坐标曲线积分
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对坐标的曲线积分
4、性质 性质1 设、 为常数，则 L [F1 ( x, y ) F2 ( x, y )] dr L F1 ( x, y ) dr L F2 ( x, y ) dr 性质2 若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧 L1和L2，则 L F ( x, y) dr L1 F ( x, y) dr L2 F ( x, y) dr 性质3 设L是有向光滑曲线弧，L-是L的反向曲线弧， 则
时，点M ( x, y )从L的起点A沿L运动到终点B， (t )、 (t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数 , 且 ' (t ) ' (t ) 0，则曲线积分 P( x, y )dx Q( x, y )dy
2 2 L
存在, 且 : P( x, y )dx Q( x, y )dy
L
2 xydx x 2 dy 2 xydx x 2 dy
y 2 ydy
1 4 2 1 y dy 5 1
y 4 2 5 1 5
例2 计算 y 2 dx 其中L为 :
L
(1)半径为a、圆心为原点, 按逆时针方向绕行的上半圆周；
(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0)的直线段.
解:(1) L的参数方程 :
x a cos y a sin
3
4 3 a 3 0
x由a变到 a 0
y dx
2 L
a 0dx a
注意: 由此题可见，当两个曲线积分的被积函数相同，
起点、终点相同时，沿不同路径的曲线积分并不相等.
例3 计算 2 xydx x 2 dy, 其中L为 :
L
第2节 对坐标的曲线积分
(2) 抛物 线x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一 段弧;
(3) 有向折线OAB，这里O, A, B依次是点(0,0)
(1,0),(1,1).
解 (1) 化为对 x 的积分. L : y x2 , x从0变到1,
y x2
B(1,1)
原式
1
(2x
x2
x2
2 x )dx
0
4 1 x3dx 1. 0
解（3）原式 2xydx x2dy OA 2xydx x2dy AB
x y2 B(1,1)
A(1,0)
B(1,1) 17
A(1,0)
在 OA 上, y 0, x从 0 变到 1 ,
2xydx x2dy
1
(2x
0
x2
0)dx
OA
0
B(1,1)
0.
在 AB 上, x 1, y 从 0 变到 1 ,
T {1,2x}
x x
y
x2
方向余弦
cos 1 , cos 2x .
1 4x2
1 4x2
P( x, y)dx Q( x, y)dy P( x, y) 2xQ( x, y) ds
L
L
1 4x2
思考: 若L反向?
26
例8. 设 M max P 2 Q2 , s 是曲线段 L 的长度 ,
A(1,0)
2xydx x2dy
1
(2 y 0 1)dy 1.
AB
0
原式 0 1 1.
由此知: 虽然路径不同, 但积分值相同.
问题: 起点和终点相同的曲线积分值是否都相同? 18
例3计算 y2dx, 其中L为 L
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; (2) 从点 A(a,0) 沿 x 轴到点 B(a,0) 的直线段.
对坐标的曲线积分
对坐标的曲线积分
坐标的曲线积分是指对于曲线上的各个点，按照其在坐标系中的
坐标值进行积分的过程。
这种方法常用于研究曲线的长度、变化率、
等量关系等问题。
具体来说，在平面直角坐标系中，对于一条曲线C，其通常可以
表示为 y=f(x)，其中f(x)是曲线的方程。
对于该曲线上任意一点
(x,y)，都可以通过对x、y分别积分的方式得到其到曲线起点的弧长。
具体而言，对于一条曲线C，其长度可以表示为：
L = ∫a~b √(1+f'(x)²)dx
其中f'(x)表示f(x)的导数，a,b是曲线C的起点和终点。
在曲线积分中，坐标的变化直接与曲线的弧长和函数值相关，因
此坐标的曲线积分往往可以用于描述曲线在不同位置上的变化情况。
例如，在应用物理中，我们经常需要计算物体在曲线轨道上的运动情况，这时就需要用到坐标的曲线积分。
值得注意的是，坐标的曲线积分可以用于任意维度的空间中，例
如在三维坐标系中，对于曲线C可以表示为
(x,y,z)=(f(t),g(t),h(t))，其长度可以表示为：
L = ∫a~b √(f'(t)²+g'(t)²+h'(t)²)dt
总之，坐标的曲线积分是一种基本的数学工具，在物理学、几何学、计算机科学等领域得到了广泛应用。
熟练掌握坐标的曲线积分，
可以更好地理解和解决涉及曲线的各种问题。
高等数学之对坐标的曲线积分
高 等 数 学 电 子 案
例1 计算 L xydx
,其中L为抛物线y2=x上从点A(1,-1)到点
y
B(1,1) o A(1,-1)
B(1,1)的一段弧.
