初中数学几何模型系列之(二)平行线模型
初中数学三角形中的倒角模型-平行线-拐点模型及参考答案
三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题就平行线+拐点模型(猪蹄模型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点(平行线)模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：猪蹄模型(M型)【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.1(2022·河南洛阳·统考二模)如图，AB∥CD，∠ABM=30°，∠CDM=45°，则∠BMD的度数为()A.105°B.90°C.75°D.70°2(2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO =46°，∠OCD=88°，则∠BOC的度数为()A.116°B.124°C.134°D.135°3(2023春·四川泸州·七年级校考期末)如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为()A.α+β+γB.β+γ-αC.180°-α-γ+βD.180°+α+β-γ4(2023·广东深圳·校联考模拟预测)北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB ∥CD ，当人脚与地面的夹角∠CDE =60°时，求出此时上身AB 与水平线的夹角∠BAF 的度数为()A.60°B.45°C.50°D.55°5(2023春·河南驻马店·九年级专题练习)已知AB ∥CD ，∠EAF =13∠EAB ，∠ECF =13∠ECD ，若∠E =66°，则∠F 为()A.23°B.33°C.44°D.46°6(2022·浙江七年级期中)如图(1)所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．(1)如图(2)所示，已知AB ⎳CD ，请问∠B ，∠D ，∠E 有何关系并说明理由；(2)如图(3)所示，已知AB ⎳CD ，请问∠B ，∠E ，∠D 又有何关系并说明理由；(3)如图(4)所示，已知AB ⎳CD ，请问∠E +∠G 与∠B +∠F +∠D 有何关系并说明理由．模型2：铅笔头模型图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+⋯+∠n=(n-1)180°.7(2023·广东·统考二模)如图所示，已知AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()A.180°B.270°C.360°D.540°8(2023·山西吕梁·校联考模拟预测)如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=32°，∠2=62°，则∠3的度数为()A.118°B.148°C.150°D.162°9(2023·河南三门峡·校联考一模)如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知CD垂直地面上的直线DF于点D，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点C 缓慢向上抬高，AB段则一直保持水平状态上升(即AB始终平行于DF)．在该运动过程中，当∠ABC=112°时，∠BCD的度数是()A.112°B.138°C.158°D.128°10(2023春·新疆·七年级校考阶段练习)如图，如果AB∥CD，那么∠B+∠F+∠E+∠D=°．11(2022春·河北保定·七年级校考期中)如图，已知A1B∥A n C，则∠A1+∠A2+∠A3=，则∠A1+∠A2 +⋅⋅⋅+∠A n等于(用含n的式子表示)．模型3：牛角模型图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：α=β-γ.如图2，已知：AB∥DE，结论：α=β+γ-180°.12(2023·安徽滁州·校联考二模)如图，若AB∥CD，则()A.∠1=∠2+∠3B.∠1+∠3=∠2C.∠1+∠2+∠3=180°D.∠1-∠2+∠3=180°13(2023·江苏·七年级假期作业)如图，若AB ⎳CD ，则∠1+∠3-∠2的度数为14(2022·湖北洪山·七年级期中)如图，已知AB ∥CD ，P 为直线AB ，CD 外一点，BF 平分∠ABP ，DE 平分∠CDP ，BF 的反向延长线交DE 于点E ，若∠FED =a ，试用a 表示∠P 为．15(2023春·广东深圳·九年级校校考期中)已知直线AB ∥CD ，点P 为直线AB ，CD 所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，∠A =120°，∠C =130°．求∠APC 的度数：(2)问题迁移：如图2，写出∠APC ，∠A ，∠C 之间的数量关系，并说明理由：(3)问题应用：如图3，∠EAH :∠HAB =1:3，∠ECH =20°，∠DCH =60°，求∠H ∠E的值．16(2023·余干县八年级期末)已知直线AB ∥CD ，(1)如图1，直接写出∠BME 、∠E 、∠END 的数量关系为；(2)如图2，∠BME 与∠CNE 的角平分线所在的直线相交于点P ，试探究∠P 与∠E 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，∠ABM =1n ∠MBE ，∠CDN =1n∠NDE ，直线MB 、ND 交于点F ，则∠F=．∠E模型4：羊角模型图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：α=γ-β.