中考数学中的探究性问题动态几何(终审稿)

中考数学中的探究性问

题动态几何

Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

中考数学中的《探究性问题——动态几何》

动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查

学生的综合分析和解决问题的能力。

有关动态几何的概念，在很多资料上有说明，但是没有一个统一的定义，在这里就不在赘述了。本人只是用2005 年的部分中考数学试题加以说明。

一、知识网络

《动态几何》涉及的几种情况动点问题?

动线问题动形问题?

?

二、例题经典

1.【05 重庆课改】如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1 个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B

开始在线段BA 上以每秒2 个单位长度的速度向点A 移动,设点P、Q 移动的时间为t 秒．

(1) 求直线AB 的解析式；

y

(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似

24

A

(3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为

个平方单位

5

P Q

【解】（１）设直线AB 的解析式为y＝k x＋b 由题意，得b＝6

8k＋b＝0

3

解得k＝－b＝6

4

3

所以，直线AB 的解析式为y＝－x＋6．

4

（２）由AO＝6，BO＝8 得AB＝10

所以AP＝t ，AQ＝10－2t

1°当∠APQ＝∠AOB 时，△APQ∽△AOB．

t 10 2t 30

所以＝解得t＝

(秒)

6 10 11

2°当∠AQP＝∠AOB 时，△AQP∽△AOB．

t 10 2t 50

所以＝解得t＝

10 6 13

(秒) （３）过点Q 作QE 垂直AO 于点E．

BO 4

在Rt△AOB 中，Sin∠BAO＝

＝

AB

5 O

y

y

A

P Q

O

A

Q

y

B

B

B

x

x

x

P

O

A

x P Q

E

O

在Rt△AEQ 中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·

1 1

所以，S AP·QE＝t·(8－

△APQ

＝2

2

4 24

＝－ 2

t＋4t＝

5 5

解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．

8

5

t)

4

5

＝8－

8

5

t

2.【05 青岛】如图，在矩形ABCD 中，AB＝6 米，BC＝8 米，动点P 以2 米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1 米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P、Q 两点移动t 秒（0

（1）求面积S 与时间t 的关系式；

（2）在P、Q 两点移动的过程中，四边形ABQP 与△CPQ 的面积能否相等若能，求出此时点P 的位置；若不能，请说明理由。

【解】（1）过点P 作PE⊥BC于E

RtABC中，AC =AB2 +BC2 =62 +82 =10（米）

由题意知：AP =2t，CQ =t，则PC =10 2t

由AB⊥BC，PE⊥ΒC得PE / /AB ∴PE =

PC

AB AC

即：PE t ，PE t t

=

10 2 3 10 2 6

∴=( ) =+6

?

6 10 5 5

=1 ××=

又QS

ABC

6 8 24

2

24 1 6 3

ABC PCQ

6

∴S=S S=t(t+) =t3t+24

2

2 5 5

即：S =3 t t +

2 3 24

5

（2）假设四边形ABQP与CPQ的面积相等，则有： 3

5 t 3t +24 =12 2

即：t2 5t +20 =0 Q b2 4ac =(5)2 4 ×1×20 <0

∴方程无实根

∴在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与CPQ的面积不能相等。

3.【05乌鲁木齐】四边形OABC

是等腰梯形，OA∥BC。在建立如图的

平面直角坐标系中，A （4，0），B（3，

2），点M 从O 点以每秒2 单位的速度

向终点A 运动；同时点N 从B 点出发

以每秒1 个单位的速度向终点C 运动，

过点N 作NP 垂直于x 轴于P 点连结

A C 交NP 于Q，连结MQ。（1）写出C

点的坐标；

（2）若动点N 运动t 秒，求Q 点的坐

标（用含t 的式子表示

（3）其△AMQ 的面积S 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围。（4）当t 取何值时，△AMQ 的面积最大；（5）当t 为何值时，△AMQ 为等腰三

