2020年数学中考重难点突破之几何动态探究题
几何动态探究题类型一动点探究题1.如图，在矩形ABCD中，BC=6，AB=3，R在CD边上，且CR=1，P为BC上一动点，E，F分别是AP，RP的中点，当P从B向C移动时，线段EF的长度为.第1题图10【解析】如解图，连接AR，∵在矩形ABCD中，BC=6，AB=3，CR=1，∴AD=6，DR=2，在Rt△ADR中，AR=22DRAD =210，∵E，F分别是AP，RP1AR=10.的中点，∴EF=2第1题解图2.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＋BD＝40，AB＝12，点E 是BC边上一点，直线OE交CD边所在的直线于点F，若OE＝210，则DF＝________．第2题图18或30 【解析】分两种情况：如解图①，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，∴G 是BC 的中点．当点F 在DC 的延长线上时，延长FO 交A D 于点H ，∵四边形ABCD 是矩形，AC ＋BD ＝40，∴AC ＝BD ＝20.又∵AB ＝12，∴在Rt △ABC 中，BC ＝AD ＝22AB AC -＝16，∴OG ＝12AB ＝6，CG ＝12BC ＝8.∴在Rt △OEG 中，EG ＝22OG OE -＝2，∴CE ＝CG －EG ＝6.又∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OA ＝OC ，∴∠DAO＝∠BCO ，又∵∠AOH ＝∠COE ，∴△AOH ≌△COE (ASA)，∴AH ＝CE ＝6，∴DH ＝AD －AH ＝10，∵CE ∥DH ，∴ DH CE ＝DF CF ，即106＝CFCF +12，解得CF ＝18，∴DF ＝30；如解图②，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，当点F 在CD 的延长线上时，EF 与AD 交于点H ，同理可得DH ＝BE ＝6，由CE ∥DH ，得DH CE ＝DF CF ，即610＝DFDF +12，解得DF ＝18.图①图②第2题解图3.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，F在AD边上，M，N分别是CD，BC边上的动点，若AB=AF=2，AD=3，则四边形EFMN周长的最小值是 .第3题图5+5【解析】如解图，延长EB至点G，使BE=BG，延长FD到点H，使DH=DF，连接GN，MH，GH．∴BC垂直平分EG，CD垂直平分FH，∴EN=GN，MF=MH，∵E是AB边的中点，F在AD边上，AB=AF=2，AD=3，∴EF长不变，AE=EB=BG=1，DF=DH=1，即AG=3，AH=4，∵M，N分别是CD，BC边上的动点，∴当点G、N、M、H在同一直线上时，GN+MN+MH=GH最短，即EN+MN+MF最短，此时Rt△AGH中，GH=22AHAG+=5，∴EN+MN+MF=5，又∵Rt△AEF中，EF=22AFAE+=5，∴EN+MN+MF+EF的最小值为5+5，∴四边形EFMN周长的最小值是5+5.第3题解图4.如图，在△ABC 中，AB =BC =4，AO =BO ，P 是射线CO 上的一个动点，∠AOC =60°，则当△P AB 为直角三角形时，AP 的长为 .第4题图2，23或27 【解析】由于点P 在射线CO 上运动，∴当△P AB 为直角三角形时，有三种情况：（1）当∠APB =90°时，①如解图①，当点P 在CO 上时，∵AB =BC =4，AO =BO ，∴AO =2，∴PO =AO =2，∵∠AOC =60°，∴△APO 是等边三角形，∴AP =AO =2；②如解图②所示，当点P 在CO 的延长线上时，∵AB =BC =4，AO =BO ，∠AOC =60°，∴OP =OA =OB =2，∵∠POB =∠AOC =60°，∴△POB 是等边三角形，即PB =OB =2，∴AP =22PB AB -=2224-=23；（2）当∠ABP =90°时，如解图③所示，∵AB =BC =4，AO =BO ，∴AO =BO =2，又∵∠BOP =∠AOC =60°，∠ABP =90°，∴BP =OB ·tan60°=23，在Rt △APB 中，AP =22PB AB +=()22324+=27.综上所述，AP 的长度为2或23或27.第4题解图类型二操作探究题5.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为_____．第5题图30°或60°【解析】如解图，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝12∠ABC，∠BAC＝12∠BAD，AD∥BC，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°.∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°.第5题解图6.如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为B′，折痕为CE；再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C上，记为D′，折痕为CG ，B ′D ′＝2，BE ＝13BC ，则矩形纸片ABCD 的面积为________．第6题图15 【解析】设BE ＝a ，则BC ＝3a ，由题意可得，CB ＝CB ′，CD ＝CD ′，BE ＝B′E ＝a ，∵B ′D ′＝2，∴CD ′＝3a －2，∴CD ＝3a －2，∴AE ＝3a －2－a ＝2a －2，∴DB ′＝22'CD CB -＝()()22233--a a =412-a ＝213-a ，在Rt △AB ′E 与Rt △DCB ′中，∵∠AB ′E ＋∠DB ′C ＝90°，∠DCB ′＋∠DB′C ＝90°，∴∠AB ′E ＝∠DCB′，又∵∠A ＝∠D ＝90°∴△AB′E ∽△DCB′，∴'''CB E B DB AE =，即aa a a 313222=--，解得a 1＝23或a 2＝53.当a ＝23时，BC ＝2，∵B ′D ′＝2，CB ＝CB ′，∴a ＝23不符合题意，舍去；当a ＝53时，BC ＝5，AB ＝CD ＝3a －2＝3，∴矩形纸片ABCD 的面积为5×3＝15.7. 如图，菱形ABCD 的边AB ＝8，∠B ＝60°，P 是AB 上一点，BP ＝3，Q 是边CD 上一动点，将四边形APQD 沿直线PQ 折叠，点A 的对应点为A ′，CA ′的长度最小时，CQ 的长为________．第7题图7【解析】如解图，过点C作CH⊥AB于点H，∵菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴CH＝32AB＝43，AH＝BH＝4，∵PB＝3，∴HP＝1，在Rt△CHP中，CP＝（43）2＋12＝7，∵四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，∴点A′在以P点为圆心，P A为半径的弧上，∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，∴∠APQ＝∠CPQ，∵CD∥AB，∴∠APQ＝∠CQP，∴∠CQP＝∠CPQ，∴CQ＝CP＝7.第7题解图8.小明将一块长方形木板如图①所示切割，无缝隙不重叠的拼成如图②所示的“L”形状，且成轴对称图形．切割过程中木材的消耗忽略不计，若已知AB=9，BC=16，FG⊥AD，则CEEG的值为．第8题图34【解析】如解图①，延长FG交BC于H，设CE=x，则E'H'=CE=x，由轴对称的性质得：D'E'=DC=E'F'=9，∴H'F'=AF=9+x，∵AD=BC=16，∴DF=16-（9+x）=7-x，即C'D'=DF=7-x=F'G'，∴FG=7-x，∴GH=9-（7-x）=2+x，EH=16-x-（9+x）=7-2x ，∴EH ∥AB ，∴△EGH ∽△EAB ，∴BE EH AB GH =，∴xx x --=+162792，解得x =1或31（舍），∴GH =3，EH =5，∴EG =2253+=34，∴CE EG =34.图① 图②第8题解图9.如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1．若∠ACB =30°，AB =1，CC 1=x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分面积为S ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△BC 1C ；②当x =1时，四边形ABC 1D 1是菱形；③当x =2时，△BDD 1为等边三角形；④S =43（x -2）2（0≤x ≤2）．其中正确的是 （将所有正确答案的序号都填写在横线上）第9题图① ②③ 【解析】①∵四边形ABCD 为矩形，∴BC =AD ，BC ∥AD ，∴∠DAC =∠ACB ，∵把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，∴∠A 1=∠DAC ，A 1D 1=AD ，AA 1=CC 1，在△A 1AD 1与△CC 1B 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CB D A ACB A CC AA 11111,故①正确；②∵∠ACB =30°，∴∠CAB =60°，∵AB =1，∴AC =2，∵x =1，∴AC 1=1，∴△AC 1B 是等边三角形，∴AB =D 1C 1，又AB ∥D 1C 1，∴四边形ABC 1D 1是菱形，故②正确；③如解图，则可得BD =DD 1=BD 1=2，∴△BDD 1为等边三角形，故③正确．④易得△AC 1F ∽△ACD ，∴2221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x S S ACD FAC △△，解得：S △AC1F =83(x −2)2（0＜x ＜2）；故④错误；综上可得正确的是①②③．第9题解图10.如图①，在矩形纸片ABCD 中，AB =3+1，AD =3．如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D 恰好落在AB 边上的D ′处，压平折痕交CD 于点E ，则折痕AE 的长为 ；如图③，将图②中的△AED ′绕点E 顺时针旋转α角，得△A ′ED ′′，使得EA ′恰好经过顶点B ，则弧D ′D ′′的长为 ．（结果保留π）图① 图② 图③ 第10题图6，1235π 【解析】∵△ADE 翻折后与△AD ′E 重合，∴AD ′=AD =D ′E =DE =3，∴AE =()()2233+=6；∵∠C =90°，BC =3，EC =1，∴tan ∠BEC =CE BC =3，∴∠BEC =60°，由翻折的性质可知：∠DEA =45°，∴∠AEA ′=75°，由旋转的性质可知，∠D ′ED ′′=∠AEA ′，∴弧D ′D ′′的长为180375⋅π=1235π.。
(整理版)2020年中考数学动态问题图形最值问题探究(含答案)
专题09动点类题目图形最值问题探究题型一：矩形中的相似求解例1.( 2019 •绍兴)如图，矩形ABCD中，AB=a, BC=b，点M、N分别在边AB、CD上，点E、F分别在边BC、AD上，MN、EF交于点P.记k=MN:EF.(1)若a：b的值为1，当MN丄EF时，求k的值.1(2)若a：b的值为_ ,求k的最大值和最小值.2(3)若k的值为3，当点N是矩形的顶点，/ MPE=60° MP = EF=3PE时，求a: b的值•题型二：二次函数中几何图形最值求解例2. (2019 •衡阳)如图，二次函数y = x2+bx+c的图象与x轴交于点A (- 1, 0)和点B (3, 0),与y 轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP,过点P作CP 的垂线与y轴交于点E.(1)求该抛物线的函数关系表达式；(2)当点P在线段OB (点P不与0、B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；(3)在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB .请问：△ MBN的面积是否存在题型三：二次函数中面积最值的求解例3. （2019 •自贡）如图，已知直线AB与抛物线C : y ax22x c相交于点A （-1,0）和点B（2,3）两点.（1 ）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M 的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于题型四：反比例函数中面积最值的求解例4. （2018 •扬州一模）如图1，反比例函数y= 乂（x> 0）的图象经过点 A （2、/3 1）,射x线AB与反比例函数图象交于另一点 B （1 , a），射线AC与y轴交于点C, / BAC=75° , AD丄y 轴，垂足为D .（1 ）求k的值；（2）求tan/ DAC的值及直线AC的解析式；（3）如图2, M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l丄x轴，与AC相交于点N,连接CM,求△ CMN面积的最大值.、yi\kj1DJ A■O K cX0nX 圈1医|2题型五：反比例函数中面积最值的求解例5. (2019 •达州)如图1，已知抛物线y=—x2+bx+c过点A(1,0), B(-3,0).(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；F的坐标；若不存在，请说明理由(2)设点D是x轴上一点，当tan (/CAO+ / CDO) =4时，求点D的坐标；(3)如图2,抛物线与y轴交于点E,点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M,交y轴于点N, △ BMP和厶EMN的面积分别为m、n,求m- n的最大值.题型六：二次函数中最值及最短路径题型例6. (2019 •绵阳)在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2(a>0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B (点A在点B的左侧)，OA=1,经过点A的一次函数y=kx+b (心0的图象与y轴正半轴交于点C, 且与抛物线的另一个交点为D, △ ABD的面积为5.(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标;例7. (2019 •潍坊)如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点 A (4, 0)，点B(0, 4), △ ABO的中线AC与y轴交于点C,且O M经过O, A, C三点.(1)求圆心M的坐标；(2)若直线AD与O M相切于点A,交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；(3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作PE// y轴，交直线AD 于点E.若以PE为半径的O P与直线AD相交于另一点F .当EF = 4.5时，求点P的坐标.题型一：矩形中的相似求解例1. (2019 •绍兴)如图，矩形 ABCD 中，AB=a , BC=b ，点M 、N 分别在边 AB 、CD上，点E 、F 分别在边 BC 、AD 上，MN 、EF 交于点P.记k=MN:EF.(1) 若a ： b 的值为1，当MN 丄EF 时，求k 的值. (2) 若a ： b 的值为1，求k 的最大值和最小值.2(3) 若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，/ MPE=60° MP = EF=3PE 时，求a : b 的【分析】(1)当a ： b=1时，可得四边形 ABCD 为正方形，由 MN 丄EF ，可证MN=EF , 即k=1 ; (2)先确定MN 和EF 的取值范围，当MN 取最大值，EF 取最小值时，k 的值最大, 否则反之；(3)根据N 是矩形顶点，分两种情况讨论，即 N 分别与D 点和C 点重合，依据 不同图形求解•【答案】见解析【解析】解：(1)当a : b=1时，即AB=BC , •••四边形ABCD 是矩形, •••四边形ABCD 是正方形,过F 作FG 丄BC 于G ,过M 作MH 丄CD 于H ,如下图所示,•••/ NMH = Z EFG ,答案与解析•/ MN 丄 EF ,•••/ MHN = / FGE=90° , MH=FG , •••△ MNH ◎△ FEG , ••• MN=EF ，即 k=1 ; (2)由题意知:b=2a ,所以得：a 壬F w 、. 