如图2，已知：AB∥DE，结论：α+β+γ=180°.17(2023春·上海·七年级专题练习)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为．18(2022·江苏七年级期中)如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于()A.20°B.25°C.30°D.40°19(2023春·浙江·七年级专题练习)已知AB⎳CD，求证：∠B=∠E+∠D20(2023·河南·统考三模)如图，已知AB∥DE，∠ABC=150°，∠CDE=75°，则∠BCD的度数为()A.55°B.60°C.45°D.50°21(2023·河北沧州·校考模拟预测)如图，∠A=58°，∠D=122°，∠1=3∠2，∠2=25°，点P是BC上一点．(1)∠DFE的度数为；(2)若∠BFP=50°．则CE与PF(填“平行”或“不平行”)．模型5：蛇形模型(“5”字模型)基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°.图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：α=β+180°-γ.如图2，已知：AB∥DE，结论：α=γ+180°-β.22(2023·四川广元·统考三模)珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE等于()A.50°B.40°C.30°D.20°23(2023·湖南长沙·九年级校联考期中)如图，若AB∥CD，∠α=65°，∠γ=25°，则∠β的度数是()A.115°B.130°C.140°D.150°24(2023·河南周口·校联考三模)如图，AB∥EF，∠B=100°，∠CDE=25°，则∠BCD的度数是()A.125°B.75°C.95°D.105°25(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图，AB∥CD，CD∥EF，CE平分∠BCD，若∠ABC=58°，则∠CEF 的度数为()A.131°B.141°C.151°D.161°26(2023·江西·九年级校考阶段练习)如图∠BAC=10°，∠ACD=125°，CD⊥EF于点D，将AB绕点A 逆时针旋转α，使AB∥EF，则α的最小值为．课后专项训练1(2023·山东临沂·统考二模)如图，a∥b,∠1=45°，则∠2的度数为()A.105°B.125°C.135°D.145°2(2023春·安徽·九年级专题练习)如图，已知：AB∥EF，∠B=∠E，求证：BC∥DE．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是()A.延长BC交FE的延长线于点GB.连接BEC.分别作∠BCD，∠CDE的平分线CG，DHD.过点C作CG∥AB(点G在点C左侧)，过点D作DH∥EF(点H在点D左侧)3(2023·浙江台州·统考一模)如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1= 30°，∠2=50°，则∠3的度数为( )．A.130°B.140°C.150°D.160°4(2023·江苏·八年级假期作业)如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=( )．A.630°B.720°C.800°D.900°5(2023·辽宁抚顺·统考三模)如图，若AB∥CD∥EF，∠1=15°，∠2=60°，那么∠BCE=()A.120°B.125°C.130°D.135°6(2022·安徽芜湖·七年级期中)如图，AB ∥CD ，BF ,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE ，BF ∥DE ，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为A.30°B.35°C.36°D.45°7(2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模)如图是一款手推车的平面示意图，其中AB ∥CD ，∠1=24°，∠3=148°，则∠2的度数为()A.56B.66C.98D.1048(2023春·重庆江津·七年级校联考期中)如图，AB ⎳CD ，∠ABE =12∠EBF ，∠DCE =13∠ECF ，设∠ABE =α，∠E =β，∠F =γ，则α，β，γ的数量关系是()A.4β-α+γ=360°B.3β-α+γ=360°C.4β-α-γ=360°D.3β-2α-γ=360°9(2022·江苏七年级期末)如图，AB ∥CD ，则∠1+∠3-∠2的度数等于．10(2023·湖南长沙·校联考二模)如图所示，AB∥DE，∠1=130°，∠2=36°，则∠3=度．11(2022·四川成都·七年级期末)已知直线AB∥DE，射线BF、DG分别平分∠ABC，∠EDC，两射线反向延长线交于点H，请写出∠H，∠C之间的数量关系：．12(2022·黑龙江·七年级月考)如图，AB⎳CD，E是CD上的点，过点E作EF⎳DP，若∠PEF=∠PEH，EG平分∠DEH，∠B=152°，∠PEG=65°，则∠BPD=．13(2023·浙江·九年级专题练习)如图，已知AB∥DE，∠BCD=30°，∠CDE=138°，求∠ABC的度数．14(2023春·重庆南岸·九年级校考期中)在数学课上老师提出了如下问题：如图，∠B=160°，当∠A与∠D满足什么关系时，BC∥DE?小明认为∠D-∠A=20°时BC∥DE，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：15(2023春·河北廊坊·七年级校考阶段练习)(1)如图(1)AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．