论广义积分的收敛性
广义积分敛散性判别探讨
摘要广义积分是定积分的突破被积区间有界性与被积函数无界性的束缚得到的推广形式.在实际应用中，大部分的广义积分不能直接运算，有的积分虽然可以计算，但是过程太复杂，不方便我们的应用，而对广义积分而言，求其值的一个先决条件就是广义积分收敛，否则毫无意义，因此，广义积分的敛散性判别显得十分重要.本文主要论述了广义积分的两种形式：无穷积分和瑕积分.首先简述了无穷积分和瑕积分的定义，性质；其次，重点讨论了无穷积分与瑕积分的收敛与发散的判别，讨论了几种常用的判别方法，并用例题加以说明；最后，讨论了一下无穷积分与瑕积分混合时的反常积分的收敛与发散的判别.关键词：广义积分;无穷积分;瑕积分;收敛;发散.ABSTRACTGeneralized integrals is definite integral breakthrough was integrated interval bounded ness and integrand unbounded sexual ties get promotion form. In practical applications, most of the generalized integrals cannot direct operations, some integral although can calculate, but process is too complex, it is not convenient to our application, and the generalized integrals, let their value as a precondition is generalized integrals convergence, otherwise has no purpose, therefore, the generalized integral scattered sex discrimination folding is extremely important. This article mainly discusses the generalized integral in two forms: infinite integrals and flaw points. First, this paper expounds the infinite integrals and flaw integral definition, properties; Secondly, this paper discusses infinite integrals and the convergence and divergent flaw integral, discussed several discriminate criterion method commonly used instructions, and binders; Finally, discussed the infinite integrals when mixed with a flaw points of convergence in divergent discrimination.Keywords: Generalized integrals; Infinite integrals; Flaw integral; Convergence; Divergent;目录第一章前言 ........................................................................................ - 1 -第二章无穷积分 ...................................................................................... - 3 -2.1 无穷积分的概念与性质............................................ - 3 -2.2 无穷积分的敛散性判别............................................ - 4 -第三章瑕积分......................................................................................... - 15 -3.1瑕积分的概念与性质 ............................................. - 15 -3.2 瑕积分的敛散性判别............................................. - 16 -第四章混合型反常积分.......................................................................... - 23 -第五章结论............................................................................................. - 27 -参考文献............................................................................................. - 29 -致谢 .................................................................................................. - 31 -第一章前言无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。
广义积分收敛的必要条件
x x→+∞
x→+∞
（接 91 页）
论，双方各有千秋. 另外在课堂上与老师交流是否顺利 这一问题中 ，A 有 19“选择”十分顺利，不仅听懂了，而 且还向老师提出了自己的看法和问题； 而 B 只有 5％. 从其他选项中也反映出：A 倾向于老师在课堂上交流， 而 生 生 间 的 课 外 交 流 障 碍 较 大 ；B 则 倾 向 于 课 外 ， 师 生、生生间的交流，相互交流的障碍较小. 这充分说明 在引导数学交流问题上，老师起着主导作用，教师的教 学理念、教学方式决定了学生是否喜欢交流、喜欢怎样 的交流、会不会交流.
ZHUAN TI YAN J IU
专题研究
1≠ 0，由定理 1 知该广义积分发散． 解法二 lim f（x）存在，则被积函数在 定 义 域 上 一
x→+∞
致 连 续 ，但 lim f（x） =1≠ 0，由 定 理 2 也 可 以 得 出 该 广 x→+∞
义积分发散．
【参考文献】 ［1］ 华 东 师 范 大 学 数 学 系． 数 学 分 析 （下 ）［M］． 北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，2001. ［2］ 关冬月． 关于无穷级数和无穷积分收敛的必要条件［J］． 内 蒙 古 师 范 大 学 学 报 ，2004（5）：73－75. ［3］ 木壮志，赵星君． 广义积分收敛的一个充要条件 ［J］． 哈 尔 滨 理 工 大 学 学 报 ，1999（4）：46－49. ［4］ Proof of the Function Series Convergence Uniform Theorem and Necessary and Sufficient Condition in General Integral Convergent［J］． Journal of Jiaying University，2003（2）：23－26. ［5］ On the Necessary Conditions for Convergence of General-
广义积分的收敛判别法
ln x x
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b
1 4
1 4
x 0
x ln x x
3 4
1 4
1 x
3 4
据比较判别法2, 所给积分绝对收敛 .