5a , 2a 邙/IN 三5a ,所以当MN 取最大值，EF 取最小值时，k 取最大值，为;连接FN ， ME ，设 PE=x ，贝U EF=MP=3x , PF=2x , MN=3EF=9x , PN=6x , • PF 空PE PM又•••/ FPN = / MPE , • △ FPNEPM ,• FN // ME ,ME 得，M 点与B 点重合,•••/ MPE=60° ,当MN 取最小值，EF 取最大值时,k 取最小值，为2、、55(N)(3)如下图所示,E①当N 点与D 点重合时，由FN //(M)过F 作FH 丄BD 于H ,•••/ PFH=30° ,••• PH=x , FH= .、3X , BH = BP+PH=4x , DH=5x , 亠 亠 73 在 RtA DFH 中，tan / FDH =——,5即 a:b= 3 ；5，贝U PH=x , EH=、、3x , CH = PC+PH=13x ,•/ ME // FC ,•••/ MEB= / FCB= / CFD ,• △ MEBCFD ,•CDMBFCME=2,CD 2BM2 3即—BC BC 13综上所述，a:b 的值为一3或2 3 .5 13题型二：二次函数中几何图形最值求解例2. (2019 •衡阳)如图，二次函数 y = x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A (- 1, 0)和点B(3, 0),与y 轴交于点N ,以AB 为边在x 轴上方作正方形 ABCD ，点P 是x 轴上一动点， 连接CP ,过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E . (1) 求该抛物线的函数关系表达式；在 RtA ECH 中, tan / ECH =13②当N 点与C 点重合时，过过点E 作EH 丄MN 于H ，连接EM ,（2）当点P在线段OB （点P不与0、B重合）上运动至何处时，线段0E的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB .请问：△ MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数解析式求解；（2 ）由厶POE CBP得出比例线段，可表示0E的长，利用二次函数的性质可求出线段0E的最大值；（3）过点M作MH // y 轴交BN于点H，由MNB = S^BMH +S^MNH即可求解.【答案】见解析•2【解析】解：（1）•••抛物线y= x+bx+c经过A （- 1, 0）, B （3, 0）,1 b c 09 3b c 0’解得: 抛物线函数关系表达式为y= x2- 2x- 3 ；(2)由题意知：AB= OA+OB= 4,在正方形ABCD中，/ ABC = 90° PC丄BE,•••/ OPE+Z CPB = 90°/ CPB + Z PCB = 90°•Z OPE = Z PCB ,又T Z EOP= Z PBC = 90° ,•••△POE CBP ,•BC OPBP OE，设OP=x,贝U PB=3-x ,4 x 3 x OE• OE = 1x 24(3)存在.如图，过点 M 作MH // y 轴交BN 于点H ,3k b 0 b 3 '题型三：二次函数中面积最值的求解和点B (2,3)两点.(1 )求抛物线C 函数表达式；(2)若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点， 以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边 形MANB ，当平行四边形 MANB 的面积最大时，求此时平行四边形23 9——,2163 x 时，即20P= 3时线段 2OE 长有最大值, 最大值为16•••直线BN 的解析式为 y = x - 3,设 M ( m , m 2-2m - 3),贝U H (m , m - 3), • MH = m - 3 -( m 2 - 2m - 3)2=-m 2+3m ,1二MNB = S BMH + S A MNH =—3m27 8• a =-时，△ MBN 的面积有最大值,2最大值是27，此时8M 点的坐标为(3 ,2 '例3. (2019 •自贡)如图，已知直线AB 与抛物线C : yax 2 2x c 相交于点A (-1,0)MANB 的面积S 及点M 设直线BN 的解析式为 y = kx+b ,的坐标；(3) 在抛物线C 的对称轴上是否存在定点 F ,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于【解析】解：(1)把A (-1,0)，B (2,3)代入抛物线得:a 2 c 0 4a 4 c 3解得•••抛物线的函数表达式为： y= — X 2+2X +3(2 )T A (-1,0), B ( 2,3),•直线AB 的解析式为：y=x+1,如下图所示，过 M 作MN // y 轴交AB 于N ,设 M(m,— m 2+2m+3), N(m,m+1), (-1v m v 2) • MN = — m 2+m +2.• S A ABM =S A AMN +S A BMN = —(X B X A ) MN2F 的坐标；若不存在，请说明理由• S A ABM = 12(m 2) 33 1 2 2(m 2)271•当m 时，△ ABM 的面积有最大值227 27 1 7 —，而 S C MANB =2S ^ABM =—，此时 M (— -)842’ 2•••当P 与顶点D 重合时，也有 PG=PF.1171此时PG=—，即顶点D 到直线y的距离为,4 4 41• PF=DF = —,4• F(1,145),4•/ PG = PF , …PG 2=PF 2,15 2 2223 • (x 1)2 ( x 2 2x 3)2 (x 1)2 (x 2 2x )244整理化简可得Ox=O , •当F(1,d)时，无论x 取任何实数，均有 PG=PF.4题型四：反比例函数中面积最值的求解 例4. (2018 •扬州一模)如图1,反比例函数y= - (x > 0)的图象经过点 A (2,：‘3, 1),X射线AB 与反比例函数图象交于另一点 B (1, a )，射线AC 与y 轴交于点C ,/ BAC=75°AD 丄y 轴，垂足为D . (1 )求k 的值；(2) 求tan / DAC 的值及直线 AC 的解析式； (3)如图2, M 是线段AC 上方反比例函数图象上一动点，过M 作直线l 丄x 轴，与AC 相 交于点N ,连接CM ,求△ CMN 面积的最大值.(3)存在，点 F(1,15)4理由如下：抛物线顶点为 则D ( 1,4),则顶点17 1 D 到直线y 的距离为 ，4 4设 F(1, n)、P(x, x 22x 3)，设P 到直线y 17的距离为PG.417 2则 PG= ( x 2 2x43)x 2 2x 5 ，4••• P 为抛物线上任意一点都有 PG = PF ， PF 2 (x 1)215 2 2 x 2x 3)2 23 2(x 1) (x 2x4)PG 2 (x 22x5) (x 2 2x2则 AE = BE = 2 3 - 1. • / ABE = / BAE = 45 又•••/ BAC = 75° • / DAC = 30°• DC = tan30° AD = — 2.3 = 23 ，• OC = 1，即 C (0,- 1) 设直线AC 的解析式为y =kx+b【答案】见解析【解析】解：(1) •••将A (2.3 , 1)代入反比例函数k y = x••• k= 2 3 ;(2)由(1)知，反比例函数解析式为y = 2仝,x•••点B (1, a )在反比例函数y =厶卫的图象上，x --a = 2,•点 B (1, 2 3 )过B 作BE 丄AD 于E ，如下图所示，2 3k b 1 b 1题型五：反比例函数中面积最值的求解 例5. (2019 •达州)如图1，已知抛物线 y=— x 2+bx+c 过点A(1,0), B(-3,0). (1)求抛物线的解析式及其顶点 C 的坐标；(2) 设点D 是x 轴上一点，当tan (/CAO+ / CDO ) =4时，求点 D 的坐标; (3)如图2,抛物线与y 轴交于点E ,点P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段 PA 交BE 于点M ,交y 轴于点N , △ BMP 和厶EMN 的面积分别为 m 、n ,求m - n 的最大值.【解析】解：(1)把点(1, 0), (— 3, 0)代入y =- x 2+bx+c,解得 b =— 2, c = 3,2 2• y =— x — 2x+3 = —( x+1) +4 , •此抛物线解析式为：y =- x 2 — 2x+3，顶点C 的坐标为(-1, 4)；(2 )由(1)知：抛物线对称轴为 x =- 1,解得kb _331•••直线AC 的解析式为 (3)设 M ( m ,• S 1…注CMN =-2 73 /=— (m -6 当m =乜时, 2y = — x — 132 3、“/ 3), N ( m , 一 m — 1) m 3-m — 1)=空—-^m+1, 3-(◎-仝m+1)m 3 .3 ) 2 93 28 m =—3 V3 6 △ CMN 的面积有最大值，最大值为 ^3得,0 1 b c 09 3b c【答案】见解设抛物线对称轴与x轴交于点H , H (- 1, 0),在Rt A CHO 中，CH = 4, OH = 1,tan / COH = = 4,OH•••/ COH = / CAO + / ACO ,•••当 / ACO= / CDO 时，tan (/ CAO+ / CDO )= tan/COH = 4,如下图所示，当点D在对称轴左侧时，•// ACO = / CDO , / CAO = / CAO ,• △ AOCACD ,•AC AO…AD AC,T AC = 2 吆5 , AO= 1 ,•AD = 20 , OD = 19 ,• D (- 19 , 0)；当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x= 1的对称点D'的坐标为(17, 0), •••点D的坐标为(-19 , 0)或(17 , 0);(3)设P (a, - a2- 2a+3),设直线PA的解析式为：y=kx+b ,将P ( a, - a2- 2a+3), A (1 , 0)代入y= kx+b ,ak b a22a 3k b 0 ,解得，k=- a- 3 , b= a+3,•y=( - a - 3) x+a+3 ,当x= 0 时，y= a+3 , • N (0, a+3),T m = S ^ BPM = S A BFA — S 四边形 BMNO — S A AON , n=S ^EMN = S ^EBO — S 四边形 BMNO ,二 m — n = S A BFA - S A EBO - S A AON1 2 11=-用 x (- a — 2a+3)- _ X 3 X 3 - X1 x (a+3) 2 2 2 9、2 81 — 2 (a+ — ) + —,8 32.•.当a — - 9时，m — n 有最大值81. 8 32 题型六：二次函数中最值及最短路径题型例6. (2019 •绵阳)在平面直角坐标系中，将二次函数 y=ax 2 (a >0)的图象向右平移 1个 单位，再向下平移 2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A在点B 的左侧)，OA=1,经过点A 的一次函数y=kx+b (心0的图象与y 轴正半轴交于点 C , 且与抛物线的另一个交点为 D , △ ABD 的面积为5. (1) 求抛物线和一次函数的解析式； (2) 抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方，求 △ ACE 面积的最大值，并求出此时点E的坐标；3(3) 若点P 为x 轴上任意一点，在(2 )的结论下，求PE+3FA 的最小值.5【答案】见解析•【解析】解：(1 )由平移知，平移后得到的抛物线解析式为y=a (x-1) 2-2,:备用團如下图所示,•/ OA=1 ,•••点A 的坐标为(-1, 0),代入抛物线的解析式得， 4a-2=0,得：a =1,•••抛物线的解析式为令y=o ，解得x^-iX 2=3,• AB=0A+0B=4,• c1--S A ABD = AB • y D =52 5•-y D =2，即 y 1x 2• D (4, 设直线 3，解得 x i =-2, X 2=4,5)，AD 的解析式为 y= kx+ b ,4k52，解得: 01 2 1， 2•直线 AD 的解析式为:i iy=2x+2・(2)过点E 作EM // y 轴交AD 于M ,如下图所示,1 2a+—3a — 4) (a — 3) 2+空2 16(a, 1•- S A ACE =S A AME — S ^CME = 一一 ( a 2.•.当a=3时，△ ACE 的面积有最大值，最大值是 25，此时E 点坐标为(-, 兰).2 16 2 8(3) 作E 关于x 轴的对称点F ，连接EF 交x 轴于点G ,过点F 作FH 丄AE 于点H ，交轴于 点P ,•••/ AGE = / AHP=90°PH= 3AP ,5••• E 、F 关于x 轴对称, ••• PE=PF , 3•- PE+二 AP=FP+HP=FH ，此时 FH 最小，5 15•/ EF= , / AEG = Z HEF ,4 AG FH 4..sin / AEG=Sin / HEF =—— -AE AE 5 ••• FH=3.3即PE+-PA 的最小值是3.5例7. (2019 •潍坊)如图，在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，点 A (4, 0)，点B(0，4)，△ ABO 的中线AC 与y 轴交于点C ,且O M 经过O , A , C 三点. (1) 求圆心M 的坐标；(2) 若直线AD 与O M 相切于点A ,交y 轴于点D ，求直线AD 的函数表达式；(3) 在过点B 且以圆心M 为顶点的抛物线上有一动点 P ,过点P 作PE // y 轴，交直线 AD 于点E.若以PE 为半径的O P 与直线AD 相交于另一点F .当EF = 4.5时，求点P 的坐标.AGEG =A G E G二 sin / EAG=PH APEG AE【答案】见解析.【解答】解：(1)v AC为厶ABO的中线，点B ( 0, 4),•••点C (0, 2),T 点A (4, 0),点M为线段AC的中点，即M (2, 1);(2)T O P 与直线AD，则/ CAD = 90°,设/ CAO = a,则/ CAO=Z ODA =Z PEH = a,tan / CAO = OC —= tan a,贝V sin a= ■ , cos a=—, OA 2 5 5 —ACAC =、10 ,贝U CD = = 10 ,sin则 D (0, - 8),设直线AD的解析式为：y= mx+n:得： b 8，解得：k=2 , b=—8 ,4k b 0直线AD的表达式为：y= 2x- 8;(3)抛物线的表达式为：y= a (x- 2) 2+1,3 将点B坐标代入上式并解得：a=-,4故抛物线的表达式为：y= -x2- -x+4 ,4过点P 作PH 丄EF ,贝U EH = - EF = 2 5,设点P (x, -x2- 3x+4),则点 E (x, 2x—8),4则PE = 3x2- 3X+4 - 2x+8 = 5,4 14解得x= 14或2 (舍)32。
2020年中考数学热点专题四动态探究问题解析版
