函数的单调性与凸性的判别方法

高等数学教学样板教案

授课次序09

教 学 基 本 指 标

教学课题 函数的单调性与凸性的判别方法 课的类型 新知识课 教学方法 讲授

教学手段 演示

教学重点 掌握函数单调性的判别法、凸性判别方法

教学难点

利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式

教 学 基 本 内 容

第九节 函数的单调性与凸性的判别方法

一、函数单调性的判别法

1、()[,](,),()[,]()()0(0)f x C a b D a b f x a b f x '∈?≥≤ 在。 证：不妨设()[,]f x a b 在，0

0,0

()()()lim

0,0

x x f x x f x f x x x ?→≥?>?+?-'=?

≤?，则()f x 在[,]a b ； ⑵如果(,)x a b ?∈，有()0f x '<，则()f x 在[,]a b 。 证:),,(,21b a x x ∈?,21x x <且应用拉氏定理,得

)())(()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ

,012>-x x ,0)(),(>'x f b a 内，若在,0)(>'ξf 则).()(12x f x f >∴ .],[)(上单调增加在b a x f y =∴

,0)(),(<'x f b a 内，若在,0)(<'ξf 则).()(12x f x f <∴.],[)(上单调减少在b a x f y =∴

注意：①[,]a b I →，结论仍成立；

②,()0(0)x I f x '∈≥≤且只有个别点处()0f x '=，则在I 上()()f x 。 例1、判定sin y x x =-在[0,2]π上的单调性。

备注栏

解：在(0,2)π内1cos 0y x '=->，故sin y x x =-在[0,2]π上 。 例2、讨论1x y e x =--的单调性。

解: :(,)D -∞+∞ ，且1x y e '=-。,)0,(内在-∞,0<'y x y e ∴=-x-1在(,0]-∞ ；

,),0(内在+∞,0>'y x y e ∴=-x-1在[0,)+∞ 。

注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．

3、单调区间求法

问题；如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调。定义；若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间。关键：导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点.

求法：用()0f x '=及()f x '不存在的点来划分()f x 的定义区间，然后判断区间内导数的符号。

例3、32

()(25).f x x x =-确定函数的单调区间

解:).,(:+∞-∞D 213331010101

(),(0)333x f x x x x x

--'=-=?≠

当0x =时，导数不存在；当1x =时，()0f x '=。

用0x =及1x =将(),-∞+∞划分为三部分区间：(,0],[0,1],[1,)-∞+∞。

现将每个部分区间上导数的符号与函数单调性列表如下：

x (,0)-∞ 0

(0,1)

1

(1,)+∞

()f x ' +

不存在

-

+

()f x

例4、()cos .f x x x =+判断函数的单调性

解:).,(:+∞-∞D ()1sin 0f x x '=-≥，其中等号仅在点2()2

x k k Z π

π=+

∈处成立，故

()f x 在每个区间[2,2(1)]22

k k π

π

ππ+

++上增加，从而在(,)-∞+∞内增加。 注意：区间内个别点导数为零，不影响区间的单调性。 例5、当0x >时，试证ln(1)x x >+成立。 证；设()ln(1)f x x x =-+，则()1x

f x x

'=

+。

()[0,)(0,)()0,f x C D f x '∈+∞+∞> ，

[0,)∴+∞ 在；

又(0)0f = ，∴当0x >时，,0)1ln(>+-x x 即ln(1)x x >+。

小结：

1、单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用；

2、定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立；

3、应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式。

思考题:若0)0(>'f ，是否能断定)(x f 在原点的充分小的邻域内单调递增？ 练习题

1、研究()arctan f x x x =-的单调性。

2、确定222

1

x x y x -+=-的单调区间。

3、证明下列不等式：若0>x ，则31tan (0)32

x x x x π>+<<。

二、函数的凸性及其判别法

1、定义：设()()f x C I ∈。如果对1212,()x x I x x ?∈≠，对任一(0,1)λ∈，总有

1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+<-+，则称()f x 在I 内是凸的；如果对

1212,()x x I x x ?∈≠，对任一(0,1)λ∈，总有1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+>-+，则称

()f x 在I 内是凹的。注意：①如果()f x 在I 内是凸（凹）的，则()f x -在I 内是凹（凸）的；

②如果()f x 在I 内是凸（凹）的，则()f x 的图形是向下（上）凸的。2、函数凸性判别法1：设()()f x D I ∈，且导函数()f x '在I 内增加（减少），那么()f x 在I 内是凸（凹）的。

函数凸性判别法2：若x I ?∈，()0f x ''>，则()f x 在I 内是凸的；若x I ?∈，()0f x ''<，则()f x 在I 内是凹的。

例1、讨论3y x =的凸性。解：,32

x y =' ,6x y =''

当0x <时，0y ''<，3

y x ∴=在(,0)-∞内是凹的；

当0x >时，,0>''y 3y x ∴=在0,)+∞(内是凸的。 注意：点(0,0)是曲线凹凸的分界点。

3、曲线的拐点及其求法（1）定义：连续曲线()y f x =上凹凸的分界点00(,())x f x 称为曲线的拐点。

注意:①拐点处的切线必在拐点处穿过曲线；

②拐点是()f x ''不存在的点或()0f x ''=的点。（2）拐点的求法：如果)(x f 在),(00δδ+-x x 内存在二阶导数,则点())(,00x f x 是拐点的必要条件是0)(0"=x f 。

例2、32()(25).f x x x =-讨论函数的凸性 解：3101(),(0)3x f x x x

-'=

?≠，从而当0x ≠时，31021

();09x f x x x x +''=?=当时，导数不存在，二阶导数当然也不存在.当12x =-

时，()0f x ''=.于是，0x =与1

2

x =-将函数的定义域11

(,),22

-∞+∞-∞--∞划分为三个部分区间(],[,0],[0,+).现将每个部分区间上二阶导数

的符号与函数的凸性列表表示如下：

x 1(,)2

-∞- 1

2

-

1

(,0)2

- 0

(0,)+∞

()f x '' -

+

不存在 +

()f x

凹

凸

凸

例3、（1）讨论ln y x =的凸性；（2）,0,01a b λ><<，证明：1(1)a b a b λλλλ-≤-+。 解：（1）211

,0y y x x

'''=

=-<，故ln y x =在(0,)+∞是凹的； （2）由ln y x =在(0,)+∞是凹的，故对,0a b ?>，当a b ≠时，有

11ln[(1)](1)ln ln ln ln ln a b a b a b a b λλλλλλλλ---+>-+=+=

1(1)a b a b λλλλ--+>

当a b =时，“=”成立，故,0,01a b λ><<，1(1)a b a b λλ

λλ-≤-+。

小结

1、函数凹凸性的定义；

2、凹凸性的判定；

3、曲线改变弯曲方向的点——拐点。

思考题:设)(x f 在),(b a 内二阶可导，且0)(0=''x f ，其中),(0b a x ∈，则,(0x ))(0x f 是否一定为曲线)(x f 的拐点？举例说明。

练习题一、填空题：

1、若函数)(x f y =在（b a ,）可导，则曲线)(x f 在(b a ,)内取凹的充要条件是____________.

2、曲线上____________的点，称作曲线的拐点.

3、曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________.

4、曲线)1ln(x y +=拐点为_______.

二、求函数2

sin 4x y x =+的图形的上凸区间与下凸区间。 三、利用函数的凹凸性，证明不等式：

2

2

y x y

x e e e +>+)(y x ≠。

四、试证明曲线1

1

2

+-=

x x y 有三个拐点位于同一直线上。 五、问a 及b 为何值时，点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点？