宁波大学教师教育学院 18
三、 函数
1. 定义
函数 : ( s ) x ( s 0 ) x ed
5
a t
lim x ) d x x ) d x f( f(
a
t
f( x ) d x 收敛 . 极限存在 , 即广义积分 a
若
a
f (x )d x发散 , 因为 t a时有
0 x ) d x ( x ) d x f( g
a a t t
3 2
2 的收敛性
.
x
1 1 1 1 2
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别广义积分
解:
x d x 的收敛性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x lim lim x2 1 2 2 x1 x x 1 x
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
0 , A a , 使 对 A , A A 都 有 0 0
|
A A
f (x)d x|.
证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。
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柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）， 十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生 于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，因数学上的成
广义积分敛散性判别法的应用
广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctanx|−∞0+arctanx|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsinx|−10+arcsinx|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxlnx 是发散的.证明：注意到 limx→0+1lnx=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxlnx. 由于∫1/21dxlnx=∫01/2dtln(1−t),且 ln(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxlnx 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01lnx1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 lnx, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2lnx1−xdx>2∫01/2lnxdx,而∫01/2lnxdx=xlnx|01/2−∫01/2dx=12(ln12−1),则∫01/2lnx1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21lnx1−xdx=∫01/2ln(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln(1−t)t=−1, 则∫1/21lnx1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cosx2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cosx2dx=12∫1+∞costtdt.则|∫ABcosttdt|=|sintt|AB+12sintt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cosx2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cost 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cosx2|dx=12∫mπ(m+1)π|cost|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cost|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cosx2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cosx2|≥cos2x2=12(1+cos2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。
广义积分的收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中,我们将发现大量的积分是不能直接计算的,有的积分虽然可以直接计算,但因为过程太复杂,也不为计算工作者采用,对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言,求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛,否则其结果毫无意义; 因此,判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理Cauchy 收敛原理fx 在a , +∞ 上的广义积分⎰+∞adx x f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时,恒有 证明：对+∞→b lim0)(=⎰+∞b dx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分⎰b adx x f )(b 为瑕点, 我们有定理瑕积分的Cauchy 收敛原理设函数f x 在a ,b 上有定义,在其任何闭子区间a , b –ε上常义可积,则瑕积分⎰ba dx x f )(收敛的充要条件是: 0>∀ε ,0>∃δ, 只要0<δηη<</,就有定义如果广义积分⎰+∞a dx x f |)(|收敛,我们称广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛也称f x 在a ,+)∞上绝对可积; 如⎰+∞adx x f )(收敛而非绝对收敛,则称⎰+∞adx x f )(条件收敛,也称f x 在a ,+)∞上条件可积．由于a A A ≥∀/,,均有因此,由Cauchy 收敛原理,我们得到下列定理． 定理如果广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛,则广义积分⎰+∞a dx x f )(必收敛．它的逆命题不一定成立,后面我们将会看到这样的例子;对其它形式的广义积分,类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．