第5节 算法的数值稳定性
排序算法稳定性实现技巧概述
排序算法稳定性实现技巧概述排序算法是计算机科学中常用的算法之一，用于将一组元素按照特定的规则进行排列。
在排序算法中，稳定性是一个重要的概念，它指的是排序后相等元素之间的相对位置是否保持不变。
本文将概述排序算法的稳定性实现技巧。
一、稳定性的意义及应用稳定性在排序算法中非常关键，特别是在多关键字排序或对象排序的场景中。
对于多关键字排序，如果排序算法是稳定的，那么第一关键字相同时，第二关键字不会打乱原本的顺序，这对于保持数据的有效性非常重要。
在对象排序中，保持原始顺序能够确保对象之间的关联性，在某些应用中具有重要意义。
二、常见的排序算法及其稳定性1. 冒泡排序（Bubble Sort）冒泡排序是一种简单直观的排序算法，通过相邻元素的比较和交换来达到排序的目的。
冒泡排序是一种稳定的排序算法，因为对于相等的元素，它们不会改变原始的相对位置。
2. 插入排序（Insertion Sort）插入排序将元素逐个插入到已排序序列中的合适位置。
插入排序也是一种稳定的排序算法，因为在插入过程中，不会改变相等元素的相对顺序。
3. 归并排序（Merge Sort）归并排序采用分治策略，将待排序序列不断拆分为更小的子序列，然后再将子序列排序合并。
归并排序是一种稳定的排序算法，因为在合并子序列的过程中，相等元素的相对顺序不会改变。
4. 堆排序（Heap Sort）堆排序利用堆数据结构来实现排序操作。
堆排序是一种不稳定的排序算法，因为堆的构建过程可能会改变相等元素的相对位置。
5. 快速排序（Quick Sort）快速排序通过选取一个基准元素，将序列分割成两部分，然后对两部分分别进行排序。
快速排序是一种不稳定的排序算法，因为在分割过程中，可能会改变相等元素的相对顺序。
三、实现稳定性的技巧1. 稳定的基于比较的排序算法在基于比较的排序算法中，为了实现稳定性，当比较两个元素相等时，不进行交换操作，而是保持它们在原始序列中的相对顺序。
2. 索引排序索引排序是一种利用辅助数组或链表来记录元素位置的方法。
第5节绝对稳定性和绝对稳定区域
§5 绝对稳定和绝对稳定域 零稳定性是在h→0的情况下得到的，它等价于收敛性，这样 的稳定性也称渐进稳定性。 无论从理论上还是从应用上看，多步法都必须是稳定的。但 是这种稳定性有两个限制： 1. 要求h∈(0,h0)充分小（h→0）； 2.只允许初始数据有误差，以后各步计算要精确。 一方面，在计算时步长h是固定的，由于计算 而在实际计算过程中， 条件的限制不可能取任意的小，更不要说h→0 ； 另一方面，每一 步计算总会产生舍入误差。 因此，从实际计算角度来看，反而要求 步长尽可能的大些，并要考虑计算方法对舍入误差的敏感性。 这就是计算（数值）稳定性问题。
注意，
3
100 。 特征方程为: 8
1600 500 2204 2 (− 10) + × (− 10 ) − × (− 10 ) + >0 96 96 96 2204 1600 500 2 × ( −∞ ) − × ( −∞ ) + <0 ( −∞ ) + 96 96 96
3
故在(-∞,-10)中有一个根，故方法对h=0.125是不绝对稳定的。 结论：存在着（零）稳定而不是绝对稳定的情况
j j =0
k
σ (λ ) = ∑ β j λ j
j =0
k
（1.5.10）
则 C的特征方程为
ρ (λ ) − h σ (λ ) = 0
（1.5.11）
由引理1.1(ⅲ),可知(1.5.9)成立的充要条件是(1.5.11)的根都在 单位圆内。 事实上,当矩阵
ρ ( C ) < 1, 则存在一种矩阵的算子范数‖·‖,使得 C < 1。 则由
( λ < 1 ) 。若存在复数
数值算法的稳定性
结果只有一位有效数字,有效数字大量损失,造成相 对误差扩大。这是由两个比较接近的数相减造成的。
1 1 1 1 5 0.1734 10 759 760 759 760 0.5768 10 6
结果仍然有四位有效数字。这说明了算法设计的 重要性。
注：数值计算中要避免有效数字减少。
n 15
In
0.0105205
n 10
In
0.0153676
n 5
In
0.0284684
19
18
0.00825397
0.00887552
14
13
0.0112292
0.0120399
9
8
0.0169265
0.0933742
4
3
0.0343063
0.0431387
17
16
0.00933601
0.00989750
