函数的基本性质练习题(精华)
函数的基本性质练习题(重要)
（高中数学必修1）函数的基赋性质之答禄夫天创作[B 组] 一、选择题1．下列判断正确的是（ ）A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =-是偶函数C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数,则k的取值范围是（ ）A ．(],40-∞B ．[40,64]C ．(][),4064,-∞+∞D ．[)64,+∞3．函数y ） A ．(]2,∞- B ．(]2,0 C ．[)+∞,2 D ．[)+∞,04．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数, 则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．3a ≥5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数,0x <也是增函数,所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点,则280b a -<且0a >；(3)223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4)1y x =+和y =.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴暗示离学校的距离,横轴暗示动身后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）二、填空题 1．函数xx x f -=2)(的单调递加区间是____________________.2．已知界说在R 上的奇函数()f x ,那时0x >,1||)(2-+=x x x f , 那么0x <时,()f x =.3．若函数2()1x af x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________.4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最年夜值为8,最小值为1-,则2(6)(3)f f -+-=__________. 5．若函数2()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数,则k 的取值范围为__________. 三、解答题1．判断下列函数的奇偶性（1）()f x =（2）[][]()0,6,22,6f x x =∈--2．已知函数()y f x =的界说域为R,且对任意,a b R ∈,都有()()()f a b f a f b +=+,且那时0x >,()0f x <恒成立,证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；（2）函数()y f x =是奇函数.3．设函数()f x 与()g x 的界说域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且1()()1f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式.4．设a 为实数,函数1||)(2+-+=a x x x f ,R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值.。
函数的基本性质测试题
函数的基本性质测试题一、选择题1．下面说法正确的选项 （ ）A ．函数的单调区间可以是函数的定义域B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C ．具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间)0,(-∞上为增函数的是 （ ）A ．1=yB ．21+-=xx y C ．122---=x x y D ．21x y +=3．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 （ ）A ．2-≥bB ．2-≤bC ．2->bD ． 2-<b4．如果偶函数在],[b a 具有最大值，那么该函数在],[a b --有 （ ）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ． 没有最小值5．函数px x x y +=||，R x ∈是 （ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．不具有奇偶函数D ．与p 有关6．函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（ ）A ．)()(21x f x f <B ．)()(21x f x f >C ．)()(21x f x f =D ．无法确定7．函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 （ ）A ．]8,3[B ． ]2,7[--C ．]5,0[D ．]3,2[-8．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则（ ）A ．21->k B ．21-<k C ．0>b D ．0>b 9．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则（ ）A ．)2()2()3(f f f <<B ．)2()3()2(f f f <<C ．)2()2()3(f f f <<D ．)3()2()2(f f f <<10．已知)(x f 在实数集上是减函数，若0≤+b a ，则下列正确的是 （ ）A ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+B ． )()()()(b f a f b f a f -+-≤+C ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+二、填空题11．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f .12．函数||2x x y +-=，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .13．定义在R 上的函数)(x s （已知）可用)(),(x g x f 的和来表示，且)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，则)(x f = .14．若1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。
函数的基本性质
函数的基本性质一．选择题（共8小题）1．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）单调递减的函数是（）A．y=﹣x3B．y=ln|x|C．y=cosx D．y=2﹣|x|2．下列函数中与f（x）=2x+2﹣x具有相同的奇偶性的是（）A．y=sinx B．y=x2+x+1 C．y=|x|D．y=|lgx|3．函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）4．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知函数f（x）=x﹣2，g（x）=x3﹣tanx，则下列说法正确的是（）A．f（x）•g（x）是奇函数B．f（x）•g（x）是偶函数C．f（x）+g（x）是奇函数D．f（x）+g（x）是偶函数6．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lnx，则e f（﹣2）的值为（）A．B．C．D．7．设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f （x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.58．若函数是R上的单调函数，则实数a取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）二．填空题（共4小题）9．当m=时，函数f（x）=e x+me﹣x（m∈R）为奇函数．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）=．11．已知函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，定义域都是R，且f（x）+g（x）=3x﹣x3，则f（﹣1）+g（﹣2）=．12．已知函数，那么=．三．解答题（共4小题）13．已知函数f（x）=+1是奇函数，其中a是常数．（1）求函数f（x）的定义域和a的值；（2）若f（x）＞3，求实数x的取值范围．14．已知函数f（x）=x2+．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）判断函数f（x）在（0，）和（，+∞）上的单调性并用定义法证明．15．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（2﹣y），已知关于x的不等式（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}．（1）x求实数a，b（2）对于任意的t∈A，不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立，求实数x的取值范围．16．已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．2018年07月08日高中数学8的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）单调递减的函数是（）A．y=﹣x3B．y=ln|x|C．y=cosx D．y=2﹣|x|【解答】解：A．y=﹣x3是奇函数，不是偶函数，∴该选项错误；B．x∈（0，+∞）时，y=ln|x|=lnx单调递增，∴该选项错误；C．y=cosx在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误；D．y=2﹣|x|是偶函数；x∈（0，+∞）时，单调递减，∴该选项正确．故选：D．2．下列函数中与f（x）=2x+2﹣x具有相同的奇偶性的是（）A．y=sinx B．y=x2+x+1 C．y=|x|D．y=|lgx|【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），∴f（x）是偶函数．对于A，y=sinx是奇函数，对于B，y=x2+x+1的对称轴为x=﹣，∴y=x2+x+1非奇非偶函数，对于C，|﹣x|=|x|，∴y=|x|是偶函数，对于D，y=|lgx|的定义域为（0，+∞），故y=|lgx|为非奇非偶函数．故选：C．3．函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8为减函数；x∈（4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8为增函数；y=lnt为增函数，故函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），故选：D．4．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由题意知，f（﹣1）=log2（1+1）=1，f（f（﹣1））=f（1）=1﹣3+4=2，故选：C．5．已知函数f（x）=x﹣2，g（x）=x3﹣tanx，则下列说法正确的是（）A．f（x）•g（x）是奇函数B．f（x）•g（x）是偶函数C．f（x）+g（x）是奇函数D．f（x）+g（x）是偶函数【解答】解：∵f（x）=x﹣2，g（x）=x3﹣tanx，∴f（﹣x）=x﹣2=f（x），g（﹣x）=﹣x3+tanx=﹣g（x），∴f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，∴f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）g（x），故是奇函数，显然B、C、D均错误；故选：A．6．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lnx，则e f（﹣2）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得e f（﹣2）=e﹣f（2）=e﹣ln2==，故选：B．7．设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f （x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x），∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．故选：B．8．若函数是R上的单调函数，则实数a取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）【解答】解：①若函数f（x）单调性递增，则满足，解得4≤a＜8．②若函数f（x）单调性递减，则满足，此时无解．