解法一：把x作为参数,利用对x的定积分
x
来计算,把L分成AO和OB两段,被积函数
可用积分路线的方程来处理.
xydx
L
AO
xydx xydx
由于
xi xi xi 1 (ti ) (ti 1 ) xi ( i)ti
应用微分中值定理，有 其中 ti ti ti 1 , i 在 ti 1 与 t i 之间，于是
L
P( x, y )dx lim P ( i ), ( i ) ( i)ti
L 0 i 1 i i
n
i
为P(x,y)对坐标x的曲线积分； 当P=0 时,
Q( , )y Q( x, y)dy lim
L 0 i 1 i i
n
i
为Q(x,y)对坐标y的曲线积分.
高 等 上述定义可推广到空间曲线Γ的情况： 数 学 P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz 电 n 子 [P(i ,i , i )xi Q(i ,i , i )yi R(i ,i , i )zi ] 案 lim 0
P( x, y)dx 存在，并且有
L
P( x, y)dx P (t ), (t ) (t )dt
L
同理可证：
Q( x, y)dx Q (t ), (t ) (t )dt
L
高 等 (1)式推广到空间曲线,得到如下公式： 数 学 设 x x(t ), y y(t ), z z(t ), 则 电 子 Pdx Qdy Rdz 案
高数--对坐标的曲线积分
y
• B(1,1) y2 = x
x = y 2 dx = 2 ydy , y从− 1到1 到
∫L
xy d x = ∫ y 2 ⋅ y ⋅ 2 ydy
−1
1
O
x
• A(1,−1)
= 2 ∫ y4 dy −
1
1
4 = 5
15
对坐标的曲线积分
例 计算 ∫ xdx + ydy + ( x + y − 1)dz
17
对坐标的曲线积分
计算 ∫ x 2dx + ( y − x )dy , 其中
L
(2) L是x轴上由点 A(a ,0) 到点B( − a ,0) 的线段 的线段. 是 轴上由点 (2) L的方程为 y = 0, x从a到− a. 的方程为 原式= 原式
∫a
−a
x dx
2
y
2 3 =− a 3
B(−a,0) O
Γ
其中Γ是由点 到点B(2,3,4)的直线段 的直线段. 其中 是由点A(1,1,1)到点 是由点 到点 的直线段
x −1 y −1 z −1 = = 直线AB的方程为 解 直线 的方程为 1 2 3
化成参数式方程为 x = 1+ t, y = 1 + 2t, z = 1+ 3t + A点对应 t = 0, B点对应 t = 1, 于是 点对应 点对应
i =1
n
取极限 W = lim [ P (ξ i ,η i ) ⋅ ∆xi + Q(ξ i ,η i ) ⋅ ∆yi ] ∑
λ→0i =1
精确值
3
对坐标的曲线积分
二、对坐标的曲线积分的概念
1. 定义 面内从点A到点 的一条有向 设L为xOy面内从点 到点 的一条有向光滑 为 面内从点 到点B的一条有向光滑 曲线弧, 曲线弧 函数P ( x , y ), Q ( x , y )在L上有界 用L上的点 上的点: 上的点 上有界. 上有界 M 1 ( x1 , y1 ), M2 ( x2 , y2 ), LM n −1 ( x n −1 , y n−1 ) 分成n个有向小弧段 把L分成 个有向小弧段 Mi −1 Mi (i = 1,2,L, n; 分成
• B(1,1) y2 = x
x = y 2 dx = 2 ydy , y从− 1到1 到
∫L
xy d x = ∫ y 2 ⋅ y ⋅ 2 ydy
−1
1
O
x
• A(1,−1)
= 2 ∫ y4 dy −
1
1
4 = 5
15
对坐标的曲线积分
例 计算 ∫ xdx + ydy + ( x + y − 1)dz
17
对坐标的曲线积分
计算 ∫ x 2dx + ( y − x )dy , 其中
L
(2) L是x轴上由点 A(a ,0) 到点B( − a ,0) 的线段 的线段. 是 轴上由点 (2) L的方程为 y = 0, x从a到− a. 的方程为 原式= 原式
∫a
−a
x dx
2
y
2 3 =− a 3
B(−a,0) O
Γ
其中Γ是由点 到点B(2,3,4)的直线段 的直线段. 其中 是由点A(1,1,1)到点 是由点 到点 的直线段