(2)观察图(2)，已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．(3)观察图(3)和(4)，已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．16(2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习)(1)如图①，如果AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C．(2)如图②，AB∥CD，根据上面的推理方法，直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C=．(3)如图③，AB∥CD，若∠ABP=x，∠BPQ=y，∠PQC=z，∠QCD=m，则m=(用x、y、z表示)．17(2023春·山东淄博·九年级校考期中)如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．(1)如图1，若∠BAE=30°，∠DCE=20°，则∠AEC=；如图1，若∠BAE=α，∠DCE=β，则∠AEC=；(2)如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；(3)如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由．18(2022·湖南株洲市八年级期末)已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点(不与点E，F重合)，设∠PAE=∠1，∠APB=∠2，∠PBF=∠3．(1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；(提示：过点P作PM∥a)(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系(不要求证明)．19(2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中)问题探究：如下面四个图形中，AB∥CD．(1)分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．(2)请你从中任选一个加以说明理由．解决问题：(3)如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=°．20(2023春·湖北黄冈·七年级校考期中)如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AD∥BE(1)求证：∠B+∠C-∠A=180°：(2)如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；(3)如图③，在(2)的前提下，且有AC∥QB，直线AQ、BC交于点P，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE=．21(2023春·广东·七年级专题练习)(1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED 的度数．(2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB,CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．(3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数．22(2023春·福建三明·七年级校考期中)探索：小明在研究数学问题：已知AB⎳CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A、∠C的数量关系．发现：在图1中，∠APC=∠A+∠C；如图5小明是这样证明的：过点Р作PQ⎳AB∴∠APQ=∠A∵PQ⎳AB，AB⎳CD．∴PQ⎳CD∴∠CPQ=∠C∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C(1)为小明的证明填上推理的依据；(2)理解：①在图2中，∠P与∠A、∠C的数量关系为；②在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为；(3)拓展：在图4中，探究∠P与∠A、∠C的数量关系，并说明理由．23(2023春·山东·七年级专题练习)如图1，直线AB⎳CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F 在CD上，连接PE，PF．(1)若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．(请写出必要的步骤，并说明理由)(2)如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4=．(不需说明理由，请直接写出答案)(3)如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB=x°，∠PFD=y°，则∠P1= (用含x，y的式子表示)．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2 FD，可得∠P3⋯，依次平分下去，则∠Pn=．(用含x，y的式子表示)三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
平行线的判定模型
平行线的判定模型
1.同位角判定法：如果两条直线被一条横线（称为横截线）所截，且同位角相等，则这两条直线是平行的。