0.0147169
14
15
-0.395442
2.04388
19
20
1270.86
-6354.23
0.0284686 5 线性代数一 10 ④
16/32
而将公式变为
1 1 I n 1 I n (n m, m 1,...,2,1) 5 5n
然后取充分大的m对应的Im的一个估计值为计算初 值，再逐步用上式算出Im-1 ，Im-2 ，...，I1。 用上式计算 Im 可使计算的误差减少5倍，因而它对应 的算法是数值稳定的算法。
2.04388
19
20
1270.86
-6354.23
1 I n 5I n1 (n 1,2,...) n
数值分析第五版第1章习题答案-李庆扬
第1章复习与思考题习题0，依据定义|X*X|/X*|X*-X|=X***X X：按定义求解E(lnX)=|lnX-LnX*|=ln(X/X*)=ln(1-)X|lnX ln*|/lnX*ln(1)/lnX*ln(1)/lnX*按泰勒展开求解，2(x*)=(x*)(x x*)"()(x x*)f f f1(lnX*)|lnX lnX*|lnX*(X X*)**r(lnX*)|lnX lnX*|/ln */ln *X X X X问题是解法1错了吗？ 很小时，ln(1-)=，求n X 的相对误差*0.02*X X ： 按照定义：{(10.02)X*}*(1.02)n n X (X )(X X*)/X* 1.021(10.02)1n n n n n多项式展开，有100.02n n i i：按照泰勒展开11(X X*)*(X X*)nX*(0.02X*)0.02X*)(XX*)/X*0.02*/*0.02n n n n n nn nn nnX nX X n问题是解法1错了吗？10.02n n i i 收敛于（0.02/(1-0.02)= 0.002004008016032064128256释？应该没有错，按照泰勒展开，相当于将误差限放大了。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字* 1.1021x ，0.031x ，385.6，56.430，7 1.0。
解：有4位有效数字；X2有1位有效数字；X3有3位有效数字；X4有1位有效数字**24x x ，*1x x 其中***123x x x ，，，公式（2.3）：1(A*)|()*|(X )n k k kfX 解：******124124()()()()0.510x x x x x x ************1232311321234313()()()()0.031385.60.510 1.1021385.60.510 1.10210.0310.510(0.59768212.48488 1.708255)100.214790815x x x x x x x x x x x x******2*2442244323335(/)1/()/()()1/56.4300.5100.031/(56.430)0.510(10.031/56.430)/56.4300.510=(0.99945064681906787169945064681907)0.5/56.430100.885610x x x x x x x5、计算求体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 所允许的相对误差是多少？解：球的体积公式3V R23(V)3R (R)/R 3(R)/R 0.01r有(R)0.01/3R (R)(R)/1/300r R6、设Y0=28，按递推公式11783100n nY Y ，1,2,3.....n 计算到Y100，若取27.982（解：n n n (Y )(Y Y )，所以(Y )0n 。
第五节稳定性和代数稳定判据 自动控制原理课件
s n 1 a n1 a n3 a n5
s n 2 b1
b2
b3
s n 3 c1
c2
c3
s n 4 d1
d2
d3
s1
f1
s0
g1
2020/9/30
时域分析法--稳定性和稳定判据
8
劳斯判据
s
0
s
n4
s
n3
s
n2
s
n 1
s
n
以下各项的计算式为：
an
a n2
an an2
b1
an1 an3 an1an2anan3
点有关，与零点无关。
对于一阶系统，a1sa0
系统是稳定的。
0,sa0 a1
,
只要
a0 , a1 都大于零，
对于二阶系统，a2s2a1sa00,s1,2a12 a a 1 224a2a0