x −1 y −1 z −1 = = 直线AB的方程为 解 直线 的方程为 1 2 3
化成参数式方程为 x = 1+ t, y = 1 + 2t, z = 1+ 3t + A点对应 t = 0, B点对应 t = 1, 于是 点对应 点对应
i =1
n
取极限 W = lim [ P (ξ i ,η i ) ⋅ ∆xi + Q(ξ i ,η i ) ⋅ ∆yi ] ∑
λ→0i =1
精确值
3
对坐标的曲线积分
二、对坐标的曲线积分的概念
1. 定义 面内从点A到点 的一条有向 设L为xOy面内从点 到点 的一条有向光滑 为 面内从点 到点B的一条有向光滑 曲线弧, 曲线弧 函数P ( x , y ), Q ( x , y )在L上有界 用L上的点 上的点: 上的点 上有界. 上有界 M 1 ( x1 , y1 ), M2 ( x2 , y2 ), LM n −1 ( x n −1 , y n−1 ) 分成n个有向小弧段 把L分成 个有向小弧段 Mi −1 Mi (i = 1,2,L, n; 分成
对坐标的曲线积分的概念二对坐标的曲线积分的计算法三两类曲线-
把 L分成n个有向弧段 Mi1Mi i 1,2, ,n, 设
Mi1Mi xii yi j, 并记为所有小弧段长度的最
大者, 在 Mi1Mi 上任取一点 i ,i , 如果极限
n
lim P
0 i1
i ,i
xi
存在, 则称此极限为函数 P(x, y) 在有向线段 L上对坐 标 x的积分, 记为
作用下, 沿曲线 L 从点 A移到点B, 则力F 所做的功为
W yzdx 3xzdy 2xydz.
而在曲线上, 有
dy dz
x dx, a2 x2
z
y a2 x2
yz0
O
y
x
W yzdx 3xz`dy 2xydz
yzdx xzdy
a
a2
x2
x
a2 x2
a
a a2dx 2a3. a
x dx
a2 x2
三、两类曲线积分的联系
变到 时, 点 M x, y 从 L的起点 A沿L移动到L 的终
点B, 则有
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
b
a
P
(t
),
(t
)
(t
)
Q
(t
),
(t
)
(t
)dt.
（8.7）
下面来推导该公式.
因 P x, y,Qx, y在 L 上连续, 故所给的曲线积分
定存在. 在 L上取取一一列点 A M 0 , M1, M 2 , , M n1,
故, 单位切向量为
y
e
1 1,2x.
1 4x2
y x2
O
x
2.变力沿曲线的作功问题
设一质点从点 A沿光滑的平面曲线 L移动到点 B, 在移
二,对坐标的曲线积分的计算法
0
三、两类曲线积分间的联系
)(t, 记(t,x)( ,y)分别表示切线向量与 x 轴 y 轴 , )( ) 正向的夹角. 正向的夹角.于是由示意图可知
y t dl dx dy B
dx = dlcos(t, x), dy = dlsin(t, x) = dlcos(t, y),
A
则
O x
∫
L
Pdx + Qdy = ∫ [P cos(t , x ) + Q cos(t , y )]dl .
第五模块 二重积分与曲线积分
第四节 对坐标的曲线积分
一、对坐标曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分间的联系
一、对坐标曲线积分的概念
y
变力沿曲线所作的功. 引例 变力沿曲线所作的功 F(ξi, ηi) 设一质点 在力 Mi (ξi, ηi) F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j Mi -1 ∆yi 的作用下， xy 平面上沿曲线 L 的作用下， ∆ xi 在 M2 A=M0 M1 求变力 F(x, y) 从点 A 移动到点 B， ， O x 所作的功. 所作的功 个有向子弧段， 将有向弧段 L 任分为 n 个有向子弧段， 即用点 A = M0(x0, y0)， M1(x1, y1)，…， Mn(xn, yn) = B 把有 ， ， 个有向小段， 向曲线 L 分成 n 个有向小段， 第 i 段有向曲线弧段为 Mi -1Mi (i = 1, 2, …, n)，它相应的有向弦段为 ， Mi -1Mi = (∆xi)i + (∆yi)j ， ∆ ∆
∫ α β ∫ Q( x, y)dy = ∫α Q[x(t), y(t)]y′(t)dt.
