算法的数值稳定性实验
数值分析实验报告
实验五 解线性方程组的直接方法实验5.1 （主元的选取与算法的稳定性）问题提出：Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。
但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。
主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。
实验内容：考虑线性方程组n n n R b R A b Ax ∈∈=⨯,,编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss消去过程。
实验要求：（1）取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157,6816816816M O O O b A ，则方程有解T x )1,,1,1(*Λ=。
取n=10计算矩阵的条件数。
让程序自动选取主元，结果如何？（2）现选择程序中手动选取主元的功能。
每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。
若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。
（3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。
（4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。
重复上述实验，观察记录并分析实验结果。
思考题一：（Vadermonde 矩阵）设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑====n i i n n i i n i i n i i n n n n n n n x x x x b x x x x x x x x x x x x A 002010022222121102001111M ΛM ΛM M M ΛΛΛ，， 其中，n k k x k ,,1,0,1.01Λ=+=，（1）对n=2,5,8，计算A 的条件数；随n 增大，矩阵性态如何变化？（2）对n=5，解方程组Ax=b ；设A 的最后一个元素有扰动10-4，再求解Ax=b（3）计算（2）扰动相对误差与解的相对偏差，分析它们与条件数的关系。
实验结果的稳定性研究
实验结果的稳定性研究一、引言实验是科学研究的基础，在许多领域中都扮演着重要的角色。
然而，在进行实验过程中，我们必须考虑到实验结果的稳定性，以确保我们能够得到可靠、重复的数据。
本文旨在探讨实验结果的稳定性，并提出一些方法来提高实验结果的稳定性。
二、稳定性的定义和重要性实验结果的稳定性指的是在相同的实验条件下，通过重复实验所得到的结果的一致性。
稳定性对科学研究非常重要，它确保了研究的可靠性和可重复性。
如果实验结果不稳定，可能会导致无法得出准确的结论，甚至误导研究人员。
三、影响实验结果稳定性的因素1. 实验设备和仪器的精确性：实验设备和仪器的精确度直接影响实验结果的稳定性。
使用精确的设备和仪器可以减小测量误差，提高实验结果的可靠性。
2. 实验操作的一致性：在进行重复实验时，实验操作必须保持一致。
任何操作上的细微差异都可能导致实验结果的不稳定。
3. 环境因素的干扰：温度、湿度、光线等环境因素会干扰实验过程，从而影响实验结果的稳定性。
为了减小环境因素的影响，实验室应该提供稳定的环境条件。
4. 实验样本的质量：实验样本的质量也是影响实验结果稳定性的一个重要因素。
优质的样本能够减小实验误差，提高实验结果的可靠性。
四、提高实验结果稳定性的方法1. 校准仪器：定期对实验设备和仪器进行校准，确保其精确性。
如果发现仪器存在偏差，应及时进行修理或更换。
2. 严格的实验操作控制：在进行实验过程中，要严格遵守实验操作的规范，确保实验操作的一致性。
如果需要多人操作，应对每个操作员进行统一的培训。
3. 控制环境因素：确保实验室具备稳定的温度、湿度和光照条件，以减小环境因素对实验结果的影响。
在必要时，可以使用防护设备，如遮光罩或温湿度控制设备。
4. 选择高质量的样本：在实验中选择高质量的样本，以减小样本本身可能带来的误差。
如果实验样本不稳定，可以尝试使用标准样本或进行多次实验取平均值。
5. 重复实验：通过重复实验可以评估实验结果的稳定性。
排序算法稳定性实现技巧概述
排序算法稳定性实现技巧概述排序算法是计算机科学中常用的算法之一，用于将一组元素按照特定的规则进行排列。
在排序算法中，稳定性是一个重要的概念，它指的是排序后相等元素之间的相对位置是否保持不变。
本文将概述排序算法的稳定性实现技巧。
一、稳定性的意义及应用稳定性在排序算法中非常关键，特别是在多关键字排序或对象排序的场景中。
对于多关键字排序，如果排序算法是稳定的，那么第一关键字相同时，第二关键字不会打乱原本的顺序，这对于保持数据的有效性非常重要。
