有理数的乘方讲义
1.5 有理数的乘方讲义 学生版
第1章有理数1.5 有理数的乘方学习要求1、理解有理数乘方的意义，会进行有理数的乘方运算，并体会乘方结果的变化．2、掌握科学记数法的形式和要点，能按照要求使用科学记数法．3、掌握有理数混合运算的法则、顺序和运算律，能熟练、合理地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合的运算．4、进一步巩固有理数的混合运算，在运算中使用简单推理，提高运算能力．知识点一：有理数乘方的意义例1．对乘积（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）记法正确的是（）A．﹣34B．（﹣3）4C．﹣（+3）4D．﹣（﹣3）4变式1．（﹣3）2的值是（）A．﹣9 B．9 C．﹣6 D．6变式2．把下列各式用幂的形式表示，并说出底数和指数：（1）（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）；（2）．变式3．把下列各幂还原成连乘的形式：（1）（﹣7）4；（2）（﹣a3）5；（3）﹣a6；（4）（x﹣y）3．知识点二：有理数乘方的运算法则例2．计算：（1）（﹣3）4（2）﹣34（3）（4）（5）（﹣1）2011．变式1．计算．（1）53；（2）（﹣3）4；（3）；（4）；（5）1.52．变式2．计算：（1）﹣（﹣3）3；（2）（﹣）2；（3）（﹣）3．变式3．计算（﹣1）2014+（﹣1）2015的结果是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2变式4．简便计算：（﹣9）×（﹣）6×（1）3．变式5．计算：﹣32×（﹣）6×（1﹣）3．知识点三：有理数的混合运算顺序例3．计算：（1）（﹣2）2•（﹣3）2；（2）；（3）；（4）变式1．计算（1）（﹣3）4﹣（﹣3）3（2）|﹣22﹣3|﹣（﹣9）÷（﹣3）（3）（4）﹣（﹣2）2﹣3÷（﹣1）3+（﹣1）3×（﹣2）4．变式2．计算：（1）64÷（﹣2）4；（2）﹣22×（﹣3）2；（3）（﹣2）3×（﹣3）2；（4）．变式3．计算：（1）﹣32﹣（﹣2）2；（2）（﹣10）2+[（﹣4）2﹣（3+32）×2]；（3）（﹣1）4+（﹣23）÷×（﹣）3；（4）（﹣2）2010+（﹣2）2011；（5）（﹣0.25）2010×42011．变式4．计算题（1）﹣（﹣2）4（2）（3）（﹣1）2003（4）﹣13﹣3×（﹣1）3（5）﹣23+（﹣3）2（6）﹣32÷（﹣3）2（7）（﹣2）2﹣2+（﹣2）3+23（8）（9）（10）﹣（﹣2）2﹣3÷（﹣1）3+0×（﹣2）3变式5．计算（1）；（2）；（3）．变式6．计算（1）（﹣3）+（﹣4）﹣（+11）﹣（﹣9）；（2）﹣0.5﹣（﹣3）+2.75﹣7；（3）（+﹣）×（﹣36）；（4）﹣14﹣（﹣5）×+（﹣2）3÷|﹣32+1|知识点四：科学记数法例4．2010年上海世博会即将举行，据有关方面统计，到时总共参与人数将达到4640万人次，其中4640万用科学记数法可表示为（）A．0.464×109B．4.64×108C．4.64×107D．46.4×106变式1．我国作家莫言获得诺贝尔文学奖之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之前增长了180倍，达到2100000册，将2100000用科学记数法表示为（）A．0.21×108B．2.1×106C．2.1×107D．21×106变式2．据报道，北京市今年开工及建设启动的8条轨道交通线路，总投资约82 000 000 000元．将82 000 000 000 用科学记数法表示为（）A．0.82×1011 B．8.2×1010C．8.2×109D．82×109变式3．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记数法表示为（）A．11×104B．1.1×104C．1.1×105D．0.11×106变式4．国家体育场“鸟巢”建筑面积258000平方米，将258000用科学记数法表示应为（）A．258×103B．2.58×104C．2.58×105D．0.258×106变式5．地球距太阳的距离是150000000km，用科学记数法表示为1.5×10n km，则n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9变式6．2014年巴西世界杯在南美洲国家巴西境内12座城市中的12座球场内举行，本届世界杯的冠军将获得3500万美元的奖励，将3500万用科学记数法表示为（）A．3.5×106B．3.5×l07C．35×l06D．0.35×l08知识点五：近似数例5．用四舍五入法按要求取近似值：（1）99.5（精确到个位）（2）28343（精确到千位）（3）50673（精确到百位）变式1．下列各个数据中，哪些数是准确数？哪些数是近似数？（1）小琳称得体重为38千克；（2）现在的气温是﹣2℃；（3）1m等于100cm；（4）东风汽车厂2000年生产汽车14 500辆．变式2．下列各题中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？