L
L
三、两类曲线积分间的联系
)(t, 记(t,x)( ,y)分别表示切线向量与 x 轴 y 轴 , )( ) 正向的夹角. 正向的夹角.于是由示意图可知
y t dl dx dy B
dx = dlcos(t, x), dy = dlsin(t, x) = dlcos(t, y),
A
则
O x
∫
L
Pdx + Qdy = ∫ [P cos(t , x ) + Q cos(t , y )]dl .
第五模块 二重积分与曲线积分
第四节 对坐标的曲线积分
一、对坐标曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分间的联系
一、对坐标曲线积分的概念
y
变力沿曲线所作的功. 引例 变力沿曲线所作的功 F(ξi, ηi) 设一质点 在力 Mi (ξi, ηi) F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j Mi -1 ∆yi 的作用下， xy 平面上沿曲线 L 的作用下， ∆ xi 在 M2 A=M0 M1 求变力 F(x, y) 从点 A 移动到点 B， ， O x 所作的功. 所作的功 个有向子弧段， 将有向弧段 L 任分为 n 个有向子弧段， 即用点 A = M0(x0, y0)， M1(x1, y1)，…， Mn(xn, yn) = B 把有 ， ， 个有向小段， 向曲线 L 分成 n 个有向小段， 第 i 段有向曲线弧段为 Mi -1Mi (i = 1, 2, …, n)，它相应的有向弦段为 ， Mi -1Mi = (∆xi)i + (∆yi)j ， ∆ ∆
∫ α β ∫ Q( x, y)dy = ∫α Q[x(t), y(t)]y′(t)dt.
L
L
11-2 对坐标的曲线积分
第二讲 对坐标的曲线积分
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
P
[
x,j
(
x)]
+
Q
[
x,j
(
x)]j
¢(
x
)}
dx
(2) L：x =y ( y) （y=c 对应L的起点，y=d 对应L的终点）
òL
P(
x,
y
)dx
+
Q(
x,
y)dy
=
d
òc
{P
[y
(
y),
y
]y
¢(
y)
+
Q
[y
(
y
),
y]}
dy
Ø推广
空间曲线弧Γ： x = j(t), y =y (t), z = w(t)
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
变力沿曲线作功
y
B
设一质点在xoy面内从点A沿曲线
L移动到点B
Dyi
力F! ( x,
y)
=
P( x,
! y)i
+
Q( x,
y)
! j
变力所作的功 ?
A o
L
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
P
[
x,j
(
x)]
+
Q
[
x,j
(
x)]j
¢(
x
)}
dx
(2) L：x =y ( y) （y=c 对应L的起点，y=d 对应L的终点）
òL
P(
x,
y
)dx
+
Q(
x,
y)dy
=
d
òc
{P
[y
(
y),
y
]y
¢(
y)
+
Q
[y
(
y
),
y]}
dy
Ø推广
空间曲线弧Γ： x = j(t), y =y (t), z = w(t)
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
变力沿曲线作功
y
B
设一质点在xoy面内从点A沿曲线
L移动到点B
Dyi
力F! ( x,
y)
=
P( x,
! y)i
+
Q( x,
y)
! j
变力所作的功 ?
A o
L
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{
P[
(t
),
(t
),
(t
)]
(t
)
Q[(t), (t),(t)] (t)
R[(t), (t),(t)](t)}dt
(4) 两类曲线积分之间的联系：
设有向平面L曲 ：线 xy弧 ((tt))为 ,
L上点 (x, y)处的切线向量为 的 ,方 , 向角
则 L P Q d x L d ( P c y o Q c s o ) ds s
2.存在条件： 当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲 L 线 上连续 , 第时 二类曲线. 积分存在
3.组合形式
LP(x, y)dxLQ(x, y)dy
LP(x, y)dxQ(x, y)dyLFds.
其 F P i Q j 中 ,d d i s d j x . y
4.推广
空间有向曲线弧PdxQdyRd. z
M i 1 M i ( x i ) i ( y i ) j .