综上实数a取值范围为：4≤a＜8．故选：D．二．填空题（共4小题）9．当m=﹣1时，函数f（x）=e x+me﹣x（m∈R）为奇函数．【解答】解：f（x）为R上的奇函数；∴f（0）=0；即1+m=0；∴m=﹣1．故答案为：﹣1．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）=12．【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，∴f（﹣2）=﹣12，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（2）=12，故答案为：1211．已知函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，定义域都是R，且f（x）+g（x）=3x﹣x3，则f（﹣1）+g（﹣2）=．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=3x﹣x3，∴f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x）=3﹣x+x3，故g（x）=（3﹣x+3x），f（x）=（3x﹣3﹣x）﹣x3，故f（﹣1）+g（﹣2）=（3﹣1﹣31）+1+（3﹣2+32）=，故答案为：．12．已知函数，那么=．【解答】解：∵，∴f（）=∴f（x）+f（）=1∴f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，f（4）+f（）=1，f（1）=∴=故答案为：三．解答题（共4小题）13．已知函数f（x）=+1是奇函数，其中a是常数．（1）求函数f（x）的定义域和a的值；（2）若f（x）＞3，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）由2x﹣1≠0得：x≠0，即函数的定义域为{x|x≠0}，∵函数f（x）=+1是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即+1=﹣﹣1，解得：a=2，（2）若f（x）＞3，得：＞2，即0＜2x﹣1＜1，即1＜2x＜2，解得：x∈（0，1）14．已知函数f（x）=x2+．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）判断函数f（x）在（0，）和（，+∞）上的单调性并用定义法证明．【解答】证明：（1）∵函数f（x）=x2+，∴x≠0，且f（﹣x）=（﹣x）2+==f（x），∴f（x）是偶函数．解：（2）函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）上的单调递增．证明如下：在（0，）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==（）+=（）（1﹣），∵x1，x2∈（0，），且x1＜x2，∴＜0，1﹣＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴函数f（x）在（0，）上单调递减．在（，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==（）+=（）（1﹣），∵x1，x2∈（，+∞），且x1＜x2，∴＜0，1﹣＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴函数f（x）在（0，）上单调递增．15．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（2﹣y），已知关于x的不等式（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}．（1）x求实数a，b（2）对于任意的t∈A，不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）由（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0，得（x+1）（a+1﹣x）＞0，∴（x+1）（x﹣a﹣1）＜0，∴﹣1＜x＜a+1，∵不等式（x+1）⊗（x+1﹣a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}，∴b=﹣1，a+1=1，a=0；（2）由（1）知，A=（﹣1，1），令g（t）=xt+（x2﹣2x+1），对于任意的t∈（﹣1，1），不等式x2+（t﹣2）x+1＞0恒成立，当x=0时，上式显然成立；当x≠0时，则，即，解得：或．∴实数x的取值范围是．16．已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx∴解f′（x）＞0，即：2x2﹣3x+1＜0函数f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，∵f（x）在上为减函数，∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立．即a≤2x+恒成立．设，则∵x∈时，＞4，∴g′（x）＜0，∴g（x）在上递减，∴g（x）＞g（）=3，∴a≤3．。
函数的基本性质练习(含答案)
函数的基本性质练习(含答案)基础训练A组1.若函数f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)，代入函数f(x)，得到：m-1)x^2+(m-2)x+(m^2-7m+12) = (m-1)(-x)^2+(m-2)(-x)+(m^2-7m+12)化简得到：(m-1)x^2+(m-2)x+(m^2-7m+12) = (m-1)x^2-(m-2)x+(m^2-7m+12)移项得到：4x=0，因此m=2，选B。
2.偶函数在[-∞,-1]上是增函数，说明在[1,+∞)上也是增函数，因此f(-3/2)<f(-1)<f(2)，选A。
3.因为f(x)是奇函数，所以在[-7,-3]上也是增函数，最小值为-5，因此选A。
4.F(x) = f(x) - f(-x)，代入f(-x)得到：F(x) = f(x) - (-f(x)) = 2f(x)因此F(x)是偶函数，选B。
5.对于y=x，有y'=1>0，在(0,1)上是增函数，选A。
6.化简得到f(x)=-x^2+x，因此在[0,1]上是减函数，但f(-x)=-f(x)，因此是奇函数，选B。
填空题1.因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，不等式化简得到f(x)<0，解为(-5,0)U(0,5)。
2.值域为(-∞,+∞)，因为2x+x+1可以取到任意大的值。
3.y=x+1，因此值域为(1,2]。
4.f(x)的导数为2(k-2)x+(k-1)，当x(k-1)/(2(k-2))时导数小于0，因此f(x)的递减区间为(-∞,-(k-1)/(2(k-2)))U((k-1)/(2(k-2)),+∞)。
5.命题(1)和(2)正确，命题(3)和(4)错误，因此正确的命题个数为2.解答题1.一次函数y=kx+b的单调性取决于k的符号，当k>0时单调递增，当k0时单调递减，当k0时开口向上，单调递增，当a<0时开口向下，单调递减。
2.因为定义域为(-1,1)，所以f'(x)=2x-1<0当x<1/2时，f(x)单调递减，因此f(x)在(-1/2,1/2)上取得最大值，最小值为f(1)=3.x0时，f(x)为正数。
函数的基本性质练习题目(精华)
高一数学------函数的基本性质一、、知识点：本 章 知 识 结 构1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。
理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。
对象――即集合中的元素。
集合是由它的元素唯一确定的。
整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。
确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。
不同的――集合元素的互异性。
2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。
我们理解起来并不困难。
我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。
理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ(空集）与{Φ}（集合中含有一个元素，即空集）”的关系。
几个常用数集N （自然数集）、N*（正整数集）、N ＋（正整数集）、Z （整数集）、Q （有理数集）、R （实数集） 3、集合的表示方法（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：①元素不太多的有限集，如{0，1，8}②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，…，100} ③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，…，n ，…} ●注意a 与{a}的区别：a 表示一个元素，{a}表示一个集合 ●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。
（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。
但关键点也是难点。
学习时多加练习就可以了。
另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。
如{x|y ＝x 2}， {y|y ＝x 2}， {（x ，y ）|y ＝x 2}是三个不同的集合。
4、集合之间的关系●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。
函数性质的试题及答案
函数性质的试题及答案一、选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的图像在点(-1, 0)处的切线斜率是多少？A. 2B. 4C. -2D. -4答案：A2. 若函数f(x) = 2x - 3在区间[1, 3]上单调递增，则下列说法正确的是：A. f(1) < f(3)B. f(1) > f(3)C. f(1) = f(3)D. 无法确定答案：A3. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在x = 2处的值是多少？A. 1B. 5C. 9D. 13答案：B二、填空题4. 函数y = 3x + 5的反函数是________。
答案：y = (x - 5) / 35. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 4的图像关于直线x = 2对称，则函数f(x)的最小值是________。
答案：0三、解答题6. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求其在区间[1, 4]上的值域。
答案：函数f(x) = (x - 3)^2 - 1，其图像是一个开口向上的抛物线，对称轴为x = 3。
在区间[1, 4]上，函数在x = 3处取得最小值f(3) = -1，在x = 1处取得最大值f(1) = 3。
因此，函数在区间[1, 4]上的值域为[-1, 3]。
7. 求函数f(x) = sin(x) + cos(x)的周期。
答案：函数f(x) = sin(x) + cos(x)可以化简为f(x) = √2 *sin(x + π/4)，因此其周期为2π。
四、证明题8. 证明函数f(x) = x^3在R上是单调递增的。
答案：任取x1 < x2，我们有f(x1) - f(x2) = x1^3 - x2^3 =(x1 - x2)(x1^2 + x1x2 + x2^2)。
由于x1 < x2，所以x1 - x2 < 0。
又因为x1^2 + x1x2 + x2^2 > 0，所以f(x1) - f(x2) < 0，即f(x1) < f(x2)。
函数的基本性质专题训练(含解析)