（1）通过第三次全国人口普查得知，山西省人口总数为3297万人；（2）生物圈中，已知绿色植物约有30万种；（3）某校有1148人；（4）由于我国人口众多，人均森林面积只有0.128公顷；（5）这个路口每分钟有3人经过；（6）地球表面积约5.1亿平方千米．变式3．用四舍五入法，按要求对下列各数取近似数：（1）地球上七大洲的总面积约为149480000平方千米（精确到10000000平方千米）（2）某人一天需要饮水1890毫升（精确到1000毫升）（3）人的眼睛可看见的红光的波长为0.000077厘米（精确到0.00001厘米）拓展点一：利用乘方解决实际问题例6．去年某地高新技术产品进出口总额为5287.8万美元，比上年增长30%，如果今年仍按此比例增长，那么今年该地高新技术产品进出口总额可达到多少万美元（结果精确到万位）？变式1．向月球发射无线电波，无线电波到月球并返回地面需2.57s，已知无线电波每秒传播3×105km，求地球和月球之间的距离．（结果保留三个有效数字）拓展点二：确定近似数的精确度例7．指出下列各近似值精确到哪一位．（1）56.3（2）5.630（3）5.63×106（4）5.630万（5）0.017（6）3800．变式1．用四舍五入法对下列各数按括号中的要求取近似值：（1）2.768（精确到百分位）；（2）9.403（精确到个位）；（3）8.965（精确到0.1）；（4）17 289（精确到千位）．变式2．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？（1）127.32；（2）0.040 7；（3）20.053；（4）230.0千；（5）4.002．变式3．下列近似数各精确到哪一位？（1）3.14（2）0.02010（3）9.86万（4）9.258×104（5）3.9×103（6）3.90×105．变式4．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1）B．0.05（精确到千分位）C．0.05（精确到百分位）D．0.0502（精确到0.0001）拓展点三：科学记数法与近似数的综合应用例8．某工人执行爆破任务时，点燃导火索后往100m外的安全地带奔跑的速度为7m/s，已知导火索燃烧的速度为0.11m/s，求：导火索的长度至少多长才能保证安全？（精确到0.1m）变式1．人体中血液的重量约占人体重量的，小丽的体重是40千克，求她体内的血液约重多少千克？（结果保留一位小数）变式2．2013年12月14日21时11分，嫦娥三号成功登陆月球．北京飞控中心通过无线电波控制，将“嫦娥三号”着陆器与巡视器成功分离的画面传回到大屏幕上．已知无线电波传播速度为3×105km/s，无线电波到月球并返回地面用2.57s，求此时月球与地球之间的距离（精确到1000km）．变式3．用激光技术测得地球和月球之间的距离为377985654.32米，请按要求分别取得这个数的近似值，并分别写出相应的有效数字．（1）精确到千位；（2）精确到千万位；（3）精确到亿位．变式4．1984年4月8日，我国第一颗地球同步轨道卫星发射成功．所谓地球同步轨道卫星，是指：卫星距离地球的高度约为36 000千米，卫星的运行方向与地球自转方向相同、运行轨道为位于地球赤道平面上圆形轨道、运行周期与地球自转一周的时间相等，即24小时，卫星在轨道上的绕行速度约为每秒千米．（1）现在知道地球的半径约为6 400千米，你能将上面的空填上吗？（2）写出你的计算过程．（结果保留一位小数）拓展点四：用分段法进行有理数的混合运算例9．（﹣0.125）2006×82005=．拓展点五：利用乘方进行大小比较例10．比较大小：3223．变式1．（1）问题：你能比较20042005和20052004的大小吗？为了解决这个问题，首先写出它的一般形式，即比较n n+1和（n+1）n的大小（n是正整数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3，…这些简单情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．通过计算，比较下列各组数的大小（在横线上填写“＞”、“＜”、“=”号）：1221，2332，3443，4554，5665，…（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出n n+1和（n+1）n的大小关系是什么？（3）根据上面的归纳猜想，尝试比较20042005和20052004的大小．变式2．化简并在数轴上分别画出表示下列各数的点，并把各数用“＜”号连接起来．（﹣1）2016，+（﹣3.5），﹣（﹣1.5），﹣|﹣2.5|，﹣22拓展点六：近似数真值的取值范围例11．近似数1.50所表示的准确数a的范围是（）A．1.55≤a＜1.65 B．1.55≤a≤1.64C．1.495≤a＜1.505 D．1.495≤a≤1.505变式1．近似数15.60，它表示大于或等于，而小于的数．变式2．近似数1.70所表示的准确数A的范围是．变式3．按要求取近似值：37.49≈（精确到0.1），这个近似数表示大于或等于，而小于的数．拓展点七：偶次方的非负性例12．若|a﹣1|+（b+3）2=0，则b a=（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1变式1．若（2a﹣1）2+2|b﹣3|=0，则a b=（）A．B．C．6 D．变式2．