在对象排序中，保持原始顺序能够确保对象之间的关联性，在某些应用中具有重要意义。
二、常见的排序算法及其稳定性1. 冒泡排序（Bubble Sort）冒泡排序是一种简单直观的排序算法，通过相邻元素的比较和交换来达到排序的目的。
冒泡排序是一种稳定的排序算法，因为对于相等的元素，它们不会改变原始的相对位置。
2. 插入排序（Insertion Sort）插入排序将元素逐个插入到已排序序列中的合适位置。
插入排序也是一种稳定的排序算法，因为在插入过程中，不会改变相等元素的相对顺序。
3. 归并排序（Merge Sort）归并排序采用分治策略，将待排序序列不断拆分为更小的子序列，然后再将子序列排序合并。
归并排序是一种稳定的排序算法，因为在合并子序列的过程中，相等元素的相对顺序不会改变。
4. 堆排序（Heap Sort）堆排序利用堆数据结构来实现排序操作。
堆排序是一种不稳定的排序算法，因为堆的构建过程可能会改变相等元素的相对位置。
5. 快速排序（Quick Sort）快速排序通过选取一个基准元素，将序列分割成两部分，然后对两部分分别进行排序。
快速排序是一种不稳定的排序算法，因为在分割过程中，可能会改变相等元素的相对顺序。
三、实现稳定性的技巧1. 稳定的基于比较的排序算法在基于比较的排序算法中，为了实现稳定性，当比较两个元素相等时，不进行交换操作，而是保持它们在原始序列中的相对顺序。
2. 索引排序索引排序是一种利用辅助数组或链表来记录元素位置的方法。
数值算法的稳定性
结果只有一位有效数字,有效数字大量损失,造成相 对误差扩大。这是由两个比较接近的数相减造成的。
1 1 1 1 5 0.1734 10 759 760 759 760 0.5768 10 6
结果仍然有四位有效数字。这说明了算法设计的 重要性。
注：数值计算中要避免有效数字减少。
n 15
In
0.0105205
n 10
In
0.0153676
n 5
In
0.0284684
19
18
0.00825397
0.00887552
14
13
0.0112292
0.0120399
9
8
0.0169265
0.0933742
4
3
0.0343063
0.0431387
17
16
0.00933601
0.00989750
0.0147169
14
15
-0.395442
2.04388
19
20
1270.86
-6354.23
0.0284686 5 线性代数一 10 ④
16/32
而将公式变为
1 1 I n 1 I n (n m, m 1,...,2,1) 5 5n
然后取充分大的m对应的Im的一个估计值为计算初 值，再逐步用上式算出Im-1 ，Im-2 ，...，I1。 用上式计算 Im 可使计算的误差减少5倍，因而它对应 的算法是数值稳定的算法。
2.04388
19
20
1270.86
-6354.23
1 I n 5I n1 (n 1,2,...) n
数值计算基础实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解数值计算的基本概念和常用算法；2. 掌握Python编程语言进行数值计算的基本操作；3. 熟悉科学计算库NumPy和SciPy的使用；4. 分析算法的数值稳定性和误差分析。
二、实验内容1. 实验环境操作系统：Windows 10编程语言：Python 3.8科学计算库：NumPy 1.19.2，SciPy 1.5.02. 实验步骤（1）Python编程基础1）变量与数据类型2）运算符与表达式3）控制流4）函数与模块（2）NumPy库1）数组的创建与操作2）数组运算3）矩阵运算（3）SciPy库1）求解线性方程组2）插值与拟合3）数值积分（4）误差分析1）舍入误差2）截断误差3）数值稳定性三、实验结果与分析1. 实验一：Python编程基础（1）变量与数据类型通过实验，掌握了Python中变量与数据类型的定义方法，包括整数、浮点数、字符串、列表、元组、字典和集合等。
（2）运算符与表达式实验验证了Python中的算术运算、关系运算、逻辑运算等运算符，并学习了如何使用表达式进行计算。
（3）控制流实验学习了if-else、for、while等控制流语句，掌握了条件判断、循环控制等编程技巧。
（4）函数与模块实验介绍了Python中函数的定义、调用、参数传递和返回值，并学习了如何使用模块进行代码复用。
2. 实验二：NumPy库（1）数组的创建与操作通过实验，掌握了NumPy数组的基本操作，包括创建数组、索引、切片、排序等。
（2）数组运算实验验证了NumPy数组在数学运算方面的优势，包括加、减、乘、除、幂运算等。
（3）矩阵运算实验学习了NumPy中矩阵的创建、操作和运算，包括矩阵乘法、求逆、行列式等。
3. 实验三：SciPy库（1）求解线性方程组实验使用了SciPy库中的线性代数模块，通过高斯消元法、LU分解等方法求解线性方程组。
（2）插值与拟合实验使用了SciPy库中的插值和拟合模块，实现了对数据的插值和拟合，并分析了拟合效果。