函数的基本性质专题训练一、 单选题1．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）下列函数中，既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是（ ） A ．1y x =+B ．3y x =-C ．1y x=D ．y x x =2．（2019·安徽省淮北一中高一期中）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()15f =，且()()4f x f x +=-，则()()20192020f f +的值为（ ）A ．0B ．5-C ．2D ．53．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()12103f x f ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的x 的取值范围（ ）A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．（2020·绥德中学高二月考（文））已知()y f x =是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =+，当0x <，()f x =（ ） A ．(1)x x --B ．(1)x x -C ．(1)x x -+D ．(1)x x +5．（2020·宁夏回族自治区高三其他（文））已知偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．（2020·绥德中学高二月考（文））设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<7．（2020·上海高一课时练习）①若T 是()f x 的周期，则2T 也是()f x 的周期；②若T 是()f x 的周期，则2T也是()f x 的周期； ③已知0x 为()y f x =定义域上的某一个值，T 是非零常数，若()()00+=f x T f x ，则T 是()y f x =的周期．以上叙述中，正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．（2018·浙江省杭州高级中学高一期中）函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(2,)-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞9．（2020·绥德中学高二月考（文））已知函数3()f x x x =+，对任意的[22]m ∈-，，(2)()0f mx f x -+<恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．2(2,)3- B ．2(2,)3C ．2(2,)3-D ．2(2,)3--10．（2020·北京高三二模）已知函数211,0()2,0x x f x x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，若实数[2,0]m ∈-，则|()(1)|f x f --在区间[,2]m m +上的最大值的取值范围是（ ） A ．[1,4] B ．[2,4]C ．[1,3]D ．[1,2]二、多选题11.（2020·东营市第一中学高二期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()e 11e 2x xf x =-+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（ ） A ．()g x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 在R 上是增函数D ．()g x 的值域是{}1,0,1-12．（2020·枣庄市第三中学高二月考）已知函数()32bx f x ax+=+在区间()2,-+∞上单调递增，则a 、b 的取值可以是（ ） A ．1a =，32b >B ．01a <≤，2b =C ．1a =-，2b =D ．12a =，1b = 13．（2020·安达市第七中学高一月考）已知函数()f x ，x R ∀∈,都有(2)()f x f x --=成立，且任取[)12,1,x x ∈-+∞，211221()()0,()f x f x x x x x -<≠-，以下结论中正确的是（ ）A ．()0(3)f f >-B ．,x R ∀∈()(1)f x f ≤-C ．23(1)()4f a a f -+≥D ．若()(2),f m f <则42m -<<14．（2020·安达市第七中学高一月考）若函数()f x 满足（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠，12x x <时，恒有()()12f x f x >，则称函数()f x 为“理想函数”，给出下列四个函数中：①()1f x x =；②()3f x x =-；③()2121x x f x -=+；④()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，则被称为“理想函数”的有（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④三、填空题15．（2018·江苏省启东中学高一开学考试）根据函数的图象，若1211x x -<<<，则()1f x 与()2f x 的大小关系是_____________.16．（2018·江苏省启东中学高一开学考试）函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，若()()2f a f ≤，则实数a 的取值范围是_______________17．（2020·绥德中学高二月考（文））定义在R 上的偶函数()f x 满足()0f x >，1(2)()f x f x +=对任意x ∈R 恒成立，则(2023)f =__________.四、双空题18．（2018·贵州省高一期末）已知()f x 是定义域在R 上的奇函数，且当0x <时，()|1|f x x =+，则(2)f -=_______，(2)f =_______19．（2019·天津市滨海新区塘沽第一中学高一期中）已知函数2()2||3f x x x =-++，则()f x 的单调递増区间为________和________.20．（2020·浙江省效实中学高二期中）已知函数()f x 的定义域为R ，(2)()f x f x +=，已知[]0,2x ∈时，()f x =221x x -+，则(3)f =_________；(0)(1)(2)(2020)f f f f +++⋅⋅⋅+=____________.21．（2020·贵州省高一期末）有以下四个条件：①()f x 的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线； ②()f x 是偶函数；③()f x 在()0,∞+上不是单调函数； ④()f x 恰有两个零点.若函数同时满足条件②④，请写出它的一个解析式()f x =_____________；若函数同时满足条件①②③④，请写出它的一个解析式()g x =_____________ 五、解答题22．（2019·贵州省凯里一中高一期中）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求()f x 的解析式；（2）画出()f x 的图象（不需要列表）并写出()f x 的递减区间（无需证明）.23．（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知函数()f x 定义在(,)-∞+∞上，满足：任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立，(2)1f =. （1）求(0),(1)f f 的值.（2）判断()f x 的奇偶性，并加以证明；24．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）已知函数2()1ax bf x x+=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式；（2）用定义证明：函数()f x 在(1,1)-上是增函数．25.（2020·宁波市北仑中学高二月考）已知函数222,0,()0,0,,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上是单调增函数，求实数a 的取值范围； （3）求不等式()()0f x f x x--<的解集.26．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）定义在R 的函数()f x 满足对任意x yR 、恒有()()()f xy f x f y =+且()f x 不恒为0.（1）求(1)(1)f f -、的值；（2）判断()f x 的奇偶性并加以证明；（3）若0x ≥时，()f x 是增函数，求满足不等式(1)(2)0f x f x +--≤的x 的集合. 27．（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知函数()af x x x=+（常数a>0）. （1）证明：函数()f x在区间上是递减的；在区间)+∞上是递增的；（2）若9a =，对任意的[1,5]x ∈时，x 的不等式()21f x m ≤+都成立，求实数m 的范围.二、 单选题1．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）下列函数中，既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是（ ） A ．1y x =+ B ．3y x =-C ．1y x=D ．y x x =【答案】D 【解析】选项A 中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；选项B 中，函数为奇函数，但在定义域为减函数，不符合题意； 选项C 中，函数为奇函数，但在定义域不是增函数，不符合题意； 选项D 中，如图所示：函数为奇函数，且在R 上为增函数，符合题意；故选：D ．2．（2019·安徽省淮北一中高一期中）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()15f =，且()()4f x f x +=-，则()()20192020f f +的值为（ ）A ．0B ．5-C ．2D ．5【答案】D 【解析】由题可得()()004f f =-=,()()151f f =-=--, 且()()4()8x x f f f x =-=++,所以()()()()201920208252382524f f f f +=⨯++⨯+()()34f f =+ ()()144f f =-++ ()()14f f =--+ (5)0=--+5=故选：D3．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()12103f x f ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的x 的取值范围（ ）A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增 则()f x 在区间(],0-∞上单调递减 若满足()12103f x f ⎛⎫--< ⎪⎝⎭则1213x -< 化简可得112133x -<-<解不等式可得1233x <<,即12,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选:A4．（2020·绥德中学高二月考（文））已知()y f x =是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =+，当0x <，()f x =（ ） A ．(1)x x -- B ．(1)x x - C ．(1)x x -+ D ．(1)x x +【答案】B()y f x =是定义在R 上的奇函数，故有()()f x f x =--，任取(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞， 当0x >时，()(1)f x x x =+()(1)f x x x ∴-=--， ()()(1)f x f x x x ∴=--=-故选：B5．（2020·宁夏回族自治区高三其他（文））已知偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】有题意可知，x ∈[)0,+∞时，函数单调递增， 且函数是偶函数，()()11212133f x f f x f ⎛⎫⎛⎫∴-<⇔-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1213x ∴-<112133x ∴-<-<解得1233x <<.故选A.6．（2020·绥德中学高二月考（文））设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<【解析】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又(2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又1111023--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.7．（2020·上海高一课时练习）①若T 是()f x 的周期，则2T 也是()f x 的周期； ②若T 是()f x 的周期，则2T也是()f x 的周期； ③已知0x 为()y f x =定义域上的某一个值，T 是非零常数，若()()00+=f x T f x ，则T 是()y f x =的周期．以上叙述中，正确的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】根据函数的周期的定义可知，若T 是()f x 的周期，即对定义域内x ∀，都有f x Tf x ，则()()()2f x T f x T f x +=+=即2T 也是()f x 的周期，故①；显然2T不一定是函数的周期，若()sin f x x =，其最小正周期2T π=，但()()()sin sin f x x x f x ππ+=+=-≠，故②错误； 显然③不满足周期的定义，故③错误；即正确的只有一个； 故选：B8．