取 F ( i , i ) P ( i , i ) i Q ( i , i ) j , y F(i,i)M
i
B
Mn1
W i F (i,i)M i 1 M i,
L yi
Mi1 x i
M2
A M1
即 W i P ( i ,i ) x i Q ( i ,i ) y i . o
x
n
求和 W Wi
近似值
i1
n
[P (i, i) x i Q (i, i) y i].
i 1
n
取极限 W l 0 ii 1 m [P (i,i) x i Q (i,i) y i] .
精确值
二、对坐标的曲线积分的概念
1.定义 设L为 xoy 面内从点 A到点 B的一条有 向光滑曲线弧 , 函数 P ( x, y), Q( x, y)在 L 上有界 . 用 L上的点 M 1( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ), , M n1 ( xn1 , yn1 )把 L分成 n个有向小弧段 M i1M i (i 1,2, , n; M 0 A, M n B ). 设 xi xi xi1 , yi yi yi1 , 点( i , i )为 M i1M i 上任意取定的点 . 如果当各小弧段 长度的最大值 0时 ,
Adr
Atds,
其 A 中 {P ,Q ,R } ， t { c ,c o , o c s } s o,s
上点 (x,y,z)处的单位切向 d r t d { d s,d x ,d y }有z 向曲线元；
A t为A 向 在量 t 向 上量 的 . 投影
例1 计算 xy,d 其 xL 中 为抛y物 2x上 线从 L A(1,1)到 B(1,1)的一. 段弧B(1,1)
L P(x, y)dx Q(x, y)dy存在,
且LP(x, y)dxQ(x, y)dy
{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt
特殊情形
(1 )L :yy(x ) x 起a 点 ，为 终 b . 点为
则 P Q d x b { d P [ x ,y y ( x ) Q ] [ x ,y ( x )y ( ] x ) d . }x
其中cos
2(t)(t ) 2(t),cos
(t) , 2(t)2(t)
（可以推广到空间曲线上 ）
上点 (x, y,z)处的切线向量 为的 ,,方 , 向
则 P Q d R x d ( P d c y z o Q c s o R c s ) d o
可用向量表示
Atds
n
P(i,i )xi的极限存在 , 则称此极限为函
i1
数P(x, y)在有向曲线弧 L上对坐标x的曲线
积分(或称第二类曲线积,分记）作
n
L
P(x,
y)dx
lim
0 i1
P(i
,i
)xi
.
n
类似地定义 LQ (x,y)d yl i0m i1Q (i, i) yi.
其中 P(x,y), Q(x,y)叫做被积 , L叫函 积分数 弧段.
LPd Q x dL y 1Pd Q x dL 2 yPd Q x.dy
(2) 设 L是有向 ,L 曲 是L 线 与 方弧 向相反 有向 曲 , 则线 弧
L P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d L y P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d
一、问题的提出 y
B
实例: 变力沿曲线所作的功
M
y
i
i
Mn1
L Mi1 xi
L:A B ,
M2
A M 1
F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j o
x
常力所作的功 W F A.B
分割 A M 0 , M 1 ( x 1 , y 1 ) , M , n 1 ( x n 1 , y n 1 ) M n , B .
n
P (x ,y,z)d x l i0im 1P (i,i, i) x i.
n
Q (x ,y,z)d y l i0im 1Q ( i, i, i) yi.
n
R (x ,y,z)d zl i0im 1R ( i, i, i) zi.
5.性质
(1)如果 L 分 把 L 1 成 和 L 2,则
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
三、对坐标的曲线积分的计算
定理 设P(x, y),Q(x, y)在曲线弧L上有定义且连
Байду номын сангаас
续,
L的参数方程为xy
(t), (t),
当参数t单调地由变
到时,点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具一有阶连
续导数,且2(t) 2(t) 0,则曲线积分
解 (1)化为对 x的定积分y， x.
y2 x
xy dxxy dx xydx
L
AO
OB
0
1
1x(x)d x0xxdx
A(1,1)
2
13
x2dx
4.
0
5
(2)化为对 y的定积分， x y2, y从1到 1.
L
a
(2 )L :xx (y) y起c 点 ，为 终 d. 点为
则 P Q d d x { d P [ x ( y y )y ] x , ( y ) Q [ x ( y )y ] , d . }
L
c
x(t) (3)推广 : y(t), t起点 ,终点 .
z(t)
Pdx Qdy Rdz