角形。

【解】（1）C（1，2）

（2）过C 作CE⊥x 轴于E，则CE＝2

当动点N 运动t 秒时，NB＝t ∴点Q 的横坐标为3—t|

y 1

Q+t

设Q 点的纵坐标为y Q 由PQ∥CE 得 3

=∴

2 y

Q

=2 2t

+

3

2 2

+t

∴点Q（3 ,

t）

3

（3）点M 以每秒2 个单位运动，∴OM＝2t，AM＝4—2t

1 1

2 2t 2 2 2

+

S (4 2 ) ＝(2 t)(t1) ＝( 2) AM PQ=t+t t

＝ 3

△AMQ

2 2

3 3

当t＝2 时，M 运动到A 点，△AMQ 不存在∴t ≠ 2

∴t 的取值范围是0≤t＜2

2 2 2 1 2 3

（4）由S (

t t2) =(t) +。

＝ 2

△AMQ

3 3 2

1 3

当t=时，S=

2 2

mzx

（5）、①若QM＝QA

∵QP⊥OA∴MP＝AP 而MP＝4—（1＋t＋2t）＝3—3t

1 1

即1＋t＝3—3t t＝∴当t＝时，△QMA 为等腰三角形。

2 2

2 2 13

+t

②若AQ＝AM AQ2＝AP2＋PQ2＝ 2 2 (1 )2

(1 t) +( ) =+t

+

3 9

13 13

AQ= (1+) AM＝4—2t (1 )

t t

+＝4—2t

3 3

t=85 ?

18

23 13 85

而＜

?

18

23

13 ＜

2

∴当t＝8518

23

13

时，△QMA 为等腰三角形。

2 t

+

2 85 154

③若MQ＝MA MQ2＝MP2＋PQ2＝ 3 ( )

(3 t)2 2 = 2 +

+t t

3 9 9 85 2 15

4 8

5 49 2 10 59

∴t+t t=

t＝(4 2t)2 0

9 9 9 9 9 9

59 59

解得t＝或t＝—1（舍去）∵0＜＜2

49 49

59

∴当t＝时，△QMA 为等腰三角形。

49 85 9

综上所述：当t＝1

2

、t＝

8518

23

13

或t＝

59

49

△QMA 都为等腰三角形。

4.【05宜昌】如图1，已知△ABC的高AE=5，BC= 40

，∠ABC＝45°，F是AE上的

3

点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接

IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．

（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形并对你得到的结论予以证明；（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围．

A A（图2 供思考用）

H G I

F

B E K

J B E C

C

图1 图2

【解】(1)∵点G 与点E 关于点F 对称，∴GF=FE

∵HI∥BC，∴∠GIF=∠EJF，又∵∠GFI=∠EFJ，∴△GFI≌△EFJ，∴GI=JE

同理可得HG=EK ，∴HI=JK, ∴四边形HIKJ 是平行四边形

（2）当F 是AE 的中点时，A、G 重合，所以AF= 如图1，∵AE 过平行四边形HIJK 的中心F,

∴∴

HG=EK, GI=JE. HG/BE=GI/EC. H

A B

G I

F

∵CE＞BE,∴GI＞HG, ∴CK＞BJ.

B J E K

C ∴当点F 在AE 上运动时, 点K、J 随之在BC 上运动, 图1

如图2，当点F 的位置使得B、J 重合时，这时点K 仍为CE 上的某一点（不与C、E

A

H G I

F

重合），而且点H、I 也分别在AB、AC 上

设EF＝x，∵∠AHG＝∠ABC＝45°，AE＝5，

40 —5.

∴BE＝5＝GI，AG＝HG＝5—2x ,CE＝

3

∵△AGI∽△AEC，∴AG∶AE＝GI∶CE. 图2

40

∴(5—2x)∶5＝5∶( —5)

3

5 ＜AF≤4.