（2018·浙江省杭州高级中学高一期中）函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上单调递增，则实数a 的取值A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(2,)-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞【答案】B 【解析】当0a =时，1()2f x x =+在区间(2,)-+∞上单调递减，故0a =舍去， 0a ∴≠，此时1(2)1212()222ax a x a af x a x x x +++--===++++， 又因为12y x =+在区间(2,)-+∞上单调递减， 而函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上单调递增，∴须有120a -<，即12a >，故选：B ．9．（2020·绥德中学高二月考（文））已知函数3()f x x x =+，对任意的[22]m ∈-，，(2)()0f mx f x -+<恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．2(2,)3- B ．2(2,)3C ．2(2,)3-D ．2(2,)3--【答案】A 【解析】因为函数3()f x x x =+，()()f x f x -=-，易知函数3()f x x x =+为R 上单调递增的奇函数，所以(2)()0(2)()f mx f x f mx f x -+<⇒-<-，即20xm x +-<对任意的[22]m ∈-，恒成立，设()2g m xm x =+-，只需()()2020g g ⎧<⎪⎨-<⎪⎩即可．解不等式组220220x x x x +-<⎧⎨-+-<⎩，解得223x -<<．故选：A ．10．（2020·北京高三二模）已知函数211,0()2,0x x f x x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，若实数[2,0]m ∈-，则|()(1)|f x f --在区间[,2]m m +上的最大值的取值范围是（ ） A ．[1,4] B ．[2,4] C ．[1,3] D ．[1,2]【答案】D 【解析】由题意，当1x ≤-时，()2f x x =+；当10x -<<时，()f x x =-；当0x ≥时，2()2f x x x =-.所以()11f -=，则|()(1)||()1|f x f f x --=-，因为[2,0]m ∈-，所以区间[][,2]2,2m m +⊆-，且该区间长度为2.作出函数()f x 的图象，如图1，进而可得到|()1|y f x =-在[]2,2-上的图象，如图2， 根据图象可知|()1|y f x =-在区间[,2]m m +上的最大值的取值范围是[1,2]. 故选：D.二、多选题11.（2020·东营市第一中学高二期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()e 11e 2x xf x =-+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（ ） A ．()g x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 在R 上是增函数 D ．()g x 的值域是{}1,0,1-【答案】BC【解析】根据题意知，()e 1111e 221ex x xf x =-=-++． ()()e 11101e 2g f ⎡⎤==-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()11111e 12g f ⎡⎤-=-=-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()11g g ∴≠-，()()11g g ≠--，∴函数()g x 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；()()e 1111e 21e 2x x xf x f x ---=-=-=-++，()f x ∴是奇函数，B 正确； 由复合函数的单调性知()1121e x f x =-+在R 上是增函数，C 正确； e 0x >，1e 1x ∴+>，()1122f x ∴-<<，()(){}1,0g x f x ∴==-⎡⎤⎣⎦，D 错误．故选BC ．12．（2020·枣庄市第三中学高二月考）已知函数()32bx f x ax +=+在区间()2,-+∞上单调递增，则a 、b 的取值可以是（ ） A ．1a =，32b >B ．01a <≤，2b =C ．1a =-，2b =D ．12a =，1b = 【答案】ABD 【解析】由题意知，不等式20ax +≠对任意的()2,x ∈-+∞恒成立.①当0a =时，()322b f x x =+在区间()2,-+∞上单调递增，则02b>，解得0b >； ②当0a >时，由20ax +≠，可得2x a ≠-，则22a-≤-，解得01a <≤，则()()222333222b b b ax bx b a a a f x ax ax ax a++--+===++++， 由于该函数在区间()2,-+∞上单调递增，230b a ∴-<，32b a ∴>， 当1a =时，3322b a >=合乎题意；当01a <≤时，322b a =>恒成立，合乎题意；当12a =时，312b a =>恒成立，合乎题意； ③当0a <时，则20a->，函数()y f x =在2x a =-没有定义，C 选项不合乎题意.故选：ABD.13．（2020·安达市第七中学高一月考）已知函数()f x ，x R ∀∈,都有(2)()f x f x --=成立，且任取[)12,1,x x ∈-+∞，211221()()0,()f x f x x x x x -<≠-，以下结论中正确的是（ ）A ．()0(3)f f >-B ．,x R ∀∈()(1)f x f ≤-C ．23(1)()4f a a f -+≥ D ．若()(2),f m f <则42m -<<【答案】AB 【解析】由函数()f x 满足(2)()f x f x --=，则函数()f x 的图像关于直线1x =-对称，又[)12,1,x x ∈-+∞，211221()()0,()f x f x x x x x -<≠-，则函数()f x 在[)1,-+∞为减函数，对于选项A ，因为3(1)0(1)--->--，所以()0(3)f f >-，即A 正确；对于选项B ，由已知有()f x 在(],1-∞-为增函数，在[)1,-+∞为减函数，即max ()(1)f x f =-，即B 正确； 对于选项C ，221331()244a a a -+=-+≥，又()f x 在[)1,-+∞为减函数，所以23(1)()4f a a f -+≤，即C 错误；对于选项D ，当()(2),f m f <则(1)2(1)m -->--，则4m <-或2m >，即D 错误， 即结论正确的是AB ， 故选：AB.14．（2020·安达市第七中学高一月考）若函数()f x 满足（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠，12x x <时，恒有()()12f x f x >，则称函数()f x 为“理想函数”，给出下列四个函数中：①()1f x x =；②()3f x x =-；③()2121x x f x -=+；④()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，则被称为“理想函数”的有（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】BD 【解析】由()()0f x f x +-=可得：()()f x f x -=-，故函数()f x 为奇函数，对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠，12x x <时，恒有()()12f x f x >，故函数()f x 为减函数， 据此判断，②和④满足条件. 故选：BD. 三、填空题15．（2018·江苏省启东中学高一开学考试）根据函数的图象，若1211x x -<<<，则()1f x 与()2f x 的大小关系是_____________.【答案】()()12f x f x < 【解析】由图象可知，()f x 在(),1-∞上单调递增，且1211x x -<<<， 结合单调性的定义得：()()12f x f x <. 故答案为：()()12f x f x <16．（2018·江苏省启东中学高一开学考试）函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，若()()2f a f ≤，则实数a 的取值范围是_______________【答案】][(),22,-∞-⋃+∞ 【解析】由()f x 是偶函数，得22f f =-（）（），若2f a f ≤（）（） ，有2f a f ≤-（）（）.()f x 在(],0-∞ 上是增函数，则()f x 在(]0,+∞上是减函数， 综上可得当(],0a ∈-∞时，由22f a f a （）（）≤-⇒<-；当(]0,a ∈+∞时，由22f a f a ≤⇒>（）（），所以a 的取值范围是][(),22,-∞-⋃+∞ 17．（2020·绥德中学高二月考（文））定义在R 上的偶函数()f x 满足()0f x >，1(2)()f x f x +=对任意x ∈R 恒成立，则(2023)f =__________.【答案】1 【解析】 因为1(2)()f x f x +=对任意x ∈R 恒成立， 所以1(4)()(2)f x f x f x +==+，即函数()f x 以4为周期； 令1x =-，则1(12)(1)f f -+=-，即(1)(1)1f f ⋅-=， 又()f x 为偶函数，且()0f x >，所以(1)(1)1f f ⋅=，即()(1)11f f =-=； 因此(2023)(15064)(1)1f f f =-+⨯=-=. 故答案为：1. 四、双空题18．（2018·贵州省高一期末）已知()f x 是定义域在R 上的奇函数，且当0x <时，()|1|f x x =+，则(2)f -=_______，(2)f =_______【答案】1 -1 【解析】0x <时,()|1|f x x =+, 21(12)=f =-+∴-;由奇函数的性质得(2)(2)f f -=-,(2)(2)=1f f ∴=---. 故答案为:1,-1.19．（2019·天津市滨海新区塘沽第一中学高一期中）已知函数2()2||3f x x x =-++，则()f x 的单调递増区间为________和________. 【答案】(,1)-∞- (0,1). 【解析】根据题意，22223,0()2323,0x x x f x x x x x x ⎧-++≥=-++=⎨--+<⎩，当0x ≥时，2()23f x x x =-++，在区间[0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数；当0x <时，2()23f x x x =--+，在区间(,1)-∞-上为增函数，在(1,0)-上为减函数， 则()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(0,1)； 故答案为：(,1)-∞-和(0,1).20．（2020·浙江省效实中学高二期中）已知函数()f x 的定义域为R ，(2)()f x f x +=，已知[]0,2x ∈时，()f x =221x x -+，则(3)f =_________；(0)(1)(2)(2020)f f f f +++⋅⋅⋅+=____________.【答案】0 1011 【解析】(2)()f x f x +=，故函数周期为2，()(3)11210f f ==-+=，()00011f =-+=，()()130f f ==，故()()()()(0)(1)(2)(2020)10100101011f f f f f f f +++⋅⋅⋅+=⋅++=. 故答案为：0；1011.21．（2020·贵州省高一期末）有以下四个条件：①()f x 的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线； ②()f x 是偶函数；③()f x 在()0,∞+上不是单调函数； ④()f x 恰有两个零点.若函数同时满足条件②④，请写出它的一个解析式()f x =_____________；若函数同时满足条件①②③④，请写出它的一个解析式()g x =_____________【答案】()22f x x =-+（答案不唯一） ()22g x x x =-++（答案不唯一）【解析】根据条件②④可得，()22f x x =-+（答案不唯一），根据函数同时满足条件①②③④，可得()22g x x x =-++（答案不唯一）.故答案为：()22f x x =-+（答案不唯一）；()22g x x x =-++（答案不唯一）.五、解答题22．（2019·贵州省凯里一中高一期中）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求()f x 的解析式；（2）画出()f x 的图象（不需要列表）并写出()f x 的递减区间（无需证明）.【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩；（2）图象见解析，(),1-∞-和()0,1【解析】（1）当0x ≥时，()22f x x x =-.