2020年中考数学热点专题四动态探究问题解析版2019的中考中的动态问题是失分点，总结如下：常见的动点问题分类：①求最值问题，②动点构成特殊图形问题.一、求最值问题初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短.求线段和的最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题.二、动点构成特殊图形问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置).分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或函数关系解决.小结在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.考向1 动点与最值1．(2019·聊城)如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A(4，4)，点C在边AB上，且ACCB=13，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．(2，2) B．(52，52) C．(83，83) D．(3，3)2.（2019·威海）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数()0ky k x=≠的图像上运动，且始终保持线段AB =M 为线段AB 的中点，连接OM.则线段OM 的长度的最小值是 （用含k 的代数式表示）.3．(2019·巴中)如图，在菱形ABCD 中，连接BD ，AC 交于点O ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，以点O 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M.（1）求证:DC 是e O 的切线;（2）若AC=4MC 且AC=8，求图中阴影部分的面积;（3）在②的条件下，P 是线段BD 上的一动点，当PD 为何值时，PH+PM 的值最小，并求出最小值.4．（2019·益阳）如图，在半面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB=4，BC=6.若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半上随之上下移动.(1)当∠OAD=30°时，求点C 的坐标；(2)设AD 的中点为M ，连接OM 、MC ，当四边形 OMCD 的面积为221时，求OA 的长； (3)当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos ∠OAD 的值.5．（2019·衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB=6cm ，动点P 从点A 出发以cm/s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 延长线方向匀速运动．当点P 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．设运动时间为t （s ）．过点P 作PE ⊥AC 于E ，连接PQ 交AC 边于D ．以CQ 、CE 为边作平行四边形CQFE ．（1）当t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t ，使点F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE 的长；（4）取线段BC 的中点M ，连接PM ，将△BPM 沿直线PM 翻折，得△B ′PM ，连接AB ′，当t 为何值时，AB ′的值最小？并求出最小值．考向2 动点与图形存在性问题1.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线：y=ax 2+2x+c 相交于点A （-1，0）和点B （2，3）两点. （1）求抛物线C 函数解析式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在顶点F ，使抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y=174的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.2.（2019·凉山州）如图，抛物线y= ax 2+bx+c 的图象过点A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得 S △PAM =S △PAC ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 考向3 动点与函数图像问题1．(2019·广元)如图，点P 是菱形ABCD 边上的动点，它从点A 出发沿A→B→C→D 路径匀速运动到点D ，设△PAD 的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则y 关于x 的函数图象大致为( )2．（2019·衡阳）如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，E 是AB 的中点，过点E 作AC 和BC 的垂线，垂足分别为点D 和点F ，四边形CDEF 沿着CA 方向匀速运动，点C 与点A 重合时停止运动，设运动时间为t ，运动过程中四边形CDEF 与△ABC 的重叠部分面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）．3.（2019·菏泽）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）4．（2019·长沙）如图，函数kyx=(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM 分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA=30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k=2；④若MF=25MB，则MD=2MA．其中正确的结论的序号是．2020年中考数学热点专题四动态探究问题解析版2019的中考中的动态问题是失分点，总结如下：常见的动点问题分类：①求最值问题，②动点构成特殊图形问题.一、求最值问题初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。
2020年中考数学压轴题突破之动态问题(几何)(含详解)
2020年中考数学压轴题突破之动态问题(几何)1.如图，点O是等边ABC内一点，AOB 110 , BOC .以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD .(1)若120 ,判断OB OD BD (填“，或”)(2)当150 ,试判断AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当时，AOD是等腰三角形.(请直接写出答案)【答案】(1) 二; (2) ADO是直角三角形，证明见详解；(3) 125、110、140 .【分析】(1)根据等边三角形性质得出COD 60 ,利用？BOC a = 120。
求出BOD 180 ,所以B, 0, D三点共线，即有OB+ OD = BD ；(2)首先根据已知条件可以证明BOC ADC ,然后利用全等三角形的性质可以求出ADO的度数，由此即可判定AOD的形状；(3)分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解.2 .如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点O与坐标原点重合，顶点A C在坐标轴上，B(18,6),将矩形沿EF折叠，使点A与点C重合.图3 G(1)求点E的坐标;(2)P O O A E2E时停止运动，设P的运动时间为t, VPCE的面积为S,求S与t的关系式，直接写出t 的取值范围;3(3)在(2)的条件下，当PA=]PE 时，在平面直角坐标系中是否存在点Q,使得以点P 、E 、G Q 为顶点的四边形为平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点Q 的坐标.【答案】(1) E (10, 6); (2) S= -8t+54 (0<t<3)或 S=-6t+48 (3vtW8)； (3)存 在，Q (14.4 , -4.8 )或(18.4 , -4.8 ). 【详解】解：(1)如图 1,矩形 ABO, B (18, 6),• .AB=18 BC=6,设 AE=x,贝U EC=x BE=18-x,Rt^EBC 中，由勾股定理得： EB"+BC 2=EC 2,(18-x) 2+62=x 2, x=10,即 AE=10,①当P 在OA 上时，0WtW3,如图 2,=18X 6-1X10(62) — - X8X6 - 1X 18X2t , 2 2 2=-8t+54 ,②当P 在AE 上时，3<t<8,如图3,S = S 矩形 OABC S △ PAE -S △ BEC -S △OPCj• •E ( 10, 6);(2)分两种情况：S=1PE?BC=1 X 6X(16-2t)=3 (16-2t ) =-6t+48 ;2 2(3)存在，由PA=3PE可知：P在AE上，如图4,过G作GHLOC于H,2•.AP+PE=10.•.AP=6 PE=4,设OF=y,则FG=y, FC=18-y,由折叠得：/ CGFW AOF=90 ,由勾股定理得：FC2=FC+CG,•. ( 18-y) 2=y2+62,y=8,•.FG=8 FC=18-8=10,1FC?GH= 1FG?CG221X10XGH= 1 X6X8,22GH=4.8,由勾股定理得：FH=J82 4 82 =6.4 ,• .OH=8+6.4=14.4,.•.G ( 14.4 , -4.8 ),•・•点P、E G Q为顶点的四边形为平行四边形，且PE=4,.•.Q ( 14.4 , -4.8 )或(18.4 , -4.8 ). k ,3.如图1,平面直角坐标系xoy中，A(-4, 3),反比例函数y —(k 0)的图象分别x交矩形ABOC勺两边AC, BC于E, F (E, F不与A重合)，沿着EF将矩形ABO所叠使A, D重合.②若折叠后点 D 落在矩形ABOCrt （不包括边界），求线段CE 长度的取值范围.（2）若折叠后，△ ABD 是等腰三角形，请直接写出此时点 D 的坐标.7 . 23 3. 11 3.【答案】（1）①EC= 2;②3 CE 4； （2）点D 的坐标为（一,一）或（一，一）88 2 5 5【详解】,k k解：(1)①由题意得E(k,3) , F( 4,-), 3 4k kk 0 ,则 EC — , FB 一, 3 4AF 3 一， 417(12 k) 4 3 1 3 4(12 k) 3..由 A(-4, 3)得：AC 4, AB 3,,AC 4一 --- 一,AB 3 AE AC AF AB '又A=Z A,・ .△AE% AACB ・ •/AEF4 ACB ・ •.EF// CB如图2,连接AD 交EF 于点H ,••• AE.AE （1）①如图2,当点D 恰好在矩形 ABOC 勺对角线BC 上时，求CE 的长；②由折叠得EF 垂直平分AD,••• /AHE 90 ,则 EAH AEF又• BAD EAH BAC 90 ,BAD AEF ，・ .△AE% ABAQAE AF 口"AB AE 4--- ----- ,则 ----- ------ -，AB BD BD AF 34 3 9 BDAB - 3 - 3 4 4设 AF=x,贝U FB=3— x, FD=AF=x 在Rt^BDF 中，由勾股定理得：FB 2 BD 2 FD 2，r i图2由折叠的性质得： •••D 在 BC 上， ,AE AHEC DH 1 EC AC 2AH=DH 1,则 AE EC 2;即(3 x)2x 2 ,解得:如图，当D 落在BO 上时，: EAF ABD 90 ,B力。
2020中考数学重难点题型——12道几何探究题解析 (扫描版)
一、方程类
易错1：方程思想概念不清晰！
易错2：一元一次方程和一元二次方程
的概念以及解的情况
易错3：易忽略一元二次方程方程根的存在性
二、函数类
易错4：分析一次函数和二次函数的定义以及与X轴的交点情况
易错5：利用数学结合思想
分析抛物线最值和开口方向问题
易错6：利用数学结合思想
分析抛物线与坐标轴的交点情况
易错7：双曲线形成的简单三角形的面积与反比例系数之间的关系问题
易错8：数形结合，抛物线与坐标轴交点
韦达定理的运用
三、圆类
易错9：优弧和劣弧分类讨论
易错10：求两平行弦之间的距离分类讨论。
专题02 线动型-2020年中考数学压轴题之几何图形中的动点探究(全国通用)(解析版)
专题02 线动型【例1】如图，点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，过点P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点．设2AC =，1BD =，AP x =，CMN ∆的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致形状是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：（1）当01x <时，如图1，在菱形ABCD 中，2AC =，1BD =，1AO =，且AC BD ⊥；MN AC ⊥，//MN BD ∴；AMN ABD ∴∆∆∽，AP MN AO BD∴=， 即11x MN =， MN x ∴=，2111(2)(01)222y CP MN x x x x x ∴=⨯=-=-+<， 102-<，∴函数图象开口向下； （2）当12x <<，如图2，同理证得，CDB CNM ∆∆∽，CP MN OC BD=， 即211x MN -=， 2MN x ∴=-，221111(2)(2)(2)(2)2222y CP MN x x x x ∴=⨯=-⨯-=-=-， 102>， ∴函数图象开口向上；综上，答案A 的图象大致符合；故选：A ．【变式训练1】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，16AB =．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC （或边)CB 于点Q ，设AP x =，APQ ∆的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：当点Q 在AC 上时，30A ∠=︒，AP x =，tan 303PQ x x ∴=︒=，21122y AP PQ x x x ∴=⨯⨯=⨯=； 当点Q 在BC 上时，如下图所示：AP x =，16AB =，30A ∠=︒，16BP x ∴=-，60B ∠=︒，tan 60)PQ BP x ∴=︒=-．∴2113(16)222APQ S AP PQ x x x ∆==-=-+． ∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选：B ．【变式训练2】在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，P 是BD 上一动点，过P 作//EF AC ，分别交正方形的两条边于点E ，F ．设BP x =，OEF ∆的面积为y ，则能反映y 与x 之间关系的图象为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，2AC BD ∴==，112OB OD BD ===， ①当P 在OB 上时，即01x ，//EF AC ，BEF BAC ∴∆∆∽，::EF AC BP OB ∴=，22EF BP x ∴==，2112(1)22y EF OP x x x x ∴==⨯-=-+； ②当P 在OD 上时，即12x <，//EF AC ，DEF DAC ∴∆∆∽，::EF AC DP OD ∴=， 即:2(2):1EF x =-，42EF x ∴=-，211(42)(1)3222y EF OP x x x x ∴==⨯--=-+-， 这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：二次函数的图象是一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数．当系数0>时，抛物线开口向上；系数0<时，开口向下．根据题意可知符合题意的图象只有选项B ．故选：B ．【变式训练3】如图，在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，且//DE BC ，2BD DE ==，245BC =．动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿B D E C →→→匀速运动，运动到点C 时停止．过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，设BPQ ∆的面积为S ，点P 的运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：PQ BQ ⊥ ∴在P 、Q 运动过程中BPQ ∆始终是直角三角形．12BPQ S PQ BQ ∆∴=， ①当点P 在BD 上，Q 在BC 上时（即02)s t s ，BP t =，1cos602BQ PQ t =︒=，sin 60PQ BP =︒=， 211133222BPQ S PQ BQ t t ∆∴=== 此时BPQ S ∆的图象是关于(02)t s t s 的二次函数．0>， ∴抛物线开口向上；②当P 在DE 上，Q 在BC 上时（即24)s t s <，sin 602PQ BD =︒==cos60(2)1BQ BD t t =︒+-=-，1133(1)22BPQ S PQ BQ t ∆∴==-=； 此时BPQ S ∆的图象是关于(24)t s t s <的一次函数．0> BPQ S ∆∴随t 的增大而增大，直线由左向右依次上升．③P 在EC 上时，由45C ∠=︒易求得236EC ==（即446)s t s <+4)(446)PQ t s t s -<+，34)BQ t =-，2111[4)][34)](4)(4)224BPQ S PQ BQ t t t t ∆∴==--=---，∴抛物线开口向下．故选：D ．【变式训练4】在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，P 是BD 上一动点，过P 作//EF AC ，分别交正方形的两条边于点E ，F ．设BP x =，BEF ∆的面积为y ，则能反映y 与x 之间关系的图象为( )A ．B ．C ．D ． 【解答】解：四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴==12OB OD BD ===①当P 在OB 上时，即02x ，//EF AC ，BEF BAC ∴∆∆∽，::EF AC BP OB ∴=，22EF BP x ∴==，211222y EF BP x x x ∴==⨯⨯=；②当P 在OD 22x ， //EF AC ，DEF DAC ∴∆∆∽，::EF AC DP OD ∴=，即:)EF x)EF x ∴=，211)22y EF BP x x x ∴==⨯⨯=-+， 这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：二次函数的图象是一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数．当系数0>时，抛物线开口向上；系数0<时，开口向下．所以由此图我们会发现，EF 的取值，最大是AC ．当在AC 的左边时，2EF BP =；所以此抛物线开口向上，当在AC 的右边时，抛物线就开口向下了． 故选：C ．【变式训练5】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6AC =，8BD =．动点E 从点B 出发，沿着B A D --在菱形ABCD 的边上运动，运动到点D 停止．点F 是点E 关于BD 的对称点，EF 交BD 于点P ，若BP x =，OEF ∆的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ． 【解答】解：四边形ABCD 是菱形，AB BC CD DA ∴===，132OA AC ==，142OB BD ==，AC BD ⊥， ①当4BP 时， 点F 是点E 关于BD 的对称点，EF BD ∴⊥，//EF AC ∴，FEB CBA ∴∆∆∽， ∴EF BP AC BO =，即64EF x =， 32EF x ∴=， 4OP x =-，OEF ∴∆的面积21133(4)32224y EF OP x x x x ==⨯-=-+， y ∴与x 之间的函数图象是抛物线，开口向下，过(0,0)和(4,0)； ②当48BP <<时，同理可得，3122EF x =-，4OP x =-， OEF ∴∆的面积21133(12)(4)9242224y EF OP x x x x ==⨯--=-+-， y ∴与x 之间的函数图象的形状与①中的相同，开口向下，且过(4,0)和(8,0)； 故选：D ．。
