框架结构内力位移计算算例
多层框架结构第三节框架结构内力与侧移的近似计算方法
3、修正后的柱反弯点高度 各柱反弯点的位置取决于该柱上下端转角的比值。 若柱上下端转角相同，反弯点则在柱高中点； 若柱上下端转角不同，则反弯点偏向转角大的一端，即偏向约 束刚度较小的一端。 影响柱两端转角大小的因素：侧向外荷载形式；梁柱线刚度比； 结构总层数及该柱所在层数；柱上下横梁线刚度比；上下层层 高变化。
14. 3 计算方法
图14-11
14. 3 计算方法
14. 3 计算方法
梁固端弯矩 梁柱杆端弯矩（节点不平衡弯矩分配） 梁柱杆 端剪力 柱轴力 最后应将各层框架还原为整体框架
14. 3 计算方法
梁固端弯矩 梁柱杆端弯矩（节点不平衡弯矩分配） 梁柱杆 端剪力 柱轴力 最后应将各层框架还原为整体框架
14. 3 计算方法
二、水平荷载作用下的反弯点法
14. 3 计算方法
二、水平荷载作用下的反弯点法
14. 3 计算方法
基本假定： （1）求各柱剪力时，假定各柱上下端都不发生角位移，即认 为梁的线刚度与柱线刚度之比为无限大（一般要求大于3）； ——即各柱的抗剪刚度只与柱本身有关 （2）确定柱反弯点位置时，假定除底层以外的各层柱的上下 端节点转角均相同，即除底层外，假定各层框架柱的反弯点位 于柱高的中点；对于底层柱，则假定其反弯点距支座2/3柱高 处。——即反弯点位置是定值。
当框架梁线刚度 K=∞, =1—反弯点法和D值法的抗侧移刚度相等
求出D值后则得：
V jk
D jk
m
VFj
D jk
k 1
12i jk
V jk
i jk
m
V h
2 j
Fj m
VFj
i jk
12i jk
h
2 j
3框架内力与位移计算5(水平位移)
（3-22）
N是水平荷载引起的边柱内力。令水平荷载引起的总力矩为M(z)，则 N=±M(z)/B （c） A为边柱截面面积。假定边柱截面沿z轴呈直线变化，令 n＝A顶/A底 A(z)＝[1－(1－n)z／H] A底 （d） A顶及A底分别为顶层柱及底层柱截面面积。
2 把式(b)、(c)、(d)代人式(a)得 EB2 A底
（d）
2 EB2 A底
N j
N j
Hj
( H j z)M ( z) 1 (1 n) z / H
0
dz
（e）
M(z)与外荷载有关，积分后得到的计算公式如下：
V0 H 3 Fn EB2 A底
式中，V0——基底剪力； Fn——系数。 在不同荷载形式下，V0及Fn不同。V0可根据荷载计算。
作 业 练 习
梁、柱杆件的轴向变形、弯曲变形对框架在水平荷载下的侧移变形有何影响？ 框 架为什么具有剪切型侧向变形曲线？
作业题:某三层两跨框架，跨度及层高、尺寸如图，柱截面积尺寸300×350，左跨梁截面为250×500，
0.8kN 3.60m
右跨梁截面为250×400，现浇梁柱及楼面，采用C30钢筋混凝土（Ec=3.0×104MPa），试求其相对侧移δ、 绝对侧移Δ；并比较和分析ΔM 和ΔN 在Δ中所占比例 。
j层侧移 i 1 n M M 顶点侧移 n i i 1
M i
【例3—4 】 求图所示三跨 12 层框架内杆件弯曲产生的顶点侧移 Δn 及最 大层间侧移 δj，层高 h＝400cm，总高 H＝400×12＝4800cm， 弹性模量 E＝2.0×104MPa。各层梁截面尺寸相同，柱截面 尺寸有四种，7层以上柱断面尺寸减小，内柱、外柱尺寸不 同，详见图中所注。
5.3 框架内力和位移计算
2. 计算步骤
反弯点法
1. 基本假定 （1）梁柱线刚度比很大，在水平荷载作用下，柱上下端转角为零； （2）忽略梁的轴向变形，即同一层各节点水平位移相同； （3）底层柱的反弯点在距柱底2/3高度处，其余各层柱的反弯点在柱中。
2. 计算步骤
反弯点法例题
反弯点法例题
反弯点法例题
反弯点法例题
反弯点法例题
• 分层法
4.计算修正
为了减小计算误差，分层法在计算时须作两项修正： (1)除底层柱外，其余各层柱的线刚度乘以0.9的折减系数； (2)除底层柱外，其余各层柱的弯矩传递系数都取为1/3。
三、竖向荷载作用下框架内力计算
• 分层法
5.计算步骤
(1)把多层框架分成各单层框架；