设0x <，则0x ->，()()()2222f x x x x x -=---=+.∵()y f x =是定义在R 上的偶函数，∴()()22f x f x x x =-=+，∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩. （2）()f x 的图象如下：结合图象，知()f x 的单调减区间是(),1-∞-和()0,1.23．（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知函数()f x 定义在(,)-∞+∞上，满足：任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立，(2)1f =. （1）求(0),(1)f f 的值.（2）判断()f x 的奇偶性，并加以证明； 【答案】（1）1(0)0,(1)2f f ==；（2）奇函数；证明见解析. 【解析】（1）令0x y ==得，()()()0000f f f +=+，解得：()00f =，令1x y ==得，()()()()111121f f f f +=+=，又(2)1f =，所以可得()112f =； （2）令y x =-，则有()()()()00f x x f x f x f -=+-==，所以()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为(,)-∞+∞上的奇函数.24．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）已知函数2()1ax bf x x+=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式；（2）用定义证明：函数()f x 在(1,1)-上是增函数． 【答案】（1）2()1xf x x =+；（2）见解析. 【解析】（1）由题意得：()()f x f x -=-，所以2211ax b ax bx x-++=-++，所以0b =， 又12()25f =，即2122151()2a b+=+，解之得：1a =， 2()1xf x x∴=+； （2）设1211x x -<<<，则有1212121222221212(1)()()11(1))((1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， 1211x x -<<<，∴120x x -<，2110x +>，2210x +>，1210x x ->，∴12())0(f x f x -<，∴()f x 在(1,1)-上是增函数.25.（2020·宁波市北仑中学高二月考）已知函数222,0,()0,0,,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数. （1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上是单调增函数，求实数a 的取值范围； （3）求不等式()()0f x f x x--<的解集.【答案】（1）2；（2）13a ；（3）()(),22,x ∈-∞-+∞. 【解析】（1）设0x <，则0x ->，所以2()2f x x x -=--因为()f x 是奇函数，所以2()()2f x f x x x =--=+所以2m = （2）()f x 的图像为因为函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增 所以121a -<-≤ 所以13a（3）由()()0f x f x x --<可得2()0f x x<，即()0xf x <当0x >时()0f x <，由图像可得2x > 当0x <时()0f x >，由图像可得2x <- 综上：()(),22,x ∈-∞-+∞26．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）定义在R 的函数()f x 满足对任意x yR 、恒有()()()f xy f x f y =+且()f x 不恒为0.（1）求(1)(1)f f -、的值；（2）判断()f x 的奇偶性并加以证明；（3）若0x ≥时，()f x 是增函数，求满足不等式(1)(2)0f x f x +--≤的x 的集合. 【答案】(1)(1)0f =，(1)0f -=；(2)偶函数，证明见解析；(3)1{|}2x x ≤ 【解析】 分析：(1)利用赋值法：令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=； (2)令1y =-，结合(1)的结论可得函数()f x 是偶函数；(3)结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去f 符号，求解绝对值不等式12x x +≤-可得x 的取值范围是1{|}2x x ≤.详解：（1）令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=；（2）令1y =-，对x R ∈得()()()1f x f f x -=-+即()()f x f x -=，而()f x 不恒为0，()f x ∴是偶函数；（3）又()f x 是偶函数，()()f x fx ∴=，当0x >时，()f x 递增，由()()12f x f x +≤-，得21 ()()12,12,f x f x x x x +≤-∴+≤-∴的取值范围是1{|}2x x ≤. 27．（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知函数()a f x x x=+（常数a>0）. （1）证明：函数()f x在区间上是递减的；在区间)+∞上是递增的；（2）若9a =，对任意的[1,5]x ∈时，x 的不等式()21f x m ≤+都成立，求实数m 的范围.【答案】（1）证明见解析；（2）92m ≥【解析】（1）设任意()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则有 ()()()()121212121212x x x x a a a f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(12,x x ∈时，1212120,0,0x x x x x x a -<>-<，所以有()()120f x f x ->，所以函数()f x 在区间上是递减的，当)12,x x ∈+∞时，1212120,0,0x x x x x x a -<>->，所以有()()120f x f x -<，所以函数()f x 在区间)+∞上是递增的；（2）由（1）知函数()f x 在[]1,3单调递减，在[]3,5上单调递增，而()()min 36f x f ==， ()()34110,55f f ==，所以()max 10f x =， 对任意的[1,5]x ∈时，x 的不等式()21f x m ≤+都成立，所以2110m +≥， 解得：92m ≥.。
函数基本性质难题集萃30题(附详细解析)
2015年03月27日1560961913的高中数学组卷一．选择题（共19小题）1．已知函数f（x）=ae x﹣2x﹣2a，a∈[1，2]，若函数f（x）在区间[0，ln2]上的值域为[p，q]，则（）A．p≥﹣，q B．p，q C．p≥﹣2，q≤﹣1 D．p≥﹣1，q≤02．已知a为实数，函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）A．[1，8]B．[3，8]C．[1，3]D．[﹣1，8]3．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1，若∃x0∈（0，+∞），使得f（lgx0）＞f（x0）成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．（1，+∞）D．[1，+∞）4．设f（x）=在区间[﹣2，2]上最大值为4，则实数a的取值范围为（）A．[ln2，+∞]B．[0，ln2]C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，ln2]5．已知函数f（x）=在区间[0，+∞）上的最大值为a，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，]C．[﹣，+∞）D．[，+∞）6．已知定义在R上的奇函数y=f（x），对于∀x∈R都有f（1+x）=f（1﹣x），当﹣1≤x＜0时，f（x）=log2（﹣x），则函数g（x）=f（x）﹣2在（0，8）内所有的零点之和为（）A．6 B．8 C．10 D．127．函数f（x）=++对称中心为（）A．（﹣4，6）B．（﹣2，3）C．（﹣4，3）D．（﹣2，6）8．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（﹣ax+lnx+1）+f（ax ﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[2，e]B．[，+∞）C．[，e]D．[，]9．已知定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数，则关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） B．（﹣，2）C．（﹣∞，）∪（2，+∞）D．（，2）10．如图，长方形ABCD的长AD=2x，宽AB=x（x≥1），线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为y，则函数y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=（3x+1）e x+1+mx（m≥﹣4e），若有且仅有两个整数使得f（x）≤0，则实数m的取值范围是（）A．（，2]B．[﹣，﹣）C．[﹣，﹣）D．[﹣4e，﹣）12．点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y 与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（）A．B．C．D．13．在实数集R上定义一种运算“*”，对于任意给定的a、b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a、b∈R，a*b=b*a；（2）对任意a、b∈R，a*0=a；（3）对任意a、b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）﹣2c．关于函数f（x）=x*的性质，有如下说法：①在（0，+∞）上函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为奇函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．其中所有正确说法的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．314．设f（x）满足：①任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）=0；②当x≥1时，f（x）=|x﹣a|﹣1，（a＞0），若x∈R，恒有f（x）＞f（x﹣m），则m的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（4，+∞）C．（3，+∞）D．（5，+∞）15．若函数，则f（f（1））的值为（）A．﹣10 B．10 C．﹣2 D．216．若函数f（x）在定义域上存在区间[a，b]（ab＞0），使f（x）在[a，b]上值域为[，]，则称f（x）在[a，b]上具有“反衬性”．下列函数①f（x）=﹣x+②f（x）=﹣x2+4x ③f （x）=sin x ④f（x）=，具有“反衬性”的为|（）A．②③B．①③C．①④D．②④17．函数f（x）=（++2）（+1）的值域是（）A．[2+，8]B．[2+，+∞）C．[2，+∞）D．[2+，4]18．已知函数f（x）=1﹣，g（x）=lnx，对于任意m≤，都存在n∈（0，+∞），使得f（m）=g（n），则n﹣m的最小值为（）A．e﹣B．1 C．﹣D．19．已知函数f（x）=（x﹣）•cosx，x∈[﹣π，π]且x≠0，则下列描述正确的是（）A．函数f（x）为偶函数B．函数f（x）在（0，π）上有最大值无最小值C．函数f（x）有2个不同的零点D．函数f（x）在（﹣π，0）上单调递减二．解答题（共10小题）20．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．21．已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．22．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2（f'（x）+）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：×××…×＜（n≥2，n∈N*）．23．已知函数，a为正常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．24．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g （x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）当x∈（0，e]时，证明：．