2020年中考数学重点突破：《动态题型》分类探究与解析 讲义
动态题型分类探究与解析运动型问题主要研究在几何图形运动中，伴随着一定的数量关系、图形位置关系的“变”和“不变性”，就运动对象而言，有点动、线动和面动，常常集代数与几何于一体，有较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，静中有动，动静结合．分类探究探究一点动型问题例1如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B，连接EC，AC.点P，Q为动点，设运动时间为t秒．(1)填空：点A的坐标为________，抛物线所对应的函数解析式为__________________；(2)在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q 在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？(3)在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P 作PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ.当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？【分层探究】(1)抛物线所对应的函数解析式有哪几种形式？(2)△PCQ为直角三角形有哪几种情况？当△PCQ为直角三角形时，它与△COE在形状上有什么关系？(3)△ACQ可以分割为哪两个三角形？求线段FQ的长的关键是什么？探究结论：(1)抛物线所对应的函数解析式主要有三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，顶点式y ＝a(x－h)2＋k(a≠0)，交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．(2)当∠CPQ＝90°或∠CQP＝90°时，△PCQ为直角三角形．当△PCQ为直角三角形时，与△COE相似．(3)△ACQ可以分割为△AFQ和△CFQ.求线段FQ的长的关键是求出点F与点Q的坐标．【解题方法点析】关于点运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特点和规律，作出符合条件的草图．解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量．【解题】解：(1)点A(1，4)，抛物线所对应的函数解析式为y＝－(x－1)2＋4或y＝－x2＋2x＋3.(2)依题意，得OC＝3，OE＝4，∴CE＝OC2＋OE2＝32＋42＝5.当∠QPC＝90°时，∵cos∠QCP＝PCCQ＝OCCE，∴3－t2t＝35，解得t＝1511；当∠PQC＝90°时，∵cos∠QCP＝CQPC＝OCCE，∴2t3－t＝35，解得t＝913.∴当t＝1511或t＝913时，△PCQ为直角三角形．(3)∵A (1，4)，C (3，0)，∴可求得直线AC 所对应的函数解析式为y ＝－2x ＋6.∵P (1，4－t )，将y ＝4－t 代入y ＝－2x ＋6中，得x ＝1＋t 2.∴点Q 的横坐标为1＋t 2.将x ＝1＋t 2代入y ＝－(x －1)2＋4中，得y ＝4－t 24，∴点Q 的纵坐标为4－t 24，∴QF ＝(4－t 24)－(4－t )＝t －t 24，∴S △ACQ ＝S △AFQ ＋S △CFQ ＝12FQ ·AG ＋12FQ ·DG＝12FQ (AG ＋DG )＝12FQ ·AD＝12×2(t －t 24)＝－14(t －2)2＋1.∴当t ＝2时，△ACQ 的面积最大，最大值为1.探究二 线动型问题例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x －2与y 轴相交于点A ，与反比例函数y ＝k x 在第一象限内的图象相交于点B (m ，2)．。
2020年中考数学二轮专项——几何动态探究题(含答案)
2020年中考数学二轮专项——几何动态探究题类型一动点探究题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G 为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为________．第1题图2. (2019锦江区二诊)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积与最大面积之比等于______．第2题图3. (2019金牛区二诊)如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E是对角线AC上的动点，EH⊥AD，垂足为H，以EH为边作正方形EFQH，连接AF，则∠AFE的正弦值为________．第3题图4. 如图，两个全等的三角形△ABC和△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，点E在BC边上从点B向点C移动(点E不与B、C重合)，在运动过程中，DE始终经过点A，EF与AC相交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE的长为__________．第4题图5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点P是边AB上一动点，过点P作BC的垂线交BC 于点D ，点F 与点B 关于直线PD 对称，连接AF ，当△AFC 是等腰三角形时，BD 的长为________．第5题图6. (2018成都黑白卷)如图，△ABC 内接于半径为2的⊙O ，∠ABC ＝45°，∠ACB ＝60°，点D 为AB ︵的中点，点M 、N 分别是CD 、AC 上的动点，则MA ＋MN 的最小值为________．第6题图7. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是对角线AC 上的动点，连接BE ，MN 是BE 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于点M 、N ，连接EM 、EN .过点E 作EF ⊥AD 于点F ，已知AB ＝1，BC ＝2.若△AEM 是直角三角形，则EF 的长为________．第7题图8. 如图，在矩形ABCD 中，AC 和BD 交于点O ，点E 是边BC 上的动点，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接AE ，已知AB ＝1，BC ＝3，若△AEF 是等腰三角形，则DF 的长为________．第8题图9. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，点M 是直线BC 上一动点，且∠CAM ＋∠CBA ＝45°，则BM 的长为________．第9题图10. (2019锦江区一诊)如图，矩形OABC的边OC在x轴上，边OA在y轴上，A点坐标为(0，2)．点D 是线段OC上的一个动点，连接AD，以AD为边作矩形ADEF，使边EF过点B，连接OF.当点D与点C 重合时，所作矩形ADEF的面积为6.在点D的运动过程中，当线段OF有最小值时，直线OF的解析式为________．第10题图类型二平移探究题1. 如图，矩形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE向右平移得到△DCF，连接AF.若四边形AEFD为菱形，AF＝45，BE∶EC＝3∶2，则AD长为________．第1题图2．如图，在Rt△AOB中，OA＝2，OB＝4，点E在OB上，且∠OAE＝∠OB A.将△AEO沿AO方向向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′.当A′B＋BE′取得最小值时，则EE′的长是________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，D是AB延长线上一点，过点B在AD上方作射线BE，使得∠DBE＝45°.将△ABC沿射线BE平移，得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点分别是A′，B′，C′，连接A′B，C′B，则A′B＋C′B的最小值是________ .第3题图4. (2018成都黑白卷)如图，在▱ABCD中，AB＝6，∠BAD＝45°，∠ABD＝75°，点E为线段BD边上一动点，连接AE，第一步：将△AED剪下平移到△BGC处；第二步：将△ABE剪下平移到△DCF处；第三步：将△BGC沿BC的中垂线翻转180°后得到△CG′B；第四步：将△CFD沿DC的中垂线翻转180°后得到△DF′C，连接F′G′；当点E在BD上移动时，F′G′的最小值为________．第4题图类型三旋转探究题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝6，在AC上取一点D，使AD＝4，将线段AD 绕点A按顺时针方向旋转，点D的对应点是点P，连接BP，取BP的中点F，连接CF，在旋转过程中，CF的最大长度是________．第1题图2. 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，tan ∠BAC ＝12.点D 在边AC 上(不与A ，C 重合)，连接BD ，F 为BD 中点．若BC ＝6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，则线段CF 长度的最大值是________．第2题图3. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，点G ，F 在BC 边上(均不与端点重合)，DG ∥EF .将△BDG 绕点D 顺时针旋转180°，将△CEF 绕点E 逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN ，则四边形MGFN 周长l 的取值范围是________．第3题图4. (2019高新区二诊)如图，△ABC ，△EFG 分别是边长为2和233的等边三角形，D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ，当△EFG 绕点D 旋转一周时，点M 经过的路径长为________．第4题图5. 如图，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形(∠ACB ＝∠DCE ＝90°)．保持△ABC 固定不动，将△CDE 绕点C 顺时针旋转一周，连接AD 、AE 、BD ，直线AE 与BD 相交于点H ，点P 、M 、N 分别是AD 、AB 、DE 的中点，若AC ＝4，CD ＝2，则在旋转过程中，△PMN 的面积的最大值为________．第5题图类型四折叠探究题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是AB的中点，点F是BC边上的动点，将△EBF沿EF 所在的直线折叠到△EGF的位置，连接GD，则GD的最小值是______．第1题图2. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上(含端点)，且AB＝6，BC＝10.设AE＝x，则x的最大值和最小值的和是______．第2题图3. (2019淮安)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B 落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝________．第3题图4. (2019金牛区二诊)如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，在△ABC 内有一点P ，已知∠1＝∠2＝∠3，将△BCP 以直线PC 为对称轴翻折，使点B 与点D 重合，PD 与AB 交于点E ，连接AD ，将△APD 的面积记为S 1，将△BPE 的面积记为S 2，则S 2S 1的值为________．第4题图5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上任意一点(点E 不与点B 重合)，沿DE 翻折△DBE ，使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 的长取最小值时，BF 的长为________．第5题图6. (2019都江堰区一诊)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，D 、E 两点分别在边BC 、AB 上，将△ABC 沿着直线DE 翻折，点B 正好落在边AC 上的点M 处，并且AC ＝4AM ，设BD ＝m ，那么∠ACD 的正切值是______．(用含m 的代数式表示)第6题图7. (2019成华区二诊)已知一个矩形纸片ABCD ，AB ＝12，BC ＝6，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 落在C ′处，DC ′，EC ′分别交AB 于点F ，G ，若GE ＝GF ，则sin ∠CDE 的值为________．第7题图8. (2019成都黑白卷)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为AD 边的中点，将△ABE 沿BE 翻折，得到△FBE ，连接DF 并延长交BC 于点G ，若BE ＝AD ＝10，平行四边形ABCD 的面积为60，则FG ＝ ________．第8题图9. 如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB＝2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，展开后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N处，折痕BM与EF相交于点Q，再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G.P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN＋PH的最小值是______．第9题图10. 如图，四边形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB＝6，AD＝CD＝3，点E，F分别在线段AB，AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P.当P落在四边形ABCD内部时，PD的最小值为______．第10题图参考答案类型一 动点探究题1. 9 【解析】如解图，由题意可知，点G 在以点B 为圆心，1为半径的14圆弧上运动．作点C 关于AD 的对称点C ′，连接C ′B 交AD 于点H ，交以点B 为圆心，1为半径的圆于点G ，由两点之间线段最短，此时C ′B 的值最小，最小值为BC 2＋CC ′2＝62＋82＝10，∵GH ＋CH ＝GH ＋C ′H ＝BC ′－BG ＝9，∴GH ＋CH 的最小值为9.第1题解图2. 