(2)对除底层外的其它各层柱的线刚度乘以0.9的折减系数； (3)用力矩分配法计算各单层框架的弯矩（按无侧移框架考虑， 除底层柱外的其余各层柱的弯矩传递系数都取为1/3）； (4)叠加各单层框架的弯矩，从而得到整个框架各杆端的弯矩
D值法（改进反弯点法） 考虑上下梁刚度的影响，对反弯点位置加以修正。 计算步骤如下： ①、计算各层柱的侧移刚度D
D 12 EIc h
3
kc
EIc h
1
柱线刚度
D
12 EI h
3
a ——修正系数，由梁柱线刚 度比定。
D kc 12 h
2
假定： 1.柱AB及与其相邻各杆的杆端转角相同；
V b 1 . 2 V GE 1 . 3V Eh 取不利组合 V b 1 . 2V G 1 . 4V Q
ii)、 框架柱内力不利组合
柱上下端为控制截面取不利组合
M m ax 1 .2 M G E 1 .3 M N N G E 1 .3 N E h M m ax 1 .2 M G 1 .4 M N 1 .2 N G 1 .4 N Q
框架结构内力与位移计算PPT112页
（4）由梁两端的弯矩，根据梁的平衡条 件，可求出梁的剪力。
（5）由梁的剪力，根据结点的平衡条 件，可求出柱的轴力。
制作：韩小雷、马宏伟
53
思考
当柱两端铰接时，如何做！ 当柱一端铰接时，如何做！
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54
例：作下图所示框架的弯矩图，图中括 号内数字为各杆的线刚度
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反弯点法的主要工作有两个
（1）将每层以上的水平荷载按某一比例 分配给该层的各柱，求出各柱的剪力。 （2）确定反弯点高度。
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44
为了解决这两个问题；先让我们观察整个框架在水 平荷载作用下的变形情况，它具有如下几个特点： （l）如不考虑轴向变形的影响，由楼板刚性假
设，则上部同一层的各结点水平位移相等．
11
制作：韩小雷、马宏伟
12
上述两点即为分层计算法采用的两个近似假定。 这里对第二条假定做一点说明，试分析某层的竖 向荷载对其他各层的影响问题。首先，荷载在本 层结点产生不平衡力矩，经过分配和传递；才影 响到本层的远端。然后，在柱的远端再经过分配， 才影响到相邻的楼层。这里经历了“分配一传递 一分配”三道运算，余下的影响已经较小，因而 可以忽略。
►
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4
第一节 框架结构计算的基本假定
对多层框架结构进行内力和位移计 算，就必须进行计算模型的简化，引入 一些计算假定，得到合理的计算图形。
弹性工作状态假定► 平面抗侧力结构和刚性楼板假定►
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5
建筑结构的内力和位移按弹性方法进行计 算。在非抗震设计时，在竖向荷载和风荷 载作用下，结构应保待正常使用状态，结 构处于弹性工作阶段；在抗震设计时，结 构计算是针对多遇的小震进行的，此时结 构处于不裂、不坏的弹性阶段．所以，从 结构整体来说， 基本上处于弹性工作状态， 按弹性方法进行计算。
第四讲第五讲框架结构内力与水平位移
3．跨度与层高的确定
• 在结构计算简图中，杆件用其轴线来表示。框架梁的跨度即取 柱子轴线之间 的距离，当上下层柱截面尺寸变化时，一般以最小 截面的形心线来确定。 • 框架的层高即框架柱的长度可取相应的建筑层高，即取本层楼面 至上层楼面的高度，但底层的层高则应取基础顶面到二层楼板顶 面之间的距离。
对于墙柱基础则需根据计算截面以上楼层数的多少取不同的折减系数如表142所示2风荷载风荷载的计算方法与单层厂房相同风载体型系数可按建筑结构荷载规范gbj500092001取用3水平地震作用高层建筑结构宜采用振型分解反映谱法对质量和刚度不对称不均匀的结构以及高度超过100米的高层建筑应采用考虑扭转藕联振动影响的振型分解反映谱法
