初中几何模型及常见结论的总结归纳
初中数学常见几何基本模型及结论
八上几何模型归纳“手拉手”模型O【例1（1）如图1，若α = 90︒ ，则AC 和BD 的数量关系是 ，AC 和BD 的位置关系是；（2）如图2，若α = 60︒ ，AC 和BD 相交于点P ，求证：OP 平分∠BPC ．（3）如图3 所示，则AC 与BD 的数量关系为 ，试用α 表示直线 AC 和BD 所形成的夹 角，则夹角为．（不写证明）AAADPCDPDCBCO B O B图1图2图31 / 8“帽子”模型常见辅助线做法： ⑴作平行线构造全等⑵作垂直构造全等y【例2A（2） 如图2，连接AB ，若D (0, -6) ，DE ⊥AB 于点E ，B 、C关于 y 轴对称，M 是线段 DE 上的一点，且 DM =AB ， 接AM ，试判断线段 A C 与 A M 之间的位置和数量关系，并证明你的结论；x（3）如图 3，在（2）的条件下，若 N 是线段DM上的一个动点，P 连接PN 交 y 轴于点 Q ，过点 N 作NH ⊥ y 轴于点 H ，当 N 点在线段DM 上运动时，△MQH 的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.y x【例3（1） 如图1，求△AOB 的面积（2） 如图2，点 C 在线段 A B 上（不与 A 、B 重合）移动，AB ⊥BD ，且∠COD ＝45°，猜想线段 A C 、BD 、 CD 之间的数量关系并证明你的结论.（3） 如图3，若 P 为 x 轴上异于原点 O 和点 A的一个动点，连接P B ，将线段P B 绕点 P 顺时针旋转 90° 至PE ，直线AE 交y 轴于点Q ，当P 点在x 轴上移动时，线段BE 和线段BQ 中，请判断哪一条线段长为 定值，并求出该定值3 / 8【例4】如图，在△ABC 中，∠ABC = 90︒，AB =BC ，A(-4, 0) ，B(0, 2) ．（1）如图1，求点C 的坐标．（2）如图2，BC 交x 轴于点M，AC 交y 轴于点N，且BM =CM ，求证：∠AMB =∠CMN ．（3）如图3，若点A 不动，点B 在y 轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB 为直角边在第一、第二象限作等腰直角三角形△BOF 与等腰直角三角形△ABE ，连接E F 交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上移动时，BP 的长度是否变化？若变化说理由，若不变求其值．2【例5】在平面直角坐标系中，，B 为 x 轴正半轴上一动点，AE 、BF 平分∠OAB 、∠OBA ，AE 、BF 交于点P ．（1）求∠BPA 的度数；（2）过P 作PQ ⊥ BF 交x 轴于点M 交 y 轴于点Q ，求证：∠OFM = 1；∠OAB2（3）若B 运动到(4, 0) ，点T 为二象限内一点(2 - 2, 2)且TA ⊥ TB ，过O 作OS ⊥ BT 于S ，求S 点坐标．5 / 8xT x脚拉脚模型【例6】（2015 部分学校月考）如图，△ACB 为等腰三角形，∠ABC=90°，点P 在线段B C 上（不与B，C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB 与E（1）求证：△PAB≌△AQE（2）连C Q 交AB 于M，若P C=2PB，求PCBMA的值.E CMQ PB（3）如图2，过Q 作QF⊥AQ 交AB 的延长线于点F，过P 点作DP⊥AP 交AC 于D，连DF，当点P在线段BC 上运动时（不与B，C 重合，式子QF -PD的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化，FD【例7】2（1）直接写出A、B、C 各点的坐标：A、B、C（2）过B 作直线MN⊥AB，P 为线段OC 上的一动点，AP⊥PH 交直线M N 于点H，证明：PA＝PH（3）在(1)的条件下，若在点A 处有一个等腰R t△APQ 绕点A旋转，且AP＝PQ，∠APQ＝90°，连接BQ，点G 为BQ 的中点，试猜想线段OG 与线段PG 的数量关系与位置关系，并证明你的结论【例8（1）如图，若∠OAD = 30︒ ，∠OBC 的度数；（2）点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，连OM 、ON ，判断OM 、ON 的关系；（3）在（2）的条件下，连AM 、BN ，取BN 的中点P ，连OP ．当点C 、点D 分别以相同的速度沿着y∠MAO + ∠POA轴、x 轴向原点O 运动过程中，求证：∠MON为定值．7 / 8婆罗摩笈多模型x xx【例9AB⊥y 轴于B ，AC⊥x 轴于C .（1）求△AOC 的面积；，（2）如图，E 为线段OB 上一点，连AE ，过A 作AF ⊥AE 交x 轴于F ，连EF ，ED 平分∠OEF 交OA 于yＤ，过D 作DG ⊥EF 于G ，求DG +1EF 的值；2内心直角三角形x（3）如图，D 为x 轴上一点，CD＝CA，E 为线段OB 上一动点，连DA、CE，F 是线段CE 的中点，若BF⊥FK 交AD 于K，请问∠KBF 的大小是否变化？若不改变，请求其值；若改变，求出变化的范围.yx。
