初中数学：经典几何模型大汇总
初中数学——最全：初中数学几何模型
最全：初中数学几何模型几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，小编整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案) 初中数学几何模型大全及经典题型（含答案）全等变换平移：平行线段平移形成平行四边形。
对称：以角平分线、垂线或半角作轴进行对称，形成对称全等。
旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转形成旋转全等。
对称半角模型通过翻折将直角三角形对称成正方形、等腰直角三角形或等边三角形。
旋转全等模型半角：相邻等线段所成角含1/2角及相邻线段。
自旋转：通过旋转构造相邻等线段的旋转全等。
共旋转：通过寻找两对相邻等线段构造旋转全等。
中点旋转：将倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。
模型变形当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
几何最值模型对称最值：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
旋转最值：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。
剪拼模型通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状，例如将三角形剪拼成四边形或将矩形剪拼成正方形。
正方形的边长可以通过射影定理来求解。
假设正方形的边长为x，那么正方形的对角线长为x√2.将正方形分成两个等腰直角三角形，可以得到等腰直角三角形的斜边长为x√2/2.因此，根据射影定理，可以得到等腰直角三角形的高为x/2，进而得到正方形的边长为x=x√2/2.通过平移和旋转，可以将一个正方形变成另一个正方形。
这可以通过旋转相似模型来实现。
例如，两个等腰直角三角形可以通过旋转全等来实现形状的改变，而两个有一个角为300度的直角三角形可以通过旋转相似来实现形状的改变。
更一般地，两个任意相似的三角形可以通过旋转成一定角度来实现旋转相似，其中第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。
在相似证明中，需要注意边和角的对应关系。
相等的线段或比值在证明相似时可以通过等量代换来构造相似三角形。
另外，从三垂线到射影定理的演变，再到内外角平分线定理，需要注意它们之间的相同和不同之处。
初中数学几何模型大全
初中数学几何模型大全全等变换平移:平行等线段〔平行四边形〕对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型角分线模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等.两边进行边或者角的等量代换,产生联系.垂直也可以做为轴进行对称全等.对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称〔翻折〕,翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等.旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等.自旋转模型构造方法：遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角逼等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中央对称说明：旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容.通过“8〞字模型可以证实.模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用.当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边组相邻等线段,分组组成三角形证全等.点,证实另外两个顶点与中点所成图形为翻腰直角三 角形.证实方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直 角边,转化成要证实的等腰直角三角形和的等腰 直角三角形〔或者正方形〕公旋转顶点,通过证实旋形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两 一匚■中点旋转:方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中转全等三角形证实倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证.几何最值侬对称最值〔两点间线段最短〕二线段之和量短模型过桥模型四边脑周KM小模型三俗形用长最小模型同侧.