2.内错角判定法：如果两条直线被一条横线所截，且内错角互补（和为180度），则这两条直线是平行的。
3.副交角判定法：如果两条直线被一对平行线所截，副交角相等，则这两条直线是平行的。
4.斜率判定法：如果两条直线的斜率相等，则这两条直线是平行的。
注意，这个判定法只适用于不垂直的直线，对于垂直的直线则斜率不存在。
其中，同位角判定法和内错角判定法基于直线与横截线的相交关系，而副交角判定法基于直线与平行线的相交关系。
这些判定模型是基于几何性质和角度的推理，可以用于判断平行关系的成立或者非成立。
需要注意的是，这些判定模型只适用于二维空间中的直线和平行线判定，而对于三维空间中的直线和平行线，还需要借助向量的概念和性质进行判断。
同时，这些判定模型是根据平行线的定义和性质推导出来的，可以作为判断平行关系的依据，但并非绝对准确，必须根据具体问题和情境进行判断和验证。
(完整版)七年级数学培优-平行线四大模型
平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。
平行线几何模型(铅笔头模型)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题5.25 平行线几何模型（铅笔头模型）（知识讲解） 几何模型1：铅笔头模型图二0//==360MA NC A B ⇒∠+∠∠条件：ABC 000////P ////PQ ,180,180360MA NC BMA NC A C C A C ∴∠∠=∠∠=∴∠+∠+∠=证明：过点B 作BP//MA.则，ABP+BP+，ABC几何模型2：多个铅笔头模型12121//......n n MA NB P P P A Q Q Q B-⇒∠+∠++∠=∠+∠+∠++∠条件：证明思路参考几何模型1【典型例题】类型一、平行线几何模型➽➼铅笔头模型➻➸求解✬✬证明1．阅读下面材料，完成（1)～（3）题．数学课上，老师出示了这样—道题：如图1，已知//,AB CD 点,E F 分别在,AB CD 上，,160EP FP ⊥∠=︒．求2∠的度数．同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：小明：“如图2，通过作平行线，发现13,24∠=∠∠=∠，由已知,EP FP ⊥可以求出2∠的度数．”小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得234,∠=∠=∠也能求出2∠的度数．”小华：∵如图4，也能求出2∠的度数．”(1) 请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______； (2) 请你根据以上同学所画的图形，直接写出2∠的度数为_________°；老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：(3) 如图，//AB CD ，点,E F 分别在AB CD ，上，FP 平分,,EFD PEF PDF ∠∠=∠若,EPD a ∠=请探究CFE ∠与PEF ∠的数量关系（(用含α的式子表示)，并验证你的结论．【答案】（1）过点Р作//PQ AC ；（2）30；（3）2180CFE PEF a ∠-∠=-．【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；（2）过点Р作//PQ AC ，根据平行线的性质可得∵1=∵3，∵2=∵4，由EP∵FP 可得∵3+∵4=90°，即可得出∵1+∵2=90°，进而可得答案；（3）设,CFE x PEF PDF y ∠=∠=∠=，过点P 作//PQ AB ，根据平行线的性质可得180,BEP EPQ CFE FEB x ∠+∠=︒∠=∠=，PDF DPQ ∠=∠，进而根据角的和差关系即可得答案．解：（1）由图中虚线可知PQ//AC ，∵小明同学辅助线的做法为过点Р作//PQ AC ，故答案为：过点Р作//PQ AC（2）如图2，过点Р作//PQ AC ，∵AB//CD ，∵PQ//AB//CD ，∵∵1=∵3，∵2=∵4，∵EP∵FP ，∵∵EPF=∵3+∵4=90°，∵∵1+∵2=90°，∵∵1=60°，∵∵2=30°，故答案为：30（3）如图，设,CFE x PEF PDF y ∠=∠=∠=，过点P 作//PQ AB ，180,BEP EPQ CFE FEB x ∴∠+∠=︒∠=∠=//,AB CD//,PQ CD ∴PDF DPQ ∴∠=∠DPQ EHF PDF y ∴∠=∠=∠=∵CFE FEB x FEP BEP ∠=∠==∠+∠()180x y a y ∴=+-+2180x y α∴-=-，即2180CFE PEF a ∠-∠=-．【点拨】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．举一反三：【变式】问题情境：如图1，AB ∵CD ，∵P AB ＝130°，∵PCD ＝120°，求∵APC 度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作PE∵AB，通过平行线性质，可分别求出∵APE、∵CPE 的度数，从而可求出∵APC的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∵APC 的度数；小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∵APC的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∵APC 的度数为°；问题迁移：（1）如图5，AD∵BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∵ADP＝∵α，∵BCP＝∵β．