初一数学几何模型总结
几何模型A D一、八字模型:结论：1、∠A+∠B=∠C+∠DB C 2、AD+CD ＜AC+DB（外边之和小于内边之和）A二、飞镖模型：D 结论：1、∠A+∠B+∠C=∠D2、AB+AC＞BD+DC （（外边之和大于内边之和）B CA E C三、王冠模型：结论：∠A+∠C=2∠EB DA四、内角平分线模型P 结论：∠P =900+1∠A2BCA五、内角平分线模型∠AB C 结论：∠P =900 - 12PA P 六、一内一外角平分线模型∠A结论：∠P = 12B C1、 两角相等2、角平分线上任一点到角两边的距离相等3、角的两边上关于角平分线对称两点的连线垂直于角平分线4、角的两边上关于角平分线对称两点到角平分线上任意一点连线所组成的两个三角形全等（即：翻折及对称，对称即全等）5、沿角一边上任一点做另一边的平行线与角平分线的相交，必构成一个等腰三角形6、沿角一边上任一点做角平分线的平行线与角的另一边的反向延长线的相交，必构成一个等腰三角形A7、角分线定理：AB AC =BPCPB P C二、垂直平分线用法1、 垂直平分线性质：垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等。
中心：题中若给出中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内A P B1、两线段相等AP=BPAP 2、直角三角线中，斜边上的中线等于斜边的一半（可以直接用）AC即：BP= 12B CA3、中位线：三角形中任意两条边的中线连线平行于第三边，且等于第三BCM N 边的一半。
即MN∥BC ,MN=12B C4、等腰三角形三线合一5、中点四边形（不能直接用）一、全等三角形1、全等三角形对应关系（性质）：①、对应边相等；②、对应角相等；③、通过平移、旋转、对称得到的图形与原图形相等；④、三线、周长、面积均相等；（三线：角平分线，中线，高线）2、全等三角形判定：①、定义法（注意SSA不能证明两个三角形全等）②、边角边（SAS）：两边对应边相等，夹角也相等，则这两个三角形全等；③、边边边（SSS）：三条边均对应边相等，则这两个三角形全等；④、角边角（ASA）：两个对应角相等，夹边也相等，则这两个三角形全等；⑤、角角边（AAS）：两个对应角相等，临边也相等，则这两个三角形全等；⑥、直角三角线（HL）：直角三角形中，斜边与一组直角边分别对应相等；则。
初中常见几何模型结论
初中常见几何模型结论
初中常见的几何模型包括圆、三角形、四边形和多边形等，
每个模型都有一些常见的结论和性质。
以下是一些常见的几何
模型结论：
1.圆：
圆的直径是圆的两个点之间的距离，它等于圆的半径的两倍。
圆的周长是圆上任意两点之间的弧长，它等于圆的直径乘以
π（pi）。
圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离被称为圆的半径。
圆的面积等于半径的平方乘以π。
2.三角形：
三角形有三个内角，它们的和是180度。
三角形的边界是三个边的长度之和。
等边三角形的三边长度相等，每个内角都是60度。
直角三角形有一个内角是90度，另外两个内角的和是90度。
三角形的面积等于底边乘以高的一半。
3.四边形：
矩形的对角线相等，且互相平分。
平行四边形的对边平行且相等。
正方形的对角线相等，且互相垂直。
长方形的对角线不相等，但是互相垂直。
菱形的对边相等，对角线互相垂直。
4.多边形：
多边形有n个顶点和n条边。
正多边形的所有内角相等，外角的度数等于360度除以边的个数。
多边形的外角和等于360度。
任意平面凸多边形的内角和等于(n2)×180度，其中n是多边形的边数。
这只是初中常见几何模型的一部分结论和性质。
通过学习和实践，我们可以深入了解几何模型的更多结论和性质，从而更好地应用于解决各种几何问题。
初中数学9大几何模型(证明结论及推导)
初中数学9大几何模型（证明结论及推导）一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OACDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CDO ABCDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型条件：AD 是高，AE 是角平分线结论：∠DAE=2B C∠∠-例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，30A ∠=︒，50B ∠=︒，CD 为ACB ∠的平分线，CE AB ⊥于点E ，则ECD ∠度数为（）A ．5︒B ．8︒C ．10︒D ．