离散数学大作业

一、简要回答下列问题：（每小题3分，共30分）

1．请给出集合的结合率。

答：结合律(AUB)UC=AU(BUC)x∈(AUB)UC，即 x∈AUB 或 x∈C即 x∈A 或 x∈B 或 x∈C 即 x∈A 或 x∈B∪C即 x∈AU(BUC)说明 (AUB)UC包含于AU(BUC)同理可证AU(BUC)包含于(AUB)UC所以(AUB)UC=AU(BUC)

2．请给出一个集合A，并给出A上既不具有自反性，又不具有反自反性的关系。

3．设A={1，2}，问A上共有多少个不同的对称关系？

答：不同的对称关系有：8种

R = Φ

R = {<1,1>}

R = {<2,2>}

R = {<1,1>,<2,2>}

R = {<1,2>,<2,1>}

R = {<1,1>,<1,2>,<2,1>}

R = {<1,2>,<2,1>,<2,2>}

R = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}

4．设A={1，2，3，4，5，6}，R是A上的整除关系，M={2,3}，求M的上界，下界。

R = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5><1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<5,5>,<6,6>} M={2,3} 其上界为6，下界为1

5．关于P，Q，R请给出使极小项m0，m4为真的解释。

答：m0= ┐p∧┐q∧┐r m4 = p∧┐q∧┐r

6．什么是图中的简单路？请举一例。

答：图的通路中，所有边e1,e2,…,ek互不相同，称为简单通路。

7．什么是交换群，请举一例。

答：如果群〈G，*〉中的运算*是可以交换的，则称该群为可交换群，或称阿贝尔群。

如〈I，+〉是交换群。

8．什么是群中右模H合同关系？

答：设G是群，H是G的子群，a,b∈G，若有h∈H，使得a =bh，则称a合同于b（右模H），记为a≡b（右mod H）

9．什么是有壹环？请举一例。

答：幺元：如果A中的一个元素e，它既是左幺元又是右幺元，则称e为A中关于运算☆的幺元。

显然，对任一x ∈ A，有 e ☆ x = x ☆ e = x环

设是具有两个二元运算△和*的代数系统，如果适合:

① 是交换群(阿贝尔群)；

② 是半群；

③运算☆对运算△是可分配的，即：

a ☆ (

b △ c) = (a ☆ b) △ (a ☆ c)

(b △ c) ☆ a = (b ☆ a) △ (c ☆ a)

则称是环。

含幺环：

如果是独异点(或含幺半群)，则称是含幺环。

设 V=是半群，如果V中有幺元存在，则称V为含幺半群，也称为独异点。

设V=是代数系统，☆是非空集合A上的二元运算，如果☆是可结合的，即对任意的x,y,z∈A,有

(x☆y)☆z = x☆(y☆z)

则称V为半群。

10．什么是极大理想？请举一例。

答：一个环R的一个不等于的理想I叫做一个最大理想，假如除了R同I自己外没有包含A 的理想。

二、（12分）R，S是集合A上的两个关系。试证明下列等式：

（1）(R•S)-1= S-1•R-1

证明：先证(R•S)-1⊆ S-1•R-1，对任意(x，y) ∈(R•S)-1，则(y，x) ∈(R•S)，则存在a∈A，满足(y，a) ∈R且(a，x) ∈S，那么(x，a) ∈S-1且(a，y) ∈R-1，所以(x，y) ∈ S-1•R-1，因此(R•S)-1⊆ S-1•R-1；再证S-1•R-1⊆(R•S)-1，对任意(x，y) ∈ S-1•R-1，则存在a∈A，满足(x，a) ∈S-1且(a，y) ∈R-1，所以(y，a) ∈R且(a，x) ∈S，所以(y，x) ∈(R•S)，所以(x，y) ∈(R•S)-1，因此S-1•R-1⊆(R •S)-1。

（2）(R-1)-1= R

证明：先证(R-1)-1⊆ R，对任意(x，y) ∈(R-1)-1，则(y，x) ∈ R-1，则(x，y) ∈ R，所以(R-1)-1⊆ R；再证R ⊆(R-1)-1，对任意(x，y) ∈ R，则(y，x) ∈ R-1，则(x，y) ∈(R-1)-1，所以R ⊆(R-1)-1。故(R-1)-1= R得证。

三、（20分）指出下列公式哪些是恒真的哪些是恒假的：

(1)P∧（P→ Q）→Q

(2)（P→ Q）→（⌝P∨Q）

(3)（P→ Q）∧（Q→R）→（P→ R ）

(4)（P↔ Q）↔（P∧ Q∨⌝P∧⌝ Q）

解：(1)P∧（P→ Q）→Q是恒真的∨Q），

(2)（P→ Q）→（⌝P是恒真的，

(3)（P→ Q）∧（Q→R）→（P→ R ）是恒真的，

(4)（P↔ Q）↔（P∧ Q∨⌝P∧⌝ Q）是可满足的。

四、（18分）指出下列表达式中的自由变量和约束变量，并指明量词的作用域：

（1）(∀xP(x)∧∃xQ(x))∨(∀xP(x)→Q(y))

（2）∃x∀y((P(x)∧Q(y))→∀zR(z))

（3）A(z)→(⌝∀x∀yB(x，y，a))

（4）∀x A(x)→∀yB(x，y)

（5）(∃xF(x)∧∀yG(x，y，z))→∃zH(x，y，z)

答：（1）(∀xP(x)∧∃xQ(x))∨(∀xP(x)→Q(y))3个x都是约束变量，y为自由变量第一个∀x的作用域是第一个P(x)第2个∀x的作用域是第2个P(x)∃x的作用域是Q(x)

（2）x,y,z都是约束变量

（3）x,y是约束变量，z为自由变量

（4）A(x)中的x是约束变量，B(x,y)中的x是自由变量，y是约束变量

（5）F(x)中的x是约束变量G(x,y,z)中的y是约束变量，x,z是自由变量

H(x,y,z)中的z是约束变量，x,y是自由变量。