25．设函数f（x）=lnx﹣﹣bx（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．26．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有实数解，求实数m的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值．（3）证明不等式：（n∈N*）．27．已知函数f（x）=x2﹣alnx在区间（1，2]内是增函数，g（x）=x﹣a在区间（0，1]内是减函数．（1）求f（x），g（x）的表达式；（2）求证：当x＞0时，方程f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+3有唯一解；（3）当b＞﹣1时，若f（x）≥2bx﹣在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．28．已知函数f（x）=，g（x）=（）|x﹣m|，其中m∈R且m≠0．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当m＜﹣2时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[﹣2，2]上的最值；（Ⅲ）设函数h（x）=，当m≥2时，若对于任意的x1∈[2，+∞），总存在唯一的x2∈（﹣∞，2），使得h（x1）=h（x2）成立，试求m的取值范围．29．对于函数f（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式f（x）≥kx+m ≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数f（x），g（x）的分界线．已知函数f（x）=e x（ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a=1，试探究函数f（x）与函数g（x）=﹣x2+2x+1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．2015年03月27日1560961913的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2016•衡阳县模拟）已知函数f（x）=ae x﹣2x﹣2a，a∈[1，2]，若函数f（x）在区间[0，ln2]上的值域为[p，q]，则（）A．p≥﹣，q B．p，q C．p≥﹣2，q≤﹣1 D．p≥﹣1，q≤0【分析】构造函数g（a）=（e x﹣2）a﹣2x，a∈[1，2]，由x∈[0，ln2]，可得e x∈[1，2]．看做关于a的因此函数可得：g（x）max=g（1）=e x﹣2﹣2x，g（x）min=g（2）=2e x﹣4﹣2x．x ∈[0，ln2]．函数f（x）在区间[0，ln2]上的值域为[p，q]，利用q=e x﹣2﹣2x，p=2e x﹣4﹣2x．x∈[0，ln2]．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．【解答】解：构造函数g（a）=（e x﹣2）a﹣2x，a∈[1，2]，由x∈[0，ln2]，可得e x∈[1，2]．∴g（a）在a∈[1，2]上单调递减，∴g（a）max=g（1）=e x﹣2﹣2x，g（a）min=g（2）=2e x﹣4﹣2x．x∈[0，ln2]．函数f（x）在区间[0，ln2]上的值域为[p，q]，∴q=e x﹣2﹣2x，p=2e x﹣4﹣2x．x∈[0，ln2]．q′=e x﹣2≤0，∴函数q（x）单调递减，∴q（ln2）≤q≤q（0），∴﹣2ln2≤q≤﹣1．p′=2e x﹣2≥0，∴函数p（x）单调递增，∴p（ln2）≥p≥p（0），﹣2ln2≥p≥﹣2．．综上可得：p≥﹣2，q≤﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了转化能力与计算能力，属于难题．2．（2016•义乌市模拟）已知a为实数，函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）A．[1，8]B．[3，8]C．[1，3]D．[﹣1，8]【分析】根据绝对值的应用，将函数进行转化，结合一元二次不等式与一元二次函数之间的关系，结合函数的单调性的性质进行讨论判断．【解答】解：令函数g（x）=x2﹣ax﹣2，由于g（x）的判别式△=a2+8＞0，故函数g（x）一定有两个零点，设为x1和x2，且x1＜x2．∵函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|=，故当x∈（﹣∞，x1）、（x2，+∞）时，函数f（x）的图象是位于同一条直线上的两条射线，当x∈（x1，x2）时，函数f（x）的图象是抛物线y=2x2﹣ax﹣2下凹的一部分，且各段连在一起．由于f（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，∴a＞0且函数g（x）较小的零点x1=≥﹣1，即a+2≥，平方得a2+4a+4≥a2+8，得a≥1，同时由y=2x2﹣ax﹣2的对称轴为x=，若且﹣1≤≤2，可得﹣4≤a≤8．综上可得，1≤a≤8，故实a的取值范围为[1，8]，故选：A．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据绝对值的意义转化为一元二次函数，利用一元二次函数和一元二次不等式之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．3．（2016•衡水校级二模）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1，若∃x0∈（0，+∞），使得f（lgx0）＞f（x0）成立，则a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．（1，+∞）D．[1，+∞）【分析】可知lgx0＜x0，从而根据条件便可判断f（x）为减函数或存在极值点，求导数f′（x）=e x﹣a，从而可判断f（x）不可能为减函数，只能存在极值点，从而方程a=e x有解，这样由指数函数y=e x的单调性即可得出a的取值范围．【解答】解：∵lgx0＜x0；∴要满足∃x0∈（0，+∞），使f（lgx0）＞f（x0），则：函数f（x）为减函数或函数f（x）存在极值点；∵f′（x）=e x﹣a；x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0不恒成立，即f（x）不是减函数；∴只能f（x）存在极值点，∴f′（x）=0有解，即a=e x有解；∴a∈（1，+∞）；即a的取值范围为（1，+∞）．故选：C．【点评】考查函数y=lgx和y=x图象的位置关系，减函数的定义，函数极值和极值点的定义，以及指数函数的单调性．4．（2016•洛阳二模）设f（x）=在区间[﹣2，2]上最大值为4，则实数a的取值范围为（）A．[ln2，+∞]B．[0，ln2]C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，ln2]【分析】分别求出函数在﹣2≤x≤0和（0，2]的最大值，进行比较即可得到结论．【解答】解：当﹣2≤x≤0时f（x）=4x3+6x2+2，则f′（x）=12x2+12x=12x（x+1），由f′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1，由f′（x）＜0得﹣1＜x＜0，则当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，此时f（﹣1）=﹣4+6+2=4；当x＞0时，f（x）=2e ax，若a=0，则f（x）=2＜4，若a＜0，则函数f（x）在（0，2]上为减函数，则f（x）＜f（0）=2，此时函数的最大值小于4，若a＞0，则函数在（0，2]为增函数，此时函数的最大值为f（2）=2e2a，要使f（x）在区间[﹣2，2]上最大值为4，则2e2a≤4，即e2a≤2，得2a≤ln2，则a≤ln2，综上所述，a≤ln2，故选：D【点评】本题主要考查函数最值的应用，根据分段函数的表达式分别求出对应区间上的最大值，进行比较是解决本题的关键．5．（2016春•赣州校级期中）已知函数f（x）=在区间[0，+∞）上的最大值为a，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，]C．[﹣，+∞）D．[，+∞）【分析】由求导公式和法则求出f′（x），化简后对a进行分类讨论，分别利用导数在定义域内求出函数的单调区间、最值，再求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意得，==，（1）当a=1时，，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）上递增，∴f（x）在区间[0，+∞）上有极小值f（2）=，∵f（0）=a=1，且=＜0，∴f（x）在区间[0，+∞）上有最大值f（0）=a=1，成立；（2）当a＞1时，由f′（x）=0得x=2或＜0，∴当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）上递增，∴f（x）在区间[0，+∞）上有极小值f（2）=，∵f（0）=a＞1，且=＜1，∴f（x）在区间[0，+∞）上有最大值f（0）=a，成立；（3）当a＜1时，由f′（x）=0得x=2或，①当a=时，有2=，f′（x）＜0，则f（x）在区间[0，+∞）上递减，∴f（x）在区间[0，+∞）上的最大值是f（0）=a，成立，②当时，有2＜，当x∈（2，）时，f′（x）＞0，则f（x）在区间（2，）上递增，当x∈（，+∞）、（0，2）时，f′（x）＜0，则f（x）在区间（，+∞）、（0，2）上递减，∴f（x）在区间[0，+∞）上的极大值是f（）=，又f（0）=a，由题意得≤a，解得0≤a＜1，即成立，③当时，有2＞，当x∈（，2）时，f′（x）＞0，则f（x）在区间（，2）上递增，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，则f（x）在区间（2，+∞）上递减，∴f（x）在区间[0，+∞）上的极大值是f（2）==，又f（0）=a，由题意得≤a，解得a≥，即，综上可得，a的取值范围是，故选：D．【点评】本题考查了导数与函数的单调性、最值的关系，考查分类讨论思想和极限思想的应用，属于难题．6．（2016•安徽二模）已知定义在R上的奇函数y=f（x），对于∀x∈R都有f（1+x）=f（1﹣x），当﹣1≤x＜0时，f（x）=log2（﹣x），则函数g（x）=f（x）﹣2在（0，8）内所有的零点之和为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据函数奇偶性和对称性之间的关系求出函数是周期为4的周期函数，作出函数在一个周期内的图象，利用数形结合进行求解．【解答】解：∵奇函数y=f（x），对于∀x∈R都有f（1+x）=f（1﹣x），∴f（1+x）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），则f（2+x）=﹣f（x），即f（4+x）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数．若0＜x≤1，则﹣1≤﹣x＜0，则f（﹣x）=log2x=﹣f（x），则f（x）=﹣log2x，0＜x≤1，若1≤x＜2，则﹣1≤x﹣2＜0，∵f（2+x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x﹣2），则f（x）=﹣f（x﹣2）=﹣log2（2﹣x），1≤x＜2，若2＜x＜3，则0＜x﹣2＜1，f（x）=﹣f（x﹣2）=log2（x﹣2），2＜x＜3，由g（x）=f（x）﹣2=0得f（x）=2，作出函数f（x）在（0，8）内的图象如图：由图象知f（x）与y=2在（0，8）内只有4个交点，当0＜x≤1时，由f（x）=﹣log2x=2，得x=，当1≤x＜2时，由f（x）=﹣log2（2﹣x）=2得x=，则在区间（4，5）内的函数零点x=4+=，在区间（5，6）内的函数零点x=+4=，则在（0，8）内的零点之和为+++==12故在（0，8）内所有的零点之12，故选：D【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据函数奇偶性和对称性的性质求出函数的周期性，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合是解决本题的关键．7．（2016•武汉模拟）函数f（x）=++对称中心为（）A．（﹣4，6）B．（﹣2，3）C．（﹣4，3）D．（﹣2，6）【分析】由已知中函数f（x）=++，可得6﹣f（﹣4﹣x）=f（x），结合函数图象对称变换法则，可得函数图象的对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=++=3﹣（），∴6﹣f（﹣4﹣x）=6﹣（++）=6﹣（++）=3﹣（），∴6﹣f（﹣4﹣x）=f（x），即函数f（x）=++对称中心为（﹣2，3），故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数图象的对称性，函数图象的对称变换，难度较大．8．（2016•邵阳三模）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[2，e]B．