925【解析】如解图，∵点D 为BC 边上一动点，∴AD 的最小值为AD 1，最大值为AD 2，∵在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝5，∴AC ＝52－32＝4，∵S △ABC ＝AB ·AC 2＝BC ·AD 12，解得AD 1＝125，∵AD 2为最大值4，∴最小面积与最大面积之比＝(125∶4)2＝925.第2题解图3. 513【解析】∵四边形EFQH 是正方形，∴∠EHA ＝90°，设HE ＝HQ ＝x ，AH ＝y ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°，∴HE ∥CD ，AD ∥EF ，∴△AHE ∽△ADC ，∴HE CD ＝AH AD ，即x 5＝y 7，设x ＝5k ，则y ＝7k ，∵四边形EFQH 是正方形，∴HQ ∥EF ，∴∠AFE ＝∠QAF ，在Rt △AQF 中，AF ＝（5k ）2＋（12k ）2＝13k ，∴sin ∠AFE ＝sin ∠QAF ＝QF AF ＝5k 13k ＝513. 4. 1或116【解析】∵∠AEF ＝∠B ＝∠C ，且∠AME ＞∠C ，∴∠AME ＞∠AEF ，∴AE ≠AM ；①当AE ＝EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE ＝AB ＝5，∴BE ＝BC －EC ＝6－5＝1；②当AM ＝EM 时，则∠MAE ＝∠MEA ，∴∠MAE ＋∠BAE ＝∠MEA ＋∠CEM ，即∠CAB ＝∠CEA ，又∵∠C ＝∠C ，∴△CAE ∽△CBA ，∴CE CA ＝AC BC ，∴CE ＝AC 2CB ＝256，∴BE ＝BC －EC ＝6－256＝116.综上所述，BE 的长是1或116. 5. 22或2－1 【解析】∵在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∴BC ＝2 2.①当AF ＝CF 时，∠F AC ＝∠C ＝45°，∴∠AFC ＝90°，∴AF ⊥BC ，∴BF ＝CF ＝12BC ＝2，∵直线PD 垂直平分BF ，∴BD ＝12BF ＝22；②当CF ＝CA ＝2时，BF ＝BC －CF ＝22－2，∵直线PD 垂直平分BF ，∴BD ＝12BF ＝2－1；③当AF ＝AC 时，点F 与点B 重合(舍去)．综上所述，BD 的长为22或2－1. 6. 6 【解析】如解图，连接OA 、OC ，∵∠ABC ＝45°，OA ＝OC ＝2，∴∠AOC ＝90°，∴AC ＝2OA ＝22，在CB 上取一点A ′，使CA ′＝CA ，∵∠ACB ＝60°，∴△A ′CA 为等边三角形，过点A ′作A ′N ′⊥AC 于点N ′，∵点D 为AB ︵的中点，∴CD 为∠ACB 的平分线，∴点A 与点A ′关于直线CD 对称，连接A ′M ，∴A ′M＝AM ，即AM ＋MN ＝A ′M ＋MN ，根据直线外一点到直线上的所有连线中，垂线段最短，∴A ′N ′的长即为MA ＋MN 的最小值，∵A ′C ＝AC ＝22，∠ACB ＝60°，∴A ′N ′＝A ′C ·sin60°＝22×32＝6，即MA ＋MN 的最小值为 6.第6题解图7. 13或5－255【解析】如解图①，当∠AME ＝90°时，易知四边形AMEF 是矩形，且四边形BMEN 是正方形．∵ME ∥BC ，∴AM ME ＝AB BC ＝12，∴AM ＋BM ＝AM ＋2AM ＝1，则EF ＝AM ＝13；如解图②，当∠AEM ＝90°时，易证△AEM ∽△ABC ，∴AE ME ＝AB CB ＝12，∴ME ＝2AE ，则BM ＝ME ＝2AE ，AM ＝5AE ，∴AB ＝AM ＋BM ＝2AE ＋5AE ＝1，解得AE ＝5－2.又∵EF ∥CD ，∴EF AE ＝CD AC ＝15，∴EF ＝55(5－2)＝5－255.综上，若△AEM 是直角三角形，则EF 的长为13或5－255.图① 图②第7题解图 8. 43或1或1－63 【解析】如解图①，当AE ＝AF 时，设BE ＝DF ＝a ，则AF ＝AE ＝3－a .在Rt △ABE中，由AE 2＝AB 2＋BE 2得(3－a )2＝12＋a 2，解得a ＝43；如解图②，当AE ＝EF 时，设BE ＝DF ＝a ，则AF ＝3－a ，由AF ＝2BE ，得3－a ＝2a ，解得a ＝1；如解图③，当AF ＝EF 时，设BE ＝DF ＝a ，则AF ＝EF ＝3－a .由∠F AE ＝∠FEA ＝∠AEB 可得AB ＝AG ＝1，易知EG ＝BE ＝a ，∴FG ＝3－2a .在Rt △AFG 中，由AF 2＝AG 2＋FG 2得(3－a )2＝12＋(3－2a )2，解得a ＝1－63或a ＝1＋63(不符合题意，舍去)．综上，若△AEF 是等腰三角形，则DF 的长为43或1或1－63.图① 图② 图③第8题解图 9. 135或175【解析】①当M 在线段BC 上时，如解图，过点M 作MH ⊥AB 于点H ，∵∠CAM ＋∠CBA ＝45°，∠ACB ＝90°，∴∠BAM ＝45°.∵AC ＝2，BC ＝3，∴AB ＝13.∵Rt △BHM ∽Rt △BCA ，∴MH AC ＝BH BC＝BM BA .设MH ＝2x ，则2x 2＝BH 3＝BM 13，∴BH ＝3x ，BM ＝13x ，在Rt △AHM 中，AH ＝MH ＝2x ，∵AB ＝BH ＋AH ＝13，∴5x ＝13，x ＝135，BM ＝13x ＝135；②当M 在BC 延长线上时，如解图，则∠CAM ′＋∠CBA ＝45°，又∵∠CAM ＋ ∠CBA ＝45°，∴∠CAM ＝∠CAM ′.又∵AC ⊥BM ′，∴CM ＝CM ′.由①得CM ＝BC －BM ＝25，∴BM ′＝175；③当M 在CB 的延长线上时，不存在∠CAM ＋∠CBA ＝45°.综上所述，BM 的长为135或175.第9题解图10. y ＝113x 【解析】当点D 与点C 重合时，如解图，过F 作FG ⊥y 轴于点G ，连接OF ，∵S △ABC ＝12S 矩形 AOCB ＝12S 矩形ADEF ＝3，∴S 矩形AOCB ＝6，∵A 点坐标为(0，2)，∴OA ＝2，∴OC ＝3，∵∠F AD ＝90°，易得△FGA ∽△AOD ，∴FG AO ＝AG DO ，即FG AG ＝AO DO ＝23，设|FG |＝2a ，|AG |＝3a 由勾股定理得OF ＝OG 2＋FG 2＝（2＋3a ）2＋（2a ）2＝13a 2＋12a ＋4，令t ＝13a 2＋12a ＋4，∴t ＝13a 2＋12a ＋4＝13(a ＋613)2＋4，∴当a ＝－613时，t 有最小值．∴|FG |＝|2×(－613)|＝1213，|AG |＝|3×(－613)|＝1813，点F 的横坐标为1213，纵坐标为1813＋2＝4413，设OF 解析式为y ＝kx (k ≠0)，求得k ＝113，故函数的解析式为y ＝113x .第10题解图类型二 平移探究题1. 5 【解析】∵四边形AEFD 为菱形，∴AE ＝EF ，∵将△ABE 向右平移得到△DCF ，∴BE ＝CF ，AB ＝CD ，∵BE ∶EC ＝3∶2，设BE ＝3k ，EC ＝2k ，∴BC ＝EF ＝5k ，∴AE ＝5k ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠B ＝90°，∴AB ＝AE 2－BE 2＝4k ，∴AB 2＋BF 2＝AF 2，即(4k )2＋(8k )2＝(45)2，∴k ＝1，∴AD ＝BC ＝5.2. 67 【解析】∵OA ＝2，OB ＝4，∠OAE ＝∠OBA ，∠EOA ＝∠AOB ＝90°，∴△OAE ∽△OBA ，∴OA OB ＝OE OA ，即24＝OE 2，解得OE ＝1，如解图，过点A 作AB ′⊥OA ，并使AB ′＝BE ＝3.易证△AB ′A ′≌△EBE ′，∴B ′A ′＝BE ′，∴A ′B ＋BE ′＝A ′B ＋B ′A ′.当点B 、A ′、B ′在同一条直线上时，A ′B ＋B ′A ′最小，即此时A ′B ＋BE ′取得最小值．易证△AB ′A ′∽△OBA ′，∴AA ′OA ′＝AB ′OB ＝34，∴AA ′OA ＝37，AO ＝2，∴AA ′＝37×2＝67，∴EE ′＝AA ′＝67.第2题解图3. 25 【解析】如解图，作射线CC ′，AA ′，AA ′交BC ′于点O ，过点C 作CF ∥AB 交AA ′于F ，连接BF ，由平移性质得AA ′∥BE ∥CC ′，∵∠EBD ＝45°，∴∠F AB ＝∠C ′CF ＝45°，∵Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∴易得四边形ABFC 是正方形，∴∠FCB ＝45°，∴∠C ′CB ＝90°，∵A ′C ′＝BF ，∠A ′OC ′＝∠FOB ，∠C ′A ′O ＝∠BFO ＝45°，∴△A ′OC ′≌△FOB ，∴BO ＝C ′O ，∴CO ＝C ′O ＝BO ，延长FC 到G ，使得CG ＝CF ，连接A ′G ，则CO 是△FGA ′的中位线，∴A ′G ＝2CO ＝BC ′，∴BC ′＋BA ′＝BA ′＋A ′G ，∴当点B 、A ′、G 在同一条直线上时，BG 取得最小值，那A ′B ＋C ′B 取得最小值．∵在Rt △GFB 中，BF ＝AC ＝2，FG ＝2CF ＝4，∴BG ＝25，∴A ′B ＋C ′B 的最小值为2 5.第3题解图 4. 32＋62 【解析】由翻转可得△BG ′C ≌△CGB ≌△DEA ，∴CG ′＝AE ，∠BCG ′＝EAD ，同理可得CF ′＝AE ，∠DCF ′＝∠BAE ，∴∠BCG ′＋∠DCF ′＝∠EAD ＋∠BAE ＝45°，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝45°，∴∠G ′CF ′＝∠G ′CB ＋∠BCD ＋∠DCF ′＝90°.∴△G ′CF ′为等腰直角三角形，由勾股定理可得F ′G ′＝2CG ′＝2AE ，当AE ⊥BD 时，AE 的值最小，即此时F ′G ′的值最小，∵△AED ≌△BGC ，△ABE ≌△DCF ，且∠AED ＝∠AEB ＝90°，∴∠BGC ＝∠AED ＝90°，∠DFC ＝∠AEB ＝90°，∴BG ∥DF ，又∵BG ＝AE ＝DF ，∴四边形BGFD 为矩形，如解图，过点B 作BM ⊥AD 于点M ，在Rt △ABM 中，∵∠BAM ＝∠ABM ＝45°，AB ＝6，∴AM ＝BM ＝6×22＝3，∵∠ABD ＝75°，∴∠DBM ＝∠ABD －∠ABM ＝75°－45°＝30°，∴∠ADB ＝60°，∴在Rt △DBM 中，BD ＝BM sin60°＝2，MD ＝BM tan60°＝1，∴AD ＝AM ＋MD ＝1＋3，∵S △BAD ＝12BD ·AE ＝12AD ·BM ，即2AE ＝(1＋3)×3.∴AE ＝3＋32，∴F ′G ′的最小值为32＋62.第4题解图类型三 旋转探究题1. 10＋2 【解析】如解图，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC＝6，BC ＝2，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝210.∵M 为AB 中点，∴CM ＝12AB ＝10，∵将线段AD 绕点A 按顺时针方向旋转，点D 的对应点是点P ，∴AP ＝AD ＝4，∵M 为AB 中点，F 为BP 中点，∴FM ＝12AP ＝2.当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时CF 最大，此时CF ＝CM ＋FM ＝10＋2.第1题解图2. 4＋35 【解析】如解图①，当AD ＝13AC 时，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ，∵∠ACB ＝90°，tan ∠BAC ＝12，且BC ＝6，∴AC ＝12，AB ＝6 5.∵M 为AB 中点，∴CM ＝35，∵AD ＝13AC ，∴AD ＝4.∵M 为AB 中点，F 为BD 中点，∴FM ＝12AD ＝2，∴当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时CF 最大，此时CF ＝CM ＋FM ＝2＋35；如解图②，当AD ＝23AC 时，取AB 的中点M ，连接MF 和CM ，同理可得CF 的最大值为4＋35，综上，线段CF 的长度的最大值为4＋3 5.第2题解图3. 7＜l ＜17 【解析】如解图，过点A 作AH ∥DG ，∵DG ∥EF ，∴DG ∥EF ∥AH ，∵点D 为AB 的中点，将△BDG 绕点D 顺时针旋转180°后到△ADM 的位置，∴BG ＝AM ，MG ∥AH 且MG ＝AH ，同理CF ＝AN ，NF ∥AH 且NF ＝AH ，∴四边形MGFN 是平行四边形，∴MN ＝GF ＝AM ＋AN ＝BG ＋CF .在Rt △ABC 中，∵AB ＝4，AC ＝3，∴由勾股定理得BC ＝5，即MN ＋GF ＝5，在△ABH 中，由三角形的三边关系可得AB －BH ＜AH ＜AB ＋BH ，同理AC －CH ＜AH ＜AC ＋CH ，两式相加得AB ＋AC －(BH ＋CH )＜2AH ＜AB ＋AC ＋(BH ＋CH )，∴4＋3－5＜2AH ＜4＋3＋5，即2＜2AH ＜12，l ＝MG ＋GF ＋NF ＋MN ＝2AH ＋BC ，∵BC ＝5，2＜2AH ＜12，∴7＜l ＜17.第3题解图4. 4π3【解析】如解图，连接AD 、DG .∵△ABC 和△EFG 均是等边三角形，D 分别是BC 和EF 的中点，∴BD ＝CD ，DE ＝DF ，∴AD ⊥BC ，GD ⊥EF ，∴∠ADC ＝∠GDF ＝90°，∴∠ADG ＝∠CDF ，∵AD CD＝DG DF＝tan60°，∴△ADG ∽△CDF ，∴∠DAG ＝∠DCF ，∴∠AMC ＝90°，∴点M 的轨迹是以AC 为直径的圆，且来回共两个三分之一圆，∴点M 运动的路径长为4π3.第4题解图5. 92【解析】∵△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＋∠BCE ＝∠BCE ＋∠ECD ，∴∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠CAE ＝∠CBD ，∴∠HBA ＋∠HAB ＝∠HBC ＋∠CBA ＋∠HAB ＝∠CBA ＋∠CAB ＝90°，∴BD ⊥AE .∵P ，M 分别是AD ，AB的中点，∴PM ∥BD ，且PM ＝12BD ，同理，PN ∥AE ，且PN ＝12AE ，∴PM ⊥PN ，PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰直角三角形，∴S △PMN ＝12PM 2＝18BD 2，∴当BD 最大时，△PMN 的面积最大，∵△CDE 绕点C 旋转，∴点D 在以C 为圆心，CD 为半径的圆上，∴当点D 在BC 的延长线上时，BD 最大，此时BD ＝AC ＋CD ＝6，∴△PMN 面积的最大值为18×62＝92.第5题解图类型四 折叠探究题1. 73－3 【解析】如解图，由EG ＝EB ＝3，可得当点G 在DE 上时，此时GD 的值最小，根据折叠的性质，△EBF ≌△EGF ，∴EG ⊥GF ，EG ＝EB ，∵E 是AB 边的中点，AB ＝6，∴AE ＝EG ＝3，∵AD ＝8，∴Rt △ADE 中，DE ＝82＋32＝73，∴GD ＝73－3.第1题解图2. 8 【解析】设折痕为PQ ，点P 在AB 边上，点Q 在BC 边上．如解图①，当点Q 与点C 重合时，AE 最小，根据翻折对称性可得EC ＝BC ＝10，在Rt △CDE 中，CE 2＝ED 2＋CD 2，即102＝(10－AE )2＋62，解得AE ＝2，即x ＝2；如解图②，当点P 与点A 重合时，AE 最大，根据翻折对称性可得AE ＝AB ＝6，即x ＝6，所以x 的最大值和最小值的和是8.图① 图②第2题解图 3. 43 【解析】如解图，连接PB 交CH 于点E .在Rt △BCH 中，BC ＝2，BH ＝12AB ＝32，∵△PCH 是由△BCH 折叠得到的，∴PB ⊥CH ，BE ＝PE ，PH ＝HB .∴∠HPB ＝∠HBP .∵AH ＝BH ，∴AH ＝PH .∴∠P AH ＝∠APH .∴∠APH ＋∠BPH ＝12(∠P AB ＋∠APB ＋∠ABP )＝90°.∴AP ∥CH ，∴tan ∠HAP ＝tan ∠BHC ＝BC BH ＝43.第3题解图 4. 12 【解析】如解图，连接BD ，延长CP 交BD 于点F ，由翻折可知CF ⊥BD ，BF ＝DF ，∠BPF ＝∠DPF ，∵∠1＝∠2＝∠3，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠1＋∠ACP ＝∠2＋∠ACP ＝90°，∠2＋∠PBC ＝∠3＋∠PBC ＝45°，∴∠APC ＝90°，∠DPF ＝45°，DF ＝FB ＝PF ，∴△APC ≌△CFB ，∴AP ＝CF ，CP＝BF ＝PF ，∴AP ＝BD ，∴四边形ADBP 是平行四边形，∴S 2S 1＝12.第4题解图5. 1255【解析】由题意得：DF ＝DB ，∴点F 在以D 为圆心，BD 长为半径的圆上，如解图，连接AD 交⊙D 于点F .