若x，y为实数，且满足|x﹣3|+（y+3）2=0，则（）2016的值是（）A．4 B．3 C．2 D．1变式3．若（a+1）2+|b﹣2|=0，求a2000•b3的值．变式4．已知|2x+1|+（y﹣2）2=0，求（xy）2011的值．拓展点八：定义新运算例13．用“☆”、“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b=a b和a★b=b a，那么（﹣3☆2）★1=．变式1．现规定一种新的运算“⊙”：a⊙b=a2+b2﹣1，如2⊙3=22+32﹣1=12，则（﹣3）⊙4=．变式2．现定义一种新运算，对任意有理数x，y都有x⊕y=x2﹣y，例如3⊕2=32﹣2=7，则44⊕（﹣81）=．变式3．从三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作C32==3，一般地，从m个元素中选取n个元素组合，记作：C m n=．例：从7个元素中选5个元素，共有C75==21种不同的选法．问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有种．变式4．对非负有理数数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜18.75＞=＜19.499＞=19，…．解决下列问题：（1）＜π＞=（π为圆周率）；（2）如果＜2x﹣1＞=3，则有理数x有最（填大或小）值，这个值为．变式5．阅读：如果一个非负数x四舍五入到个位后得到非负整数为n，记作“x”=n，例如“0.4”=0，“0.6”=1，“1.7”=2等，显然如果“x”=n，则可得n﹣0.5≤x＜n+0.5，反过来如果n﹣0.5≤x＜n+0.5，则可得“x”=n．根据以上知识，请解决以下问题：（1）当x为非负数，m为非负整数时，请说明“x+m”=m+“x”；（2）求满足3“x”=4x时，所有非负实数x的值．拓展点九：规律探究问题例14．观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（）A．2 B．4 C．6 D．8变式1．观察下列式子：12﹣02=1+0；22﹣12=2+1=3；32﹣22=3+2=5；…，写出第10项的算式．变式2．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017首先设S=1+2+22+23+24+ (22017)则2S=2+22+23+24+25+ (22018)②﹣①得S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法”1+3+32+33+34+…+32017=．变式3．观察下列各式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…猜想：13+23+…+n3（n是正整数）=．易错点一：混淆(-a)2与-a2的值例15．﹣43的计算结果是（）A．64 B．12 C．﹣12 D．﹣64变式1．下列各组的运算结果相等的是（）A．34和43B．（﹣3）5和﹣35C．﹣32和（﹣3）2D．和变式2．下列各组中两个式子的值相等的是（）A．32与﹣32B．（﹣2）2与﹣22C．|﹣2|与﹣|+2| D．（﹣2）3与﹣23变式3．下列各数与﹣6相等的（）A．|﹣6| B．﹣|﹣6| C．﹣32D．﹣（﹣6）变式4．下列算式中，与（﹣3）2相等的是（）A．﹣32B．（﹣3）×2 C．（﹣3）×（﹣3）D．（﹣3）+（﹣3）易错点二：混淆乘方和乘法例16．=；（）3=；（﹣）3=；﹣=．易错点三：对科学记数法理解不够例17．将下列用科学记数法表示的数还原（1）2.23×103；（2）3.0×108；（3）6.03×105．变式1．用小数表示下列各数：（1）8.5×10﹣3（2）2.25×10﹣8（3）9.03×10﹣5．变式2．用科学记数法表示的数3.61×108．它的原数是（）A．36100000000 B．3610000000 C．361000000 D．36100000变式3．今年1月中旬以来的低温、雨雪、冰冻天气，造成全国多个地区发生不同程度的灾害，直接经济损失已达到了5.379×1010元，将此数据用亿元表示为（）A．0.5379亿元B．5.379亿元C．53.79亿元D．537.9亿元变式4．用小数表示3.56×10﹣7为（）A．0.000000356 B．0.0000000356C．0.00000000356 D．0.000000000356易错点四：“0”不能随便去掉例18．把35.89543精确到百分位所得到的近似数为。
《有理数的乘方》 讲义
《有理数的乘方》讲义一、引入在我们的数学世界中，有理数的运算多种多样，其中乘方是一种非常重要的运算形式。
那么，什么是有理数的乘方呢？乘方又能给我们解决哪些数学问题呢？让我们一起来探索有理数乘方的奥秘。
二、有理数乘方的定义乘方，简单来说，就是几个相同因数的积的运算。
比如 2×2×2 可以写成 2³，其中 2 叫做底数，3 叫做指数，2³读作“2 的 3 次方”或“2 的 3 次幂”。
一般地，n 个相同的因数 a 相乘，记作aⁿ，即 a×a×···×a（n 个 a）＝aⁿ。
这里要注意，指数为 1 时，通常省略不写，比如 5×5 可以写成 5²，而 5×1 就直接写成 5。
三、有理数乘方的运算1、正数的乘方正数的任何次幂都是正数。