RK-MRTD算法的稳定性及数值色散性分析
Ｅ（ ） ： ＝
… … （ ） （ （ ） ＋ ￡ ） ｙ ｎ
，
（ ）
收稿 日期 ：０ ０ ０ — ６ ２ １— ９ ０
基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目（０ ７０ １ 安徽 省教 育厅 自然科学基金重点资助项 目（ Ｊ０ ９ ５ ） ６６ １５ ）； Ｋ ２０ Ａ ３
２ １ 年 ９月 ０１
第３ ５卷 第 ５期
安徽大学学报（ 自然 科 学 版 ） Ｊｕｎｌ ｆ ｎｕ ｎｖｒｉ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏｒａ ｏ Ａ ｈ ｉ ｉ ｓｙ（ ａ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ Ｕ ｅ ｔ ｕ ｅ ｉ
Ｓ ｐｅ ｅ ０ ｅ ｔ ｍｂ ｒ １ ２ １
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ． １３ ５
Ｒ ＭＲ Ｄ算 法 的 稳定 性 及 数值 色 散 性 分析 Ｋ— Ｔ
王 丽华 ， 吴先 良 ， 开宏 宋
（ 安徽大学 电子信息工程学 院 ， 安徽 合肥
摘
２ ０３ ） ３ ０ ９
要 ： 龙 格 一 塔 （ ｕｇ— ｕｔ） 法 引 入 到 时 域 多 分 辨 分 析 （ Ｔ 算 法 ， 在 时 间 上 采 用 将 库 Ｒ ｎｅＫ ｔ 方 ａ ＭＲ Ｄ） 即
ｈｉｈ ａ ｃ ｒ ｃ ｆｔ ｅ ＲＫ— ｇ ｃ ｕ ａ ｙ ｏ ｈ ＭＲＴＤ ｃ ｅ ． ｓ ｈ ｍｅ
Ｋ ｅ ｒ ｓ：Ｒｕ ｇ — ｔａ ｍｕｈ ｒ ｓ ｌ ｔｏ ｉ ｏ ｉ ；ｎ ｍｅ ｉ ａ ｉｐ ｒｉ ｎ； ｔｂｉ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ｎ ｅ Ｋｕ ｔ ｉｅ ｏｕ ｉｎ ｔｍｅ ｄ ｍａｎ ｕ ｒｃ ｌｄ ｓ ｅ ｓｏ ｓａ ｌ ｙ ｉ
Ａ ｓ ａｔＴ ｅ Ｒ ｎ ｅＫ ｔ ｔｏ ａ ａ ｐ ｅ ｏＭｕｔｅｏｕｉ ｉ ｏ ｉ （ Ｔ ｂ ｔ ｃ ：ｈ ｕ ｇ— ｕｔ ｍｅ ｄ ｗ ｓ ｐ ｌ ｄ ｔ ｒ ａ ｈ ｉ ｔｒ ｌｔ ｎＴｍｅＤ ｍａ ｉｓ ｏ ｎ ＭＲ Ｄ）ｓｈ ｍ ｏ ｃｅ ｅ ｔ
Lab01_算法的数值稳定性实验
Lab01．算法的数值稳定性实验【实验目的和要求】1．进行Matlab 语言的编程训练，初步体验算法的软件实现；2．通过对稳定算法和不稳定算法的结果分析、比较，深入理解算法的数值稳定性及其重要性。
【实验内容】1．用Matlab 语言编写按递推公式⎪⎩⎪⎨⎧-=-==---⎰11101011n n x nI I e dx e e I 计算⎰-=101dx e x e I x n n (n =0，1，2，……)的程序，并取I 0=0.6321，计算n =0，1，2，……，9时I n 的值。
2. 用Matlab 语言编写按递推公式()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈--**11*9110684.01010121n n I n I e I 计算⎰-=101dx e x e I x n n (n =0，1，2，……，9)的值程序。
3．分析比较两种算法的数值稳定性。
【实验仪器与软件】1．CPU 主频在1GHz 以上，内存在128Mb 以上的PC ；2．Matlab 6.0及以上版本。
实验讲评：实验成绩：评阅教师：200 年 月 日n =1，2，…… n =9，8，……，1Lab01．算法的数值稳定性实验一、算法描述算法一：对于积分111(0.1.2.n x n I e x e dx n -==⎰) ，用分部积分可得计算n I 的递推公式11n n I nI -=- （n=0，12， ） (1)其中1110010.63212056x I e e dx e --==-≈⎰ 计算n I 时，可先算出()()111n N E E N N N =-+ ，然后再带入（1），逐次求出1I ，2I ， 的值。
算法二：对于积分110(0,1,2,),n xn I e x e dx n -==⎰ ，由（1）式也可得11(1)n n I I n-=- （2） 计算时，可先估计一个N I ，再反推要求的()n I n N 。
利用实验设计优化实验结果的稳定性
利用实验设计优化实验结果的稳定性实验是科学研究中不可或缺的环节，而实验结果的稳定性对于研究结果的可靠性和推广性至关重要。
为了提高实验结果的稳定性，我们可以采用实验设计的优化方法，本文将介绍如何利用实验设计来优化实验结果的稳定性。
一、引言实验结果的稳定性是指在相同条件下进行的实验所得到的结果的一致性程度。
实验结果的不稳定性会影响研究结论的准确性和可靠性，因此，在进行实验研究时，优化实验结果的稳定性是非常重要的。