第四讲 框架结构内力与水平位移的近似计算方法 一、框架结构计算方法的发展 框架结构是一个空间受力体系，如图14-10（a）所示。结 构分析时有按空间结构分析和简化成平面结构分析两种 方法。 在计算机没有普及的年代，空间框架常被简化成平 面结构采用手算的方法进行分析，如《结构力学》教材 中所介绍的弯矩分配法、无剪力分配法、迭代法等。 当结构跨数与层数较多时，用上述手算法进行计算 需耗费大量的人力和时间，因此人们也常采用分层法、 反弯点法、D值法等近似的分析方法。 近来随着微机性能的提高和应用普及，框架结构分 析时较多是根据结构力学位移法的原理编制程序，由计 算机直接求出结构的变形、内力，以至各截面的配筋。
（3）作用于纵向框架上的荷载则各不相同，设计时应分 别进行计算。 （4）平面框架所承受的竖向荷载与楼盖结构的布置方案 有关，当采用现浇楼盖时，楼面分布荷载一般可按角平 分线传至相应两侧的梁上，水平荷载则简化成节点集中 力，如图14-10所示。
2.节点的简化
框架节点一般是三向受力，但当按平面框架进行结构分析时，则 节点也相应地简化。框架节点的简化应根据实际施工方案和构 造措施确定。
框架和剪力墙结构的内力与位移计算
dM m dx
m
➢
钢结连梁的约束 弯矩所分担的剪
相应的荷载(等代荷载)： Pm
dV m dx
dm dx
力和荷载21Fra bibliotek结体系协同工作计算
2、微分方程的建立（与铰结体系相仿）
d2y EIW dx2 MW
CF
dy dx
VF
EIW
d3y dx3
(VW
m)
d2 y CF dx2 PF
EIW
d4y dx4
31
讨论
(2)剪力分配
➢ 沿高度 VF /VW 不成一定比例
➢ 在底部：剪力墙的剪力最大，框架的剪力为0(近似计算造成) 在上部：剪力墙出现负剪力，而框架承担的剪力比外荷载产 生的剪力还要大
➢ 在顶部：剪力墙与框架的剪力都不等于0
6
0
0
q图 V图
VW 图
V
图
F
32
讨论
(3)水平荷载分配 ➢ 对剪力 VW 和 V F 微分后可得荷载 PW 和 PF 。
27
§ 7.4 构件 内力计算（内力的“再分配”）
问题：求出总剪力墙、总框架、总连梁的内力后，如何计算 各墙肢、框架梁、框架柱及连梁的内力 1、剪力墙的内力
按各片墙的等效抗弯刚度 EI eq 分配总剪力墙的总内力，即
MWji
EeIqi EeIq
MWj
i
VWji EEIeqIeiqiVWj
28
构件内力计算（内力的“再分配”）
m21(11)1(aa)3
6EI l
12EI
GAl2
20
刚结体系协同工作计算
（3）当转角为(x)，同一层有n个刚结点，并沿层高h离散使 之连续化，则总线约束弯矩为
第五章框架结构内力与位移计算
第五章框架结构内力与位移计算1．框架结构计算简图是如何确定的？答：框架结构计算简图的确定：一般情况下，框架结构忽略结构纵向和横向之间的空间联系，忽略各构件的抗扭作用，将框架结构简化为沿横方向和纵方向的平面框架，承受竖向荷载和水平荷载，进行内力和位移计算。
结构设计时一般取中间有代表性的一榀横向框架进行分析，若作用于纵向框架上的荷载各不相同，则必要时应分别进行计算。
框架结构的节点在常见的现浇钢筋混凝土结构中，梁和柱内的纵向受力钢筋都将穿过节点或锚入节点区，这时节点应简化为刚接节点；对于现浇钢筋混凝土柱与基础的连接形式，一般也设计成固定支座，即为刚性连接。
作用于框架结构上的荷载有竖向荷载和水平荷载两种。
竖向荷载包括结构自重及楼（屋）面活荷载，一般为分布荷载，有时也有集中荷载。
水平荷载包括风荷载和水平地震作用，一般均简化成节点水平集中力。
2．框架结构在竖向荷载作用下的内力计算采用什么方法？其基本假定与计算步骤如何？答：框架结构在竖向荷载作用下的内力计算采用分层法。
分层法的基本假定：（1）在竖向荷载作用下，不考虑框架的侧移；（2）每层梁上的荷载对其他各层梁的影响可忽略不计。
分层法的计算步骤：（1）计算单元的确定根据计算假定，计算时先将各层梁及其上下柱所组成的框架作为一个独立的计算单元，而按无侧移的框架进行计算（上下柱的远端均假设为固定端）。
（2）各杆件弯矩的计算一般用结构力学中的弯矩分配法，分别计算每个单层框架中梁与柱的弯矩。
在用弯矩分配法计算各杆件的弯矩之前，应先计算各杆件在节点处的弯矩分配系数及传递系数。