只有 a0,a1,a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。
时域分析法--稳定性和稳定判据
11
劳斯判据特殊情况
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不 稳定。表示s右半平面上有极点，极点个数等于劳斯阵列第一列 系数符号改变的次数。
[例]：系统的特征方程为： s5 2 s4 s3 3 s2 4 s 5 0
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
数值计算方法思考题
数值计算方法思考题数值计算方法思考题第一章预篇1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。
4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。
无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。
解对数据的微小变化高度敏感是病态的。
高精度运算可以改善问题的病态性。
用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。
用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。
两个相近数相减必然会使有效数字损失。
计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。
7．考虑二次代数方程的求解问题ax2 + bx + c = 0.下面的公式是熟知的bb24acx.2a与之等价地有x?对于2c?b?b?4ac2.a = 1,b = -100 000 000 ,c = 1应当如何选择算法？8．指数函数有著名的级数展开x2x3e?1?x2!3!x 如果对x 9．考虑数列xi, i = 1,…, n, 它的统计平均值定义为x?1n?xi xi?1 它的标准差2?1n2(xi?x)? n?1i?1??1 数学上它等价于1n222xinx n1i11 作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？第二章非线性方程求根1．判断如下命题是否正确：(a) 非线性方程的解通常不是唯一的；(b) Newton法的收敛阶高于割线法；(c) 任何方法的收敛阶都不可能高于Newton法； (d)Newton法总是比割线法更节省计算时间；(e) 如果函数的导数难于计算，则应当考虑选择割线法；(f) Newton法是有可能不收敛；(g) 考虑简单迭代法xk+1 = g(xk)，其中x* = g(x*)。
第三章稳定性和代数稳定判据
如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项 是发散的周期振荡。
上述两种情况下系统是不稳定的。
如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系 统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；
如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期 振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。
从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于
s n2 b1
b2
b3
s n3 c1
c2
c3
s n4 d1
d2
d3
s0 g1
劳斯阵的前两行由特征方程的系数 组成。
第一行为1，3，5，…项系数组成，
第二行为2，4，6，…项系数组成。
Sunday, April 12, 2020
8
劳斯判据
以下各项的计算式为：
an an2
b1
an1 an3 an1an2 anan3
24
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Sunday, April 12, 2020
7
劳斯判据
二、 劳斯稳定性判据 （一）、劳斯判据
设线性系统的特征方程为 ansn an1sn1 a1s a0 0 则该系统稳定的充要条件为：
由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列所有元素都为正。