二、实验设计的原理实验设计是一种系统的设计方法，旨在通过合理设计实验方案和操作步骤，减小各种误差因素的影响，提高实验结果的稳定性。
实验设计包括因素选择、水平确定、试验设计和数据分析等步骤。
1. 因素选择在实验设计中，选择适当的因素是非常重要的。
合理选择的因素能够体现实验的目标，并且能够较好地反映实验变量对结果的影响。
因素的选择应基于研究的问题和实验的具体环境。
2. 水平确定每个因素都具有若干个水平，水平的确定需要考虑到实验要求和资源限制等因素。
水平的确定应尽量覆盖因素的变化范围，以获得较为全面的实验结果。
3. 试验设计试验设计是实验设计的核心步骤，常用的试验设计方法包括完全随机设计、随机区组设计、重复测量设计等。
试验设计的目标是降低误差的来源，提高实验结果的准确性和稳定性。
4. 数据分析数据分析是实验设计的关键环节。
通过对实验数据的统计分析，可以得到对实验结果的合理解读。
常用的数据分析方法包括方差分析、回归分析、相关分析等。
三、实验设计优化实验结果的稳定性的实例以某种养殖鱼类的生长实验为例，说明如何利用实验设计优化实验结果的稳定性。
1. 因素选择选择影响养殖鱼类生长的关键因素，如饲料种类、饲料投喂量、水质指标等。
2. 水平确定确定各因素的水平范围，如饲料种类可以选择A、B、C三种，饲料投喂量可以选择每天分别为100g、200g、300g，水质指标可以选择水温分别为25℃、28℃、31℃等。
3. 试验设计采用重复测量设计，将每个因素的水平进行组合，构建完备的实验方案。
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实验1 算法的数值稳定性实验
【实验目的】
1．掌握用MATLAB 语言的编程训练，初步体验算法的软件实现；
2．通过对稳定算法和不稳定算法的结果分析、比较，深入理解算法的数值稳定性及其重要性。
【实验内容】
1．计算积分 ()dx a x x I n
⎰+=1
0)(n (n=0,1,2......，10) 其中a 为参数，分别对a=0.05及a=15按下列两种方案计算，列出其结果，并对其可靠性，说明原因。
2．方案一 用递推公式 n aI I n 11n +
-=- (n=1,2,......,10) 递推初值可由积分直接得)1(0a
a In I += 3. 方案二 用递推公式 )1(11-n n
I a I n +-= (n=N,N -1,......,1) 根据估计式 ()()()11111+<<++n a I n a n 当1
n a +≥n 或
()()n
1111≤<++n I n a 当1
n n a 0+<≤ 取递推初值为 ()()()()11212])1(1111[21N +++=++++≈N a a a N a N a I 当1
a +≥N N 或 ()()]1111[21N
N a I N +++= 当1a 0+<
≤N N 计算中取N=13开始
【程序如下】: % myexp1_1.m --- 算法的数值稳定性实验
% 见 P11 实验课题(一)
%
function yyjj
global n a
N = 20; % 计算 N 个值
a =0.05;%或者a=15
% %--------------------------------------------
% % [方案I] 用递推公式
%I(k) = - a*I(k-1) + 1/k
%
I0 =log((a+1)/a); % 初值
I = zeros(N,1); % 创建 N x 1 矩阵(即列向量),元素全为零
I(1) =-a*I0+1;
for k = 2:N
I(k) =-a*I(k-1)+1/k;
end
% %--------------------------------------------
% % [方案II] 用递推公式
%I(k-1) = ( - I(k) + 1/k ) / a
%
II = zeros(N,1);
if a >= N/(N+1)
II(N)=(2*a+1)/(2*a*(a+1)*(N+1));
else
II(N) =(1/(a+1)/(N+1)+1/N)/2;
end
for k = N:-1:2
II(k-1) =(-II(k)+1/k)/a;
end
% %--------------------------------------------
% % 调用 matlab 高精度数值积分命令 quadl 计算以便比较
III = zeros(N,1);
for k = 1:N
n = k;
III(k) = quadl(@f,0,1);
end
% %--------------------------------------------
% % 显示计算结果
clc
fprintf('\n 方案I结果方案II结果精确值') for k = 1:N,
fprintf('\nI(%2.0f) %17.7f %17.7f %17.7f',k,I(k),II(k),III(k))
end
% %--------------------------------------------
