狭义相对论的速度变换
3狭义相对论基本原理洛仑兹变换
. a
慢
.
慢
.
.
双生子效应 twin effect
20岁时，哥哥从地球出发乘飞船运行，10年 后再回到地球 ，弟兄见面的情景？ 飞船速度
u 0.999c
哥哥测的是固有时，弟弟测的是相对论时
u t t 1 0.447 y c
0 2
2
20.5 岁和 30岁
趣味之谈：
仙境一天，地面一年 (牛郎织女)
④.同时性没有绝对意义。 ⑤.有因果关系的事件，因果关系不因坐标 系变化而改变。超光速信号违反因果率。
t ' (t ux / c )
2
t (1 ) cc
当 t 0
时
t ' 0
vu t ' t (1 ) cc 时序: 两个事件发生的时间顺序。 在S中： 先开枪，后鸟死 在S’中： 是否能发生先鸟死，后开枪？
洛仑兹坐标 变换是基础
dx v x u 2 dt u 1 2 c
u 1 2 v x dt c 2 dt u 1 2 c
x
x ut
2
u 1 2 c u t 2 x c t 2 u 1 2 c
定义
dx vx dt
dx v x dt
u 1 2 v x dt c dt u2 1 2 c
2
2
y' y S' 系 z' z t ux / c t' 1 (u / c)
2
2
令
1 1 2 1 膨胀因子 1 1 (u / c)
2
u/c
x ( x'ut ' ) y y' z z'
16-2狭义相对论时空观16-3速度变换公式解析
由洛仑兹变换：如果在S 系中物体的横向速 度为零，沿 x轴方向的速度为u，则在S′系中 观测，物体的横向速度也为零，而沿x′ 轴方 ux v 向的速度: u
x
v 1 2 ux c
第十六章 狭义相对论基础 狭义相对论基础 狭义相对论基础
由洛仑兹变换得：洛伦兹速度变换式
正变换
ux v u x v 1 2 ux c uy u y v 1 2 u x c uz u z v 1 2 u x c
考察 s' 系观测两事件： y y ' v s' s' 系同一地点B 发 s d 生两事件 发射光信号 ( x ' , t '1 ) o 接受光信号 ( x ' , t '2 )
o'
12
9 6
3
B
x' x
t1 2d c Δt t2 时间间隔 原时（固有时间）：在一参考系中，同一 地点发生的两事件的时间间隔 t '。
第十六章 狭义相对论基础 狭义相对论基础 狭义相对论基础
洛伦兹首先导出洛伦兹变换，相对性 原理也是由庞加莱首先提出的，但是他们 都没有抓住同时性的相对性这一关键性、 革命性的思想。
洛伦兹和庞加莱都走近了相对论，却 没能创立相对论。只有26岁的爱因斯坦敢 于质疑人们关于时间的原始观念，坚持同 时性是相对的，才完成了这一历史的重任。
第十六章 狭义相对论基础 狭义相对论基础 狭义相对论基础
讨论
t
3
v c 时，Δt Δt 过度为牛顿力学。
4 由于同时性具有相对性，所以对不同参 考系而言，沿相对速度方向发生的同样的 两个事件之间的时间间隔是不同的，即时 间的量度是相对的。
18-3 狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换
伽利略变换与狭义相对论的基本原理不符 .
狭义相对论的基本原理
洛伦兹变换
相对论
和光速不变紧密联系在一起的是：在某一惯性系 中同时发生的两个事件，在相对于此惯性系运动的另 一惯性系中观察，并不一定是同时发生的 .
“凡是时间在里面起作用的我们的一切判断， 都是关于同时的事件的判断” ——爱因斯坦 长度的测量和同时性概念密切相关.
y
y' v
(1). o与o重合时，t t ＝0 (2). v 为常矢量 3. 洛仑兹变换的应用：
(1). 分清各个物理事件；
o o' z z'
x x'
(2). 建立参照系，列出不同的惯性系中的时空坐标；
(3). 代入洛沦兹变换式。
狭义相对论的基本原理
洛伦兹变换
相对论
例3. 两宇宙飞船相对于某一惯性系分别以0.7c和0.9c的 速率沿同方向（x 轴）飞行。求两飞船的相对速率。
2 1
t 2 t1 0
x1 2.0 10 x2
求解
3
t1 ? t2
??
