复合函数单调性的判断
复合函数的单调性的判断方法
复合函数的单调性的判断方法
复合函数的单调性判断：依y=f(u)，u=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
判断复合函数单调性的步骤
⑴求复合函数的定义域；
⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；
⑶判断每个常见函数的单调性；
⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
⑸求出复合函数的单调性。
复合函数的单调性判断说明
1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域。
2、函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。
(完整版)复合函数单调性的判定方法
复合函数单调性的判定方法定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同．证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x1)]＞f[g(x2)]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数．(2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x1)]＜f[g(x2)]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数．由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性．例1讨论函数f(x)＝log0.5(x2＋4x＋4)的单调性．解 f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为y＝log0.5u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋∞)上为增函数．又y＝log0.5u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间．解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u ＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数．推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数．(1)若0＜a＜1．当x＜－1时，在构成复合函数的三个函数中，u和v＝x2－x－2是减函数，则f(x)是增函数．当x＞2时，y＝logau是减函数，则f(x)在构成复合函数的三个函数中，只有y＝loga是减函数．(2)若a＞1，当x＜－1时，构成复合函数的三个函数中只有一个函数y＝logu是减函数，则f(x)是减函数．当x＞2时，构成a复合函数的三个函数都是增函数，则f(x)是增函数．。
补充：复合函数的单调性
拓展训练
题型2.解不等式
例3：已知：f(x)是定 解：依题意，f ( x 1) f (x2 1)
义在[－1,1]上的增函数，可转化为不等式组
且f(x－1)<f(x2－1),
1 x 1 1 易错点
求x的取值范围。
1 x2 1 1
注： 在利用函数的
单调性解不等式的 时候，一定要注意 定义域的限制。
这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场景法
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松；
y
y x
O
x
y x在定义域 0, 上是增函数。
本节新知识
1.在某个区间上，若f(x),g(x)同为增函数， 则f(x)+g(x)也为增函数；
2.在某个区间上，若f(x),g(x)同为减函数， 则f(x)+g(x)也为增函数；
3.在某个区间上，若f(x)为增函数，g(x)为减函 数，则f(x)-g(x)也为增函数；
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用身体记忆法时，可以与前面提到过的五感法结合起来，比如产生 一 些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，记忆印象会更加深刻；
TIP2：采用一些怪诞夸张的方法，比如上面例子中腿上面生长出了很多植物， 正 常在我们常识中不可能发生的事情，会让我们印象更深。
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故事法
例2.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。 解：x2 4x 3 0，即x2 4x 3 0，
第十八讲 复合函数的单调性
3．y=logax的单调区间 若a>1，在（0,+∞）上为增函数； 若0<a<1，在（0,+∞）上为减函数。
二．根据变量的增减判断函数的单调性
在某个区间上，x、y同增同减函数为增函数； 在某个区间上，x、y一增一减函数为减函数。 三．单调区间和定义域的关系
单调区间不能超过定义域，研究单调性必须 在定义域内进行。
的函数的单调区间时：
（1）求出函数的定义域； （2）把函数分解为t=ax2+bx+c和（y=q t ） y=logat两个函数； （3）根据定义域作出函数t=ax2+bx+c简图和 函数（y= q t ）y=logat简图；
（4）比较两个图象，根据“同增异减”的 规律确定原函数的单调区间。
例1 求函数y= 2x2 2x2 的单调区间。
把上例中两个函数的图象比较可得结论：
增、增 增； 减、增 减.
例2 求函数 y= log1 (x2 2x 3) 的单调区间。
2ห้องสมุดไป่ตู้
把上例中两个函数的图象比较可得结论：
减、减 增； 增、减 减
概括起来：同增异减。
四．求复合函数单调区间的方法 求形如（y= qax2 bx c）y= logq(ax2 bx c)
第十八讲 复合函数的单调性
一．基本函数的单调区间
1．y=a(x+h)2+k的单调区间
若a>0，在(-∞,-h)上为减函数，在(-h,+∞) 上为增函数；
若a<0，在(-∞,-h)上为增函数，在(-h,+∞) 上为减函数。
2．y=ax的单调区间 若a>0，在（-∞,+∞）上为增函数；
复合函数单调性的判断
复合函数单调性的判断))((x g f y =以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.1求函数y=21log （4x-x 2）的单调区间.2、 求函数()231x y =的单调性及最值3.在区间(－∞，0)上为增函数的是 A.)(log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =－(x +1)2 D.y =1+x 23、求函数)12(log )(21+=x x f 的单调区间.4、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________；（2）函数)34(log )(221-+-=x x x f 的递减区间为_________5、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （ ）（A ）)(1x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 21x f y = （D ）2)]([x f y =7、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是 （ ）（A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）12+-=x y （D ）x y -=120.函数342-+-=x x y 的单调增区间是 A.［1，3］ B.［2，3］ C.［1，2］ D.(－∞，2]21.函数y=在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。
21.若函数f (x )在R 上是减函数，那么f (2x －x 2)的单调增区间是 A.(－∞，1］ B.［－1，+∞) C.(－∞，－1］ D.［1，+∞)31.函数y=log a2(x2-2x-3)当x<-1时为增函数，则a的取值范围是A.a>1B.-1<a<1C.-1<a<1且a 0D.a>1或a<-1例7.若f(x)=log a(3-ax)在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是_______。
复合函数的单调性
复合函数类型一：指数式讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性.解：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内是减函数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．举一反三：1.求函数2323x x y -+-=的单调区间. 【解析】设u=-x 2+3x-2， y=3u ，其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增，u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323x x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.2.求函数2-2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间. 【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()(-1)x xf x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数；当0<a<1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()xxf x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.类型二：对数式1.求函数y=log 0.5(x 2+4x+3)的单调区间.解析：令y= log 0.5u ，u= x 2+4x+3，由x 2+4x+3>0知函数的定义域为),1()3,(∞+-⋃--∞∈x ，因y= log 0.5u 在u ∈(0,+∞)上是减函数，而u= x 2+4x+4在x ∈(-∞，-3)上是减函数，在(-1，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，函数y=log 0.5(x 2+4x+4) 在x ∈(-∞，-3)上是增函数；在x ∈(-1，+ ∞)上是减函数.举一反三：【变式1】函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，13 D.(3，＋∞)解析：由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a ＞1，又u ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3. 【变式2】求函数()22log 4y x =+的单调区间．【解析】设24t x =+，则244t x =+≥，∵ y=2log t 为增函数，2222log log (4)log 42t x ∴=+≥=()22log 4y x ∴=+的值域为[)2,+∞．再由：22log (4)y x =+的定义域为R24t x ∴=+在()0,+∞上是递增而在(),0-∞上递减，而2log y t =为增函数∴ 函数y=22log (4)x +的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.。
复合函数的单调性与奇偶性
复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下:
1.若函数 的定义域都是关于原点对称的,那么由 的奇偶性得到 的奇偶性的规律是:
函数
奇偶性
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
即当且仅当 和 都是奇函数时,复合函数 是奇函数.