异侧两线段之和最短就型轴对称模型同侧,异恻两线段之W最小段T；线段和差模型HIM对称最值〔点到直线垂线段最短〕说明：通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离.旋转最值〔共线有最值〕说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段,定长线段的和为最大值,定长线段的差为最小值.剪拼侬三角形—四边形边形.四边形说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变形的形状.矩形一正方形说明：通过射影定理找到正方形的边长,通过平移与旋转完成形状改变正方形+等腰直角三角形一正方形面积等分旋转相似侬说明：两个等腰直角三角形成旋转全等,两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似.推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度,趣转相似.第三边所成夹角符合旋转〃8〞字的规律.相似模型说明：注意边和角的对应,相等线段或者相等比值在证实相似中起到通过等量代稣构造相帕角形的作用.说明：(1)三垂直到一线三等角的演变,三等角以30良45原60度形式出现的居多.(2 )内外角平分线定理到射影定理的演变,注意之间的相同与不同之处.另外,相似射影定理.相交弦定理〔可以推广到圆幂定理〕之间的比值可以转换口乘积,通过等线鼠等比值、等乘积进行代换,进行证实得到需要的结论.说明：相似证实中最常用的辅助线是做平行,根据题的条件或者结论的比值来做相应的平行线.A 模型一：手拉手模型-旋转型全等<1>融笈给a 条件:Q 均为等边三角形» 结论：① A 〔〃C ♦ M 〕BD ,② LAEB = 601 ③ OE 平分 LAED.<2〕等腰A 条件:A .4优均为等腰直用三角形a 结论,①△〔,〔 ■ N 〕BD J ② L.lEti - 9.\ A ③.E 平分乙IED .<3>任意等腰三角形A 轴：wcw 〞均为等股三龟形a 牯论二① A .,.・ &OBD ；② LAEB • LAOQ .»③0E 平分乙l£O .A 模型二:手拉手模型-旋转型相似〔DT^况A 条件：〔力〃,出,将△〃口〕旅转至右囹位贸 A 给论：> 右图中① A 〃C 〜AOMeMMC' M 〕BD ; a ②延长"交BD 于点E,必有UEC • LBOA⑵特殊情况 >条件,CD//AB ,乙〞财■佻产,将ACC 及旋转至右图 位置>牯论：右图中①AOC&SAOJ A O AOIC ROBD 3②⑤连接/D. BC,必有；6〞.二』炉,8；⑥=…・/.卬〕〔对角线互相垂直的四边形〕5 @RDLAC .延长/C 交加于点&必有tan LOCDA模型三；对角互补模型⑴全等型30a①乙北加•乙DCE - 9.° j②oc平分&CB JJA 结论：① CD=CE:② 0D + °E ■ 6oc J ③,SoDt'E - $!110cB + §皿LA证!搬示：的乍垂直,如图,证实"DM •&CEN]■<②过点C作b 1 0C,如上图(右),证实AODC- AFEC ；, a当乙DCE的一边交/O的延长线于点Q时：〞以上三个结论：(DCD=C£(不变)3厂心“-$的」"‘@OE-OI〉・GOC, @" 211愉论那么方法第IT摊况T,可自HiS.K'S C>t£X H~ X'Mu<2>全等型-1200»霜：044OB・2乙XE・I2O03a ®oc 平分20%1y/a 结论:①C〞・CEj②./) +.£・优3(X T/—SflDCT " ^AGCD + SwKT " 7 0°A③4.,\A证骊I示：①可参考〃全等型-知,,证法一；②如却在05上取一点尸,使.尸=0C,证实AO"^IT为等边三角形.a(3)全领任意角a> 新：(Q- 2a, LDCE - 18() - 2(c . ©CD-C£；A 结论；①0('平分乙IO% ②,OE -2PC*cosa ,a @s(m - 5^CD- OC^sina -cosaa当〃的一边交乂.的延长线于点口时(如右上图〉；原结论变成：①②③I可参考上述第②种万法西亍证实.语思考初始条件的变化对模型幡oK a—35晌.>对角研触克结：①常见初始条件：四边形芯角互扑；注意两点：四点共圆及直通三通形斜②初始条件「角平分线〞与“两边相等〞的区别；③两种富见硒图域轴法3④注意00平分乙时,LCDE - LCED - LCOA・WCQ相等如何边中线；47f 推导？A模型四：角含半角模型M<1〕角含半角模型90° -1»①正方形9C?,45\>牯论,①EF - BE ；②KEF的周长为正方形一出CO周长的一半;也可以哪：a W=①正方形dBC?②EF = DF・BEa 结论: Z£//：45.<2〕角含半角模型式.,a条件：①正方形/出8； © LEAF - 450a 结论二EF -DF-BE> '岫线如下列图所示：〔3〕角含半鱼模型90° -3A条件二①吟② a 结论；RD2 + CE1 = DE2假设UM 曲到&版外部时,结论5+3 =.「仍然成立.设明＞遵履AC?方公不唯一〕V Z/JW«・・S〞・,4F •,4Ml・/CMAV Zl/W-Z(C £ - 45 \ .