高等数学 初等函数
高数16个基本初等函数
高数是一门重要的数学课程，其中最基础的内容就是16个基本初等函数。
这些函数在数学和实际应用中都有着广泛的应用，下面我们将逐一介绍这16个函数。
一、常数函数常数函数是指函数f(x)=c，其中c为常数。
这个函数的图像是一条平行于x轴的直线，它的斜率为0。
常数函数在实际应用中常用于表示一些固定的量，如重力加速度g=9.8m/s²。
二、幂函数幂函数是指函数f(x)=x^a，其中a为常数。
幂函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。
幂函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如人口增长、放射性衰变等。
三、指数函数指数函数是指函数f(x)=a^x，其中a为常数。
指数函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。
指数函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如利息的复利计算、细胞的增长等。
四、对数函数对数函数是指函数f(x)=loga(x)，其中a为常数。
对数函数的图像是一条上升的曲线，它的斜率在x=1处为1。
对数函数在实际应用中常用于描述一些量的倍数关系，如声音的强度、地震的震级等。
五、三角函数三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数和余弦函数的图像都是周期性波动的曲线，它们的周期为2π。
正切函数的图像则是一条无限延伸的曲线。
三角函数在实际应用中常用于描述周期性变化的现象，如天体运动、电流的交流等。
六、反三角函数反三角函数是指正弦函数的反函数、余弦函数的反函数和正切函数的反函数。
反三角函数的图像是一条上升或下降的曲线，它们的定义域和值域与对应的三角函数相反。
反三角函数在实际应用中常用于求解三角函数的反函数值，如角度的计算、电路的分析等。
七、双曲函数双曲函数是指双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。
高等数学第一章公式
高等数学公式与定理（第六版上册）第一章 函数与极限第一节：初等函数幂函数：a x y =(是常数）R a ∈ 指数函数：x a y =（a >0且)1≠a对数函数：y=x a log (a>0且a ≠1，特别当a=e 时，记为y=lnx) 三角函数: 如y=x sin 等 反三角函数：如y=arctan x 等第二节：数列的极限收敛数列的性质：定理1 (极限的唯一性)如果数列{x n }收敛，那么它的极限唯一。
定理2 (收敛数列的有界性)如果数列{x n }收敛，那么数列{x n }一定有界。
定理3 (收敛数列的保号性)如果,lima x n n =∞→且a>0(或a<0),那么存在正整数N>0，当n>N 时，都有.n x >0(.n x <0)定理 4 (收敛数列与其子数列的关系)如果数列{.n x }收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节 函数的极限函数极限的性质定理1 (函数极限的唯一性) 如果)(limx f xx →存在，那么这极限唯一.定理2 （函数极限的局部有界性）如果)(limx f xx →=A 存在，那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<{0x x - }<δ时，有)(x f M≤.定理 3 （函数极限的局部保号性）如果)(limx f xx →=A ，且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0，使得δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）定理3′ 如果)0()(lim 0≠=→A A x f xx ,那么就存在着n x 的某一去心邻域),(00x U 当)(00x U x ∈时，就有2)(0A x f >.推论 如果在0x 的某去心邻域内)0)x 0)(0≤≥（或（f x f ，而且A x f x x =→)(lim 0，那么）或（00≤≥A A定理4 （函数极限与数列极限的关系） 如果极限)(limx f xx →存在，{n x }为函数)(x f 的定义域内任一收敛于0x 的数列，且满足：)(*0N n x x n ∈≠,那么相应的函数数列)(n x f 必收敛，且).(lim )(lim 0x f x f x x n →∞→=第四节 无穷小与无穷大定理 1 在自变量的同义一变化过程0x x →)x (∞→或中，函数)(x f 具有极限A 的充分必要条件是,)(a A x f +=其中a是无穷小。
1.2初等函数
u = g(x), x D
（其中 u 称为中间变量）
注：(1) 复合条件！
如：
y = arc u = x2
sin u +2
不能构成复合函数！
(2) 复合函数只要符合条件可以多次进行复合！
例1 函数 y = esin2 2x是由哪些简单函数复合而来？
解
y = eu
u = v2
v = sin w w = 2x
初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数
一 、基本初等函数
基本初等函数是指常数函数、幂函数、指数函数、 对数函数、三角函数和反三角函数这六类函数。
高等数学中许多函数都是由这六类函数构成的。 下面看几个我们不太熟悉的基本初等函数。
y = sec x = 1 cos x
y = csc x = 1 sin x
y = arcsin x
y = arccos x来自y = arctan x
y = arccot x
从基本初等函数的定义可以看出 e2x 就不是 基本初等函数，那e2x又叫什么函数呢
这就是我们下面讲的复合函数。
二、复合函数
y = f (u), u D1 g(D) D1 y = f [g(x)], x D
例2
设函数
f (x) =
1, 0,
x x
1 1
，求
f[
f ( x)].