例如 3²=9，3³=27 。
2、负数的乘方负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
比如（－2)³=－8 ，（－2)²=4 。
3、 0 的乘方0 的任何正整数次幂都是 0 。
即0ⁿ=0（n 为正整数）。
在进行乘方运算时，先确定符号，再计算绝对值。
四、有理数乘方的规律1、底数为 10 的乘方10 的 n 次幂，在 1 后面就有 n 个 0 。
例如 10³=1000 ，10⁵=100000 。
2、底数为－1 的乘方－1 的奇次幂为－1 ，－1 的偶次幂为 1 。
3、乘方的比较当底数大于 1 时，指数越大，幂越大；当底数大于 0 小于 1 时，指数越大，幂越小。
五、有理数乘方的应用1、科学记数法在表示一些较大或较小的数时，我们常常使用科学记数法。
把一个数写成a×10ⁿ的形式（其中1≤｜a|＜10，n 为整数），这种记数方法叫做科学记数法。
例如，567000000 可以写成 567×10⁸；0000000567 可以写成567×10⁻⁷。
《有理数的乘方》 讲义
《有理数的乘方》讲义一、引入在我们的数学世界中，有理数的运算丰富多彩。
前面我们已经学习了有理数的加法、减法、乘法和除法，今天，让我们一起来探索有理数运算中的另一个重要内容——有理数的乘方。
想象一下，一个正方形的边长是 2，它的面积是 4；如果边长变成 2 的 2 倍，也就是 4，面积就变成了 16。
那如果边长是 2 的 3 次、4 次呢？这就涉及到了乘方的概念。
二、乘方的定义乘方，简单来说，就是求几个相同因数的积的运算。
比如 2×2×2 可以写成 2³，读作“2 的 3 次方”或者“2 的 3 次幂”。
其中 2 叫做底数，3 叫做指数，而整个 2³叫做幂。
再举个例子，5×5×5×5 可以写成 5⁴，底数是 5，指数是 4。
乘方运算的结果叫做幂。
一个数可以看作这个数本身的一次方。
例如，5 可以写成 5¹，指数 1 通常省略不写。
三、乘方的符号法则在有理数的乘方运算中，符号的确定非常关键。
当底数是正数时，无论指数是多少，幂都是正数。
例如，3²＝ 9，3³＝ 27。
当底数是负数时，指数为偶数时，幂是正数；指数为奇数时，幂是负数。
比如，（－2)²＝ 4，（－2)³＝－8。
这是因为负数乘以负数等于正数，而负数乘以正数等于负数。
四、乘方的运算计算有理数的乘方，就是先确定符号，再进行数值计算。
例如，（－3)³，先确定符号，因为指数 3 是奇数，所以幂是负数。
然后计算数值，3³＝ 27，所以（－3)³＝－27。
再比如，（－2)⁴，指数 4 是偶数，所以幂是正数。
2⁴＝ 16，所以（－2)⁴＝ 16 。
五、乘方的应用有理数的乘方在实际生活中有很多应用。
比如在计算面积和体积时，如果边长或棱长是用乘方表示的，就需要用到乘方运算。
在计算机科学中，二进制的运算也常常涉及乘方。
有理数的乘方(讲义)(含答案)
有理数的乘方（讲义）➢ 课前预习1. 填空：边长为a 的正方形面积可以表示为_____，它的含义是a ×a ；边长为a 的正方体体积可以表示为____，它的含义是______；类似地，我们可以把2×2×2记作______，2×2×2×2记作______； 2×2×…×2×2（n 个2）记作_______．2. 根据第1题的内容，填空：22=______；23=______；24=______；25=______；26=______；27=______；28=______；29=______；210=______．(-2)2=(-2)×(-2)=4；(-3)3=_____________=______；312⎛⎫-⎪⎝⎭=___________________=______． 3. 四则混合运算顺序：先算________，再算________；同级运算，从左向右进行；如果有括号，先算括号里面的．➢ 知识点睛1. 求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做_____，______叫底数，____叫指数，读作_______________）．2. 22=____；23=____；24=____；25=____；26=____；27=____；28=____；29=____；210=____．3. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0． 4. 科学记数法的定义：__________________________________________________________________________________．5. 有理数混合运算顺序：先________，再________，最后________；同级运算，从左到右进行；如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．➢ 精讲精练1. 在74中，底数是_____，指数是_______；在513⎛⎫- ⎪⎝⎭中，底数是_____，指数是________． 2. 对比(-4)3和-43，下列说法正确的是（ ）A ．它们的底数相同，指数也相同B ．它们底数相同，但指数不相同C ．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D ．虽然它们底数不同，但运算结果相同 3. 