[，+∞）C．[，e]D．[，]【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤ax﹣lnx≤2对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=ax﹣lnx，则由g′（x）=a﹣=0，求得x=．分类讨论求得g（x）的最大值和最小值，从而求得a的范围．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若不等式f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则2f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，即f（ax﹣lnx﹣1）≥f（1）对x∈[1，3]恒成立．∴﹣1≤ax﹣lnx﹣1≤1 对x∈[1，3]恒成立，即0≤ax﹣lnx≤2对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=ax﹣lnx，则由g′（x）=a﹣=0，求得x=．①当≤1，即a＜0 或a≥1时，g′（x）≥0在[1，3]上恒成立，g（x）为增函数，∵最小值g（1）=a≥0，最大值g（3）=3a﹣ln3≤2，∴0≤a≤，综合可得，1≤a≤．②当≥3，即0＜a≤时，g′（x）≤0在[1，3]上恒成立，g（x）为减函数，∵最大值g（1）=a≤2，最小值g（3）=3a﹣ln3≥0，∴≤a≤2，综合可得，a无解．③当1＜＜3，即＜a＜1时，在[1，）上，g′（x）＜0恒成立，g（x）为减函数；在（，3]上，g′（x）＞0恒成立，g（x）为增函数．故函数的最小值为g（）=1﹣ln，∵g（1）=a，g（3）=3a﹣ln3，g（3）﹣g（1）=2a﹣ln3．若2a﹣ln3＞0，即ln＜a＜1，∵g（3）﹣g（1）＞0，则最大值为g（3）=3a﹣ln3，此时，由1﹣ln≥0，g（3）=3a﹣ln3≤2，求得≤a≤，综合可得，ln＜a＜1．若2a﹣ln3≤0，即＜a≤ln3=ln，∵g（3）﹣g（1）≤0，则最大值为g（1）=a，此时，最小值1﹣ln≥0，最大值g（1）=a≤2，求得≤a≤2，综合可得≤a≤ln．综合①②③可得，1≤a≤或ln＜a＜1或≤a≤ln，即≤a≤，故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于难题．9．（2016•江西校级模拟）已知定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y=f （x+2）为偶函数，则关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） B．（﹣，2）C．（﹣∞，）∪（2，+∞）D．（，2）【分析】根据函数的单调性和奇偶性的关系，将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）关于x=0对称，即函数f（x+2）在（0，+∞）上为减函数，由f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得f（2x﹣1）＞f（x+1），即f（2x﹣3+2）＞f（x﹣1+2），即|2x﹣3|＜|x﹣1|，平方整理得3x2﹣10x+8＜0，即＜x＜2，即不等式的解集为（，2），故选：D【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．10．（2016•张掖校级模拟）如图，长方形ABCD的长AD=2x，宽AB=x（x≥1），线段MN 的长度为1，端点M、N在长方形ABCD的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为y，则函数y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据条件确定点P，对应的轨迹，然后求出相应的周长和面积，求出函数f（x）的表达式，然后根据函数表达式进行判断图象即可．【解答】解：∵线段MN的长度为1，线段MN的中点P，∴AP=，即P的轨迹是分别以A，B，C，D为圆心，半径为的4个圆，以及线段GH，FE，RT，LK，部分．∴G的周长等于四个圆弧长加上线段GH，FE，RT，LK的长，即周长==π+4x﹣2+2x﹣2=6x+π﹣4，面积为矩形的面积减去4个圆的面积，即等于矩形的面积减去一个整圆的面积为，∴f（x）=6x+π﹣4﹣=，是一个开口向下的抛物线，∴对应的图象为C，故选：C．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件确定点P的轨迹是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．11．（2016•成都校级模拟）已知函数f（x）=（3x+1）e x+1+mx（m≥﹣4e），若有且仅有两个整数使得f（x）≤0，则实数m的取值范围是（）A．（，2]B．[﹣，﹣）C．[﹣，﹣）D．[﹣4e，﹣）【分析】根据不等式的关系转化为两个函数的大小关系，构造函数g（x）=mx，h（x）=﹣（3x+1）e x+1，利用g（x）≤h（x）的整数解只有2个，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由f（x）≤0得（3x+1）e x+1+mx≤0，即mx≤﹣（3x+1）e x+1，设g（x）=mx，h（x）=﹣（3x+1）e x+1，h′（x）=﹣（3e x+1+（3x+1）e x+1）=﹣（3x+4）e x+1，由h′（x）＞0得﹣（3x+4）＞0，即x＜﹣，由h′（x）＜0得﹣（3x+4）＜0，即x＞﹣，即当x=﹣时，函数h（x）取得极大值，当m≥0时，满足g（x）≤h（x）的整数解超过2个，不满足条件．当m＜0时，要使g（x）≤h（x）的整数解只有2个，则满足，即，即，即﹣≤m＜﹣，即实数m的取值范围是[﹣，﹣），故选：B【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及利用构造法，构造函数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键．12．（2016•通州区一模）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数图象，由图象可知函数值随自变量的变化成轴对称性并且变化圆滑．由此即可排除A、C．D．【解答】解：观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点：①点P运动到周长的一半时，OP最大；②点P的运动图象是抛物线．设点M为周长的一半，A．当点P在线段OA上运动时，y=x，其图象是一条线段，不符合条件，B．满足条件．C．当点P在线段OA上运动时，y=x，其图象是一条线段，不符合条件，D．OM≤OP，不符合条件①，并且OP的距离不是对称变化的，因此排除选项D．故选：B．【点评】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力．13．（2016•栖霞市校级模拟）在实数集R上定义一种运算“*”，对于任意给定的a、b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a、b∈R，a*b=b*a；（2）对任意a、b∈R，a*0=a；（3）对任意a、b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）﹣2c．关于函数f（x）=x*的性质，有如下说法：①在（0，+∞）上函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为奇函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．其中所有正确说法的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据条件在③中令c=0得到a*b=ab+a+b从而得到f（x）的表达式，结合函数的奇偶性，单调性和最值的性质分别进行判断即可．【解答】解：①由新运算“*”的定义③令c=0，则（a*b）*0=0*（ab）+（a*0）+（0*b）=ab+a+b，即a*b=ab+a+b∴f（x）=x*=1+x+，当x＞0时，f（x）=x*=1+x+≥1+2=1+2=3，当且仅当x=，即x=1时取等号，∴在（0，+∞）上函数f（x）的最小值为3；故①正确，②函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵f（1）=1+1+1=3，f（﹣1）=1﹣1﹣1=﹣1，∴f（﹣1）≠﹣f（1）且f（﹣1）≠f（1），则函数f（x）为非奇非偶函数，故②错误，③函数的f′（x）=1﹣，令f′（x）=0则x=±1，∵当x∈（﹣∞，﹣1）或（1，+∞）时，f′（x）＞0∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）、（1，+∞）．故③正确；故正确的是①③，故选：C【点评】本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质，根据条件令c=0求出函数的解析式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．14．（2016•四川模拟）设f（x）满足：①任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）=0；②当x≥1时，f（x）=|x﹣a|﹣1，（a＞0），若x∈R，恒有f（x）＞f（x﹣m），则m的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（4，+∞）C．（3，+∞）D．（5，+∞）【分析】根据函数的对称性求出a的值，作出函数f（x）的图象，利用数形结合以及图象关系进行平移计算即可．【解答】解：∵任意x∈R，有f（x）+f（2﹣x）=0，∴f（2﹣x）=﹣f（x），则函数关于（1，0）点对称，当x=1时，f（1）+f（2﹣1）=0，即2f（1）=0，则f（1）=0，∵当x≥1时，f（x）=|x﹣a|﹣1，∴f（1）=|1﹣a|﹣1=0，则|a﹣1|=1，则a﹣1=1或a﹣1=﹣1，则a=2或a=0，∵a＞0，∴a=2，即当x≥1时，f（x）=|x﹣2|﹣1当x≤1时，﹣x≥﹣1，2﹣x≥1，即f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣（|2﹣x﹣2|﹣1）=1﹣|x|，x≤1，作出函数f（x）的图象如图：若f（x）＞f（x﹣m），则由图象知，将函数f（x）向右平移m个单位即可，由图象知，m＞4，故选：B【点评】本题主要考查函数图象的应用，根据函数的对称性求出函数的解析式，以及利用图象平移是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15．（2016•赤峰模拟）若函数，则f（f（1））的值为（）A．﹣10 B．10 C．﹣2 D．2【分析】先求f（1），再求f（f（1））即可．【解答】解：f（1）=2﹣4=﹣2，f（f（1））=f（﹣2）=2×（﹣2）+2=﹣2，故选C．【点评】本题考查了分段函数的应用及复合函数的应用．16．（2016春•义乌市期末）若函数f（x）在定义域上存在区间[a，b]（ab＞0），使f（x）在[a，b]上值域为[，]，则称f（x）在[a，b]上具有“反衬性”．下列函数①f（x）=﹣x+②f（x）=﹣x2+4x ③f（x）=sin x ④f（x）=，具有“反衬性”的为|（）A．②③B．①③C．①④D．②④【分析】根据条件得到若函数在区间[a，b]上具有“反衬性”，则等价为在区间[a，b]上，函数f（x）与y=有两个交点，且函数在区间上单调递减即可，作出对应的图象，利用数形结合进行判断即可．【解答】解：若函数f（x）在定义域上存在区间[a，b]（ab＞0），使f（x）在[a，b]上值域为[，]，则等价为函数f（x）与y=有两个交点，且函数在区间上单调递减即可．①若f（x）=﹣x+，作出函数f（x）与y=的图象，由图象知两个函数有两个交点，则f （x）具有“反衬性”，②若f（x）=﹣x2+4x，作出函数f（x）与y=的图象，由图象知两个函数有两个交点，但函数在交点对应的区间上不具单调性，则f（x）不具有“反衬性”，③f（x）=sin x，作出函数f（x）与y=的图象，由图象知两个函数有两个交点，函数在交点对应的区间上单调递减，则f（x）具有“反衬性”，④f（x）=，当2＜x＜3时，f（x）=f（x﹣1）=[﹣|x﹣2|+1]=﹣|x﹣2|+，当3＜x＜4时，f（x）=f（x﹣1）=[﹣|x﹣3|+]=﹣|x﹣2|+，作出函数f（x）与y=的图象，由图象知两个函数有两个交点，函数在交点对应的区间上不单调递减，则f（x）不具有“反衬性”，综上具有“反衬性”的函数是①③，故选：B【点评】本题主要考查与函数有关的新定义题目，正确理解条件结合数形结合，转化为函数f（x）与y=有两个交点，且函数在区间上单调递减是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．17．（2016春•杭州期末）函数f（x）=（++2）（+1）的值域是（）A．[2+，8]B．[2+，+∞）C．[2，+∞）D．[2+，4]【分析】容易得出f（x）的定义域为[﹣1，1]，并设，两边平方，根据x 的范围即可求出，且得出，从而得出，求导，根据导数在上的符号即可判断函数在上单调递增，从而得出y的范围，即得出函数f（x）的值域．