sn an
an2 an4
s n1 an1 an3 an5
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
Sunday, April 12, 2020
2
稳定的充要条件和属性
经典关于常见排序算法的稳定性分析和结论
关于常见排序算法的稳定性分析和结论（转载）收藏|2007-10-16 09:25这几天笔试了好几次了，连续碰到一个关于常见排序算法稳定性判别的问题，往往还是多选，对于我以及和我一样拿不准的同学可不是一个能轻易下结论的题目，当然如果你笔试之前已经记住了数据结构书上哪些是稳定的，哪些不是稳定的，做起来应该可以轻松搞定。
本文是针对老是记不住这个或者想真正明白到底为什么是稳定或者不稳定的人准备的。
首先，排序算法的稳定性大家应该都知道，通俗地讲就是能保证排序前2个相等的数其在序列的前后位置顺序和排序后它们两个的前后位置顺序相同。
在简单形式化一下，如果Ai = Aj, Ai原来在位置前，排序后Ai还是要在Aj位置前。
其次，说一下稳定性的好处。
排序算法如果是稳定的，那么从一个键上排序，然后再从另一个键上排序，第一个键排序的结果可以为第二个键排序所用。
基数排序就是这样，先按低位排序，逐次按高位排序，低位相同的元素其顺序再高位也相同时是不会改变的。
另外，如果排序算法稳定，对基于比较的排序算法而言，元素交换的次数可能会少一些(个人感觉，没有证实)。
回到主题，现在分析一下常见的排序算法的稳定性，每个都给出简单的理由。
(1)冒泡排序冒泡排序就是把小的元素往前调或者把大的元素往后调。
比较是相邻的两个元素比较，交换也发生在这两个元素之间。
所以，如果两个元素相等，我想你是不会再无聊地把他们俩交换一下的；如果两个相等的元素没有相邻，那么即使通过前面的两两交换把两个相邻起来，这时候也不会交换，所以相同元素的前后顺序并没有改变，所以冒泡排序是一种稳定排序算法。
(2)选择排序选择排序是给每个位置选择当前元素最小的，比如给第一个位置选择最小的，在剩余元素里面给第二个元素选择第二小的，依次类推，直到第n-1个元素，第n个元素不用选择了，因为只剩下它一个最大的元素了。
那么，在一趟选择，如果当前元素比一个元素小，而该小的元素又出现在一个和当前元素相等的元素后面，那么交换后稳定性就被破坏了。
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这时，如要提高计算的数值稳定性，必须要改进
算法。在此例中，由于算出的根x1( 109 )是可靠的，故
可利用根与系数的关系式：x1
x2
c a
来计算x2，有：
x2
c a
1 x1
109 1 109
1
所得结果很好。这说明第二种算法有较好的数值稳定性
注意：在利用根与系数关系式求第二根时，必须先算出 绝对值较大的一个根，然后再求另一个根，才能得到精 度较高的结果。
例如：要计算x255的值，如果逐项相乘要做254次乘法，但 若
改写成: x255=x·x2·x4·x8·x16·x32·x64·x128
则只要做14次乘法运算即可。 又如前面引言中提到的用秦九韶算法计算多项式，也是
一个改变计算公式以减少运算次数的极好例子。 （3）应合理安排运算顺序，防止参与运算的数在数量级相 差悬殊，大数“淹没”小数的现象发生。
由于在计算E1时有舍入误差约为： 4.412107， 且考虑以后的计算都不再另有舍入误差。此 对后面各项
计算的影响为：
E2 1 2(E1 ) 1 2E1 2 1 2E1 2! E3 1 3(1 2E1 2! ) 1 3(1 2E1) 3! E4 1 4[1 3(1 2E1) 3! ] 1 4[1 3(1 2E1)] 4!
§5 算法的数值稳定性
通过前面对误差传播规律的分析，我们知道同一问题 当选用不同的算法，它们所得到的结果有时会相差很大，这 是因为运算中的舍入误差在运算过程中的传播常随算法而异。
凡一种算法的计算结果受舍入误差的影响小者称它为数 值稳定的算法。下面再通过其他一些例子来进一步说明算法 稳定性的概念。
例1、求解方程x2 (109 1)x 109 0
其原因在于计算机进行加、减运算时要对节舍入计算， 实际上受到机器字长的限制，在计算-b是绝对值小的数被绝 对值大的数(109)淹没了。在计算△时，4×109被 [-(109+1)2]淹没了，这些相对小的数被“淹没”后就无法
发挥 其应用的影响，由此带来的误差，造成计算结果的严重失真.
