第二章 2.2.1(一)《椭圆及其标准方程(一)》

2．2.1椭圆及其标准方程(一)

学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．

知识点一椭圆的定义

思考1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？

答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．

思考2在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否为椭圆？

答案笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长．绳长大于两图钉间的距离．若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆．若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆．

梳理(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：

P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．

(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：

条件结论

2a>|F1F2|动点的轨迹是椭圆

2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段F1F2

2a<|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存

在

知识点二椭圆的标准方程

思考若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？

答案以两定点的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)．设P(x，y)，依题意得|P A|＋|PB|＝10, 所以(x－3)2＋y2＋

(x＋3)2＋y2＝10，即点P的轨迹方程为x2

25＋

y2

16＝1.

梳理(1)标准方程的两种形式

形式一：x2

a2＋y2

b2＝1(a>b>0)，表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程，

其中b2＝a2－c2.

形式二：y2

a2＋x2

b2＝1(a>b>0)，表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程，

其中b2＝a2－c2.

(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系

椭圆在坐标系中的位

置

标准方程x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)

y2

a2＋

x2

b2＝1(a>b>0)

焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系b2＝a2－c2

类型一椭圆定义的应用

例1 点P (－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，判断圆心M 的轨迹．

解 方程x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为：(x －3)2＋y 2＝64，圆心为(3,0)，半径r ＝8.因为动圆M 与已知圆相内切且过P 点，所以|MC |＋|MP |＝r ＝8，根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆．

反思与感悟 椭圆定义的双向运用

(1)判断：符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆．

(2)求值：椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a . 跟踪训练1 (1)已知A (－5,0)，B (5,0)．动点C 满足|AC |＋|BC |＝10，则点C 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．线段

D ．点

(2)已知定点A (0，－1)，点B 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16上运动，F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于P .则动点P 的轨迹E 为____________． 答案 (1)C (2)以A ，F 为焦点的椭圆 解析 (1)因为|AC |＋|BC |＝10＝|AB |， 所以点C 的轨迹是线段AB ，故选C.

(2)由题意得|P A |＝|PB |.所以|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝4>|AF |＝2，所以动点P 的轨迹E 是以A ，F 为焦点的椭圆． 类型二 求椭圆的标准方程

例2 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P (13，13)，Q (0，－1

2)的椭圆的标准方程．

解 方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆标准方程为：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)．

依题意有????? (13)2

a 2＋(13)2

b 2＝1，

0＋(－1

2)2b 2

＝1，

解得???

??

a 2

＝15，b 2＝14.

由a >b >0知不合题意，故舍去．

②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为： y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)．

依题意有?????

(13)2a 2＋(13)

2b 2＝1，

(－1

2)2a 2

＋0＝1，

解得???

??

a 2＝14，

b 2＝15.

所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 2

15

＝1.

方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 则?????

19m ＋19n ＝1，14n ＝1，

解得???

m ＝5，

n ＝4.

所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故标准方程为y 214＋x 2

15

＝1.

反思与感悟 求椭圆的标准方程的方法：

(1)定义法：用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a ，b 的值． (2)待定系数法：①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆方程一定是标准形式，就可以利用待定系数法先建立方程，然后依照题设条件，计算出方程中a ，b 的值，从而确定方程．②当不明确焦点在哪个坐标轴上时，通常应进行分类讨论，但计算较复杂，此时，可设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必再考虑焦点的位置，用待定系数法结合题目给出的条件求出m ，n 的值即可．

跟踪训练2 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和25

3，过点P 作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．

解 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 不妨取|PF 1|＝453，|PF 2|＝25

3， 由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2 5. 即a ＝ 5.

由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于长轴． 在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝60

9， ∴c 2＝53， ∴b 2

＝a 2

－c 2

＝10

3.

又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，

也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 2

5＝1. 类型三 椭圆中的焦点三角形问题

例3 已知点P 是椭圆y 25＋x 2

4＝1上的一点，F 1，F 2分别是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．

解 由椭圆方程y 25＋x 2

4＝1可得a ＝5，b ＝2，c ＝a 2－b 2＝1.

又|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2 ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30°， ∴4＝(25)2－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)． ∴12

F PF S

＝1

2|PF 1|·

|PF 2|·sin 30°＝8－4 3. 反思与感悟 由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形，焦点三角形常和椭圆的定义、正(余)弦定理、内角和定理及面积公式等综合考查． 跟踪训练3 已知椭圆的方程为x 24＋y 2

3＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积． 解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. 从而|F 1F 2|＝2c ＝2.

在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.

又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|. 从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4. 解得|PF 1|＝32.

所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是3

2.

1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．射线

D ．圆

答案 A

解析 连接FP ，OF ，MF ，如图，

由题意知，CD 是线段MF 的垂直平分线， ∴|MP |＝|PF |，

∴|PF |＋|PO |＝|PM |＋|PO |＝|MO |(定值)． 又|MO |>|FO |，

∴根据椭圆的定义可推断出点P 的轨迹是以F ，O 两点为焦点的椭圆． 2．已知方程(5－m )x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．2

2 B.7

2

答案 A

解析 原方程可化简为x 285－m ＋y 2

8m －2

＝1，

由题意可得?????