*. XIDIMXUT---A〞/s&sc Ai! X£a条件:①正方形/"CD;②LEAF - 45Q＞结论：A"比为等艘直角三用形°A模型五：倍长中线类模型⑴倍长中物飕里-1A 条件二①矩形ABCD；②〃"■"心③.尸,£7、»结论一"\LC广模型拄取,①有平行线TQI山E:②平行线|胡戋段有中点.尸,EF砌屣"8"字第ZU/A：・ A/他射.〔25借长中绳械型-2> 条件：.¥行四边形RRCD ；②"C ■ 2AB；③AM - DM；@CELAD.a结论:乙EMD・3乙AIEA情助〞：有个什AB/fCD .市中版.d V - /AV/达长EM•利造/“I〃心,八〃',4M C.V杓连号・vj.ur T vvcA通过构迨8字先等八段也量庆C1JL美系.用的欠小小化A 模型六：相似三角形360°旋转模型⑴相似三角形?等JO 角)酬.旋转模型斗检法a 条件:①NDE 、A4 AC 均为等腰直角三角形m ②EF ・CF, a 结论：①DF ・BF ；②DF1 B 尸Ml 财观,尚迨哥腰JLMAJEG 、M 〞C技劝独弓咕；将/V 句仲化到与EU ⑵ 任鄢时三角形360'旋转模3H 除法a (D M)ABsz2c ,② LOAH - Z ODC -巩尸；③BE ・CE .» 结论:① AE= l)E j ② LAEly - 2 LABO,③就的画个〉件“化仇」叫3〃,MHO . it为收晟.#NM8A.4取,雄靖傅化由江那么\ ।外匕小j m.传网色以*比M 4商* 此处.•机a 施叫 乙区H ・N 〃M )H 削l:增长/)/： £ V .便\肥7出.杵修(O 形360°值 MM DF HAG.盘 FG ・DF . 4.li(Xi . B(i . Klf Um .MifKi京k 点；\加必“机；e A: U . 41)■ ZflC G横财姬：地太AJ «AG .使.0・AB .过长 < /> 财 A H 佗 DH = Cl> .林 t WB 〞OC7fHit J£ DE iiCG A KH .比 NJEDa 条件：① NXB SAODC ：②乙.4B ・£(〞)( ■ 9() BE ・CE.A 结论二① 4月■ DE 3 ② LAEiy - 2 LAHOa 条件：①&〃兄・、MBC 均 为等腰直角三角形,② EF -CF a 结论：①DF =BF ；② DF1 BFA 模型七：最短程模型景后基幡化到：•两昆之昉,怪我累触2例二 财点一①4点AH 惕上:⑵依・心怨力国大垂线段另短 ＜2＞最短路程彳 械劝愎」将作.美中0C H 俾九•豺比 傕•=,堂, -tA \1 作 MHKM,1俨.小・ A 俨-,Q2 M" 〔•0戊量收〕＞条件,①OC 平分"O%②?为〔M 上一定点,@ 〃为OJtf 点；@°为OH 上一动点: A 求」“O+PO最小时,几°的位置？(3> 题雌(^JM^2)条件：*014〕.8〔-20〕J 〔0,〃〕PB +此 PAi 够：〃为何值时,5 最小c A .sin ^OA,C 0 ——求解方法：①工轴上取 〔口0〕,使5 ,②过码乍A/〕L4g 交〕'轴于点％艮防所求＞tan LEiiO = tan LOAC ③>忤！®ttft ai-4. <w-2 <ufl>(Mr) 6«M «A<) &*专内360 **««； .S〞着幺OL乩亳：“A."■〜. <“牙导越力・・^^**. «HaHR,*-X»Oflil4.4*tMXa・,直£・•卜十n五调.A^(*;•・称：< |-«; 〃彳一,胸>fta①—■九〔瞰・1⑵"启〞.剧,.明r<F +小停/®A 〃〔金曲IM -AH«3 K/H>JH /,小僖.1. 〞,H •：3 J〞W/,卜低方2.妁八的以廿也向工OcAfiZCD «rWW . £GWC-3(rXrx -2；0：rH-| ； 4 %.刖・£yq③ U址也人9**M»ft：把I ・ Jl<A〞eH"班・1,,4PI a«i>u. *,・外•川•eai<4〕最短路程稳型三〔旋转类最值锲型〕H小值而A 模型九：相似三角形模型I 千(J).腿三角形蜩-根本型 (2)才械三的阳模蛰第交举44与二*“冷；片A 鹏如护外作的认化 । \」,兴5"了":3 加区旧•凤 r nft ~?而慢牛且小客」l frU -牙明 k 用tt <以上水论地可力d it 忻做三.就Hit 行或明平行号.汇川ST4 " 4J' DF 时是二 _ = —=_ ( jAB HC £「上Ft ；如仃面凸表画 r re 上・,i 印一耳e 伊司电4也 lii^t -M. .it'M “ e W - H L < J 1-JW - J/*忤r i:阍t 、_ 冰=l Hj.iT 廿=", Wl用ZAB 「,上 if £ -^< iiK- s JA ffl；一⑷「・_l£K ■-f¥比= J5 :中】Il./N 为图的hj 峰:在阍：P A rm = ft rn中酹! 