没有交点； 4、图像：

①0,0>∆>a ②0,0=∆>a ③0,0<∆>a

④0,0>∆

5、二次函数单调性： ①当0>a 时：

)(),2,(x f a b x -

-∞∈单调递减；)(),,2(x f a b

x +∞-∈单调递增； ②当0

)(),2,(x f a b x -

-∞∈单调递增；)(),,2(x f a

b

x +∞-∈单调递减； 6、两种特殊的运算：

（1）、当0,0<∆

（2）、当0,0<∆>a 时，R x ∈，)(x f 恒大于0；

题型一：已知函数12)(23-+-=x ax ax x f ，在定义域R x ∈上单调递增，求参数a 的取值范围； 【解析】：求导函数：143)('2+-=ax ax x f ； 因为：函数)(x f 在定义域R x ∈上单调递增； 所以：导函数)('x f 在R x ∈上恒大于0；

003>⇒>a a ①；4

3

001216134)4(22<

<⇒<-=⨯⨯--=∆a a a a a ②； 所以：)4

3,0(∈a 。 【跟踪训练】：

①、已知函数x

e x

ax x f 3)(2-=，在定义域R x ∈上单调递增，求参数a 的取值范围；

②、已知函数)23()(2x ax e x f x -=-，在定义域R x ∈上单调递减，求参数a 的取值范围； 7、二次函数在闭合区间上的值域： 方法：第一步：求对称轴； 第二步：判断对称轴是否在区间内；

第三步：如果对称轴不在区间内，在区间的两个端点处取得两个最值；如果对称轴在区间内，在对称轴处取得一个最值，在区间距离对称轴比较远的另外一个端点处取得一个最值。

题型二：已知二次函数163)(2

+-=x x x f ，求函数)(x f 在区间]3,0[∈x 上的值域；

【解析】：求对称轴：13

26

=⨯--

=x ； 因为：]3,0[1∈；所以：1=x 时取得一个最值； 因为：1距离0为1个单位，1距离3为2个单位； 所以：3=x 时取得一个最值。

211613)1(2-=+⨯-⨯=f ；1013633)3(2=+⨯-⨯=f ；

所以：函数)(x f 在区间]3,0[∈x 上的值域为]10,2[)(-∈x f 。 【跟踪训练】：

①、已知二次函数1)(2

-+-=x x x f ，求函数)(x f 在区间]2,0[∈x 上的值域； ②、已知二次函数32)(2

--=x x x f ，求函数)(x f 在区间)3,2(∈x 上的值域；

8、一元二次不等式的解法：

例题三：①解不等式：02522

>+-x x 【解析】：解方程:2

1

,20252212

==⇒=+-x x x x ; 画出二次函数252)(2+-=x x x f 的图像：

),2()2

1

,(0)(02522+∞⋃-∞∈⇒>⇒>+-x x f x x 。

②解不等式：032

>++x x

【解析】：因为：013412

<⨯⨯-=∆；所以：方程032

=++x x 无解； 画出二次函数3)(2++=x x x f 的图像如下：

R x x f x x ∈⇒>⇒>++0)(032；

【跟踪训练】：

①解不等式：0232

≤+-x x ； ②解不等式：0432

>++-x x ； ③解不等式：05322≤+-x x ； ④解不等式：0752>-+-x x ； 三、反比例函数： 1、通式：)0(,)(≠=

k x

k

x f ； 2、反比例函数所在象限： ①当0>k 时：

0)(0>⇒>x f x ，图像在第一象限；0)(0<⇒

当0>k 时，反比例函数x

k

x f =

)(在第一象限，第三象限。 ②当0<

k 时： 0)(0<⇒>x f x ，图像在第四象限；0)(0>⇒

当0

k

x f =)(在第二象限，第四象限。 3、图像：双曲线。

①0>k ②0

4、解反比例不等式： 题型四：解不等式

31

2

>-x ； 【解析】：解法一： 当101>⇒>-x x 时：

3

5

332)1(32312<⇒->⇒->⇒>-x x x x 所以：)3

5

,1(∈x ； 当101<⇒<-x x 时：

3

5332)1(32312>⇒-<⇒-<⇒>-x x x x 所以：∅∈x ；

综合以上所述：)3

5

,1(∈x 。 解法二： 设t x =-1，则

32

312>⇒>-t

x 画出反比例函数t

t f 2

)(=

图像如下：