下列计算正确的是（ ）A ．4381-=B ．2(6)36--=C ．23324-=-D ．3225125⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4. 下列各组数中，值相等的是（ ）A ．23与32B ．22-与2(2)-C ．2)3(-与2(3)--D ．232⨯与2)32(⨯ 5. 在(-1)3，(-1)2，-22，(-3)2这四个数中，最大的数与最小的数的和等于（ ） A ．6 B ．8C ．-5D ．5 6. 一个数的平方是16，则这个数是（ ）A ．4B ．-4C ．±4D ．87. 若有理数(3)n -的值是正数，则n 必定是（ ）A ．正数B ．奇数C ．负数D ．偶数8. 下列各式一定成立的是（ ）A ．22()a a =-B ．33()a a =-C ．22a a -=-D ．33a a =-9. 计算：（1）2292343⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭；（2）322(2)0.54(2)-⨯-÷-；（3）3332(32)⨯--⨯； （4）235(4)48⎡⎤⎛⎫-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（5）3116(2)(4)8⎛⎫÷---⨯- ⎪⎝⎭；（6）3222011(2)492⎛⎫⨯---÷ ⎪⎝⎭；（7）22141220.532-÷-÷⨯-；（8）42110.5233⎡⎤-+(1-)⨯⨯-(-)⎣⎦；（9）243213(0.25)232⎛⎫⎛⎫-⨯÷-+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（10）234100(1)(1)(1)(1)(1)-+-+-+-++-…．10. 2019年春节联欢晚会在某网站取得了同时在线人数超34 200 000的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，将数34 200 000用科学记数法表示为__________．11. 2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，它是中国乃至当今世界规模最大、标准最高、最具挑战性的跨海桥梁工程，被誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，仅主体工程的主梁钢板用量就达42 000万千克，相当于60座埃菲尔铁塔的重量．这里的数据42 000万千克可用科学记数法表示为___________千克．12. 下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？（1）我国是世界四大文明古国之一，拥有五千多年的悠久文化与文明史．她位于亚洲东部，太平洋西岸，陆地面积约9.6×106平方千米，9.6×106的原数为__________________． （2）人体中约有2.5×1013个红细胞，则2.5×1013的原数是__________________________．13.乐乐的爸爸投资股票，有一次乐乐发现爸爸持有股票的情况如表格所示：14.某自行车厂计划一周生产自行车1 400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况：（单位：辆；超产记为正，减产记为负）：（1可知，该厂本周实际生产自行车多少辆？（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；不足部分每辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【参考答案】 ➢ 课前预习1. 2a ；3a ；a a a ⨯⨯；32；42；2n2. 4；8；16；32；64；128；256；512；1 024(3)(3)(3)-⨯-⨯-；-27；111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；18- 3. 乘除；加减➢ 知识点睛1. 幂；a n ；a ；n ；a 的n 次方（或“a 的n 次幂”）2. 4；8；16；32；64；128；256；512；1 0244. 一般地，一个大于10的数可以表示成10n a ⨯的形式，其中1≤a <10，n 为正整数，这种记数方法叫做科学记数法 5. 乘方；乘除；加减➢ 精讲精练1. 7；4；13-；52. D3. C4. C5. D6. C7. D8. A9. （1）169-； （2）-8； （3）240；（4）-22； （5）122-； （6）314-； （7）718-；（8）136-；（9）132-； （10）0． 10. 3.42×107 11. 4.2×10812. （1）9 600 000；（2）25 000 000 000 000 13. 赚了，赚了2500元．14. （1）213辆；（2）1 408辆；（3）25辆；（4）84 600元．。
《有理数的乘方》PPT课件
(3)－26＝－2×2×2×2×2×2＝－64.
总 结
1. 两个互为相反数的数的偶次幂相等，奇次幂仍然互为相反数；
2. 任意数的偶次幂都是非负数；
3. 1的任何次幂都是 1；－1的偶次幂是 1，－1的奇次幂是－1.