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初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形OAB C DE图 1OABCD E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OCDEOD E【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型OCOCDEOB CDEOA CDACD（1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形OB C DE图 1OABCD E图 2OABCDE图 1OACDE图 2OCDEOD E【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ；OAB COBCDEOB CDEOA CD③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ；③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=AOBCDE 图 1A OBCDEM N图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中数学必背几何模型
一、中点模型1．倍长中线条件：AD 为△ABC 的中线辅助线：延长AD 到点E ，使得AD =DE结论：△ADC ≌△EDB ，AC ∥BE2．连中点构造中位线条件：点D 、E 为AB 、AC 的中点辅助线：连接DE 结论：12DE BC DE BC =，∥3．倍长一边构造中位线条件：点D 为AB 的中点辅助线：延长AC 到点E ，使得AC =CE ，连接BE 结论：12DC BE DC BE =，∥4．构造三线合一条件：AB =AC辅助线：取BC 的中点D ，连接AD结论：AD ⊥BC ，∠BAD =∠CADB5．构造斜边中线条件：∠ABC =90°辅助线：取AC 的中点D ，连接BD 结论：12BD AC AD CD ===二、角平分线模型6．往角两边作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为E 、F结论：△ADE ≌△ADF7．在角的两边截取等长线段条件：AD 平分∠BAC辅助线：在AB 、AC 上取点E 、F ，满足AE =AF ，连接DE 、DF 结论：△ADE ≌△ADF8．过角平分线上一点作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作EF ⊥AD ，交AB 、AC 于点E 、FD CBB CCC结论：△ADE ≌△ADF三、双角平分线模型9．内内模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB 结论：1902D A ∠=︒+∠10．内外模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACE 结论：12D A ∠=∠11．外外模型条件：BD 、CD 平分∠CBE 、∠BCF 结论：1902D A ∠=︒-∠四、平行线模型12．猪蹄模型CA BCC ED条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D =∠BED13．铅笔头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D +∠BED =360°14．鸟头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠D +∠BED =∠B15．平行线+角平分线模型条件：AB ∥CD ，CE 平分∠ACD结论：AC =AE五、等积模型16．等底等高条件：AD ∥BCFAFBC结论：ABC DBC S S =，ADB ADC S S =17．等高模型条件：B 、C 、D 共线结论：::ABD ADC S S BD CD =18．等底模型条件：AE 、DE 为△ABC 、△DBC 边BC 上的高结论：::ABC DBC S S AE DE =六、对称半角模型19．对称半角模型-含45°角的三角形条件：∠BAC =45°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等腰直角三角形20．对称半角模型-含30°角的三角形B CB C DED条件：∠BAC =30°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等边三角形七、旋转半角模型21．旋转半角模型-等腰直角三角形条件：AB =AC ，∠BAC =90°，∠MAN =45°辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACM ＇ 结论：ANM ANM '≌，222BM CN MN +=22．旋转半角模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，BD =CD ，∠BDC =120°， ∠MDN =60°辅助线：将△BDM 绕点D 顺时针旋转120°，得到△DCM ＇ 结论：NDM NDM '≌，BM CN MN +=23．旋转半角模型-正方形条件：正方形ABCD ，∠MAN =45°，FEAM'M CAB辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADM ＇ 结论：NAM NAM '≌，BM DN MN +=八、自旋转模型24．