12︒【答案】C 【分析】依据直角三角形，即可得到40BCE ∠=︒，再根据30A ∠=︒,CD 平分ACB ∠,即可得到BCD ∠的度数,再根据DCE BCD BCE ∠=∠-∠进行计算即可．【详解】解：50,B CE AB ∠=︒⊥ ,40BCE ∴∠=︒,又30A ∠=︒ ,CD 平分ACB ∠,1118050305022()BCD BCA ∴∠=∠=⨯︒-︒-︒=︒，504010DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180︒是解答此题的关键．例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，BG 的延长线交AC 于点E ，F 为AB 上的一点，CF 与AD 垂直，交AD 于点H ，则下面判断正确的有（）①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的边AD 上的中线；③CH 是△ACD 的边AD 上的高；④AH 是△ACF 的角平分线和高A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG 是△ABE 的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG 是△ABD 的边AD 上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH 为△ACD 的边AD 上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH 是△ACF 的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD 、AE 分别是Rt △ABC 的高和中线，AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，试求：（1）AD 的长度；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差．【答案】（1）AD 的长度为365cm ；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD 的长度；（2）由于AE 是中线，那么BE ＝CE ，再表示△ACE 的周长和△ABE 的周长，化简可得△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC ﹣AB 即可．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，AD 是边BC 上的高，∴S △ACB =12AB•AC ＝12BC•AD ，∵AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，∴AD ＝AB AC CB ⋅＝91215⨯＝365（cm ），即AD 的长度为365cm ；（2）∵AE 为BC 边上的中线，∴BE ＝CE ，∴△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC+AE+CE ﹣（AB+BE+AE ）＝AC ﹣AB ＝12﹣9＝3（cm ），即△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，AD ，AE 分别是ABC 的高和角平分线，若30B ∠=︒，50C ∠=︒．(1)求DAE ∠的度数．(2)试写出DAE ∠与C B ∠-∠关系式，并证明．(3)如图，F 为AE 的延长线上的一点，FD BC ⊥于D ，这时AFD ∠与C B ∠-∠的关系式是否变化，说明理由．【答案】(1)10︒(2)()12DAE C B ∠=∠-∠(3)不变，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和求出BAC ∠，根据角平分线的定义得到50BAE ∠=︒，根据高线的性质得到90ADE ∠=︒，从而求出60BAD ∠=︒，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到12BAE BAC ∠=∠，根据三角形内角和求出119022EAC B C ∠=︒-∠-∠，根据角的和差得到结果；（3）过A 作AG BC ⊥于G ，结合（2）知1()2EAG C B ∠=∠-∠，证明FD AG ∥，得到AFD EAG ∠=∠，即可证明．