85－m <8m －2

，8

5－m >0，

8m －2>0，

解得2

2.

3．已知|AB |＝25，M 是线段AB 的中点，点P 在平面内运动且|P A |＋|PB |＝6，则|PM |的最大值和最小值分别是( ) A ．3， 5 B ．3,2 C ．3， 3 D ．4,2 答案 B

解析 由题意，知点P 的轨迹是以点A ，B 为焦点的椭圆， 其长轴长为6，焦距为25，

所以短轴长为4，易知|PM |的最大值为3，最小值为2.

4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，线段OF 1(O 为坐标原点)的中点为B 1，椭圆与y 轴上半轴的交点为A ，且△AOB 1为等腰直角三角形，则椭圆C 的标准方程是________________． 答案 x 220＋y 2

4＝1

解析 由题意，得c ＝4.又点B 1为线段OF 1的中点， A 为上顶点，△AOB 1为等腰直角三角形， 所以b ＝|OA |＝|OB 1|＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝20， 所以椭圆C 的标准方程为x 220＋y 2

4＝1.

5．已知椭圆的方程为：x 225＋y 2

16＝1，若C 为椭圆上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，并且|CF 1|＝2，则|CF 2|＝________. 答案 8

解析 根据椭圆的定义，椭圆上的点到两定点的距离之和为10，因为|CF 1|＝2，所以|CF 2|＝8.

(1)椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．在解题过程中将|PF 1|＋|PF 2|看成一个整体，可简化运算．

(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．

(3)凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a (M 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M (x 0，y 0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算．

一、选择题

1．已知椭圆x 29＋y 2

5＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则P 到另一个焦点的距离为( )

A ．1

B ．4

C ．3

D ．25－2 答案 B

解析 由椭圆的定义知P 到两焦点的距离之和等于2a ＝6， 故所求距离为6－2＝4，故选B.

2．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 5 答案 B

解析 原方程可化简为x 2

＋y 2

5k

＝1，

因c 2

＝5

k －1＝4，得k ＝1.

3．已知椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 2

2＝1 B.x 23＋y 2

2＝1 C ．x 2

＋y 2

2＝1

D.x 26＋y 2

2＝1

答案 D

解析 由题意知a 2

－2＝4，∴a 2

＝6.∴所求椭圆的方程为x 26＋y 2

2＝1.

4．“1

3－m ＝1表示椭圆”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案 B

解析

当方程x 2

m －1＋y

2

3－m

＝1表示椭圆时，必有???

m －1>0，3－m >0，

m －1≠3－m ，

所以1

且m ≠2；

当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．

5．设α∈(0，π

2)，方程

x2

sin α＋

y2

cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范

围为()

A．(0，π

4] B．(

π

4，

π

2)

C．(0，π

4) D．[

π

4，

π

2)

答案 C

解析由题意知，cos α>sin α>0，∴tan α<1，

∵α∈(0，π

2)，∴0<α<

π

4.故选C.

6．过椭圆9x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的三角形ABF2的周长是()

A.4

3B．4 C．8 D．2 2

答案 B

解析方程可化为x2

1

9

＋y2＝1，∴焦点在y轴上，且a2＝1，∴a＝1.

∴△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＋|BF1|＝2a＋2a＝4a＝4.故选B.

二、填空题

7．设F1，F2分别是椭圆x2

25＋

y2

16＝1的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，点M

的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．答案15

解析由椭圆定义知|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2×5－|PF2|，而|PM|－|PF2|≤|MF2|＝5，

所以|PM|＋|PF1|≤2×5＋5＝15.

8．已知F1，F2为椭圆x2

25＋

y2

9＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，

若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.

答案8

解析由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，

∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝20.

又∵|F 2A |＋|F 2B |＝12，∴|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＝8.

9．已知椭圆x 225＋y 2

9＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________． 答案 4

解析 设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF |＋|ME |＝10， ∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线， ∴|ON |＝1

2|ME |＝4.

10．若椭圆x 2100＋y 2

64＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________． 答案

643

3

解析 由已知得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，

|F 1F 2|＝2c ＝12.由余弦定理，知(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°， 即144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2563， ∴12

F PF S

＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝643

3.

三、解答题

11．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．

解 两定圆的圆心与半径分别为O 1(－3,0)，r 1＝1； O 2(3,0)，r 2＝9.

设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R .

则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R . ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10>|O 1O 2|＝6.

由椭圆的定义知M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.

故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 2

16＝1.

12．已知点P 是椭圆x 24＋y 2

＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点． (1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积；

(2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围． 解 (1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，① 且F 1(－3，0)，F 2(3，0)．

在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝43. 所以12

PF F S

＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝3

3.

(2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角，得F 1P →·F 2P →

<0， 即(x ＋3，y )·(x －3，y )<0， 又y 2

＝1－x 24，所以3

4x 2<2，

解得－263

所以点P 横坐标的取值范围是－263

3.

13．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．

解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(

c >0)． ∵F 1A ⊥F 2A, ∴F 1A →·F 2A →

＝0，

而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25， 即c ＝5.

∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．

∴2a＝|AF1|＋|AF2|

＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.

∴a＝210，

∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.

∴所求椭圆的标准方程为x2

40＋

y2

15＝1.