1、计算：
3
4
3
3 1 1
5 5 5 125 .
(2)(－10)2，(－10)3，(－10)4 ，(－10)7.
(2)(－10)2＝(－10)×(－10)＝100；
(－10)3＝(－10)×(－10)×(－10)＝－1 000；
(－10)4＝(－10)×(－10) ×(－10)×(－10)＝10 000；
(－10)7＝(－10)×(－10) ×(－10)×(－10)×(－10) ×
(－10)×(－10)＝－10 000 000.
2、
下列等式成立的是(
B )
A. (－3)2＝－32
B. －23＝(－2)3
C. 23＝(－2)3
3、
D. 32＝－32
若a2＝(－3)2，则a等于( D )
A. －3
B. 3
负数，负数的偶次幂是正数； 0的任何整数次
幂都是0．
例 2 计算：
4
(1) (－2)3；
1
3 ；
(2)
(3) －26.
解： (1) (－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8.
4
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 81 .
C. 9
D. ±3
有理数的乘方通用课件
解决几何问题
有理数的乘方可以用于计算面积和体 积，例如计算圆的面积 $S = pi r^2$ 和球的体积 $V = frac{4}{3}pi r^3$ 。
在日常生活中的应用
01
02
03
金融计算
在金融领域，有理数的乘 方可以用于计算复利、折 旧和摊销等。
购物折扣
在购物时，我们经常遇到 折扣的计算，例如“买一 送一”实际上就是 $2^0 = 1$ 的应用。
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乘方的运算规则
乘方的运算顺序
先进行括号内的运算，然后进行 乘除运算，最后进行加减运算。
乘方的简化
在运算过程中，可以运用指数律 和运算法则简化表达式，例如 a^m*a^n=a^(m+n)， (a/b)^n=a^n/b^n等。
乘方的实际应用
有理数的乘方在实际生活中有着 广泛的应用，例如计算面积、体 积、速度、功率等物理量，以及 在金融、统计学等领域中的应用
乘方的性质
乘方的基数性质
当底数a的绝对值小于1时，a^n 的符号与a相同；当底数a的绝对 值大于1时，a^n的符号与n的奇
偶性相同。
乘方的指数性质
当底数a的绝对值小于1时，a^n随 着n的增大而趋近于0；当底数a的 绝对值大于1时，a^n随着n的增大 而趋近于正无穷。
乘方的运算性质
乘方运算满足结合律、交换律和指 数律，即(a^m)^n=a^(m*n)， a^m*a^n=a^(m+n)， (ab)^n=a^n*b^n。
0的乘方
总结词
0的任何非零次方都等于0。
详细描述
任何非零数与0相乘都等于0，但0的0次方在数学中是未定义的。
04 有理数乘方的应用
(完整word版)有理数的乘方讲义
有理数的乘方引入：棋盘上的数学古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。
为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。
大臣说：“陛下，就在这个棋盘上放一些米粒吧！第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒…，一直到第64格。
”“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”设计意图：通过创设故事和问题情境,吸引学生的注意力，唤起学生的好奇心，激发学生兴趣和主动学习的欲望，营造一个让学生主动思考、探索的氛围。
猜想第64格的米粒是多少？第1格: 1第2格: 2第3格: 4=2×2=22第4格: 8=2 ×2 ×2=23第5格: 16= 2 ×2 ×2 ×2=2463个2第64格=2×2×······×2=263【知识点二】乘方的意义乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方a·a·…·a=a na n 读作a 的n 次幂（或a 的n 次方）。
其中a 是底数，n 是指数。
【例1】把下列各数写成乘方的形式（1） （-6）×（-6） ×（-6） （2）32323232⨯⨯⨯ （3）－2×2×2×2变式训练读出下列个数，并指出其中的底数和指数 1) 在（－9）7中,底数是 ，指数是 ，读作 ,或读作 ；2) 在83中，底数是 ，指数是 ，读作 ,或读作 ；3) 在 中，底数是 ，指数是 ，读作 ； 4) 在－24中，底数是 ，指数是 ；5）在 5 中,底数是 ,指数是 。
【知识点三】有理数乘方的运算法则：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；【例2】计算 1) （-3）4 2) -34３） 4)443⎪⎭⎫ ⎝⎛35.1443⎪⎭⎫ ⎝⎛-５）（-1）11【例3】计算并对比= ___ = ______(-1)2n =____ (-1)2n-1=_____【知识点四】科学记数法：科学记数法的的定义：我们把大于10的数记成a×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数（即1≤a<10）,n 是正整数。
人教版七年级数学上册 有理数的乘方 讲义