v (t 2 t1 ) 2 ( x2 x1 ) c t1 t2 2 1 v c
狭义相对论的基本原理
洛伦兹变换
相对论
x1 x2
3
( x2 x1 ) v(t2 t1 ) 1 v c
c
y' y
t (t ' vx' / c 2 )
x (x vt )
正 变 换
t (t vx / c )
2
狭义相对论的基本原理
洛伦兹变换
相对论
例1：已知北京和上海直线相距1000km，在某一时 刻从两地同时开出一列火车，现有一艘宇宙飞船从 北京到上海方向在高空掠过，飞行速度为9km/s， 求宇航员测的两列火车开出时的时空坐标。 解：建立参照系。设北京、上海发车分别为事件A 和事件B。 两个参考系下的时空坐标： S
狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换式
2、洛伦兹速度变换式
ux − v u′ = x u xv 1− 2 c
正变换
u y 1 − v 2 /c 2 ′ uy = u xv 1− 2 c
u z 1 − v 2 /c 2 ′ uz = u xv 1− 2 c
9
物理学
第五版
14-3 14-
狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换式
逆变换
u′ + v ux = x u′ v 1 + x2 c u ′y 1 − v 2 / c 2 uy = u′ v 1 + x2 c
2 2
c ,0,0, 1 ) 点在K 中的时空坐标为( 即P1点在K'中的时空坐标为( 3 3
同理可得 P2点在K'中的时空坐标为(-3c,0,0,3) 点在K 中的时空坐标为(
12
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14-3 14-
狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换式
讨论： 讨论： ----同时 ∆t = 0 ----同时
物理学
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14-3 14-
狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换式
Qd x' =
d x −v dt 1−v c
2 2
dt' =
dt −v d x c 1−v c
2 2
2
d y' = d y
d z' = d z
ux −v d x' d x −v dt = ∴ux' = = 2 2 dt' dt −v d x c 1−vux c
8
16
= 2.99×10 m /s
15
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14-3 14-
狭义相对论的基本原理 洛伦兹变换式
狭义相对论速度变换
（2）新变换在低速下应能退化成伽利略变换。
有 y y z z
设 S S 的 变换为：x k ( x ut )
根据Einstein相对性原理:
S S 的 变换为： x k ( x u t )
uvs c2
0
1 u2 c2
子弹速度
vs
x2 x1 t2 t1
信号传递速度
t2 t1
在S'系中：仍然是开枪在前，鸟死在后。 所以由因果率联系的两事件的时序不会颠倒。
问题？ 竞走运动的极限速度是多大？(假设裁判
可乘坐高速交通工具监控比赛进程)
2、时间膨胀效应 研究的问题是：
问:
在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件， 在另一个相对其运动的惯性系中发生的先后顺序如何？
时序与因果律
时序: 两个事件发生的时间顺序。 在S中：先开枪，后鸟死
在S'中：是否能发生先鸟死，后开枪？
由因果律联系的两事件的时序是否会颠倒？
开枪 事件1：
( x1 , t1 )前 在S中：t 2 t1
S 系中的观察者又 如何看呢？
S S
u
事件1 A 接收到闪光
A M B
事件2 B 接收到闪光
M 处闪光 光速也为 c
A B 随 S 运动
A 迎着光 比 B早接收到光
事件1、事件2不同时发生 事件1先发生 t 0
由洛仑兹变换看同时性的相对性
t2
t2
讨论 1. Einstein 的相对性理论 是 Newton理论的发展
狭义相对论
狭义相对论----爱因斯坦本文作者：周奇第一章：两个基本假设相对性原理：物理规律在所有的惯性系中都是平权的。
光速不变原理：光速在任何参考系中都是定值。
即81=⨯⋅310c m s-第二章：洛仑兹变换假设在t = t′ = 0时刻两个参考系的原点重合，在这个时刻，位于原点O 或O′ 的一个光源发出一个光信号。
根据光速不变原理，在两个参考系中，这个光信号将以相同的速度c 到达P 点，但所用的时间间隔不同，分别为t 和 t′。