∵CPD、∵α、∵β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∵CPD、∵α、∵β间的数量关系．【答案】问题解决：110°；问题迁移：（1）∵CPD＝∵α+∵β，理由见分析；（2）∵CPD ＝∵β﹣∵α，理由见分析【分析】小明的思路是：过P作PE∵AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∵APC ＝110°．（1）过P作PE∵AD交CD于E，推出AD∵PE∵BC，根据平行线的性质得出∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：∵点P在BA的延长线上，∵点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，即可得出答案．解：小明的思路：如图2，过P作PE∵AB，∵AB∵CD，∵PE∵AB∵CD，∵∵APE＝180°﹣∵A＝50°，∵CPE＝180°﹣∵C＝60°，∵∵APC＝50°+60°＝110°，故答案为：110；（1）∵CPD＝∵α+∵β，理由如下：如图5，过P作PE∵AD交CD于E，∵AD∵BC，∵AD∵PE∵BC，∵∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，∵∵CPD＝∵DPE+∵CPE＝∵α+∵β；（2）当P在BA延长线时，∵CPD＝∵β﹣∵α；理由：如图6，过P作PE∵AD交CD于E，∵AD∵BC，∵AD∵PE∵BC，∵∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，∵∵CPD＝∵CPE﹣∵DPE＝∵β﹣∵α；当P在BO之间时，∵CPD＝∵α﹣∵β．理由：如图7，过P作PE∵AD交CD于E，∵AD∵BC，∵AD∵PE∵BC，∵∵α＝∵DPE，∵β＝∵CPE，∵∵CPD＝∵DPE﹣∵CPE＝∵α﹣∵β．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．类型二、平行线几何模型➽➼多铅笔头模型➻➸求解✬✬证明2．（1）如图1，AM∵CN，求证：∵∵MAB+∵ABC+∵BCN＝360°；∵∵MAE+∵AEF+∵EFC+∵FCN＝540°；（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．【答案】（1）∵详见分析；∵详见分析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°，证明详见分析【分析】（1）∵过点作BG∵AM，则AM∵CN∵BG，依据平行线的性质，即可得到∵ABG+∵BAM＝180°，∵CBG+∵BCN＝180°，即可得到结论；∵过E作EP∵AM，过F作FQ∵CN，依据平行线的性质，即可得到∵MAE+∵AEP＝180°，∵FEP+∵EFQ＝180°，∵CFQ+∵FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°．解：（1）∵证明：如图1，过点作BG∵AM，则AM∵CN∵BG∵∵ABG+∵BAM＝180°，∵CBG+∵BCN＝180°∵∵ABG+∵BAM+∵CBG+∵BCN＝360°∵∵MAB+∵ABC+∵BCN＝360°∵如图，过E作EP∵AM，过F作FQ∵CN，∵AM∵CN，∵EP∵FQ，∵∵MAE+∵AEP＝180°，∵FEP+∵EFQ＝180°，∵CFQ+∵FCN＝180°∵∵MAE+∵AEF+∵EFC+∵FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，∵结合（1）问得：所有角的和为（n+1）•180°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补得出结论．举一反三：【变式】如图，已知AB∵CD．（1）如图1所示，∵1+∵2＝；（2）如图2所示，∵1+∵2+∵3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∵1+∵2+∵3+∵4＝；（4）如图4所示，试探究∵1+∵2+∵3+∵4+∵+∵n＝．【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；（4）由（2）（3）类比可得答案．解：（1）如图1，∵AB∵CD，∵∵1+∵2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：180°；（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，∵AB∵CD，∵AB∵EF，CD∵EF，∵∵1+∵AEF=180°，∵FEC+∵3=180°，∵∵1+∵2+∵3=360°；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，类比（2）可知∵1+∵2+∵3+∵4=180°×3=540°，故答案为：540°；（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∵1+∵2+∵3+∵4+…+∵n=（n-1）×180°，故答案为：（n-1）×180°．【点拨】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．。
平行线四大模型(归纳总结)
点 P 在 EF 左侧，在 AB、 CD 外部
“骨折”模型
结论 1：若 AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP 或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论 2：若∠P=∠CFP-∠AEP 或∠P=∠AEP-∠CFP，则 AB∥CD.