解
f
[
f
(
x)]
=
1, 0,
f (x) 1 f (x) 1
不管 x 取何值 f (x)
都只取0和1 ，所以 f (x) 不可能大于1.
所以 f [ f ( x)] = 1.
高等数学初等函数
初等函数的分类
幂函数：形如y=x^n的函数， 具有指数幂的形式
指数函数：形如y=a^x的函 数，其中a>0且a≠1
对数函数：形如y=log_a(x) 的函数，其中a>0且a≠1
三角函数：包括正弦函数、 余弦函数、正切函数等，具 有周期性和对称性
函数在计算机 科学中的应用： 实现算法，处
理数据
常见问题的数学模型建立
线性回归模型：用于预测两个或 多个变量之间的关系
三角函数模型：用于解决周期性 问题
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指数模型：描述增长或衰减过程
分段函数模型：处理离散数据或 分段连续数据
利用初等函数解决实际问题的方法
建立数学模型：将实际问题转化为数学问题，利用初等函数表达实际问题中的变量关系。 求解方程：通过求解方程来找到实际问题的解决方案。 函数图像分析：利用函数图像来直观地理解实际问题，通过观察图像的变化趋势来解决问题。 数值计算：利用初等函数的性质和计算方法，对实际问题进行数值计算，得到近似解或精确解。
反三角函数：包括反正弦函 数、反余弦函数、反正切函 数等，是三角函数的反函数
初等函数的运算方
03
法
函数的四则运算
定义：函数加法、减法、 乘法、除法的运算规则
性质：函数四则运算的性 质和定理
运算顺序：先乘除后加减 的顺序
应用：函数四则运算在数 学和其他领域中的应用
复合函数和反函数
复合函数的定义和性质
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：XX
计算方法：比较法、导数法、 不等式法
高等数学初等函数
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
y sec x
余割函数 y csc x
y csc x
5、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
一般来说，分段函数不是初等函数，但下例所示 的分段函数是初等函数。
例 1 y=∣x∣= x, x 0 是由 y= u 和 u= x 2 复合而成的复合函数,
x, x 0
那就是说，原函数与 x2 是同一个函数，因此它也是初等函数。
小结
函数的分类:
有 有理整函数(多项式函数) 理
代 数
函 数 有理分函数(分式函数)
一般地，若函数 y=f(u)的定义域为 D1，u=φ (x)的定义域
为 D2,值域 w2={u│u= φ (x),x∈D2}且 W2∩D1≠φ这样得到的
以 x 为自变量，y 为因变量的函数，称为由函数y=f(u)和 u= φ(x) 复合而成的复合函数,记作 y=f[φ (x)],其中 u 称为中 间变量。
初 等
函 数
函
无理函数
函数
数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
例：
设f
(x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
高等数学第二节初等函数
余弦函数： y=cos x
函数图象关于 y 轴对称，是偶函数；
是周期函数，周期为2 ；
cos x 1，是有界函数。
正切函数： y=tan x
y
y=tan x
-
2
O
2
函数图象关于原点对称，是奇函数；
是周期函数，周期为 ；
当 x (k - , k ), k Z 时，
则它们构成的复合函数为 y=f [(x)] = lgsinx.
例2.设y=f (u)=lg(u–2), u=(x)=sinx，能否构成
复合函数？
因u=sinx的值中,不能使y=lg(u-2)有意义， 所以 它们不能构成复合函数
例3. 指出下列复合函数的结构
（1） y cos2 x
（2） y
反正切函数 y arctan x
反正切函数图象关于原点对称， 是奇函数； 是单调增函数； arctan x ， 是有界函数。
2
反余切函数 y arccot x
是单调减函数； 0 arccot x ，是有界函数。
二、复合函数
在实际问题中，因变量与自变量的关系不是直接的，
y 1- x2
定义: 设函数 y f (u),其中u ( x)， 且(x) 的
值的全部或部分落在 f(u)的定义域内, 则称函数
y f [( x)]为 x的复合函数，而 u 为中间变量
x u f y
自变量
中间变量 因变量
例1.设y=f (u)=lgu, 而u=(x)=sinx.
