高数基本初等函数图像及性质 (1)

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2xy =3x y =21xy =1-=x y定义域 R RR [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+∞) 增增增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21xy =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数在），（∞+∞-是减函数1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

(完整版)基本初等函数的图形及性质

初等函数1、基本初等函数及图形基本初等函数为以下五类函数：(1)幂函数y x，是常数；1. 当 u 为正整数时，函数的定义域为区间x ( , )，他们的图形都经过原点，并当u>1 时在原点处与 X 轴相切。

且 u 为奇数时，图形对于原点对称；u 为偶数时图形对于 Y 轴对称；2. 当 u 为负整数时。

函数的定义域为除掉x=0 的全部实数。

3. 当 u 为正有理数 m/n 时， n 为偶数时函数的定义域为（0, + ）， n 为奇数时函数的定义域为（- + ）。

函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）.假如 m>n 图形于 x 轴相切 ,假如 m<n,图形于 y 轴相切 ,且 m 为偶数时 ,还跟 y 轴对称 ;m,n 均为奇数时 ,跟原点对称.4.当 u 为负有理数时 ,n 为偶数时除 x=0 之外的一确实数.,函数的定义域为大于零的一确实数;n 为奇数时,定义域为去(2)指数函数y ax(a是常数且a 0，a 1)，x ( , )；1.当 a>1 时函数为单一增 ,当 a<1 时函数为单一减 .2.无论 x 为什么值 ,y 老是正的 ,图形在 x 轴上方 .3.当 x=0 时,y=1, 因此他的图形经过 (0,1)点 .(3)对数函数y logax(a是常数且a 0，a 1)，x (0, )；1.他的图形为于 y 轴的右方 .并经过点 (1,0)2.当 a>1 时在区间 (0,1),y 的值为负 .图形位于 x 的下方 ,在区间(1, + ),y 值为正 ,图形位于 x 轴上方 .在定义域是单一增函数 .a<1 在适用中极少用到 /(4)三角函数正弦函数y sin x ， x ( , ) ， y[ 1,1] ，余弦函数y cos x ，x( , ) ， y[ 1,1] ，x kZ ，y (, ) ，正切函数y tan x ， 2 ，k余切函数y cot x，x k，k Z，y ( , )；(5)反三角函数y arcsin x ，x [ 1,1] y [ , ]反正弦函数， 2 2 ，反余弦函数y arccosx ，x[ 1,1] ， y [0,] ，y arctan x ，x ( , ) y ( , )反正切函数， 2 2 ，反余切函数y arc cot x ，x(, ) ， y (0,) ．函数名称函数的记号函数的图形指数函数对数函数幂函数a 为随意实数这里只画出部分函数图形的一部分。

高数总结：基本初等函数图像及其性质

⾼数总结：基本初等函数图像及其性质基本初等函数图像及其性质⼀、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数n4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为⼤于零的⼀切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的⼀切实数。

三、指数函数xa y =(x 是⾃变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[⽆界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上⽅； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.（选，补充）指数函数值的⼤⼩⽐较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ?=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越⼤，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=?m n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m n m(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a amnm nm yxf x xxx g ?=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [⽆界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式⼦N a log 叫做对数式。

五大基本初等函数性质及其图像

五、基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。

如，，，都是幂函数。

没有统一的定义域，定义域由值确定。

如,。

但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。

当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。

下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。

图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。

高等数学中常用的指数函数是时，即。

以与为例绘出图形，如图1-1-4。

图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。

当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。

与互为反函数。

当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。

以为例绘出图形，如图1-1-5。

图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。

对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。

它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。

图形为图1-1-6、图1-1-7。

图1-1-6 正弦函数图形图1-1-7 余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。

周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。

在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。

图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。

图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。

图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。

高数第一章初等函数

2）反余弦函数余弦函数
反余弦函数
y cos x
y
1
0

2
x [0, ]
y arccos x x [1,1]
y

y [1,1]
y [0, ]

x
1
1
0
x 1
余弦函数 y cos x 在 [0, ] 上的反函数，称为
反余弦函数，记为 y arccos x x [1,1] y [0, ]
10
例2 判断函数 f ( x) ln ( x 2 1 x) 的奇偶性. 解
f x f x
ln [ x 2 1 x] [ x 2 1 x]

ln1 0
则此函数为奇函数
11
（4）三角函数 1）正弦函数的性质
y sin x
x ,
解：
x e ln x , x 0

ln x 1 0 e 1 f ln x ln x ln x e e 1
ye
y
x
1 f x x e
0 e 1
x
e 1
x
0,1
x
1 x 0 f x x e 0 x
22
反余弦函数的性质
y arccos x
x [1,1]
y

y [0, ]
（1）在[ -1, 1 ]是有界函数；
0 arccos x
（2）是非奇非偶函数；
1
0
x 1
（3）在 [1, 1] 上是单调减函数。
23
3）反正切函数正切函数 y tan x 在 (

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+∞) 增增增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xy Ox y =2x y =21xy =1-=xy 3x y = O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

基本初等函数图像及性质小结

为高等数学小结的——基本初等函数1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性复习的时候一定要从这四个方面去研究函数。

3.每个函数的图像很重要. 幂函数(a为实数)定义域：随a的不同而不同，但无论a取什么值，x^a在内总有定义。

值域：随a的不同而不同有界性：单调性：若a>0,函数在内单调增加；若a<0,函数在内单调减少。

奇偶性：要知道这些函数那些事奇函数，那些是偶函数周期性：每种函数的图像.. 指数函数定义域：值域：有界性：单调性：若a>1 函数单调增加；若0<a<1 函数单调减少奇偶性：周期性：注意：图形过（0，1）点暨 a^0=1 直线y=0为函数图形的水平渐近线今后用的较多这个函数的图形，性质要记清楚1、. 对数函数1、定义域：值域：有界性：单调性：a>1时，函数单调增加；0<a<1时，函数单调减少奇偶性：周期性：主要性质：与指数函数互为反函数，图形过（1，0）点，直线x=0为函数图形的铅直渐近线e=2.7182……，无理数经常用到以e为底的对数. 三角函数强调：图像定义域：值域：[-1,1]有界性：[-1,1] 有界函数单调性：（-T/2,T/2）单调递增奇偶性：奇函数周期性：以为周期的周期函数；定义域：值域：[-1,1] 有界性：[-1,1] 有界函数单调性：奇偶性：偶函数周期性：定义域：值域：有界性：单调性：奇偶性：奇函数周期性：，定义域：值域：有界性：单调性：奇偶性：奇函数周期性：，. 反三角函数定义域： [-1,1] 值域：有界性：单调性：单调增加奇偶性：奇函数周期性：---定义域值域：定义域： [-1,1] 值域：有界性：单调性：单调减少奇偶性：周期性：---定义域定义域：值域：有界性：单调性：单调增加奇偶性：奇函数周期性：---定义域定义域：值域：有界性：单调性：单调减少；奇偶性：周期性：以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握。

六大基本初等函数图像及其性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+∞) 增增增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xy Ox y =2x y =21xy =1-=xy 3x y = O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。