【详解】（1）解：∵30B ∠=︒，50C ∠=︒，∴1805030100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵AE 平分BAC ∠，∴1502BAE CAE BAC ∠=∠=∠=︒，∵AD 是高，∴90ADE ∠=︒，∵30B ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∴10DAE BAD BAE ∠=∠-∠=︒；（2）()12DAE C B ∠=∠-∠，证明如下：∵AE 平分BAC ∠，∴12EAC BAC ∠=∠，∵180BAC B C ∠=︒-∠-∠，∴()11101902822B C B C EAC ︒-∠-∠-∠︒-==∠∠，∴EAD EAC DAC ∠=∠-∠()11090922B C C =︒∠---∠︒-∠()12C B =∠-∠；（3）不变，理由是：如图，过A 作AG BC ⊥于G ，由（2）可知：1()2EAG C B ∠=∠-∠，AG BC ⊥ ，90AGB ∠=︒，FD BC ⊥ ，90FDC ∴∠=︒，AGD FDC ∴∠=∠，FD AG ∴∥，AFD EAG ∴∠=∠，1()2AFD C B ∴∠=∠-∠．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．模型2：双垂直模型结论：①∠A =∠C ；②∠B =∠AFD =∠CFE ；③AB CD AE BC ⋅=⋅。
初中几何基础模型赏析——初中生必会的48个模型结论
初中几何基础模型赏析——初中生必会的48个模型结论几何学是一门需要大量练习的学科，而熟练掌握几何模型结论是初中生学好几何学的前提。
以下是初中生必会的48个几何模型结论，希望能够帮助同学们更好地掌握几何学知识。
1. 垂线段定理：垂直于一条直线的所有线段长度相等。
2. 同位角定理：同位角相等。
3. 对顶角定理：对顶角相等。
4. 外角定理：一个三角形的外角等于其余两个内角之和。
5. 内角和定理：一个n边形的内角和为（n-2）×180°。
6. 直角三角形勾股定理：直角三角形两直角边上的平方和等于其斜边上的平方。
7. 等腰三角形底角定理：等腰三角形底角相等。
8. 等腰三角形高角定理：等腰三角形高角相等。
9. 等边三角形角定理：等边三角形三个角都是60°。
10. 等角三角形定理：等角三角形三个角相等。
11. 同弧角定理：在同一圆周上的两个弧所对应的圆心角相等。
12. 弧度制与度数制的转换：1弧度=180°/π。
13. 正弦定理：在任意三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC。
14. 余弦定理：在任意三角形ABC中，有a=b+c-2bc cosA。
15. 正切定理：在任意三角形ABC中，有tanA=a/b。
16. 相似三角形定理：相似三角形对应角度相等，对应边比例相等。
17. 切线定理：切线与半径垂直。
18. 弦切角定理：弦切角等于弦所对的圆心角的一半。
19. 弧切角定理：弧切角等于弧所对的圆心角的一半。
20. 环形角定理：在同心圆中，对于同一条弦所对的两个角，小弧所对的角比大弧所对的角小一半。
21. 正多边形的内角定理：正n边形的每个内角大小为（n-2）×180°/n。
22. 正多边形的外角定理：正n边形的每个外角大小为360°/n。
23. 中线定理：三角形三条中线交于一点，且此点到三角形三个顶点距离的平均值等于三角形三个顶点到中点距离的平均值。
初中几何12345模型结论总结
初中几何12345模型结论总结
初中几何是数学学科中的一个重要分支，主要研究平面和空间内的图形、尺寸、位置等性质。
其中初中几何12345模型是初中阶段的基础，也是后续几何学习的重要依据。
下面是初中几何12345模型结论的总结：
1. 垂直平分线定理：平面内一个点到一条直线的两个不同点垂
直平分线相交于这个点。
2. 角平分线定理：平面内一个角的角平分线将这个角分成两个
角度相等的角。
3. 中线定理：三角形中连接一个顶点至对边中点的线段称为中线，三角形中任意一条中线的长度等于其它两条边的长度之和的一半。
4. 高线定理：三角形中连接一个顶点至对边垂足的线段称为高线，三角形中任意一条高线的长度小于或等于另外两条边的长度。
5. 余弦定理：在任意一三角形中，其任意一条边的平方等于其
余两边平方和的差的两倍再乘以这两边夹角的余弦值。
这些结论是初中几何学习的基本定理，对于后续高中几何的学习也具有重要意义。
在学习初中几何时，我们可以通过推导和证明这些结论，深入理解其内涵和应用，提高我们的几何思维能力。
初中地理常见几何基本模型及结论
初中地理常见几何基本模型及结论
地理学是研究地球表层现象及其规律的学科，其中几何模型在
地理学中具有重要的作用。
本文将介绍初中地理中常见的几何基本
模型及相应的结论。
1. 平面几何模型
平面几何模型是描述地表特征的常见模型，其主要包括以下几
个基本模型：
- 圆形模型：地理学中常用来描述湖泊、盆地等自然地理要素。
圆形模型的结论是，湖泊或盆地的形状通常近似于圆形。
- 矩形模型：地理学中常用来描述田地、建筑物等人文地理要素。
矩形模型的结论是，田地或建筑物的形状通常接近于矩形。
2. 空间几何模型
空间几何模型是描述地球内部结构和地理空间关系的模型，主
要包括以下几个基本模型：
- 球体模型：地理学中常用来描述地球的整体形状。
球体模型
的结论是，地球的整体形状近似于一个球体。