此时AF 的值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD ＝BD ＝3，由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2，∵AC ＝4，∴AD ＝5，∵FD ＝3，∴F A ＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，连接BF ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，∵∠ACB ＝90°，∴FH ∥AC ，∴△DFH ∽△DAC ，∴DF DA ＝DH DC ＝HF CA ，即35＝DH 3＝HF 4，∴HF ＝125，DH ＝95，∴BH ＝245，∴BF ＝BH 2＋HF 2＝1255.第5题解图6. 10m －253【解析】如解图，作AH ⊥BC 于点H ，MG ⊥BC 于点G ，连接EM 、MD 、BM ，∵AB ＝AC ，BC ＝8，AH ⊥BC ，∴CH ＝4，∵AC ＝4AM ，∴CM ∶AC ＝3∶4，∵AH ∥MG ，∴CG HC ＝CM AC ＝34，即CG 4＝34，解得CG ＝3，∴BG ＝5，∴DG ＝m －5，由翻折的性质可知MD ＝BD ＝m ，在Rt △MGD 中，依据勾股定理可知：MG ＝MD 2－GD 2＝m 2－（m －5）2＝10m －25，∴tan ∠ACD ＝tan ∠ACG ＝MG CG ＝10m －253.第6题解图 7. 1010 【解析】设CE ＝x ，则BE ＝6－x .根据折叠的对称性可知DC ′＝DC ＝12，C ′E ＝CE ＝x .在△FC ′G 和△EBG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ′＝∠B ＝90°∠FGC ′＝∠EGB GF ＝GE，∴△FC ′G ≌△EBG (AAS)．∴FC ′＝BE ＝6－x .∴DF ＝12－(6－x )＝6＋x .连接FE ，在Rt △FC ′E 和Rt △EBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧FC ′＝BE EF ＝EF，∴Rt △FC ′E ≌Rt △EBF (HL)．∴FB ＝EC ′＝x .∴AF ＝12－x .在Rt △ADF 中，AD 2＋AF 2＝DF 2，即36＋(12－x )2＝(6＋x )2，解得x ＝4.∴CE ＝4.在Rt △CDE 中，DE 2＝DC 2＋CE 2，则DE ＝410.∴sin ∠CDE ＝CE DE ＝1010. 8. 2 【解析】∵将△ABE 沿BE 翻折，得到△FBE ，∴AE ＝EF ，∠AEB ＝∠FEB ，∴∠AEB ＝12(180°－∠DEF )，∵E 为AD 边的中点，∴AE ＝DE ，∴DE ＝EF ，∴∠EDF ＝∠EFD ，∴∠EDF ＝12(180°－∠DEF )，∴∠AEB ＝∠EDF ，∴BE ∥DG ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ∥BG ，∴四边形BEDG 为平行四边形，∴DE ＝BG ，DG ＝BE ＝10，∵四边形ABCD 是平行四边形，且面积等于60，AE ＝DE ，∴S △ABE ＝14S ▱ABCD ＝15，如解图，连接AF 交BE 于H ，则AH ⊥BE ，AH ＝HF ，∵BE ＝10，∴AH ＝3，∴AF ＝6，∵BE ∥DG ，∴AF ⊥DG ，∴DF ＝AD 2－AF 2＝8，∴FG ＝DG －FD ＝2.第8题解图9. 3 【解析】如解图，连接AN ，∵∠ABM ＝∠MBN ＝30°，∠BNM ＝∠BAM ＝90°，∴∠BMG ＝∠BNM －∠MBN ＝90°－30°＝60°，∴∠MBG ＝∠ABG －∠ABM ＝90°－30°＝60°，∴∠BGM ＝180°－60°－60°＝60°，∴∠MBG ＝∠BMG ＝∠BGM ＝60°，∴△BMG 为等边三角形，∵点N 是MG 的中点，∴BN ⊥MG ，∵BG＝BM ＝AB cos ∠ABM ＝433，∴BN ＝BG ·sin60°＝433×32＝2，根据题意易知E 点和H 点关于BM 对称，∴PH ＝PE ，∴P 与Q 重合时，PN ＋PH 的值最小，此时PN ＋PH ＝PN ＋PE ＝EN ，∵EN ＝BN 2－BE 2＝22－（2÷2）2＝3，∴PN ＋PH ＝3，∴PN ＋PH 的最小值是 3.第9题解图10. 35－6【解析】如解图①，设A的对应点为P1，连接ED，过P1作PP1⊥ED于点P，∴在Rt△P1PD 中，DP1＞DP，∴当点A的对应点P落在线段ED上时，此时PD有最小值，即当EP取最大值时，PD有最小值，而点E在线段AB上，∴当点E与点B重合时，如解图②，即EP最大，从而此时PD取得最小值，在Rt△ADB中，BD＝AB2＋AD2＝35，∵PB＝AB＝6，∴DP＝BD－BP＝35－6.图①图②第10题解图。
2020年中考数学热点冲刺8 动态几何问题(含解析)
热点专题8动点几何问题考向1图形的运动与最值1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是．【解析】如图，过点P作PE⊙BD交AB的延长线于E，⊙⊙AEP＝⊙ABD，⊙APE⊙⊙ATB，⊙，⊙AB＝4，⊙AE＝AB+BE＝4+BE，⊙，⊙BE最大时，最大，⊙四边形ABCD是矩形，⊙BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，过点C作CH⊙BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，⊙BD是⊙C的切线，⊙⊙GME＝90°，在Rt⊙BCD中，BD＝＝5，⊙⊙BHC＝⊙BCD＝90°，⊙CBH＝⊙DBC，⊙⊙BHC⊙⊙BCD，⊙，⊙，⊙BH＝，CH＝，⊙⊙BHG＝⊙BAD＝90°，⊙GBH＝⊙DBA，⊙⊙BHG⊙⊙BAD，⊙＝，⊙，⊙HG＝，BG＝，在Rt⊙GME中，GM＝EG•sin⊙AEP＝EG×＝EG，而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，⊙GE最大时，BE最大，⊙GM最大时，BE最大，⊙GM＝HG+HM＝+HM，即：HM最大时，BE最大，延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，⊙GP'＝HP'+HG＝，过点P'作P'F⊙BD交AB的延长线于F，⊙BE最大时，点E落在点F处，即：BE 最大＝BF ，在Rt⊙GP 'F 中，FG ＝＝＝＝，⊙BF ＝FG ﹣BG ＝8， ⊙最大值为1+＝3，故答案为：3．2. (2019 江苏省无锡市)如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，BC =D 为边AB 上一动点(B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 ．【解析】过D 作DG ⊙BC 于G ，过A 作AN ⊙BC 于N ，过E 作EH ⊙HG 于H ，延长ED 交BC 于M ．易证⊙EHD ⊙⊙DGC ，可设DG ＝HE ＝x ，⊙AB ＝AC ＝5，BC ＝AN ⊙BC ，⊙BN ＝12BC ＝，AN ⊙G ⊙BC ，AN ⊙BC ， ⊙DG ⊙AN ， ⊙2BG BNDG AN==，⊙BG ＝2x ，CG ＝HD ＝- 2x ；易证⊙HED ⊙⊙GMD ，于是HE HDGM GD =，x GM =MG 2= ，所以S ⊙BDE＝ 12BM ×HD ＝12×(2x 2)×(4- 2x )＝252x -+＝2582x ⎛-+ ⎝⎭，当x 时，S ⊙BDE 的最大值为8． 因此本题答案为8． 3. (2019 江苏省宿迁市)如图，⊙MAN ＝60°，若⊙ABC 的顶点B 在射线AM 上，且AB ＝2，点C 在射线AN 上运动，当⊙ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是 ．【解析】如图，过点B作BC1⊙AN，垂足为C1，BC2⊙AM，交AN于点C2在Rt⊙ABC1中，AB＝2，⊙A＝60°⊙⊙ABC1＝30°⊙AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt⊙ABC2中，AB＝2，⊙A＝60°⊙⊙AC2B＝30°⊙AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，当⊙ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为：＜BC＜2．4. (2019 江苏省宿迁市)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边⊙EFG，连接CG，则CG的最小值为．【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将⊙EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到⊙EFB⊙⊙EHG从而可知⊙EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊙HN，则CM即为CG的最小值作EP⊙CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝故答案为．5．(2019 江苏省扬州市)如图，已知等边⊙ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把⊙ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为；（2）如图2，当PB＝5时，若直线1⊙AC，则BB′的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，⊙ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求⊙ACB′面积的最大值．【解析】（1）如图1中，⊙⊙ABC是等边三角形，⊙⊙A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，⊙PB＝4，⊙PB′＝PB＝P A＝4，⊙⊙A＝60°，⊙⊙APB′是等边三角形，⊙AB′＝AP＝4．故答案为4．（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．⊙PE⊙AC，⊙⊙BPE＝⊙A＝60°，⊙BEP＝⊙C＝60°，⊙⊙PEB是等边三角形，⊙PB＝5，⊙⊙B，B′关于PE对称，⊙BB′⊙PE，BB′＝2OB⊙OB＝PB•sin60°＝，⊙BB′＝5．故答案为5．（3）如图3中，结论：面积不变．⊙B，B′关于直线l对称，⊙BB′⊙直线l，⊙直线l ⊙AC ， ⊙AC ⊙BB ′， ⊙S ⊙ACB ′＝S ⊙ACB ＝•82＝16．（4）如图4中，当B ′P ⊙AC 时，⊙ACB ′的面积最大，设直线PB ′交AC 于E ，在Rt⊙APE 中，⊙P A ＝2，⊙P AE ＝60°， ⊙PE ＝P A •sin60°＝，⊙B ′E ＝6+，⊙S ⊙ACB ′的最大值＝×8×（6+）＝4+24．6. (2019 江苏省苏州市) 已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP＝.如图⊙，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动（不包含点C ）.设动点M 的运动时间为t （s ），APM ∆的面积为S （cm²），S 与t 的函数关系如图⊙所示：（1）直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;（2）如图⊙，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ⊙求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;⊙试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）2/cm s ；10cm（2）⊙解：⊙在边BC 上相遇，且不包含C 点 ⊙57.515 2.5C vB v⎧⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩＜在点在点⊙2/6/3cm s v cm s ≤＜⊙如右图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形()()5152525751022x x ⨯-⨯-=---=15过M 点做MH ⊙AC，则12MH CM ==①（图）PBCDAS （cm²）t （s ）②图O2.57.515-2x2x-5(N )⊙ ⊙22S x =()122152S S x x ⋅=-+⋅ =2430x x -+ =215225444x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭因为152.57.54＜＜，所以当154x =时，12S S ⋅取最大值2254.7. (2019 江苏省扬州市)如图，四边形ABCD 是矩形，AB ＝20，BC ＝10，以CD 为一边向矩形外部作等腰直角⊙GDC ，⊙G ＝90°．点M 在线段AB 上，且AM ＝a ，点P 沿折线AD ﹣DG 运动，点Q 沿折线BC ﹣CG 运动（与点G 不重合），在运动过程中始终保持线段PQ ⊙A B ．设PQ 与AB 之间的距离为x ． （1）若a ＝12．⊙如图1，当点P 在线段AD 上时，若四边形AMQP 的面积为48，则x 的值为 ； ⊙在运动过程中，求四边形AMQP 的最大面积；（2）如图2，若点P 在线段DG 上时，要使四边形AMQP 的面积始终不小于50，求a 的取值范围．【解析】 ⊙P 在线段AD 上，PQ ＝AB ＝20，AP ＝x ，AM ＝12，112152S MH AP x =⋅=-+四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48，解得：x＝3；故答案为：3；⊙当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，⊙0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，作PH⊙AB于M，交CD于N，作GE⊙CD于E，交AB于F，如图2所示：则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，⊙⊙GDC是等腰直角三角形，⊙DE＝CE，GE＝CD＝10，⊙GF＝GE+EF＝20，⊙GH＝20﹣x，由题意得：PQ⊙CD，⊙⊙GPQ⊙⊙GDC，⊙＝，即＝，解得：PQ＝40﹣2x，⊙梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，⊙当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；（2）解：P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴为：x＝10+，⊙0≤x≤20，⊙10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，⊙10≤x≤20，二次函数图象开口向下，⊙当x＝20时，S最小，⊙﹣202+×20≥50，⊙a≥5；综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．考向2动点与函数的结合问题1．(2019 江苏省连云港市)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2＋bx＋c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x＋2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分⊙PCR．若OQ⊙PR，求出点Q的坐标．【解析】（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），将A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得，解得，⊙抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边，⊙当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，﹣2x﹣3），将Q（x+2，﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得﹣2x﹣3＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2，解得，x＝0或x＝﹣1，因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣1，0）；⊙当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣x2﹣x+2，得x2﹣2x﹣3＝﹣（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2，解得，x＝3，或x＝﹣，此时点P的坐标为（3，0）或（﹣，）；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得﹣x2+2x﹣3═﹣（2﹣x）2﹣（2﹣x）+2，解得，x＝0或x＝﹣3，因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣3，12），综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣，）或（﹣3，12）；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分⊙PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊙TR于点H，则有⊙PSC＝⊙RTC＝90°，由CA平分⊙PCR，得⊙PCA＝⊙RCA，则⊙PCS＝⊙RCT，⊙⊙PSC⊙⊙RTC，⊙，设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），所以有，整理得，x1+x2＝4，在Rt⊙PRH中，tan⊙PRH＝＝过点Q作QK⊙x轴于点K，设点Q坐标为（m，），若OQ⊙PR，则需⊙QOK＝⊙PRH，所以tan⊙QOK＝tan⊙PRH＝2，所以2m＝，解得，m＝，所以点Q坐标为（，﹣7+）或（，﹣7﹣）．