n 为奇数 --1 n 为偶数 11.5 有理数的乘方授课主题 有理数的乘方教学目的 1、理解有理数乘方的意义；掌握有理数乘方运算；2、经历探索有理数乘方的运算，获得解决问题经验；能确定有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序；3、会进行有理数的混合运算；培养并提高正确迅速的运算能力；重、难点 有理数乘方的运算：运算顺序的确定和性质符号的处理；有理数的混合运算；教学内容课程导入本节知识点讲解知识点一、有理数的乘方有理数乘方的概念：一般地，n 个相同因数a 相乘，即个n a a a ⋅⋅⋅⋅，记作na ，读作a 的n 次方. 求n 个相同因数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫做幂。
在na 中，a 叫做底数，n 叫作指数。
当n a 看作a 的n 次方的结果时，也可读作a 的n 次幂。
特别地，一个数也可以看作这数本身的一次方，如5就是5的一次，即155=，指数为1通常省略不写。
注意：①乘方是一种运算（乘法运算的特例），即求n 个相同因数连乘的简便形式；②幂是乘方的结果，它不能单独存在，即没有乘方就无所谓幂；③乘方具有双重含义：既表示一种运算，又表示乘方运算的结果；④书写格式：若底数是负数、分数或含运算关系的式子时，必须要用小括号把底数括起来，以体现底数的整体性。
拓展：底数为—1，0，1，10，0.1的幂的特性：(1)n -= 0n = （n 为正整数） 1n = (n 为整数) 101000n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1后面有____个0), 0.1n =0.00…01 (1前面有______个0)巩固练习1、 如果一个有理数的平方等于(－2)2，那么这个有理数等于（ ）A 、－2B 、2C 、4D 、2或－22、下列各对数中，数值相等的是（ ）A 、 －32 与 －23B 、－23 与 (－2)3C 、－32 与 (－3)2D 、(－3×2)2与－3×22 3、 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-343 ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛-343 ，=-433 ； 4、计算1、(－7)2；2、－72；3、(－43)4； 4、－(－5)3.本知识点小结本节知识点讲解知识点二、有理数的加、减、乘、除及乘方的运算法则有理数的混合运算顺序：先乘方,再乘除,最后加减.同级运算从左到右进行.如有括号,先做括号里的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.方法规律：（1）有理数运算分三级运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方（以后学习）是第 三级运算。
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有理数的乘方
引入：
棋盘上的数学
古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。
为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。
大臣说：“陛下，就在这个棋盘上放一些米粒吧！第1格放1粒米，第2 格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒…，一直到第64格。
” “你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”
设计意图：
通过创设故事和问题情境，吸引学生的注意力，唤起学生的好奇心，激发学
生兴趣和主动学习的欲望，营造一个让学生主动思考、探索的氛围。
猜想第64格的米粒是多少？
第1格:1
第2格：2
第 3 格:4=2 X 2=2"
第 4 格:8=2 X 2 X 2=23
第 5 格:16= 2 X 2 X 2 X 2=24
63个2
63
第64 格=2X 2X ................. X 2=2
【知识点二】乘方的意义
乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方
n
a a •…a= a
4
4
a n 读作a 的n 次幕（或a 的n 次方）
其中a 是底数，n 是指数。
【例1】 把下列各数写成乘方的形式 （1） （-6 ）x （-6 ） x （-6 ） 2X 2x 2x 2 (2)
2 2 _2 2
3 3^3
(3) —
变式训练
读出下列个数，并指出其中的底数和指数 1）在（—9） 7中,底数是 ，指数是 ，读作 ，
或读作 2） 在83中，底数是 4
3 3） 在-中，底数是
4
4） 在一 2中，底数是
5） 在5中,底数是
指数是，读作，
或读作 ，指数是 ，读作 ，指数是 ； 指数是 。
【知识点三】
有理数乘方的运算法则： 正数的任何次幕都是正数, 数；
负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正
【例2】
4
4
计算 1)
(-3)
2) -3
3)
3
4) 1 .5
11
5) (-1 )
【例3】计算并对比
(3)___ = ___ 3_
(-1) 2n= ___ (-1) 2n-1= ___________
【知识点四】
科学记数法：
科学记数法的的定义：我们把大于10的数记成aX10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数(即K a<10 ,n是正整数。