function y = f(x) % 定义函数
global n a % 参量 n 为全局变量
y =x.^n./(a+x); % ★注意:这里一定要 '点' 运算
return
% %--------------------------------------------
【运行结果如下】：
当a=0.05
方案I结果方案II结果精确值
I( 1) 0.8477739 -919648916620722180000.0000000 0.8477739 I( 2) 0.4576113 45982445831036109000.0000000 0.4576113 I( 3) 0.3104528 -2299122291551805700.0000000 0.3104528 I( 4) 0.2344774 114956114577590290.0000000 0.2344776 I( 5) 0.1882761 -5747805728879515.0000000 0.1882761
I( 6) 0.1572529 287390286443975.9400000 0.1572529
I( 7) 0.1349945 -14369514322198.6540000 0.1349945
I( 8) 0.1182503 718475716110.0577400 0.1182503
I( 9) 0.1051986 -35923785805.3917770 0.1051986
I(10) 0.0947401 1796189290.3695889 0.0947401
I(11) 0.0861721 -89809464.4275704 0.0861724
I(12) 0.0790247 4490473.3047119 0.0790247
I(13) 0.0729718 -224523.5883125 0.0729718
I(14) 0.0677800 11226.2508442 0.0677800
I(15) 0.0632777 -561.2458755 0.0632777
I(16) 0.0593361 28.1247938 0.0593361
I(17) 0.0558567 -1.3474162 0.0558567
I(18) 0.0527627 0.1229264 0.0527627
I(19) 0.0499934 0.0464853 0.0499934
I(20) 0.0475003 0.0476757 0.0475003
当a=15
方案I结果方案II结果精确值
I( 1) 0.0319222 0.0319222 0.0319222
I( 2) 0.0211673 0.0211673 0.0211673
I( 3) 0.0158245 0.0158245 0.0158245
I( 4) 0.0126326 0.0126326 0.0126326
I( 5) 0.0105112 0.0105112 0.0105112
I( 6) 0.0089993 0.0089993 0.0089993
I( 7) 0.0078674 0.0078674 0.0078674
I( 8) 0.0069883 0.0069883 0.0069883
I( 9) 0.0062862 0.0062859 0.0062859
I(10) 0.0057064 0.0057117 0.0057117
I(11) 0.0053136 0.0052336 0.0052337
I(12) 0.0036289 0.0048293 0.0048296
I(13) 0.0224896 0.0044830 0.0044838
I(14) -0.2659159 0.0041831 0.0041831
I(15) 4.0554050 0.0039207 0.0039207
I(16) -60.7685756 0.0036893 0.0036893
I(17) 911.5874579 0.0034837 0.0034837
I(18) -13673.7563129 0.0033002 0.0032998
I(19) 205106.3973248 0.0031283 0.0031344
I(20) -3076595.9098724 0.0030754 0.0029847>>
【结果分析】：
1、综上所述，当a=0.05的时候，方案二算法的结果从I(20)开始计算，刚开始的时候与精确解相差不大，但是随着计算的进行，误差变得越来越大，最终与原来的精确解相差十分巨大，而方案一算法的数值结果始终与精确解相差不大，是稳定的算法。
2、当a=15的时候，反而是方案二的算法的数值结果与精确解更为接近，方案一算法的结果随着算法运算的进行，与精确解相差变大了。
3、以上的实验说明了我们在进行数值分析时一定要选择合适的算法，而不能盲目的选择单一的算法，因为随着数值的变化，可能稳定的算法也会出现很大的误差。
所以我们要根据实际问题来确定合适的算法，才能尽可能的减小误差。