2．(2019 江苏省常州市)已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：⊙半径为1的圆：；⊙如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．⊙若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；⊙若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．【解析】（1）⊙半径为1的圆的宽距离为1，故答案为1．⊙如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．在Rt⊙ODC中，OC＝＝＝⊙OP+OC≥PC，⊙PC≤1+，⊙这个“窗户形“的宽距为1+．故答案为1+．（2）⊙如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．⊙如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊙x轴于T．⊙AC≤AM+CM，又⊙5≤d≤8，⊙当d＝5时．AM＝4，⊙AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），当d＝8时．AM＝7，⊙AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），⊙满足条件的点M的横坐标的范围为2﹣1≤x≤2﹣1．当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2+1≤x﹣2+1．考向3运动过程中的定值问题1．(2019 江苏省宿迁市)如图⊙，在钝角⊙ABC中，⊙ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将⊙BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．（1）如图⊙，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：⊙BDA⊙⊙BEC；（2）如图⊙，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，⊙AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将⊙BDE从图⊙位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．【解析】（1）如图⊙中，由图⊙，⊙点D为边AB中点，点E为边BC中点，⊙DE⊙AC，⊙＝，⊙＝，⊙⊙DBE＝⊙ABC，⊙⊙DBA＝⊙EBC，⊙⊙DBA⊙⊙EBC．（2）⊙AGC的大小不发生变化，⊙AGC＝30°．理由：如图⊙中，设AB交CG于点O．⊙⊙DBA⊙⊙EBC，⊙⊙DAB＝⊙ECB，⊙⊙DAB+⊙AOG+⊙G＝180°，⊙ECB+⊙COB+⊙ABC＝180°，⊙AOG＝⊙COB，⊙⊙G＝⊙ABC＝30°．（3）如图⊙﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边⊙ACO，连接OG，OB．以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙⊙AGC＝30°，⊙AOC＝60°，⊙⊙AGC＝⊙AOC，⊙点G在⊙O上运动，以B 为圆心，BD 为半径作⊙B ，当直线与⊙B 相切时，BD ⊙AD ， ⊙⊙ADB ＝90°， ⊙BK ＝AK ， ⊙DK ＝BK ＝AK ， ⊙BD ＝BK ， ⊙BD ＝DK ＝BK ， ⊙⊙BDK 是等边三角形， ⊙⊙DBK ＝60°， ⊙⊙DAB ＝30°，⊙⊙DOG ＝2⊙DAB ＝60°， ⊙的长＝＝，观察图象可知，点G 的运动路程是的长的两倍＝．2．(2019 江苏省无锡市)如图1，在矩形ABCD 中，3BC =，动点P 从B 出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC 方向移动，作PAB ∆关于直线PA 的对称PAB ∆'，设点P 的运动时间为()t s ．（1）若AB =⊙如图2，当点B '落在AC 上时，显然PAB ∆'是直角三角形，求此时t 的值；⊙是否存在异于图2的时刻，使得PCB ∆'是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t 的值？若不存在，请说明理由．（2）当P 点不与C 点重合时，若直线PB '与直线CD 相交于点M ，且当3t <时存在某一时刻有结论45PAM ∠=︒成立，试探究：对于3t >的任意时刻，结论“45PAM ∠=︒”是否总是成立？请说明理由．【解析】（1）⊙勾股求的易证CB P CBA'V:V,故''43B P=解得⊙1°如图，当⊙PCB’=90 °时，在⊙PCB’中采用勾股得：222(3)t t+-=，解得t=22°如图，当⊙PCB’=90 °时，在⊙PCB’中采用勾股得：222(3)t t+-=，解得t=6B'CB'CBA A BDPD33°当⊙CPB’=90 °时，易证四边形ABP’为正方形，解得（2）如图，⊙⊙PAM=45°⊙⊙2+⊙3=45°，⊙1+⊙4=45°又⊙翻折⊙⊙1=⊙2，⊙3=⊙4又⊙⊙ADM=⊙AB’M（AAS）⊙AD=AB’=AB即四边形ABCD是正方形如图，设⊙APB=xB'CA BDA⊙⊙PAB=90°-x ⊙⊙DAP=x易证⊙MDA⊙⊙B’AM （HL ） ⊙⊙BAM=⊙DAM ⊙翻折⊙⊙PAB=⊙PAB’=90°-x⊙⊙DAB’=⊙PAB’-⊙DAP=90°-2x ⊙⊙DAM=21⊙DAB’=45°-x ⊙⊙MAP=⊙DAM+⊙PAD=45°4321MB'BCB'A D PP。
2020年数学中考重难点突破之几何探究题
题型五 几何探究题类型一 旋转探究问题1. 如图①，在正方形ABCD 和正方形AB ′C ′D ′中，AB ＝2，AB ′＝2，连接CC ′.问题发现(1)计算CC ′BB ′的值为________；拓展探究(2)将正方形AB ′C ′D ′绕点A 逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB ′.试判断：当0°≤θ＜360°时，CC ′BB ′的大小有无变化？请仅就图②的情形给出你的证明；问题解决(3)在旋转过程中，BB ′的最大值为多少？并给出解题过程．第1题图解：(1)2；(2)在旋转的过程中，CC ′BB ′的值不变.证明：如解图①，连接AC ，AC ′，第1题解图∵四边形ABCD 和四边形AB ′C ′D ′是正方形，∴∠BAC ＝∠B ′AC ′＝45°，∴∠BAC －∠B ′AC ＝∠B ′AC ′－∠B ′AC ，即∠B ′AB ＝∠C ′AC ，又∵AC AB ＝2，AC ′AB ′＝2， ∴AC AB ＝AC ′AB ′，∴△B ′AB ∽△C ′AC ，∴CC ′BB ′＝AC AB ＝2；(3)以点A 为圆心，AB ′长为半径画圆，如解图②所示，当点B ′在BA 的延长线上时，线段BB ′最长，此时BB ′＝AB ＋AB ′＝2＋2，即BB ′的最大值为2＋ 2.2. 如图①，已知点E 、F 分别在正方形ABCD 的边AB ，BC 上，且BE ＝BF ，点M 为AF 的中点，连接CE ，BM .问题发现：(1)线段CE 与BM 之间的数量关系是________，位置关系是________； 类比探究：(2)如图②，将线段BE和BF绕点B逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<90°)．请判断(1)中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展延伸：(3)将图①中的线段BE和BF绕点B逆时针旋转，旋转角为α＝90°时，得到如图③所示的图形，若AB＝3，BE＝1，请直接写出MF的长．第2题图解：(1)CE＝2BM，CE⊥BM；(2)(1)中的两个结论仍然成立；证明：如解图，延长AB到点N，使NB＝AB，连接NF，第2题解图∵M为AF的中点，B为AN的中点，∴BM为△ANF的中位线，∴NF＝2BM，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CBA ＝90°，AB ＝BC ＝BN ，又∵∠CBN ＝∠EBF ＝90°，∠ABE ＝∠CBF ＝α，∴∠CBA ＋∠ABE ＝∠CBN ＋∠CBF ，即∠CBE ＝∠NBF ，在△CBE 和△NBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝BN∠CBE ＝∠NBFBE ＝BF，∴△CBE ≌△NBF (SAS)，∴NF ＝CE ，∴CE ＝2BM ，∵MB 为△ANF 的中位线，∴MB ∥FN ，∴∠MBA ＝∠N ，又∵△CBE ≌△NBF ，∴∠ECB ＝∠N ，∴∠MBA ＝∠ECB ，∵∠MBA ＋∠CBM ＝90°，∴∠ECB ＋∠CBM ＝90°，∴CE ⊥BM ；(3)MF ＝1.【解法提示】∵AB ＝3，BE ＝1，∴BF ＝1，∴AF＝3－1＝2，∵M为AF的中点，∴MF＝1.类型二新定义探究问题3. 如图①，△ABC中，∠B>∠C，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n＋1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC 是△ABC的好角．确定∠BAC是△ABC的好角的两种情况，情形一：如图②，沿等腰三角形△ABC顶角∠BAC的平分线AD折叠，点B与点C重合；情形二：如图③，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现(1)△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？________(填“是”或“不是”)(2)经过三次折叠发现∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C之间的等量关系，并说明理由；根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B 与∠C之间的等量关系为________；应用提升(3)一个三角形三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角，如果一个三角形的最小角是5°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．第3题图解：(1)是；【解法提示】理由如下：情形二中，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B＝∠AA1B1; 又∵将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C ＝∠C，∵∠AA1B1＝∠C＋∠A1B1C(外角定理)，∴∠B＝2∠C. (2)∠B＝3∠C；证明如下：在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；将其余下的部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角；根据折叠的性质知，∠B＝∠AA1B1，∠C＝∠A2B2C，∠A1B1C＝∠A1A2B2，根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2＝∠C＋∠A2B2C＝2∠C；根据四边形外角定理知，∠BAC＋∠B＋∠AA1B1－∠A1B1C＝∠BAC ＋2∠B－2∠C＝180°，根据△ABC的内角和定理知，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝3∠C；∴∠B＝n∠C.【解法提示】由情形一知，当∠B＝∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由情形二知，当∠B＝2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由上述知，当∠B＝3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC 是△ABC的好角，则∠B与∠C之间的等量关系为∠B＝n∠C；(3)由(2)知，∠B＝n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∵最小角是5°是△ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为5m°，5mn°(其中m、n为正整数)．由题意得5m＋5mn＋5＝180，∴m(n＋1)＝35，∵m，n都是正整数，∴m与n＋1是35的因数，因此有：m＝1，n＋1＝35；m＝5，n＋1＝7；m＝7，n＋1＝5；∴m＝1，n＝34；m＝5，n＝6；m＝7，n＝4，∴5m＝5，5mn＝170；5m＝25；5mn＝150；5m＝35，5mn＝140.∴该三角形的另外两个角的度数分别为：5°，170°或25°，150°或35°，140°.4. 定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”．如图①中，四边形ABCD是“垂直四边形”，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD.(1)探究：小明对“垂直四边形”ABCD(如图①)进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，即AB2＋CD2＝AD2＋BC2，你认为他的发现正确吗？试说明理由．(2)应用：①如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒(0<t<1)，连接CP，BQ，PQ.当四边形BCQP是“垂直四边形”时，求t的值．②如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3AC，分别以AB，AC 为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG.请求出线段EG 与BC之间的数量关系．第4题图解：(1)正确，理由如下：∵四边形ABCD是“垂直四边形”，∴AC⊥BD，由勾股定理可知：AB2＋CD2＝(AO2＋BO2)＋(DO2＋CO2)，AD2＋BC2＝(AO2＋DO2)＋(BO2＋CO2)，∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2；第4题解图①(2)①如解图①，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，由题意知，AP ＝5t ，CQ ＝6t ，∵∠ACB ＝90°，∴AB ＝62＋82＝10，∵PD ∥BC ，∴△P AD ∽△BAC ，∴AD AC ＝PD BC ＝AP AB ，∴AD 6＝PD 8＝5t 10，∴AD ＝3t ，PD ＝4t ，∴DQ ＝AC －AD －CQ ＝6－9t ，∵四边形BCQP 是“垂直四边形”，∴由(1)可得：BP 2＋CQ 2＝PQ 2＋BC 2＝(PD 2＋DQ 2)＋BC 2， ∴(10－5t )2＋(6t )2＝(4t )2＋(6－9t )2＋82，∴解得t ＝29或t ＝0(舍去)．∴当四边形BCQP 是“垂直四边形”时，t 的值为29；第4题解图②②如解图②，连接CG 、BG 、BE 、CE ， CE 与BG 交于点O ，由题意知：EA ＝BA ，AC ＝AG ， ∠EAB ＝∠CAG ＝90°，∴∠EAB ＋∠BAC ＝∠CAG ＋∠BAC ， ∴∠EAC ＝∠BAG ，在△EAC 与△BAG 中，⎩⎪⎨⎪⎧EA ＝BA ∠EAC ＝∠BAG AC ＝AG， ∴△EAC ≌△BAG (SAS)，∴∠CEA ＝∠GBA ，∴∠BEA ＋∠EBA ＝∠BEO ＋∠EBO ＝90°， ∴∠EAB ＝∠BOE ＝90°，∴四边形BCGE 是“垂直四边形”， ∴BC 2＋EG 2＝BE 2＋CG 2，∵AB ＝3AC ，∴EG 2＝32BC 2. 