这种记数法叫做科学记数法。
(1)引入：10, 100 , 1000, 10000,能写成10()
2、(2) 300=3X00=3X0()
3000=3X000=3X0° 30000=3X0000=3X0°
3、160 000 000 000这个数可能表示为___________ ,(强调a的范围)
【例4】
1、将下列大数用科学记数法表示
(1)地球表面积约为510 000 000 000 000平方米，地球上陆地的面积大约为
149000000 平方米；
(2)2002年，中国有劳动力约为720000000人，失业下岗人员约为14000000
人；每年新增劳动
10000000人，进城找工的农民约120000000人。
2、下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数：
(1)2003年10月15日，中国首次进行载人航天飞行，神舟五号飞船绕地球飞行
了14圈，行程约为6X05千米；
(2)一套《辞海》大约有1.7 X07个字。
(3)1972年3月发射的先驱者十号”是人类发往太阳系外的第一艘人造太空探
测器，至2003年2月人们最后一次收到它发回的信号时，它离地球 1.22 X011千米。
课堂练习
7、 一个数的立方是它本身，那么这个数是（ ）
A 、0
B 、0 或 1
C 、— 1 或 1
D 、0 或 1 或—1
8、 如果一个有理数的正偶次幕是非负数，那么这个数是（ ）
A 、正数
B 、负数
C 、非负数
D 、任何有理数 9、 一 24X （— 22）X （ — 2） 3=（ ）
9
9
24
24
A 、 29
B 、一 29
C 、一 2
D 、2 10、 两个有理数互为相反数，那么它们的 n 次幕的值（ ）
A 、相等
B 、不相等
C 、绝对值相等
D 、没有任何关系 11、 一个有理数的平方是正数，则这个数的立方是（
）
A 、正数
B 、负数
C 、正数或负数
D 、奇数
A 、0
B 、1
C 、一 1
D 、2
13、2009年中央预算用于教育、医疗卫生、社会保障、就业等方面的民生支出 达到7285亿元，用科学记数法表示为（ ） A. 7285 X 108 元
B . 72.85X 1010 元
C . 7.285X 1011 元
D .
0.7285X 1012 元
14、《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总 投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ） A .
7.26 X 1010 元 B . 72.6X 109 元
选择题
118表示（ ） 11个8连乘 1、 A 、 2、 A 、 3B 、11乘以8 ） C 、一 6 C 、8个11连乘 D 、8个别1相力卩 C 、 下列各对数中，数值相等的是（ —32 与一23 —32 与（—3）2 下列说法中正确的是（ 23表示2X 3的积
—32与（—3）2互为相反数
D 、6 ) —2)3 B 、— 23 与( D 、(— 3X 2)2与—3X 22 )
B 、 D 、
任何一个有理数的偶次幕是正数 4 2 一个数的平方是4，这个数一定是-
9
3
5、 6、 下列各式运算结果为正数的是（ A 、一 24 X 5 B 、（1 — 2）X 5 如果一个有理数的平方等于（-2）2,那么这个有理数等于（ A 、一 2 B 、2 C 、4 D 、2 或一2
)
C 、(1 — 24) X 5
D 、1 — (3X
5)6
)
12、(— 1)
2001
+ (— 1)2°°J| 1 + ( — 1)2003 的值等于(
C. 0.726X 1011元
D. 7.26X 1011元
15、据《沈阳日报》报道，今年前四个月辽宁省进出口贸易总值达164亿美元.164 亿美元用科学记数法可以表示为（）
A .16.4X 10 ‘亿美元B. 1.64X 102亿美元C. 16.4X 102亿美元D. 1.64 X 103亿美元
计算
(1 ) 23 3 2⑵32 3 2
⑶ 2 2 2 2 3 23(4) 2 1 4
4 - 5
4
5 3
⑸26 2 43217(6) 2 23 1 3 0 2 3
2.解下列方程：
(1)5x =—15(2) —4x=20(3) —6x=—45
1
(4) —7x= --
3
解答题
1、有一张厚度是0.2毫米的纸，如果将它连续对折10次，那么它会有多厚？
2、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细
菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过多长时间？
3、你吃过“手拉面”吗？如果把一个面团拉开，然后对折，再拉开，再对折，…… 如此往复下去，对折10次，会拉出多少根面条？
4•一只小虫沿一条东西方向放着的木杆爬行，先以每分钟2. 5?米的速度向东爬行，后来又以这个速度向西爬行，试求它向东爬行3分钟，又向西爬行5?分钟后距出发点的距离.
5.某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6C.若该地地面温度为21 C，高空某处温度为—39C，求此处的高度是多少千米?
探究题
1、你能求出0.125101 8102的结果吗?
2、若a是最大的负整数，求a2000a2001a2002a2003的值。
3、若a与b互为倒数，那么a2与b2是否互为倒数？a3与b3是否互为倒数？
4、若a与b互为相反数，那么a2与b2是否互为相反数？a3与b3是否互为相反数？。