对底层基础处，可按原结构确定其支座形式，若为固定支座，传递系数为1/2；若为铰支座，传递系数为0。
至于其余柱端，在分层计算时，假定上下柱的远端为固定端，而实际上，上下柱端在荷载作用下会产生一定转角，是弹性约束端。
对这一问题，可在计算分配系数时，用调整柱的线刚度来考虑支座转动影响。
因此，对这类柱子的线刚度应乘一个折减系数0.9，相应的传递系数为1/3。
福州大学 第4章 框架结构的内力及位移计算
i
k 1
m
Vj
jk
4 柱端弯矩 : 底层柱 :
M
u 1k
1 V1k h1 3 Mu jk
其余各层柱：
2 M V1k h1 3 1 b M jk V1k h j 2
b 1k
l ib l M b l r M cu M cd 5 梁端弯矩 : ib ib r ib M cu M cd M br l r ib ib
（1）截面宽、高度≥300mm，圆柱直径≥350mm；
柱截面形状 和尺寸
矩形 为提高框架抵抗 圆形 水平荷载的能力
（2）净高 Hn 与平行于水平力方向的截面尺寸h 之比≥4； （3）截面尺寸常采用：400×400mm、450×450mm、
500×500mm、550×550mm、600×600mm。
V jk
D
D jk
Vj
(3) 计算柱jk的反弯点高度比y。
(4) 计算柱jk上下端弯矩: M 下 =Vjkyh； M 上 =Vjk(1-y)h
(5) 任一节点处左右横梁的端弯矩根据上下柱端弯矩的 代数和按横梁线刚度进行分配。
4.2.4 水平荷载作用下框架侧移近似计算
框架的总变形应由两部分变形组成：剪切变形和弯曲变形
4.框架梁在竖向荷载作用下，梁端负弯矩允许考虑塑性变 形内力重分布予以适当降低，可采用调幅系数 对于现浇框架
0.8 ~ 0.9
对于装配整体式框架
0.7 ~ 0.8
为计算方便，在求梁固端弯矩值时先可乘以调幅系数 值， 然后再进行框架弯矩分配计算。
5.竖向荷载产生的梁固端弯矩只在本计算单元内进行弯 矩分配，单元之间不再进行分配。弯矩分配完成后，梁端 弯矩为固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩之代数和，柱端分 配弯矩之代数和的平衡弯矩，须向远端传递，传递弯矩值 在底层计算单元为平衡弯矩的1/2，上部其他计算单元为平 衡弯矩的1/3。由于每根柱分别属于上下两个计算单元，所 以柱端弯矩值为本计算单元柱端平衡弯矩与相邻计算单元 传递弯矩之代数和。
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结构力学课程大作业——多层多跨框架结构力及位移计算班级学号华中科技大学土木工程与力学学院年月日结构力学课程大作业——多层多跨框架结构力与位移计算一、任务1、计算多层多跨框架结构在荷载作用下的弯矩和结点位移。
2、计算方法要求：（1）用迭代法、D 值法、反弯点法及求解器计算框架结构在水平荷载作用下的弯矩，并用迭代法的结果计算其结点位移。
（2）用迭代法、分层法、二次力矩分配法及求解器计算框架结构在竖向荷载作用下的弯矩，并用迭代法的结果计算其结点位移。
3、分析近似法产生误差的原因。
二、计算简图及基本数据本组计算的结构其计算简图如图1所示，基本数据如下。
混凝土弹性模量：723.010/h E kN m =⨯构件尺寸：柱：底 层：23040b h cm ⨯=⨯其它层：23030b h cm ⨯=⨯ 梁：边 梁：22560b h cm ⨯=⨯中间梁：22530b h cm ⨯=⨯ 水平荷载：'15P F kN ＝，30P F kN ＝（见图2）竖向均布恒载：17/q kN m 顶＝ 21/q kN m 其它＝（见图8） 图1各构件的线刚度：EIi L =，其中312b h I ⨯=边 梁：33410.250.6 4.51012I m -⨯==⨯ 7311 3.010 4.510225006EI i kN m L -⨯⨯⨯===⋅F 中间梁： 34420.250.3 5.6251012I m -⨯==⨯ 7422 3.010 5.6251067502.5EI i kN m L -⨯⨯⨯===⋅ 底层柱： 33440.30.4 1.61012I m -⨯==⨯ 7344 3.010 1.61096005EI