【发散思维】
图 1： 180
图 2： 180
图 3： 180
“猪蹄”模型
模型三“臭脚”模型（“鸡翅”模型）
点 P 在 EF 右侧，在 AB、 CD 外部
“臭脚”模型
结论 1：若 AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP 或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论 2：若∠P=∠AEP-∠CFP 或∠P=∠CFP-∠AEP，则 AB∥CD.
模型四“骨折”模型（“鹰嘴”模型）
图 4： 180
图 5： 180 图 6： 180
【探索发现】
思考 1：
1 +2 ++ n 与 1+2 ++ n1 的关系?
思考 2：
1+2 ++ n =
.
平行线四大模型 模、 CD 内部 结论 1：若 AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论 2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则 AB∥CD.
“铅笔”模型
模型二“猪蹄”模型（M 模型）
点 P 在 EF 左侧，在 AB、 CD 内部 结论 1：若 AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论 2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则 AB∥CD.
平行线四大模型
平行线四大模型1、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+∠4=180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补平移3.平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移（translation），简称平移。
4.平移的性质经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;（2）图形平移后，对应点连成的线段平行且相等（或在同一直线上）（3）多次平移相当于一次平移。
初中几何46种模型大全
初中几何46种模型大全篇一：初中几何46种模型大全引言几何是初中数学的重要分支,其知识点涵盖了平面几何、立体几何、向量等多个方面。
在学习几何时,掌握各种几何模型是非常重要的,这些模型可以帮助我们理解和解决几何问题,提高解题能力。
本文将介绍初中几何中的46种常见的模型,包括它们的名称、定义、性质和应用。
正文1. 正方形模型正方形模型是几何中最基本的模型之一,它是一种边长相等的矩形。
正方形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。
正方形模型的性质有:- 正方形的四条边相等;- 正方形的对角线相等;- 正方形的面积等于其边长的平方。
2. 长方形模型长方形模型是有两个相等的长和两个不相等的宽的英雄。
长方形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和小于斜边的平方。
长方形模型的性质有:- 长方形的两条对角线相等;- 长方形的宽比长大,长比宽大;- 长方形的长和宽相等。
3. 平行线模型平行线模型是相互平行的直线。
平行线模型的定义如下:- 两直线平行,当且仅当它们的对应角相等且且它们的方向相同。
平行线模型的性质有:- 平行线之间有且仅有一个交点;- 平行线上的点的横坐标相等;- 平行线的方向相同。
4. 菱形模型菱形模型是具有四个相等的直角边的矩形。
菱形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方,且任意两条边的长度小于第三条边的长度。
菱形模型的性质有:- 菱形的四条边相等;- 菱形的对角线相等;- 菱形的面积等于其四条边长度的平方和。
5. 等腰三角形模型等腰三角形模型是有一个相等的腰部的两个三角形。
等腰三角形模型的定义如下:- 在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。
等腰三角形模型的性质有:- 等腰三角形的两条直角边相等;- 等腰三角形的底角相等;- 等腰三角形的顶角平分线相等。
6. 等边三角形模型等边三角形模型是具有三个相等的边长的三角形。
平行线四大模型(完整版+培优)
