2) 数值计算方法

大气运动有着波动性和有界性的显著特点。大气中的各 种物理量不会随时间而无限增长，因此近似计算中差分方 程的解也不应随时间而无限增长，否则就是出现了计算不 稳定现象。这里我们所讨论的差分格式的稳定性是指：对 任意给定的初条件，当时间步长∆t充分小，且时间步数n 充分大时，差分方程的解是否有界。稳定性判据就是数值 解有界的条件。下面以一维线性平流方程为例来讨论差分 格式的线性计算稳定性问题。一维线性平流方程：
一、两层格式
对(2．1)式在两个时间层上作积分可得
( n +1) Δt
∫ F n+1(x) = F n (x) +
Edt
nΔt
(2.2)
注意：变量的上标在这里表示离散的时间间隔的步数，而不 是指数。
1． (欧拉)前差格式 对(2．2)式作如下近似:设被积函数E取积分下限时的
值并在积分过程中保持不变，且设E中空间差分取中央差格 式，则得到前差公式：
形格式：
( ) F n+1 i
=
Fi n
+
Δt 2
Ein
+
E n+1 i
O(Δt2 )
(2.3c)
这是二阶精度的非中心隐式格式，绝对稳定。 以上三种格式可以综合写成：
( ) F n+1 i
=
Fi n
+
Δt
α
Ein
+
β
E n+1 i
α +β =1
(2.3d )
显然，当“α ＝ 1， β ＝0时， (2．3d)为前差格式 当“α ＝0， β ＝1时(2．3d)为后差格式； 当“α ＝ β ＝１／２， (2．3d)为梯形格式。
−
F* i −1
n +1
⎞⎟⎠
O (Δt)
其中
λ2
=
cΔt 2Δx
将以上两式合并可得：
( 2 .4 b )
( ) ( ) Fi* n+1 = Fin − λ1
Fn i +1
−
Fn i −1
+ λ22
Fn i+2
−
2 Fi n
+
Fn i−2
(2.4c)
即欧拉后差相当于一步前差再加上一次平滑系数为λ22 的空间平滑。
相容性: 当步长充分小时，差分方程逼近于微分方程。
收敛性: 当步长充分小时，差分方程的准确解趋于微分方程的解。
稳定性: 当步长充分小时，差分方程的数值解接近于它的准确解。
设f代表微分方程的解，F代表差分方程的准确解，F 代
表差分方程的数值解。则:
( ) f − F = ( f − F ) + F − F
格式的精度与α， β的值有关
。 4． 欧拉后差格式(松野迭代格式) 由前差格式和后差格式结合构成。计算分两步进行，
用前差公式所得结果作为后差公式等号右端(n＋1)时刻 变量的第一近似值，故为迭代格式。它是一阶精度的显 式格式。
前差公式： 后差公式:
Fi* n+1 = Fin + ΔtiEin
F n+1 i
一阶前差： ΔF (x) = F (x + d ) − F (x)
一阶后差: ΔF (x) = F (x) − F (x − d )
一阶中差： 二阶中差:
ΔF (x) = F (x + d ) − F (x − d )
2
2
Δ2F(x) = F(x+d)+F(x−d)−2F(x)
函数F（x）关于自变量x的差商(即差比)定义如下： 一阶向前差商(简称向前差或前差)：
F n＋1 1
=
F n－1 i
+
2ΔtiEin
O（Δt2） （2.6）
中央差格式是条件性稳定的格式。它计算简单、精确度高 ；但是积分的时间步长∆t必须取得较短，以满足稳定性条件； 再则因涉及三个时间层，积分起步时不能应用。
为此，在初始积分时常和向前差格式结合使用。但前差格 式精度较低[0(∆t)]。
下面以一维线性平流方形：
∂F = −c ∂F = E(F,t, x) (2.1)
∂t
∂x
为例进行讨论。已知F在某一时刻t，在一些离散的网格点上
的值 Fi n，离散点为：
xi = iΔx,i = 0, ±1, ±2,... tn = nΔt, n = 0,1, 2,...