自旋转模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，点P 为其内任意一点辅助线：将△BAP 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BCP ＇ 结论：△BPP ＇是等边三角形25．自旋转模型-等腰直角三角形条件：△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点P 为△ABC 内任 意一点辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰直角三角形26．自旋转模型-等腰三角形条件：△ABC 中，AB =AC ，点P 为△ABC 内任意一点，∠BAC =α 辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转α，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰三角形M'DNCBAB九、手拉手模型29．手拉手模型-等边三角形条件：△ABC和△CDE都是等边三角形结论：△ACE≌△BCD27．手拉手模型-等腰直角三角形条件：△ABC和△CDE都是等腰直角三角形结论：△ACE≌△BCD，AE⊥BDEE28．手拉手模型-等腰三角形条件：△ABC 和△CDE 都是等腰三角形，CA =CB ， CD =CE ，且∠ACB =∠DCE结论：△ACE ≌△BCD30．手拉手模型-正方形条件：四边形ABCD 和AEFH 都是正方形结论：△ABE ≌△ADH ，BE ⊥DH十、最短路程模型31．直线同侧两线段之和最小（将军饮马）条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作点A 关于直线l 的对称点A ＇，连接A ＇B 结论：点P 为A ＇B 和l 交点时，AP +BP 最小C32．直线异侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 异侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小33．直线同侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小34．过桥模型（将军饮马）条件：A 、B 为定点，l 1∥l 2，MN 为定长线段且MN ⊥l 1 辅助线：将点A 向上平移MN 的长度得到A ＇，连接A ＇B 结论：点N 为A ＇B 与l 1交点时，AM +MN +BN 最小35．四边形周长最小（将军饮马）条件：A 、B 为定点，M 、N 为角两边上的动点辅助线：作点A 、B 关于角两边的对称点A ＇、B ＇，连接 lAlAll 1l 2A＇B＇结论：M、N为A＇B＇与角两边交点时，四边形ABMN的周长最小B'36．三角形周长最小（将军饮马）条件：A为定点，B、C为角两边上的动点辅助线：作点A关于角两边的对称点A＇、A＂，连接A＇A＂结论：B、C为A＇A＂与角两边交点时，△ABC的周长最小37．旋转类最短路程模型条件：线段OA=a，OB=b（a＞b），OB绕点O在平面内旋转结论：点B与点N重合时，AB最小；点B与点M重合时，AB最大十一、基本相似模型38．A字型条件：BC∥DE结论：△ABC∽△ADE条件：∠ABC =∠ADE结论：△ABC ∽△ADE39．8字型条件：AB ∥CD结论：△AOB ∽△DOC条件：∠BAO =∠DCO结论：△AOB ∽△COD40．母子型条件：△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB结论：△ABC ∽△ACD ∽△CBD41．一线三等角模型条件：∠B =∠D =∠ACE结论：△ABC ∽△CDECBCC A42．手拉手相似模型条件：△ABC ∽△ADE结论：△ACE ∽△ABD十二、对角互补模型43．对角互补模型-90°全等型条件：∠AOB =∠DCE =90°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OEOC ，212OECD S OC 四边形CB ACE AB D CDD44．对角互补模型-120°全等型条件：∠AOB =120°，∠DCE =60°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OE =OC ，24OECD S =四边形45．对角互补模型-任意角全等型条件：∠AOB =2α，∠DCE =180°-2α，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，2cos OD OE OC α+=⋅， 2sin cos OEC OCD S S OC αα+=⋅46．邻边相等的对角互补模型条件：四边形ABCD 中，AB =AD ，∠ABC +∠ADC =180°D BAN E OB辅助线：延长CD 到E ，使得DE =BC ，连接AE结论：△ABC ≌△ADE ，CA 平分∠BCD十三、隐圆模型47．