i kN m L -⨯⨯⨯===⋅ 其它层柱：34430.30.3 6.751012I m -⨯==⨯ 7433 3.010 6.75106136.43.3EI i kN m L -⨯⨯⨯===⋅ 三、水平荷载作用下的计算 （一）用迭代法计算1、计算各杆的转角分配系数ikμ' 转角分配系数计算公式：()2ikikiki i i μ'=-∑结点“1”：12225000.3932(6136.422500)μ'=-=-⨯+156136.40.1072(6136.422500)μ'=-=-⨯+结点“2”：21225000.3182(67506136.422500)μ'=-=-⨯++图22367500.0952(67506136.422500)μ'=-=-⨯++266136.40.0872(67506136.422500)μ'=-=-⨯++由于该结构是对称结构，因此结点“3”的分配系数应该等于结点“2”的，结点“4”的分配系数应该与结点“1”的相等，所以本题只需计算1、2、5、6、9、10、13、14、17、18结点的分配系数。
结点“5”：516136.40.0882(6136.4222500)μ'=-=-⨯⨯+56225000.3242(6136.4222500)μ'=-=-⨯⨯+590.088μ'=- 结点“6”：65225000.2712(6136.42225006750)μ'=-=-⨯⨯++6767500.0812(6136.42225006750)μ'=-=-⨯⨯++626136.40.0742(6136.42225006750)μ'=-=-⨯⨯++6100.074μ⋅'=- 由于该框架第二、三、四层结构一样，故结点9、13与结点“5”相应杆的分配系数相同，结点10、14与结点“6”相应杆的分配系数相同。
结点“17”：17136136.40.082(6136.4225009600)μ⋅'=-=-⨯++1718225000.2942(6136.4225009600)μ⋅'=-=-⨯++172196000.1262(6136.4225009600)μ⋅'=-=-⨯++结点“18”：1817225000.252(6136.42250096006750)μ⋅'=-=-⨯+++18146136.40.0682(6136.42250096006750)μ⋅'=-=-⨯+++182296000.1072(6136.42250096006750)μ⋅'=-=-⨯+++181967500.0752(6136.42250096006750)μ⋅'=-=-⨯+++2、计算各柱的侧移分配系数'ik ν侧移分配系数计算公式：'()32ikik ikr i i ν=-∑ 此结构各层柱的线刚度均相等，因此所有柱的侧移分配系数都相同：'26136.40.3753(6136.44)ik ν⨯=-=-⨯⨯3、计算各杆的固端弯矩、楼层剪力及楼层弯矩由于各杆没有节间荷载，因此各杆的固端弯矩均为零，故各结点的不平衡力矩0g i M =。
楼层剪力的计算公式：Qr Pr rF F =∑楼层弯矩的计算公式：13r r Pr rM h F =⨯∑具体计算如下：515Q F kN = 5115 3.316.53M kN m =⨯⨯=⋅445Q F kN = 4145 3.349.53M kN m =⨯⨯=⋅375Q F kN = 3175 3.382.53M kN m =⨯⨯=⋅2105Q F kN = 21105 3.3115.53M kN m =⨯⨯=⋅1135Q F kN = 1113552253M kN m =⨯⨯=⋅4、迭代计算转角迭代公式：'''''()g ik ik i kiik i M M M M μ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑ 侧移迭代公式：'''''()ik ik r ki ik r M M M M ν⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑ 由于只有水平荷载，因此先迭代侧移，后迭代转角。