平行线四大模型(完整版+培优)平行线四大模型模型一：铅笔模型当点P在EF右侧，在AB、CD内部时，有以下结论：1.若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；2.若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.模型二：猪蹄模型当点P在EF左侧，在AB、CD内部时，有以下结论：1.若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；2.若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三：臭脚模型当点P在AB、CD之间时，有以下结论：1.若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；2.若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四：骨折模型当点P在EF右侧，在AB、CD外部时，有以下结论：1.若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；2.若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.当点P在EF左侧，在AB、CD外部时，有以下结论：1.若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；2.若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.应用：例1：1.∠l+∠2+∠3=180°；2.∠E=110°；3.∠BCD=40°；4.∠P=70°.练：1.∠EAB的度数为17°；2.∠C=30°；3.∠P=30°+n×20°.例2：BF、DF分别平分∠ABC、∠XXX，则∠C、∠F的关系为∠ABF=∠XXX∠XXX.练：1.∠XXX∠BDE；2.当n=2时，∠C=∠F；3.∠C=n×∠F.1.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，要证明∠E=2(∠A+∠C)。
2.如图，已知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠XXX，要求出∠C、∠F的关系。
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初中几何模型系列之（二）平行线模型
全面完整版+例题解析
第一部分平行线间的角分线模型
第二部分平行线拐点模型
第三部分平行线拐点模型拓展
第四部分 例题解析
F
2
A
B
C
D
Q
E
1
P
M
N
例1已知：如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2．求证：BE ∥CF ．
例2 ．如图，直线AB.CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。
求证：AB∥CD，MP∥NQ．
证明： 因为 AB ∥CD 所以： ∠ABC ＝∠DCB 又因为： ∠1＝∠2
所以： ∠ABC- ∠1 ＝∠DCB- ∠2 即： ∠EBC ＝∠FCB 所以： BE ∥CF
证明： 因为 ∠CNF =∠BME= ∠AMF 所以： AB∥CD
所以： ∠BMF ＝∠DNF 又因为： ∠1＝∠2
所以： ∠BMF- ∠1 ＝ ∠DNF -∠2 即： ∠PMF ＝∠QNF 所以： PM ∥QN
第四部分 例题解析
图3
1
2
A
C
B
F
G
E
D
C 图4 1
2
3
A
B
D
F 例3．如图3，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．
例4．如图4，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°． 求证：（1）AB∥CD； （2）∠2 +∠3 = 90°． 证明： 因为 ∠ABE +∠DEB = 180° 所以： AC∥DE
所以： ∠CBE ＝∠DEB 又因为： ∠1＝∠2
所以： ∠CBE - ∠1 ＝ ∠DEB -∠2 即： ∠FBE ＝∠GEB 所以： BF ∥GE 所以： ∠F =∠G
证明:(1) 因为 ∠1 +∠2 = 90° ∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E 所以： 2∠1 +2∠2 = ∠ABD +∠CDB = 180° 所以： AB∥CD (2)因为： AB∥CD
所以： ∠1 = ∠ABF ＝ ∠3
第五部分 课后练习
第1题
A
B
C
D
第2题
A
E
C
B
D
F
第6题
1
2
A
E
B C
D
1
2
3
第5题
第7题
A
B
C D E
F
G
M
N
P
a
b
第8题
1．如图，已知 ∥ ， 平分 ， ： ＝2：1，则 的度数是多少？ 2．如图， ∥ ， ∥ ，图中与 相等的角有那些？
3．已知一个角的余角为 ，那么这个角的补角是 ； 4、 与 互为补角，如果 ，则 的度数为 度； 5、如图 ， ，则 ＝ ；
6、如图， ， ，则 ＝ 时， ∥ ；
7、若 ，则互相平行的直线是 ； 8、如图，若 ， ，则 ＝ ， ＝ ；
9.已知AB ∥DE ，∠1＝∠2，若∠C ＝54°，则∠AEC 是多少度？
10.如图，直线AB 、CD 交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOC=60°。
试求∠BOD ，∠AOD 、2
1
第9题
A
B
C D
E。