动点定长模型条件：AB =AC =AP ，点P 为动点结论：点B 、C 、P 三点共圆，点A 为圆心，AB 为半径48．直角圆周角模型条件：点C 为动点，∠ACB =90°结论：点A 、B 、C 三点共圆，线段AB 的中点为圆心，线段 AB 为直径49．定弦定长模型条件：点P 为动点，固定线段AB 所对的动角∠APB 为定值 结论：点A 、B 、P 三点共圆，线段AB 和BP 的中垂线的交点 为圆心BA50．四点共圆模型①条件：点A 、C 为动点，∠BAD +∠BCD =180°结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心当∠BAD =∠BCD =90°，BD 为直径51．四点共圆模型②条件：线段AB 为固定长度，点D 为动点，∠C =∠D结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心CCA当∠C=∠D=90°，AB为直径。
初中几何46种模型大全
初中几何46种模型大全篇一：初中几何46种模型大全引言几何是初中数学的重要分支,其知识点涵盖了平面几何、立体几何、向量等多个方面。
在学习几何时,掌握各种几何模型是非常重要的,这些模型可以帮助我们理解和解决几何问题,提高解题能力。
本文将介绍初中几何中的46种常见的模型,包括它们的名称、定义、性质和应用。
正文1. 正方形模型正方形模型是几何中最基本的模型之一,它是一种边长相等的矩形。
正方形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。
正方形模型的性质有:- 正方形的四条边相等;- 正方形的对角线相等;- 正方形的面积等于其边长的平方。
2. 长方形模型长方形模型是有两个相等的长和两个不相等的宽的英雄。
长方形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和小于斜边的平方。
长方形模型的性质有:- 长方形的两条对角线相等;- 长方形的宽比长大,长比宽大;- 长方形的长和宽相等。
3. 平行线模型平行线模型是相互平行的直线。
平行线模型的定义如下:- 两直线平行,当且仅当它们的对应角相等且且它们的方向相同。
平行线模型的性质有:- 平行线之间有且仅有一个交点;- 平行线上的点的横坐标相等;- 平行线的方向相同。
4. 菱形模型菱形模型是具有四个相等的直角边的矩形。
菱形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方,且任意两条边的长度小于第三条边的长度。
菱形模型的性质有:- 菱形的四条边相等;- 菱形的对角线相等;- 菱形的面积等于其四条边长度的平方和。
5. 等腰三角形模型等腰三角形模型是有一个相等的腰部的两个三角形。
等腰三角形模型的定义如下:- 在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。
等腰三角形模型的性质有:- 等腰三角形的两条直角边相等;- 等腰三角形的底角相等;- 等腰三角形的顶角平分线相等。
6. 等边三角形模型等边三角形模型是具有三个相等的边长的三角形。
初中数学30种模型汇总(最全几何知识点)
10.等面积模型:D是BC的中点
20.平移构造全等
30.二次函数中平行四边形存在性模型
01.三线八角
同位角：找F型
内错角：找Z型
同旁内角：找U型
02.拐角模型
一.锯齿型
1
1
3
2
2
3
4
∠1+∠3=∠2
∠1+∠2=∠3 +∠4
左和＝右和
二.鹰嘴型
1
1
2
3
3
2
∠1+∠3=∠2
∠1+∠3=∠2
鹰嘴＋小＝大
一.大小等边三角形
虚线相等，且夹角为60°
（全等，八字形）
四.大小等腰三角形（顶角为α）
结论：虚线相等，且夹角为α
（全等，八字形）
三. 大小等腰直角三角形
结论：虚线相等，且夹角为90°
（全等，八字形）
二.大小正方形
结论：虚线相等，且夹角为90°
（全等，八字形）
15.半角模型
条件：正方形ABCD
∠EDF=45°
证：EF=AE+CF
条件：CD=AD,∠ADC=90°
∠EDF=45°
∠A+∠C=180°
证明：EF=AE+CF
条件：AB=AD
∠B+∠D=180°
∠EAF=1 ∠BAD
2
证明：EF=BE+DF
条件：AB=AC,∠BAC=90°
∠DAE=45°
证明：DE2=BD2+CE2
△CEF为直角三角形
初中数学30种模型汇总
(最全几何知识点)
01.三线八角
02.拐角模型
03.等积变换模型
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初中数学：经典几何模型大汇总
几何作为很多人的学习难点，一直都是很多学生的学习难点。
很多学生在初中几何的学习过程中都会遇到两个问题，一是定理定义记不住，在需要运用时想不起来，二是记住了做题时又不知该用哪个，思维跳跃、逻辑混乱是很多孩子在学习几何的过程中遇到的问题。
下面瑞德特X老师分享一组初中几何模型大汇总，临近期末考试了，有需要的家长可以作为复习资料拿给孩子看看，一定会对孩子的学习有所帮助的。