1.巧用勾股定理解决折叠与展开问题

巧用勾股定理解决折叠与展开问题
类型1利用勾股定理解决平面图形的折叠问题
1．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，求BF
的长．
2．长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，求AB的长．
3．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C 在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4.在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．求D，E两点的坐标．
4．有一长方形纸片ABCD，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF.
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)若AD＝3，AB＝9，求BE的长．
5．有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm.
(1)如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD＝________cm；
(2)如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M，N分别在AC，BC上，则AM2，BN2与MN2之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
类型2利用勾股定理解决立体图形的展开问题
6．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的
表面爬行到点C的最短路程是()
A．6 cm B．12 cm
C．13 cm D．16 cm
7．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路
程是____________m(精确到0.01 m)．
8．如图，长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm.
(1)点A1到点C2之间的距离是多少？
(2)若一只蚂蚁从点A2爬到C1，则爬行的最短路程是多少？
9．如图，圆柱形玻璃杯高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯外离杯底4 cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4 cm的点A处．
(1)求蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离；
(2)若将蜂蜜的位置改为在杯内离杯底4 cm的点C处，其余条件不变，请你求出此时蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短距离．
参考答案
1．∵点C′是AB 边的中点，AB ＝6，∴BC ′＝3.由图形折叠的性质，知C′F ＝CF ＝BC －BF ＝9－BF.在Rt △C ′BF 中，BF 2＋BC′2＝C′F 2，∴BF 2＋9＝(9－BF)2.解得BF ＝4.
2．∵四边形ABCD 是长方形，AD ＝8，∴BC ＝8.∵△AEF 是由△AEB 翻折而成，∴BE ＝EF ＝3，AB ＝AF ，△CEF 是直角三角形．∴CE ＝BC －BE ＝8－3＝5.在Rt △CEF 中，CF ＝CE 2－EF 2＝52－32＝4.设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2，即(x ＋4)2＝x 2＋82.解得x ＝6.∴AB ＝6.
3．依题意可知，折痕AD 是四边形OAED 的对称轴，在Rt △ABE 中，AE ＝OA ＝5，AB ＝4.∴BE ＝3，从而CE ＝2.∴E 点坐标为(2，4)．在Rt △DCE 中，DC 2＋CE 2＝DE 2.又∵DE ＝OD ，∴(4－OD)2＋22＝OD 2.
解得OD ＝52.∴D 点坐标为(0，52
)． 4．(1)证明：由折叠的性质，得∠DEF ＝∠BEF.∵AB ∥DC ，∴∠BEF ＝∠DFE.∴∠DEF ＝∠DFE.∴DE ＝DF ，即△DEF 是等腰三角形．
(2)由折叠的性质，得ED ＝EB.设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝AB －x ＝9－x.在Rt △ADE 中，AD ＝3，AD 2＋AE 2＝DE 2.∴32＋(9－x)2＝x 2.解得x ＝5.∴BE ＝5.
5．AM 2＋BN 2＝MN 2.证明：过点B 作BP ∥AC 交MH 延长线于点P ，连接NP ，∴∠A ＝∠PBH ，∠PBN ＋∠C ＝180°，即∠PBN ＝90°.∵H 是AB 的中点，∴AH ＝BH.在△AMH 和△BPH 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠PBH ，
AH ＝BH ，
∠AHM ＝∠BHP ，
∴△AMH ≌△BPH(ASA)．∴AM ＝BP ，MH ＝PH.又∵NH ⊥MP ，∴MN ＝NP.又∵在Rt △BNP 中，BP 2＋BN 2＝NP 2.∴AM 2＋BN 2＝MN 2.
6．C
7.2.60
8．(1)∵长方体的高为5 cm ，底面长为4 cm ，宽为1 cm ，
∴A 2C 2＝42＋12＝17(cm)．
∴A 1C 2＝52＋（17）2＝42(cm)．
(2)如图1所示，A 2C 1＝52＋52＝52(cm)．
如图2所示，A 2C 1＝92＋12＝82(cm)．
如图3所示，A 2C 1＝62＋42＝213(cm)．
∵52＜213＜82，
∴一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，爬行的最短路程是52cm.
9．(1)如图，
由题意可，得CD ＝9 cm ，AD ＝12－4－4＝4(cm)，
∴AC ＝AD 2＋CD 2＝97(cm)．
答：蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离为97cm.
(2)如图，
将杯子侧面展开，作A 关于EQ 的对称点A′，连接A′C ，则A′C 即为最短距离，
则A ′D ＝12
×18＝9(cm)，CQ ＝12－4＝8(cm)，CD ＝4＋8＝12(cm)． 在Rt △A ′DC 中，由勾股定理，得A′C ＝A′D 2＋CD 2＝92＋122＝15(cm)． 答：蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短距离为15 cm.。