- 锥体模型：地理学中常用来描述河流的流域和山脉的形状。
锥体模型的结论是，河流的流域和山脉的形状通常呈锥状。
3. 空间位置关系模型
空间位置关系模型是描述地理要素之间相对位置关系的模型，
主要包括以下几个基本模型：
- 上下游模型：用来描述河流沿着水流方向的位置关系。
上下
游模型的结论是，河流的上游位于源头，下游位于河口。
- 东西方向模型：用来描述地理要素在东西方向上的位置关系。
东西方向模型的结论是，东方位于太阳升起的一侧，西方位于太阳
落山的一侧。
以上是初中地理常见的几何基本模型及相应的结论。
通过理解
和应用这些模型，可以更好地理解地理现象和地球的空间关系。
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初中几何模型及常见结论的总结归纳
三角形的概念
三角形边、角之间的关系：①任意两边之和大于第三边（任意两边之差小于第三边）；②三角形内角和为0180（外角和为0
360）；③三角形的外角等于不相邻的两内角和。
三角形的三线：(1)中线（三角形的顶点和对边中点的连线）;三角形三边中线交于一点（重心）
如图，O 为三角形的重心，重心O 分中线长度之比为1:2（1:2=OE BO ：）；DF EF DE 、、分别为三角形AC AB BC 、、边上的中位线（三角形任意两边中点的连线），DE ∥BC 且BC DE 2
1=。
几何问题中的“中点”与“中线”常常是联系再一起的。
因此遇到中点这样的条件（或关键词）我们可以考虑中线定理与中位线定理进行思考。
中线（中点）的应用：
①在面积问题中，中线往往把三角形的面积等分，如果两三角形高相同，我们往往把面积之比转化为底边之比。
（面积问题转化为线段比的问题）如上图，我们可以得到2:1===∆∆∆∆AO OF S S S S ABO BOF ACF ABF ：：，
②在涉及中线有关的线段长度问题，我们往往考虑倍长中线。
如图，已知AB ，AC 的长，求AF 的取值范围时。
我们可以通过倍
长中线。
利用三角形边的关系在三角形ABD 中构建不等关系。
（AC AB AF AC AB +- 2）.
(2)角平分线（三角形三内角的角平分线）；三角形的三条内角平分线交于一点（内心）
如图，O 为三角形ABC 的内心（内切圆的圆心）；内心O 到三边的距离相等
r OD OF OE ===（角平分线的性质定理）
；090=∠+∠+∠ACO CBO BAO ；ABC
ABC C S r ∆∆=2（ABC S ∆表示ABC ∆的面积，ABC C ∆表示ABC ∆的周长）； 关于角平分线角度问题的常见结论：
A BOC ∠+=∠21900
A BOC ∠-=∠2
1900 A BOC ∠=∠2
1 角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
如图，AD 是三角形ABC 的内角平分线，那么
CD
BD AC AB =。
（3）垂线（三角形顶点到对边的垂线）；三角形三条边上的高交于一点（垂心）
如图，O 为三角形ABC 的垂心，我们可以得到比较多的锐角相等如COD ABC ACO ABO ∠=∠∠=∠；等。
因此垂线（或高）这样的条件在题目中出现，我们往往可以得出比较多的锐角相等。
（等角或同角的余角相等），此外，如果要求垂线段的长度或与垂线段有关的长度问题，我们通常用面积法求解。
在上图中，若已知CE AC AB ，，的长度，求BE 的长。
特别注意：在等腰三角形中，我们通常所指的三线合一就是指中线、角平分线、高线。
三线合一：已知三角形三线中的任意两个条件是重合的，那么就可以得出第三条线也是重合的。
在具体运用时，我们往往时把三线合一的等腰三角形补充完整再加以运用。
三角形全等
三角形全等我们要牢记住它的五个判定方法。
（SSS,SAS,ASA,AAS,HL ）
在具体运用时，我们需要找出判定三角形全等的各种条件，不外乎是关于边相等或相等的问题。
对于寻找角相等：常有四种方法：①两条平行线被第三条直线所截得出的“三线八角”的结论；②对顶角相等；③锐角互余；④三角形的外角等于不相邻的两内角和。
对于寻找边相等：常有三种方法：①特殊图形中隐含的条件（如等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形。
）；②利用三线合一的正逆定理；③通过已有的全等三角形性质得出。
对于证明角相等，证明边相等，我们都要优先考虑边或角所在的三角形全等。
（一定要注意对应）如果不能直接通过全等证明，我们就要转化角或转化边（用上面的几种方法）然后再考虑全等。
全等三角形的基本图形：
平移类全等； 对称类全等； 旋转类全等；
几何问题中常用的模型
平行和中点
三角形（梯形）的中位线。
倍长中线构造全等（八字形全等）通常是构造以中点为交叉点的八字形。
平行和角平分线
往往试图寻找等腰三角形，转化为边相等或角相等。
直角和中点
直角三角形斜边长的中线长等于斜边的一半
中垂线（三线合一的模型）
求线段的长：①勾股定理；②把求的线段放在三角形中考虑相似。