于是P 点的坐标方程为()2222x y z ct ++= 和 ()2222x y z c t ++= 或()()22222222x y z ct x y z ct ''''++-=++-·······················1 因为只在X 轴方向有相对运动，应当有y = y′ 和z = z′，这样，方程1变为()()2222x ct x ct ''-=- (2)方程2的线性解就是一维洛伦兹变换：2x y y z zvx t t ⎧'=⎪⎪⎪⎪'=⎪'⎨=⎪'⎪'-⎪'=⎪⎪⎩ (3)2x y y z z vx t t ''⎧=⎪⎪⎪⎪'=⎪'⎨=⎪'⎪'+⎪=⎪⎪⎩ (4)在k 系中有l ct =··························1 在k '系中有s ct '=························2 d v t '=························3 有几何关系可知222s d l =+················4 将123式代入4式()()()222ct vt ct ''=+ ()()22221v ct ct c ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭22221v t t c ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭t '= (5)5式即为钟慢效应公式一维洛伦兹变换可以给出速度变换公式。
狭义相对论基本变换公式
t 2 d 2 (vt)2 2 d2 (vt)2 2d 1 (v )2 ( t )2
c
c
c
c t
t t'
1
v2 c2
( t )2 t
t
t
1
v2 c2
我们对于同一个过程算出的时间不一样都是因为认定了光速相对于你我都是c，这样算出的 时间就是不一样的，加入我们认为光速相对于你我不是c是不是就能算出一样的时间来呢， 嗯，的确是的，但是光速在不同参考系中是不会变的，这受到了迈克尔逊莫雷实验以及后
v
v 1 v2 c2
1 v2 c2
这里有一个需要注意的问题：那就是通过尺缩效应容易得到空间坐标之间的变换关系，之 后，根据光速不变原理可以直接得到时间的关系，也算是第二种推导方法吧，那就是对于 一束光x2+y2+z2=c2t2,在第S'系中的坐标应该是x'2+y'2+z'2=c2t'2,既然光线的传播方程 具有这足这个关系，那么光速就不是不变的了，与假设矛盾，因此要这样求解。
运动参考系的空间坐标 在初始时刻，两个坐标系的原点重合，O=O',此时认为t=t'=0，将 钟对准。假如在另一个时刻将时空定格，空间中的一点在S系中是(x,y,z,t)，在S'系中是 (x',y',z',t')，我们的目标是测量出这两个坐标系之间的变换关系，根据引言可知， y=y',z=z'，这个是不变的，否则就违背了惯性系速度方向不变的假设。下面求x方向的坐 标变换关系。
x x ' vt 1 (v)2 c
根据这个长度的关系我们可以推导出时间的关系：
t 1 (x x
狭义相对论1
x 1.0102 m
x x ut 1 u2 c2
t 1.0106 s
u 0.9c
x ut x
1u2 c2
8.48102 m
x 1.0102 m t 1.0106 s u 0.9c
t
t'
x 'u c2
1 u2 c2
s y s
设线性关系
uy
u
x' o'
0
0
x o
'
t
o'
o
o
z
z
P
x
x
洛仑兹变换的推导
xo 0
xo' t t ' t
u
x' x t t ' x t
u
x' x ut t ' x t
u s y s y
Vx'
x' t '
2.4108 m / s
Vx'
Vx u
1
uVx c2
1
10 2.4108 10 2.4108
9 1018
2.4108 m / s
例题 4 甲乙两人所乘飞行器沿x轴作相对运动。甲测得两 个 事 件 的 时 空 坐 标 为 x1=6104m, t1=2 10-4 s ； x2=12 104m， t2=1 10-4 s，如果乙测得这两个事件同时发生, 问： （1）乙对于甲的运动速度是多少？ （2）乙所测 得的两个事件的空间间隔是多少？
以太说
整个宇宙就是一个以太的海洋，以太 绝对透明、密度为零、不与任何物质 发生相互作用、更重要的是它绝对静 止，相对于以太绝对静止的参考系叫 以太系
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狭义相对论的速度变换的另一种方法
目前常用的方法
设车厢相对于地面的速度为v1,车厢里面的人相对于车厢行走的速度为v2,这个人相对于地面的速度为v
合速度
,按照通常使用的方法,如果这些速度是同向的话,那么
v
合速度=
v1+v2
1+v1∙v2
c
例1.若v1=c
2,v2=2c
3
,那么
v
合速度
=
c
2
+2c
3
1+
c
2
∙2c
3
c2
=
1
2
+2
3
1+1
2
∙2
3
c=
3+4
6+2
c=
7c
8现在介绍另一种方法。
我们为每一个实际速度引入一个与之伴随的数,暂且称为内隐速度,换算关系如下
v
内隐=1ln 1+
v
实际
c 1−
v
实际
c
v
实际c =
e
2v
内隐
−1 e
2v
内隐
c+1
其中ln是自然对数,e是自然对数的底数,c是光速。
那么v1和v2的内隐速度分别由
v
1内隐=1ln 1+v1
c 1−v1
c
v
2内隐c =
1
2
ln
1+v2
c
1−v2
c
求出。
而v
合速度
对应的内隐速度
v
合速度内隐=v
1内隐
+v
2内隐
于是v
合速度
由
v
合速度c =
e
2v
合速度内隐
c−1 e
2v
合速度内隐
c+1
求出。
例1.若v1=c
2,v2=2c
3
, 那么v1内隐=1
2
ln3, v
2内隐
=1
2
ln5,
v
合速度内隐
=v
1内隐
+v
2内隐
=
c
ln15
v
合速度
=
15−1
15+1
=
7c
8
(仅适用于v1,v2平行)。