循环路线：侧移：五层 −−→ 四层 −−→ 三层 −−→ 二层 −−→ 一层 转角：“1” −−→“2” −−→“3” −−→“4” −−→“5” −−→“6”−−→“7” −−→“8” −−→“9” −−→“10”−−→“11” −−→“12” −−→“13” −−→“14” −−→“15” −−→“16”−−→“17” −−→“18” −−→“19” −−→“20” 具体迭代过程见图3，杆端弯矩计算见图4，弯矩图见图5。
例：第五层第1轮的侧移迭代如下：''"""""""15512662377348840.37516.5(00) 6.19r M M M M M M M M =======⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦∑“1”结点第一轮的转角迭代如下：'120.3930(0 6.19) 2.43i M ⎡⎤=-+-=⎢⎥⎣⎦∑'150.1070(0 6.19)0.66i M ⎡⎤=-+-=⎢⎥⎣⎦∑例：第五层第3轮的侧移迭代如下：''"""""""15512662377348840.37516.5(0.65 2.290.46 1.640.48 1.770.65 2.21)9.99r M M M M M M M M =======⎡⎤=-++++++++=-⎢⎥⎣⎦∑“1”结点第3轮的转角迭代如下：'120.3930(1.67 2.299.99) 2.37i M ⎡⎤=-++-=⎢⎥⎣⎦∑'150.1070(1.67 2.299.99)0.65i M ⎡⎤=-++-=⎢⎥⎣⎦∑“18”结点第4轮的转角迭代如下：'18170.250(40.33 5.199.06106.8366.6)29.71i M ⎡⎤=-+++--=⎢⎥⎣⎦∑'18140.0680(40.33 5.199.06106.8366.6)8.08i M ⎡⎤=-+++--=⎢⎥⎣⎦∑'18190.0750(40.33 5.199.06106.8366.6)8.91i M ⎡⎤=-+++--=⎢⎥⎣⎦∑'18220.1070(40.33 5.199.06106.8366.6)12.72i M ⎡⎤=-+++--=⎢⎥⎣⎦∑图321222324M"-10.04M"-27.56M"-45.97M"-66.65M"-106.88图4最后弯矩计算公式：''''2F ik ik ik ki ik M M M M M =+++ 或：'''''()F ik ikik ik ki ik M M M M M M =++++()M kN m图55、计算各结点的转角和侧移引用公式：'2iki ikM i ϕ= ， ''6ik ik ik ik M h i ∆=- 。
由于结构是对称的，在水平荷载作用下，其位移应该是反对称的。
第五层：514 2.365.2710222500rd ϕϕ-===⨯⨯5230.523.851026750rd ϕϕ-===⨯⨯41526374810.04 3.39.001066136.4m --⨯∆=∆=∆=∆=-=⨯⨯第四层：4588.441.8810222500rd ϕϕ-===⨯⨯467 1.901.411026750rd ϕϕ-===⨯⨯35961071181227.56 3.32.471066136.4m -⋅⋅⋅-⨯∆=∆=∆=∆=-=⨯⨯第三层：491216.813.7410222500rd ϕϕ-===⨯⨯41011 3.732.761026750rd ϕϕ-===⨯⨯391310141115121645.97 3.3 4.121066136.4m -⋅⋅⋅⋅-⨯∆=∆=∆=∆=-=⨯⨯ 第二层：4131625.35.6210222500rd ϕϕ-===⨯⨯41415 5.684.211026750rd ϕϕ-===⨯⨯3131714181519162066.65 3.3 5.971066136.4m -⋅⋅⋅⋅-⨯∆=∆=∆=∆=-=⨯⨯ 第一层：4172040.268.9510222500rd ϕϕ-===⨯⨯418198.936.611026750rd ϕϕ-===⨯⨯31721182219232024106.8859.281066136.4m -⋅⋅⋅⋅-⨯∆=∆=∆=∆=-=⨯⨯（二）用D值法计算1、求各柱的剪力值本结构由于对称，只需计算一半即可。