【解答】解：f（x）的定义域为[﹣1，1]；设，则；∵﹣1≤x≤1；∴0≤1﹣x2≤1，；∴2≤t2≤4；∴，且，设y=f（x）；∴；∴，令y′=0得，，或0；∴在上单调递增；∴时，y取最小值，t=2时，y取最大值8；∴；∴原函数的值域为．故选A．【点评】考查函数值域的概念及求法，换元法求函数的值域，结合二次函数的图象求二次函数的值域，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及根据函数单调性求函数最值的方法．18．（2016春•华蓥市期末）已知函数f（x）=1﹣，g（x）=lnx，对于任意m≤，都存在n∈（0，+∞），使得f（m）=g（n），则n﹣m的最小值为（）A．e﹣B．1 C．﹣D．【分析】由题意可得1﹣=lnn；从而可得n=；令1﹣=t，t＜1；则m=t﹣，从而得到y=n﹣m=e t﹣t+；求导求函数的最小值即可．【解答】解：由m≤知1﹣≤1；由f（m）=g（n）可化为1﹣=lnn；故n=；令1﹣=t，t≤1；则m=t﹣，则y=n﹣m=e t﹣t+；故y′=e t+t﹣1在（﹣∞，1]上是增函数，且y′=0时，t=0；故y=n﹣m=e t﹣t+在t=0时有最小值，故n﹣m的最小值为1；故选：B．【点评】本题考查了函数恒成立问题，利用导数法以及换元法转化为求函数的最值是解决本题的关键．19．（2016春•湖州期末）已知函数f（x）=（x﹣）•cosx，x∈[﹣π，π]且x≠0，则下列描述正确的是（）A．函数f（x）为偶函数B．函数f（x）在（0，π）上有最大值无最小值C．函数f（x）有2个不同的零点D．函数f（x）在（﹣π，0）上单调递减【分析】A．根据函数奇偶性的定义进行判断，B．将函数分解为g（x）=x﹣，h（x）=cosx，讨论g（x）和h（x）的单调性和符号，进行判断，C．根据函数零点的定义解方程f（x）=0进行判断，D．将函数分解为g（x）=x﹣，h（x）=cosx，讨论g（x）和h（x）的单调性即可．【解答】解：A．函数的定义域关于原点对称，则f（﹣x）=（﹣x+）•cosx=﹣（x﹣）•cosx=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数．故A错误，B．当x∈（0，π）时，设g（x）=x﹣，h（x）=cosx，当x∈（0，1]时，g（x）＜0，且为增函数，h（x）为减函数，且h（x）＞0，此时f（x）为增函数，当x∈（1，）时，g（x）＞0，且为增函数，h（x）为减函数，且h（x）＞0，此时f（x）≥0，当x∈[，π）时，g（x）＞0，且为增函数，h（x）为减函数，且h（x）＜0，此时f（x）＜0，则函数f（x）为减函数无最小值，则函数存在极大值，同时也是最大值，故B正确，C．由f（x）=（x﹣）•cosx=cosx=0得cosx=0或x2﹣1=0，即x=±1或x=或x=﹣，即函数f（x）有4个不同的零点，故C错误，D．当x∈（﹣π，0）时，设g（x）=x﹣，h（x）=cosx，当x∈（﹣π，﹣）时，g（x）和h（x）都是增函数且h（x）＜0，g（x）＜0，此时f（x）为减函数，当x∈（1，π）时，g（x）和h（x）都是增函数且h（x）＞0，g（x）＞0，此时f（x）为增函数，故函数f（x）在（﹣π，0）上不单调，故D错误，故选：B．【点评】本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断，涉及函数奇偶性，单调性以及函数与方程的应用，综合性较强，难度较大．二．解答题（共10小题）20．（2014•新课标II）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．21．（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．22．（2016•商丘三模）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2（f'（x）+）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：×××…×＜（n≥2，n∈N*）．【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；（2）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围．（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．【解答】解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【点评】本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况．含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题．23．（2015•江苏二模）已知函数，a为正常数．（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．（2）设h（x）=g（x）+x，依题意得出h（x）在（0，2]上是减函数．下面对x分类讨论：①当1≤x≤2时，②当0＜x＜1时，利用导数研究函数的单调性从及最值，即可求得求a 的取值范围．【解答】解：（1），∵，令f′（x）＞0，得x＞2，或，∴函数f（x）的单调增区间为，（2，+∞）．（2）∵，∴，∴，设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数．当1≤x≤2时，，，令h′（x）≤0，得：对x∈[1，2]恒成立，设，则，∵1≤x≤2，∴，∴m（x）在[1，2]上递增，则当x=2时，m（x）有最大值为，∴当0＜x＜1时，，，令h′（x）≤0，得：，设，则，∴t（x）在（0，1）上是增函数，∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0．综上所述，．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．24．（2015•北京校级模拟）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g （x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）当x∈（0，e]时，证明：．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围．。
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高一数学------函数的基本性质
一、、知识点：
本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。
在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。
本章知识结构
1、集合的概念
集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。
理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。
;
对象――即集合中的元素。
集合是由它的元素唯一确定的。
整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。
确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。
不同的――集合元素的互异性。
2、有限集、无限集、空集的意义
有限集和无限集是针对非空集合来说的。
我们理解起来并不困难。
我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。
理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。
几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。
:
3、集合的表示方法
（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：
①元素不太多的有限集，如{0，1，8}
②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3， (100)
③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，…，n，…}
●注意a与{a}的区别
●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。
（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。
但关键点也是难点。
学习时多加练习就可以了。
另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。
如{x|y＝x2}， {y|y＝x2}，{（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。
}
4、集合之间的关系
●注意区分“从属”关系与“包含”关系
“从属”关系是元素与集合之间的关系。
“包含”关系是集合与集合之间的关系。
掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“
”等符号，会用Venn 图描述集合之间的关系是基本要求。
●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。
5、集合的运算
集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。
在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。
一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。
同时，我们还要掌握它们的运算性质： 》
A B A B A A A A
A A A
B B A =⇔⊆Φ
=Φ=Φ==
B B A B A A
A A A
A A A
B B A =⇔⊆=Φ=Φ== U A
C B B C A B A A
A C C A C A U
A C A U U U U U U =⇔Φ
=⇔⊆=Φ
== )(
还要尝试利用Venn 图解决相关问题。
一、典型选择题 1．在区间
上为增函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
（考点：基本初等函数单调性） 2．函数是单调函数时，的取值范围 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
《
（考点：二次函数单调性） 3．如果偶函数在
具有最大值，那么该函数在
有 （ ）
A ．最大值
B ．最小值
C ．没有最大值
D ． 没有最小值
（考点：函数最值） 4．函数
，
是（ ）
A ．偶函数
B ．奇函数
C ．不具有奇偶函数
D ．与有关
（考点：函数奇偶性） 5．函数
在和都是增函数，若，且那么（ ）
;
A ．
B ．
C ．
D ．无法确定
（考点：抽象函数单调性） 6．函数
在区间是增函数，则的递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
（考点：复合函数单调性）
7．函数在实数集上是增函数，则（）
A．B．C． D．
（考点：函数单调性）
！
8．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（）
A． B．
C．D．
（考点：函数奇偶、单调性综合）
9．已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（）
A． B．
C． D．
（考点：抽象函数单调性）
、
二、典型填空题
1．函数在R上为奇函数，且，则当， .
（考点：利用函数奇偶性求解析式）
2．函数，单调递减区间为，最大值和最小值的情况为 .
（考点：函数单调性，最值）
三、典型解答题
1．（12分）已知，求函数得单调递减区间.
（考点：复合函数单调区间求法）
!
2．（12分）已知，，求.
（考点：函数奇偶性，数学整体代换的思想）
3．（14分）在经济学中，函数的边际函数为，定义为，某公司每月最多生产100台报警系统装置。
生产台的收入函数为（单位元），其成本函数为
（单位元），利润的等于收入与成本之差.
①求出利润函数及其边际利润函数；
②求出的利润函数及其边际利润函数是否具有相同的最大值；
③你认为本题中边际利润函数最大值的实际意义.
（考点：函数解析式，二次函数最值）
4．（14分）已知函数，且，，试问，是否存在实数，使得在上为减函数，并且在上为增函数.
—
（考点：复合函数解析式，单调性定义法）
参考答案
;
一、BAABDBAAD
二、1．；2．和，；
三、3．解：函数，，
故函数的单调递减区间为.
4．解：已知中为奇函数，即=中，也即，
，得，.
5．解：.
@
；
，故当62或63时，74120（元）。
因为为减函数，当时有最大值2440。
故不具有相等的最大值.
边际利润函数区最大值时，说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大.
6．解：.
由题设当时，
，，则当时，
，，则故.。