当多个数在计算机中相加时，最好从其中绝对值最小的 数到绝对值最大的数依次相加，可使和的误差减小。
k
Ek
1
0.367879
2
0.264242
3
0.207274
4
0.170904
5
0.145480
6
0.127120
7
0.110106
8
0.118720
9
-0.068480
被积函数xnex1在积分限(0,1)区间内都是正值，积分值 E9取三位有效数字时的精确结果为0.0916，但上表中的 E9 0.068480却是负值，与0.0916相差很大。
例3、对于小的x值，计算ex 1。
解：如果用ex 1直接进行计算，其稳定性是很差的， 因为两个相近数相减会严重丢失有效数字，产生很大 误差。因此得采用合适的算法来保证计算的数值稳定 性。可以把ex在x 0点附近展开称幂级数：
ex 1 x x2 x3 L 2! 3!
则可得：ex 1 x x2 x3 L 2! 3!
通过以上这些例子，可以知道算法的数值稳定性对于 数值计算的重要性了。如无足够的稳定性，将会导致计算的 最终失败。为了防止误差传播，积累带来的危害，提高计算 的稳定性，将前面分析所得的各种结果归纳起来，得到数值 计算中应注意之点如下： （1）应选用数值稳定的计算方法，避开不稳定的算式。 （2）注意简化计算步骤及公式，设法减少运算次数；选用 运算次数少的算式，尤其是乘方幂次要低，乘法和加法的次 数要少，以减少舍入误差的积累，同时也可节约计算机的机 时。
b 0.11010 0.000000001010 0.11010 109
b2 4ac [(109 1)]2 4 109 109
所以：x1 b
b2
4ac
109
109
109
2a
2பைடு நூலகம்
b b2 4ac 109 109
x2
2a
0
2
这样算出的根x2(=0)显然是严重失真的（因为精确解 x2=1，这说明直接利用求根公式求解例1中的方程是不稳定 的。
15 14
降到不大于4 108，
13
结果如右：
12
这样得到E19已很精确了。 11
可见经过改进后的新算
10
法具有很好的稳定性。
9
Ek 0.0000000 0.0500000 0.5000000 0.0527778 0.0557190 0.0590176 0.0627322 0.0669477 0.0717733 0.0773523 0.0838771 0.0916123
LLLL
E9 1 9[1 8(L )] 9! 这样，算到E9时产生的误差为：9! 9! 4.412107 0.6101
就是一个不小的数值了。
可以改进算法来提高此例的数值稳定性，即将递
推公式改写为：
En1
1 En n
从后往前递推计算时，En的误差下降为原来的
1 n
，因此
只要n取得足够大，误差逐次下降，其影响就会影响越
来越小。
由：
En
1 xnex1dx
0
1 xndx 1
0
n 1
可知：当n 时，En 0，因此可取E20 0作为初始值
进行递推计算。
由于E20
1 ，故 21
k
E20
0的误差约为 1 ， 21
20 19
在计算E19时误差下降到
18
1 1 0.0024， 21 20
17 16
到计算E15时，误差已下
解：由韦达定理可知，此方程的精确解为：
x1 109 如果利用求根公式：
x2 1
x1,2 b
b2 4ac 2a
来编制程序，在字长为8、基底为10的计算机上进行运算，
则由于计算实际上采用的是规格化浮点数的运算，这时：
b 109 1 0.11010 0.00000000 01 1010 的第二项中的最后两个数“01”，由于计算机字长的 限制，在计算机上表示不出来，故在计算机上对阶舍 入运算时，
多个数相加时，最好从其中绝对值最小的数到绝对值 最大的数依次相加；多个数相乘时，最好从其中有效位数最 多的数到有效位数最少的数依次相乘。 （4）应避免两相近数相减，可用变换公式的方法来解决。 （5）绝对值太小的数不宜作为除数，否则产生的误差过 大，甚至会在计算机中造成“溢出错误”。
例2、试计算积分En
1 xnex1dx
0
n 1, 2,L
解：由分部积分法可得：
En
x n e x 1
1 0
n
1 xn1ex1dx
0
因此有递推公式：
En 1 nEn1 n 2, 3L
E1
1 e
用上面的递 推公式，在字长为6，基底为10的计算机上，
从E1出发计算前几个积分值，其结果如下表：