类型三 操作探究问题5. 数学课上，老师和同学们对相似三角形的判定和性质进行了如下探究：活动一：(1)如图①，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC 内作第1个内接正方形A1B1D1E1(D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上)，再在△A1B1C内用同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…，如此下去，操作n次，则第1个内接正方形的边长是______，第n个小正方形A n B n D n E n的边长是________；活动二：(2)如图②，在△ABC中，BC＝12，高AD＝8，四边形PQMN为△ABC 的内接矩形(P在AB上，Q在AC上，M、N在BC上)．①求当PQ为何值时，矩形PQMN的面积最大；②在①的条件下，若再在△APQ中作一个内接矩形P1Q1M1N1，如此下去，操作n次，求P n Q n的长．(直接写出结果)思考与归纳：(3)解完上述两题，根据其中一题你还能归纳出怎样的数学结论，请简单的写出一条．第5题图解：(1) 1，13n －1；【解法提示】∵∠A ＝∠B ＝45°，∴AE 1＝A 1E 1＝A 1B 1＝B 1D 1＝D 1B ＝D 1E 1，∴第1个内接正方形的边长＝13AB ＝1.同理：第2个内接正方形的边长＝13A 1B 1＝19AB ＝13，第3个内接正方形的边长＝13A 2B 2＝127AB ＝19，…故可推出第n 个小正方形A n B n D n E n 的边长＝13n AB ＝13n －1.(2)①设PQ ＝x ，矩形PQMN 的面积为y ，AD 与PQ 交于点E ，第5题解图∵PQ ∥BC ， ∴△APQ ∽△ABC ， ∴AE AD ＝PQBC ，即8－PN 8＝x 12， ∴PN ＝8－23x .则y ＝PQ ·PN ＝x ·(8－23x )＝－23(x －6)2＋24. ∵－23＜0，∴该抛物线的开口向下，当x ＝6时，y 取得最大值， 故当PQ ＝6时，矩形PQMN 的面积最大；②由①知，PQ ＝122， 同理：P 1Q 1＝1222， P 2Q 2＝1223， …P n Q n ＝122n ＋1；(3)根据(1)的解题过程可以得到结论：第n 个小正方形A n B n D n E n 的面积是132（n －1）.6. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF . (1)观察猜想如图①，当点D 在线段BC 上时， ①BC 与CF 的位置关系为：________．②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE .若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．第6题图解：(1)①BC ⊥CF ；②BC ＝CD ＋CF ；【解法提示】①∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ，∴△ABD ≌△ACF (SAS)，∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°，∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ；②∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD ＋BD ，∴BC ＝CD ＋CF . (2)结论①仍然成立，②不成立， ①证明：∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ， 又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF (SAS)，∴∠ACF ＝∠ABD ＝180°－45°＝135°， ∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ；②结论为：BC ＝CD －CF ， 证明：∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ， ∵BC ＝CD －BD ， ∴BC ＝CD －CF ；第6题解图(3)如解图，过点E 作EM ⊥CF 于点M ，作EN ⊥BD 于点N ，过点A 作AH ⊥BD 于点H ，则CN ＝ME ，CM ＝EN ， ∵AB ＝AC ＝22， ∴BC ＝4，AH ＝12BC ＝2， ∵CD ＝14BC ， ∴CD ＝1，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ， 又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF (SAS)， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF＝90°，∴∠ABC＝∠AGC＝45°，∴BC＝CG＝4，∵∠ADE＝90°，∴∠ADH＋∠EDN＝∠EDN＋∠DEN＝90°，∴∠ADH＝∠DEN，又∵∠AHC＝∠DNE＝90°，AD＝DE，∴△AHD≌△DNE(AAS)，∴DN＝AH＝2，EN＝DH＝3，∴CM＝EN＝3，ME＝CN＝3，则GM＝CG－CM＝4－3＝1，∴EG＝EM2＋GM2＝10.7. 如图①，②，③，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC；(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°，请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程；(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图③中∠BOC＝_____(填写度数)；(4)由此推广到一般情形(如图④)，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC 外作正n 边形，BE 和CD 仍相交于点O ，猜想得∠BOC 的度数为______(用含n 的式子表示)．第7题图(1)证明：∵△ABD ，△ACE 是等边三角形， ∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠DAB ＝∠CAE ＝60°， ∴∠DAB ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ， ∴∠DAC ＝∠BAE ， 在△ABE 和△ADC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAE ＝∠DAC AE ＝AC， ∴△ABE ≌△ADC (SAS)；第7题解图①(2)解：如解图①，AD ，BE 交于点K ，则∠OKD ＝∠AKB ，又由(1)知△ABE ≌△ADC ， ∴∠ODK ＝∠KBA ， ∴△OKD ∽△AKB ， ∴∠DOK ＝∠BAK ＝90°， 又∵∠BOC ＋∠DOK ＝180°， ∴∠BOC ＝180°－90°＝90°；第7题解图②(3)解：72°；【解法提示】如解图②，AD ，EB 交于点K ，由(1)得△ABE ≌△ADC ，∴∠EBA ＝∠CDA ，∵∠OKD ＝∠AKB ，∴△OKD ∽△AKB ，∴∠DOK ＝∠BAK ＝180°×（5－2）5＝108°，又∵∠BOC ＋∠DOK ＝180°，∴∠BOC ＝180°－108°＝72°； (4)解：180°－180°·（n －2）n. 【解法提示】如解图③，AD ，BE 交于点K ，第7题解图③∴∠DOK＋∠BOC＝180°，又由(1)知△ABE≌△ADC，∴∠EBA＝∠CDA，∴△OKD∽△AKB，∴∠DOK＝∠BAK＝180°×（n－2）n，又∵∠BOC＋∠DOK＝180°，∴∠BOC＝180°－∠DOK＝180°－180°×（n－2）n.类型四动点探究问题8. (1)问题提出如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF.填空：①∠CAF的度数为________；②线段AE与BD之间的数量关系为________；(2)类比探究如图②，如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，探究：∠CAF 的度数及线段AE与BD之间有怎样的数量关系？(3)解决问题如果E是直线AB上一动点，点D在直线BC上，AC＝6，其他条件不变，当△ACF是直角三角形时，请直接写出BD的长．第8题图解：(1)①60°；②AE＝BD；(2)∠CAF＝60°，AE＝BD；∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF＝∠BCA＝60°，BE＝AF，CE＝CF，BC＝AC，∴△CEF和△ABC都是等边三角形，∴EF＝EC，又∵ED＝EC，∴ED＝EF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，又∵∠CBE＝∠CAF，∴∠CAF＝60°，∴∠EAF＝180°－∠CAF－∠BAC＝60°，∴∠DBE＝∠EAF，∵ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠BDE＝∠ECD＋∠DEC＝∠EDC＋∠DEC，又∵∠EDC＝∠EBC＋∠BED，∴∠BDE＝∠EBC＋∠BED＋∠DEC＝60°＋∠BEC，∵∠AEF＝∠CEF＋∠BEC＝60°＋∠BEC，∴∠BDE＝∠AEF，在△EDB和△FEA中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DBE ＝∠EAF ∠BDE ＝∠AEF ED ＝FE， ∴△EDB ≌△FEA (AAS)，∴AE ＝BD ；(3)3或6.【解法提示】∵∠CAF ＝∠CBA ＝60°，∴当△CAF 是直角三角形时有以下两种情况：①若∠ACF ＝90°，如解图①所示，∵∠CAF ＝60°，∴在Rt △ACF 中，AF ＝2AC ＝12，∵BE ＝AF ，∴BE ＝12，∴AE ＝BE －AB ＝12－6＝6，又∵BD ＝AE ，∴BD ＝6.第8题解图②若∠AFC ＝90°，如解图②所示，∵∠CAF ＝60°，∴AF ＝12AC ＝3，∵BE ＝AF ，∴BE ＝3，∴AE ＝AB －BE ＝6－3＝3，又∵BD ＝AE ，∴BD ＝3.综上所述，BD 的长为3或6.类型五 折叠探究问题9. 问题发现(1)如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ，则∠B ＝________；类比探究(2)如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E ，F 分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF 上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用(1)中的结论求∠ADG的度数和AG的长；问题解决(3)若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O(如图④)，当AB＝6时，请直接写出EF的长．第9题图解：(1)30°；(2)∵正方形边长为2，E，F分别为AB，CD的中点，∴EA＝FD＝12CD＝1，∵沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，∴A′D＝AD＝2，∴sin∠F A′D＝FDA′D＝12，∴∠F A′D＝30°，可得∠FDA′＝90°－30°＝60°，由折叠性质可得∠ADG＝∠A′DG，AG＝A′G，∴∠ADG ＝∠ADA ′2＝90°－60°2＝15°， ∵A ′D ＝2，FD ＝1，∴A ′F ＝A ′D 2－FD 2＝3，∴EA ′＝EF －A ′F ＝2－3，∵∠EA ′G ＋∠DA ′F ＝180°－∠GA ′D ＝90°，∴∠EA ′G ＝90°－∠DA ′F ＝90°－30°＝60°，∴∠EGA ′＝90°－∠EA ′G ＝90°－60°＝30°，则AG ＝AG ′＝2EA ′＝2(2－3)＝4－23；(3)4.【解法提示】∵折叠后B ，D 两点恰好重合于一点O ，∴AO ＝AD ＝CB ＝CO ，∴DA ＝AC 2，∵∠D ＝90°，∴∠DCA ＝30°，∵AB ＝CD ＝6，在Rt △ACD 中，AD DC ＝tan30°，则AD ＝DC ·tan30°＝6×33＝23，∵∠DAF ＝∠F AO ＝12∠DAO ＝90°－∠DCA 2＝30°，∴DF AD ＝tan30°＝33，∴DF ＝33AD ＝2，∴DF ＝FO ＝2，同理EO ＝2，∴EF ＝EO ＋FO ＝4.10. 已知点P 是矩形ABCD 边AB 上的任意一点(与点A ，B 不重合) 问题发现(1)如图①，现将△PBC 沿PC 翻折得到△PEC ；再在线段AD 上取一点F ，将△P AF 沿PF 翻折得到△PGF ，并使得射线PE 、PG 重合，则FG 与CE 的位置关系是________；类比探究(2)在(1)中，如图②，连接FC ，取FC 的中点H ，连接GH 、EH ，请你探索线段GH 和线段EH 的大小关系，并说明你的理由； 拓展延伸(3)如图③，分别在AD 、BC 上取点F 、C ′，使得∠APF ＝∠BPC ′，与(1)中的操作相类似，即将△P AF 沿PF 翻折得到△PGF ，并将△PBC ′沿PC ′翻折得到△PEC ′，连接FC ′，取FC ′的中点H ，连接GH 、EH ，试问(2)中的结论还成立吗？请说明理由．第10题图解：(1)FG ∥CE ；(2)GH ＝EH ；理由如下：如解图①，延长GH 交CE 于点M ，由(1)得，FG ∥CE ，∴∠GFH ＝∠MCH ，∵H 为CF 的中点，∴FH ＝CH ，又∵∠GHF ＝∠MHC ，∴△GFH ≌△MCH (ASA)，∴GH ＝HM ＝12GM ，∵∠GEC ＝90°，∴EH ＝12GM ，∴GH ＝EH ；第10题解图(3)(2)中的结论还成立．如解图②，取PF 的中点M ，PC ′的中点N ，连接GM ，EN ，HM ，HN ，∵∠FGP ＝90°，M 为PF 的中点，∴GM ＝12PF ，PM ＝12PF ，HM ∥PC ′，∴GM ＝PM ，∴∠GPF ＝∠MGP ，∴∠GMF ＝∠GPF ＋∠MGP ＝2∠GPF ，∵在△FPC ′中，H 为FC ′的中点，M 为PF 的中点，∴HM ＝12PC ′，同理HN ＝12PF ，EN ＝12PC ′，HN ∥PF ，∠ENC ′＝2∠EPC ′，∴GM ＝HN ，HM ＝EN ，∠GMF ＝∠ENC ′，∴HN ＝MP ，HM ＝PN ，∴四边形HMPN 为平行四边形，∴∠HMP ＝∠HNP ，∴∠HMF ＝∠HNC ′，∴∠GMH ＝∠HNE ，∵GM＝HN，HM＝EN，∴△GMH≌△HNE(SAS)，∴GH＝HE.。
2020年九年级中考数学 几何压轴之几何探究题(含答案)
∴ △ABD≌△ CAF(AAS)； 归 纳证明 :∵∠ 1=∠ 2=∠ BAC,∠1=∠BAE＋ ∠ ABE, ∠ BAC=∠ BAE＋∠ CAF,∠2=∠FCA＋∠ CAF, ∴ ∠ABE=∠ CAF,∠BAE=∠FCA, 在 △ABE 和△CAF 中,
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2. 特 例探究 :如图 ①,已 知在△ABC 中,AB=BC,
∠ ABC=90°,D 为 AC 边 的中点 ,连接 BD,判断△ABD 是什 么三角 形,并 说明理 由;
归 纳证明 :如图 ②,已 知在△ABC 中,AB=BC,∠ ABC=90°,把 Rt△DEF 的 直角顶 点 D 放在 AC 的
中 点上,DE 交 AB 于 M,DF 交 BC 于 N,连接 BD． 证明:DM=DN；
拓 展应用 :在图 ②中,AC=4,其 他条件 都不发 生变化 ,请直接 写出 Rt△DEF 与△ABC 的重 叠部分
的面积．
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第 2 题图
特例探究 :解:△ABD 是等腰直角三角形．
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2020 中考数学 几何压轴之几何探究题（含答案）
1. 两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起,其中∠A=60°,AC=1,固定△ABC 不动,将△DEF 进行如下 操作:
(1)操作发现 如图①,△DEF 沿线段 AB 向右平移(即 D 点在线段 AB 内移动),连接 DC、CF、FB,四边形 CDBF 的形状在不断变化,但它的面积不变化,请求出其面积； (2)猜想论证 如图②,当 D 点移到 AB 的中点时,请你猜想四边形 CDBF 的形状,并说明理由； (3)拓展研究 如图③,将△DEF 的 D 点固定在 AB 的中点,然后绕 D 点按顺时针方向旋转△DEF,使 DF 落在 AB 的边上,此时 F 点恰好与 B 点重合,连接 AE,求 sinα 的值.