2.若函数 在区间 上是单调函数,函数 在 或 上也是单调函数,那么复合函数 在区间 上是单调函数,其单调性规律是:
函数
单调性
增函数
增函数
减函数
减函数
增函数
减函数
增函数
减函数
增函数
减函数
减函数
增函数
即 , 增减性相同时, 为增函数,增减性相反时, 为减函数.
复合函数单调性的判断方法
【解】 （1）定义域： 0，
（4）外函数 y 2u 2 2u 1在
（2）此函数是由下列函数复合所得
y 2u 2 2u 1，（ u x） log 1 x
2
（3）内函数 （ u x） log 1 x 在
2
1 1 u ， 单调递减， u ， 单调递增 2 2 2 1 ， （5）原函数在 u ， x 2 2
增减相异复合减
贰
判断
HI
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
【解】 （1）定义域： ， 1 3，
（2）还原复合函数的复合过程：
x 2， 单调递增
（4） y log 1 u 在 u 0, 上单调递减
2
此函数是由下列函数复合所得
y log 1 u，（ u x） x 4x 3
2 2
（5） y log 1 x 2 4 x 3 在
2
u x） x 4x 3 在 （3）内函数 （
2
1 单调递增， 3， 单调递减 ，
复合函数 单调性的判断方法
复合函数单调性的判断方法
1
1
2
定义
2
判断
一
定义
HI
设 y f (u ) 定义域为Ａ， u g ( x) 的值域为Ｂ 若B A 则 y 关于 x 的函数 y f [ g ( x)] 叫做 函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间变量
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复合函数单调性的判断))((x g f y = )(u f y =
增 ↗ 减 ↘ )(x g u = 增 ↗
减 ↘ 增 ↗
减 ↘ ))((x g f y = 增 ↗ 减
↘ 减 ↘ 增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
1求函数y=2
1log （4x-x 2）的单调区间.
2、 求函数
()
231x y =的单调性及最值
3.在区间(－∞，0)上为增函数的是 A.
)(log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =－(x +1)2 D.y =1+x 2
3、求函数
)12(log )(21+=x x f 的单调区间.
4、（1）函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________；
（2）函数)34(log )(22
1-+-=x x x f 的递减区间为_________
5、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （ ）
（A ）)(1x f y -
= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 21x f y = （D ）2)]([x f y =
7、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是 （ ）
（A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）1
2+-
=x y （D ）x y -=1
20.函数
342-+-=x x y 的单调增区间是 A.［1，3］ B.［2，3］ C.［1，2］ D.(－∞，2]
21.函数y=
在区间[4，5]上的最大值是_______，最小值是_______。
21.若函数f (x )在R 上是减函数，那么f (2x －x 2
)的单调增区间是 A.(－∞，1］ B.［－1，+∞) C.(－∞，－1］ D.［1，+∞)
31.函数y =log a 2(x 2-2x -3)当x <-1时为增函数，则a 的取值范围是
A.a >1
B.-1<a <1
C.-1<a <1且a ≠0
D.a >1或a <-1
例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是_______。
例6.已知函数f(x)=
(x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是_____
例6.已知函数f(x)=
(x 2-ax+3a)在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是
_______。
分析如下：
令u=x 2-ax+3a ，y=u 。
因为y=u在(0，+∞)上是减函数
∴ f(x)=(x2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数
u=x2-ax+3a在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u＞0。
对称轴x=在2的左侧或过(2，0)点，且u(2)＞0。
-4＜a≤4
例7.若f(x)=log a(3-ax)在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是_______。
令u=-ax+3＞0，y=log a u，由于a作对数的底数，所以a＞0且a≠1，由u=-ax+3＞0得x
＜。
在[0，1]上，且u是减函数。
∴ f(x)=log a(3-ax)在[0，1]上是减函数。
y=log a u是增函数，且[0，1](-∞，]
1＜a＜3
所以a的取值范围是(1，3)。