∴x＝1，∴AF＝5—x＝4 ∴

2

5.【05漳州】如图1，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，顶点D，C 分别在AM，BN

上运动(点D 不与A 重合，点C 不与B 重合)，E 是AB 上的动点(点E 不与A，B 重合)，在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a。

（1）求证：△ADE∽△BEC；

（2）当点E 为AB 边的中点时(如图2)，

求证：①AD+BC=CD；②DE，CE 分别平分∠ADC，∠BCD；

（3）设AE=m，请探究：△BEC 的周长是否与m 值有关，若有关请用含m 的代数式表示△BEC 的周长；若无关请说明理由。

【解】（1）太简单，略。

（2）过点E 作梯形两底的平行线交腰CD 于F，则F 是CD 的中点，

则EF 既是梯形ABCD 的中位线，又是Rt△DEC 斜边上的中线。

根据各自的性质：AD+BC＝2EF，CD＝2EF

所以AD+BC＝CD.

由△EFD 是等腰三角形（FD＝FE＝1 CD

）得∠FDE＝∠FED

2

由EF∥AD 可得∠ADE＝∠FED ∴∠FDE＝∠ADE，即DE 平分∠ADC；

同理可证：CE 平分∠BCD。

（3）设AD＝x，由已知AD+DE＝AB=a 得DE＝a－x，又AE＝m

在Rt△AED 中，由勾股定理得：x2＋m2＝（a－x）2

化简整理得：a2－m2＝2ax ①

在△EBC 中，由AE＝m，AB＝a，得BE＝a－m

因为△ADE∽△BEC，所以AD AE DE

＝＝，即：x m a x

＝＝，

－

BE BC EC a m BC EC

－

解得：BC a m m EC a m a x .

（－）（－）（－）

＝，＝

x x

所以△BEC 的周长＝BE＋BC＋EC＝ a m a m m a m a x

（－）＋＋

（－）（－）（－）

x x

＝（a－m）1＋m＋a x ＝ a m a m

（－）＝

－＋

x x x a

2

m

2

－a

2

m

2

x

②

把①式代入②，得△BEC 的周长＝BE＋BC＋EC＝2ax 2a

＝，

x

所以△BEC 的周长与m 无关。

6.【05河北】如图12，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝

12，AD＝21。动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2 两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1 个单位长的速度向点

A

P D B 运动，点P，Q 分别从点D，C 同时出发，当点Q 运动到点B

时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。

（1）设△BPQ 的面积为S，求S 与t 之间的函数关系式；

（2）当t 为何值时，以B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰

B Q

C 三角形

图10 （3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O，且2AO＝OB 时，求

∠BQP 的正切值；

（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。

【解】（1）如图3，过点P 作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM 为矩形。∴PM＝DC ＝12

P ∵QB＝16－t，∴S＝1 A

×12×(16－t)＝96－t

D

2

（2）由图可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t。以B、P、Q 三

点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：

B M C

Q

①若PQ＝BQ。在Rt△PMQ 中，PQ2 =t2 +122 ，

图3

；

由PQ2＝BQ2 得t2 +122 =(16 t)2 ，解得t＝7

2

②若BP＝BQ。在Rt△PMB 中，BP2 =(16 2t)2 +122 。由BP2＝BQ2 得：

(16 2t) +12 =(16 t) 即3t2 32t+144 =0。

2 2 2

由于Δ＝－704＜0 ∴3t2 32t+144 =0无解，∴PB≠BQ

③若PB＝PQ。由PB2＝PQ2，得t2 +122 =(16 2t)2 +122

整理，得3t2 64t+256 =0 。解得 1 16 2 16

t=，t=（不合题意，舍去）

3

综合上面的讨论可知：当t＝7 16

秒或秒时，以B、P、Q 三点为顶点的三角形是等

t=

2 3

腰三角形。

（3）如图4，由△OAP∽△OBQ，得AP AO 1

==

BQ OB

2 P A E D O

∵AP＝2t－21，BQ＝16－t，∴2(2t－21)＝16－t。

∴t＝58

。

5

过点Q 作QE⊥AD，垂足为E，

∵PD＝2t，ED＝QC＝t，∴PE＝t。

在RT△PEQ 中，tan∠QPE＝12 30

QE

==

PE t29

（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD。如图5，过点Q 作QE⊥ADS，垂足为E。由Rt△BDC∽Rt△QPE，得