这里i,n分别代表变员x和t的标号。
除上述各种时间积分方案外，还提出一种解原始方程模式 的分离算法或称分解算法。半隐式格式是对快波解和慢波解两 部分采用不同的时间积分格式以加大时间步长∆t，但这两部分 仍包含在同一方程中。分解算法则是把这两部分分成两个方 程，对它们都取显式格式，但分别取不同的时间步长，以缩短 整个预报过程的时间。
§2.3 线性计算的稳定性
§2.1 差分方法
微分方程的数值解法很多，如谱方法、有限元法等。随着高 速电子计算机的发展，谱方法越来越显示出其优越性、在大型业 务模式中广泛应用。但是数值大气预报中用得最早也最为普遍和 简便直观的是差分方法。
差分方法就是在离散的网格点上求出微分方程近似解的方 法，又叫网格法。它的基本要点是：用差商代替微商，降低微分 的阶数，以至将微分方程(组)变成代数方程(组)，再用常规 方法求解。在直角坐标系里作差分运算一般都取等距的网格点。 格点之间的距离称为格距或步长，常用d或h，或∆x等来表示。 一维函数F(x)的差分有如下定义：
F n+1 i
=
Fi n
+
Δt i Ein
( ) =
Fi n
−
cΔt 2Δx
Fn i +1
−
Fn i −1
O(Δt)
(2.3a)
此为一阶精度的非中心(即非对称)显示格式。这种差分 格式是绝对不值定的。
2． 后差格式 设(2．2)式平松权两救屡取积分上限时的值并在积分过 程中保持不变．空间差分取中央差格式，则得到后差格 式：
气象业务中的数值计算除了要求稳定和收敛之外，另外两 点也很重要:
(l)计算方法比较简明，计算速度快，以保证一定预报时 效。
(2)不宜占用过多的计算机内存，否则不利于方法在业 务中的具体实现。
总之，在选择业务计算方案时，要兼顾精确、及时、 经济等诸方而，进行综合考虑。
§2．2 时间积分方案
在进行数值天气预报时，无论是用差分法．还 是用谱方法，都不可避免地要解决对时间的数值积 分问题。选择时间积分方案首先要求计算稳定，同 时要节约机时，有的方案还可以抑制高频波等。在 数值计算中，由于非线性以及非地转等原因，这种 高频振动会经常被激发出来。
为减小初始资料不适应所带来的误差，起步时则采用较短 步长，构成所谓“三步法”或“多步法”的积分公式。如：
1
Fi2
=
Fi0
+
Δt 2
iE
0 i
1
Fi1 = Fi0 + ΔtiEi2
Fi2 = Fi0 + 2ΔtiE1i
(2.7a) (2.7b) (2.7c)
三层格式中还有一种半隐式格式，它是对方程中包含的慢 波和快波部分在作时间积分时分别取显式和隐式格式。慢波与 方程中的非线性项(如平流项)有关，计算复杂，取显式格式便 于运算，同时由于慢波波速c小，可以取较大的t而仍满足 C．F．L条件。快波与方程中的线性项(如梯度力项、利氏力 项)有关，计算较简便，因而取绝对稳定的隐式格式，以便保持 较大的∆t而不致于导致线性计算的不稳定。
∂F + c ∂F = 0 (2.8) ∂t ∂x
其中c＝常数，为风速或重力波的相速度。 (2．8)式的通解为：
F (x,t) = F (x − ct), F − 任意函数
若给定初条件：当t＝0时，F（x）＝Aexp（iμx） （2.9）
式中A为常数;μ= 2π ,波数; L − 波长.
=
Fi n
+
Δt i Ei*
n +1
带上标“*”号的函数值表示第一近似值。
对线性平流方程 ∂F = −c ∂F 采用欧拉后差的迭代公式为：
∂t
∂x
( ) Fi* n +1 = Fi n − λ1
Fn i +1
−
Fn i −1
O (Δt)
( 2 .4 a )
F n+1 i
=
Fi n
−
λ2
⎛⎜⎝
F * n+1 i +1
⎛ ΔF ⎜⎝ Δx
⎞ ⎟⎠i
=
Fi+1 − Fi d
≈
⎛ ⎜⎝
dF dx
⎞ ⎟⎠i
O(Δx)
一阶向后差商(简称向后差或后差):
⎛ ΔF ⎜⎝ Δ x
⎞ ⎟⎠ i
=
Fi +1 − d
Fi
≈
⎛ ⎜⎝
dF dx
⎞ ⎟⎠ i
O (Δx)
一阶中心差商(简称中央差或中差)：
⎛ ΔF ⎜⎝ Δx
⎞ ⎟⎠i
=
Fi
截断误差 舍入误差
上式中(f－F)称为截断误差或离散误差。它反映由差分代替
微分而引起的误差，与差分格式的收敛性有关。(F－F）称为
舍入误差，反映计算中舍入误差的积累，与差分格式的稳定性 有关。差分方法中最重要的是计算的稳定性。因为只有格式稳 定，才能进行大最的计算。当然也必须具有收敛性。以保证所 得结果的准确。在线性情况，拉克斯曾经证明:对于一个适定 的初值问题，若其相应的差分格式是相容的，则计算稳定性是 收敛性的必要充分条件。此即拉克斯定理。所谓“适定的”问 题，‘即方程的解存在、唯一且稳定。
=
( cΔt )2 2Δx