解
y y 设通话x分钟，中国联通收费 1 元，中国移动收费 2 元
则
y1 36 0.4x, y2 0.6x
高等数学公式大全以及初等函数图像
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高等数学第二节初等函数
x u f y
自变量
中间变量 因变量
例1.设y=f (u)=lgu, 而u=(x)=sinx.
则它们构成的复合函数为 y=f [(x)] = lgsinx.
例2.设y=f (u)=lg(u–2), u=(x)=sinx，能否构成
复合函数？
因u=sinx的值中,不能使y=lg(u-2)有意义， 所以 它们不能构成复合函数
税率（%） 3 10 20
写出个人月收入x （不大于12500元）元与应缴纳税款y元 之间的关系，当某人月收入为6500元时，应缴纳多少税款？
解： 依此可以列出下面的函数关系：
0,
0 x 3500
y
(x (x
-
3500) 3500)
都是初等函数。
y
3 3x tan 5x x3 sin x - 2-x
今后我们所讨论的函数，绝大多数都是初等函数。
四、函数关系举例
1.如何选择通信公司
小王买部手机想入网，他得知：中国联通130网的收费标准 是：月租费30元，每月来电显示6元，本地通话每分钟0.4元； 中国移动“神州行”储值卡的收费标准是：本地通话每分钟 0.6元，月租费和来电显示费全免，小王相拥有来电服务，请 问他如何选择？
第二节初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数 四、建立函数关系举例
一、基本初等函数
1 、常数函数 y C y
O
yc
x
函数定义域为R，只有一个函数值
1.1 函数
2、幂函数
y x y
y x2
1
(是常数)
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
随着而不同，但在(0, )中都有定义；经过点 (1,1)， 在(0, )内当 0时，x为增函数； 0时，x为减函数
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π
单调减区间: 单调减区间:
3π [ + 2kπ, + 2kπ ](k ∈ Z) 2 2
单调减区间: 单调减区间:
π
[2kπ ,π + 2kπ ](k ∈ Z)
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y = tan x
3π − 2
−
π
2
π
2
3π 2
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第一章
第二节
初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数
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一、基本初等函数
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数
幂 函 数
定义: 称为幂函数,其中x是 定义:函数 y = x 称为幂函数,其中 是
自变量, 自变量
µ
µ是常数 是常数.
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画出 y = x , y = x , y = x , y = x , y = x 的图像
结束
反正弦函数
y = arcsin x
定义域： [-1，1] 定义域 值 域： [ −
π
y
2
π π
, ] 2 2
y = arcsin x −1
O
1x
奇偶性： 奇偶性： 奇函数 单调性： 单调性： 在 [-1，1] 单调递增 有界性： 有界性： 有界函数
−π 2
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因为这个区间是最简单的,且每一个余弦值都对应一个 因为这个区间是最简单的 且每一个余弦值都对应一个 角在这个区间,且是余弦函数的一个单调区间 且是余弦函数的一个单调区间. 角在这个区间 且是余弦函数的一个单调区间
定义域: 定义域:(0, +∞ )
ln x 换底公式：log a x = ln a
A > 0, A =
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e
ln A
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0<a<1
a>1
图
( 1, 0)
象
定义域: (0, +∞) 定义域:
( 1, 0)
性 质
值域: 值域:
( −∞, +∞)
当0<x<1时, y < 0 时 当x>1时, y > 0 时 在 (0, +∞) 上是增函数
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结束
反余切函数 y = arc cot x
定义域： 定义域 （ − ∞, +∞） 值域： 值域： 奇偶性： 奇偶性：
π
π
2
y = arc cot x
(0, π )
无
单调性： （ 单调性： 在 − ∞, +∞)单调递减 有界性： 有界性： 有界函数
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二、复合函数
定义: 定义
注意: 不是任何两个函数都可以复合成一个复 注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 合函数的 ——复合条件 复合条件
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2
x 2
x
= 2 .