DC=PE，即12

t

=。解得t＝9

BC EQ16 12

所以，当t＝9 秒时，PQ⊥BD。B

Q

C

图4

A P E D

B

Q

C

图5

O

7.【05河北课改】图15―1 至15―7 中的网格图均是20×20 的等距网格图（每个小方

格的边长均为1 个单位长）。侦察兵王凯在P 点观察区域MNCD 内的活动情况。当5 个单

位长的列车（图中的）以每秒1 个单位长的速度在铁路线MN 上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域MNCD 内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙）。设列车

车头运行到M 点的时刻为0，列车从M 点向N 点方向运行的时间为t（秒）。

⑴在区域MNCD 内，请你针对图15―1，图15―2，图15―3，图15―4 中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区，并在盲区内涂上阴影。

⑵只考虑在区域ABCD 内开成的盲区。设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位）。

①如图15―5，当5≤t≤10 时，请你求出用t 表示y 的函数关系式；

②如图15―6，当10≤t≤15 时，请你求出用t 表示y 的函数关系式；③

如图15―7，当15≤t≤20 时，请你求出用t 表示y 的函数关系式；

④根据①~③中得到的结论，请你简单概括y 随t 的变化而变化的情况。

⑶根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域MNCD 内所形成

盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想（问题⑶是额外加分，加分幅度为1~4 分）。

【解】⑴略

⑵①如图6，当5≤t≤10 时，盲区是梯形AA1D1D

∵O 是PQ 中点，且OA∥QD，∴A1，A 分别是PD1 和PD 中点∴A1A 是△PD1D 的中位线。

又∵A1A =t5，∴D1D =2(t5)

而梯形AA1D1D 的高OQ=10，

1

∴[( 5) 2( 5)] 10 15 75

y=t+t×=t∴y=15t75

2

②如图7，当10≤t≤15 时，盲区是梯形A2B22C22D22，

易知A2B2 是△PC2D2 的中位线，且A2B2=5，∴C2D2=10

又∵梯形A2B2C2D2 的高OQ=10，

1

∴y(5 10) 10 75 ∴y=75

=+×=

2

③如图8，当15≤t≤20 时，盲区是梯形B3BCC3

易知BB3 是△PCC3 的中位线

且BB3 =5 (t15) =20 t

又∵梯形B3BCC3 的高OQ=10 ，∴

1

y[(20 ) 2(20 )] 10 300 15

=t+t×=t

2

∴y=300 15t

④当5≤t≤10 时，由一次函数y=15t75 的性质可知，盲区的面积由0 逐渐增大到75；

当10≤t≤15 时，盲区的面积y 为定值75；

当15≤t≤20 时，由一次函数y=300 15t的性质可知，盲区的面积由75 逐渐减小

到0

⑶通过上述研究可知，列车从M 点向N 点方向运行的过程中，在区域MNCD 内盲区面积大小的变化是：

①在0≤t≤10 时段内，盲区面积从0 逐渐增大到75；

②在10≤t≤15 时段内，盲区的面积为定值75；

③在15≤t≤20 时段内，盲区面积从75 逐渐减小到0

8.【05黄岗】如图，在直角坐标系中，O 是原点，A、B、C 三点的坐标分别为A（18，

0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC 是梯形，点P、Q 同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1 个单位，点Q 沿OC、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。

⑴求出直线OC 的解析式及经过O、A、C 三点的抛物线的解析式。

⑵试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D 为顶点的三角形与△AOC 全等，

请直接写出点D 的坐标。

⑶设从出发起，运动了t 秒。如果点Q 的速度为每秒2 个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围。

⑷设从出发起，运动了t 秒。当P、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周

长的一半，这时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由。

y

C（8，6）B（18，6）

Q

O P A（18，0）x

【解】⑴∵O、C 两点的坐标分别为O (0,0)，C (8,6)

设OC 的解析式为y=kx+b，将两点坐标代入得：

3 3

k，b=0 ，∴y x

==

4 4

∵A，O 是x轴上两点，故可设抛物线的解析式为y=a(x0)(x18)