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3x +1, x <1 求 f [ f (x)]. 例4. 设函数 f (x) = , x ≥1 x , x 换为 f (x) 解:
3 f (x) +1, f (x) <1 f [ f (x)] = f (x) ≥1 f (x) ,
x<0
ymin= −1
x = kπ +
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f(x)= 0
x = kπ (k ∈ Z)
π
2
(k ∈ Z)
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f(x)=sinx 图 象 2π 奇函数 单调增区间: 单调增区间: 单调性
[− + 2kπ, + 2kπ ](k ∈ Z) 2 2
f(x)= cosx
x
x
周期性 奇偶性
π
2π 偶函数 单调增区间: 单调增区间:
单调性： 单调性： 正切函数在开区间 − π + kπ , π + kπ , k ∈ Z 2 2 内都是增函数。
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y
y = cot x
−π
−
π
2
o
π
2
x π
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余切函数的性质： 余切函数的性质：
{ 定义域： 定义域： x | x ≠ kπ , k ∈ Z }
1
0 -1 π
2
π
3π 2
2π x 0
π
2
π
3π 2
2π x
-1
R [−1,1] −
x = 2kπ +
π
R [−1,1] −
x = 2kπ (k ∈ Z) 时
最
值
ymax=1
x = 2kπ −
2
(k ∈ Z) 时 (k ∈ Z) 时
π
2
ymax=1
x = 2kπ + π (k ∈ Z) 时
ymin= −1
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反正切函数 y = arctan x
定义域： 定义域 （ − ∞, +∞） π π 值域： 值域： (− , )
2 2
y
y = arctan x
π
2
o
−
π
2
x
奇偶性： 奇偶性： 奇函数 单调性： （ 单调性： 在 − ∞, +∞)单调递增 有界性： 有界性： 有界函数
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D = D1 ∩ D2 ≠ Φ ,则我们可以定义这两个函数的
下列运算: 和(差) f ± g : ( f ± g )( x) = f ( x) ± g ( x), x ∈ D; 积 f ⋅g:
( f ⋅ g )( x) = f ( x) ⋅ g ( x), x ∈ D;
f f ( x) ( )( x) = , x ∈ D \{x | g ( x) = 0, x ∈ D} g g ( x)
3(3x +1) +1
9x + 4 , x < 0
=
3x +1, 0 ≤ x <1
x, x ≥1
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内容小结
1. 基本初等函数的性质 2. 复合函数 3. 初等函数的结构
第二节 目录
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作业
P13 1 (1)(2) ; 2 (3); 4
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对 数 函 数
求 y = a ( x ∈ R, a > 0, a ≠ 1) 的反函数
x
解: y = a x ( x ∈ R )的值域为(0, +∞ ),即 y > 0
y = a ⇒ x = log a y
x
反函数为: 反函数为: y = log a x ( x > 0, a > 0, a ≠ 1) 对数函数
解
u = sin v , v= t , t = x 2 + 1. g [ f (x)] .
f ( x) x2
u ⑵ y= e ,
例3
2 x 设 f ( x) = x , g ( x) = 2 , 求 f [g (x )],
解
f [ g ( x )]=[ g ( x )] =( 2 ) = 4 , g [ f ( x )] = 2
y ≠ arcsin(2 + x2 )
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复合条件在实际应用时常取形式 内层函数的值域落在外层函数的定义域之内 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成. 合构成
x y = u, u = cotv, v = . 2
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函数的运算 设函数 f ( x), g ( x) 的定义域依次为 D1 , D2 ,
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µ
指 数 函 数
定义: 叫做指数函数, 定义:函数 y = a 叫做指数函数, 是一个大于0,且不等于1的常量, 0,且不等于 其中 a是一个大于0,且不等于1的常量,函 数的定义域是R. 数的定义域是R. x
x
y=a
(a > 0, a ≠ 1) x ∈ R
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正割函数
余割函数
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y
y
O
x
O
x
y=sinx
y
y=cosx
y O
O
x
x
y=tanx
y=cotx
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反三角函数
y y y y
O
x
O
O x 1 x O 1 x
y=Arcsinx
y=Arccosx
y=Arctanx
y=Arccotx
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当 x = 1 时, y = 0 , 即过点 ( 1 , 0 ) 当0<x<1时, y > 0 时 当x>1时, y < 0 时 在 (0, +∞) 上是减函数