下面我们先介绍当被积函数非负时,广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：定理无限区间上的广义积分设在a ,+∞上恒有),()(0x k x f ϕ≤≤k 为正常数 则当⎰+∞a dx x )(ϕ收敛时, ⎰+∞a dx x f )(也收敛;当⎰+∞adx x f )(发散时,⎰+∞adx x )(ϕ也发散．证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立．对瑕积分有类似的结论判别法定理 设f x , g x 均为a ,b 上的非负函数,b 为两个函数的奇点,如存在一个正常数k, 使∈∀≤≤x x kg x f ),()(0a , b , 则1） 如⎰badx x g )(收敛,则⎰badx a f )(也收敛;2如⎰b adx x f )(发散,则⎰badx x g )(也发散．比较判别法在实际应用时,我们常常用下列极限形式．定理 如果f x , g x 是a ,+)∞上的非负函数, 且,)()(liml x g x f x =+∞→则 1 如果+∞<≤l 0, 且⎰+∞adx x g )(收敛, 则积分⎰+∞a dx x f )(也收敛． 2 如果+∞≤<l 0, 且⎰+∞adx x g )(发散,则积分⎰+∞a dx x f )(也发散．证明：如果,0)()(lim≠=∞→l x g x f x则对于)0(0>->εεl , 存在A, 当A x ≥时, εε+<<-≤l x g x f l )()(0 即)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-成立. 显然⎰+∞adx x f )(与⎰+∞a dx x g )(同时收敛或同时发散,在l =0或 l =∞时,可类似地讨论. 使用同样的方法,我们有定理 对以b 为唯一瑕点的两个瑕积分⎰b a dx x f )(与⎰ba dx x g )(如果f x , g x是非负函数,且,)()(liml x g x f b x =-→则 （1） 当+∞<≤l 0, 且⎰badx x g )(收敛时,则⎰badx x f )(也收敛．（2） 当+∞≤<l 0,且⎰b adx x g )(发散时,则⎰badx x f )(也发散．对无限区间上的广义积分中,取⎰∞+ap dx x1作比较标准,则得到下列Cauchy 判别法：设f x 是a ,+)∞的函数,在其任意闭区间上可积,那么:定理 若0≤f x ≤p x c , p >1,那么积分⎰+∞adx x f )(收敛,如f x ≥p xc,p ≤1,则积分⎰+∞adx x f )(发散．其极限形式为定理 如+∞→x lim l x f x p=)(+∞<≤l 0, p >1, 则积分⎰+∞a dx x f )(收敛．如∞→b lim l x f x p =)(,而+∞≤<l 0, p ≤1, 则⎰+∞a dxx f )(发散.例 判断下列广义积分的收敛性;1 ⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+111)11ln(dx x x 2 ⎰∞++11dx xx nmm >0, n >0 解：1因为0x x +-+≤11)11ln(由⎰∞+121dx x 收敛推出⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+111)11ln(dx x x 收敛．2因为+∞→x lim ,11=+-nmmn x x x所以当n －m >1时,积分⎰∞++11dx x x n m收敛. 当n －m ≤1时,积分⎰∞++11dx xx nm发散． 对于瑕积分,使用⎰-bapdx a x )(1作为比较标准,我们有下列柯西判别法． 定理 设x=a 是f x 在a ,b )上的唯一奇点,在其任意闭区间上可积,那么（1） 如0≤f x ≤p a x c)(- c>0, p<1, 则⎰b a dx x f )(收敛． （2） 如f x ≥p a x c )(- c>0, p ≥1, 则⎰b a dx x f )(发散． 瑕积分的Cauchy 判断法的极限形式为 定理 设kx f a x p a x =-+→)()(lim如0≤k <∞, p<1, 则⎰b adx x f )(收敛 如0<k ≤∞, p ≥1, 那么⎰badx x f )(发散．例 判别下列瑕积分的敛散性; 1⎰--10222)1)(1(x k x dxk 2<12⎰2cos sin πx x dxqpp ,q>0 解：11是被积函数的唯一瑕点因为 -→1lim x )1)(1()1(22221x k x dx x --- =+∞<-)1(212k由21=p 知瑕积分收敛．20与2π都是被积函数的瑕点．先讨论,cos sin 40⎰πx x dx q p 由+→0lim x 1cos sin 1=xx x q p p知: 当p<1时, 瑕积分⎰40cos sin πxx dxqp 收敛; 当p ≥1时,瑕积分⎰40cos sin πxx dxqp 发散． 再讨论 ⎰24cos sin ππx x dxqp 因-→2lim πx 1cos sin 1)2(=-xx x qp pπ所以当 q <1时, 瑕积分⎰24cos sin ππx x dxqp 收敛, 当q ≥1时,瑕积分⎰24cos sin ππx x dxqp 发散． 综上所述,当p<1且q<1时, 瑕积分⎰20cos sin πxx dxqp 收敛; 其他情况发散． 例 求证: 若瑕积分⎰10)(dx x f 收敛,且当+→0x 时函数f x 单调趋向于+∞,则+→0lim x x f x =0. 证明：不妨设]1,0(∈∀x , f x ≥0, 且f x 在0, 1上单调减少;已知⎰10)(dx x f 收敛,由柯西收敛准则,有0>∀ε, 0>∃δδ<1, δ<<∀x 0有从而0<)(2x f x≤ε<⎰x x dt t f 2)( 或0<x f x ε2<即+→0lim x x f x =0. 例 求证瑕积分⎰-1)]cos 1([1dx x x λλ>0, 当λ<31时收敛 当λ31≥时发散.证明:∵+→0lim x λλ)]cos 1([3x x x -=+→0limx λλλ⎪⎭⎫ ⎝⎛-233cos 1x x x x=+→0lim x λλ2cos 112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x所以当3λ<1时,即λ<31时,瑕积分收敛．当3λ≥1,即λ≥31时,瑕积分发散．前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性,为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论,我们先给出下面的重要结果．定理积分第二中值定理设g x 在a ,b 上可积,f x 在a ,b 上单调,则存在ξ∈a ,b 使⎰badx x g x f )()(=⎰⎰+ξξa a dx x f b g dx x f a g )()()()(为了证明定理,我们先讨论下列特殊情况．引理设f x 在a , b 上单调下降并且非负,函数g x 在a ,b 上可积,则存在c ∈a ,b ,使⎰badx x g x f )()(=fa ⎰cadx x g )(证明：作辅助函数)(x ψ= fa ,)(⎰xadt t g对a ,b 的任一分法P: a =x 0<x 1<x 2<…<x n =b我们有⎰badx x g x f )()(=dx x g x f ni x x ii )()(11∑⎰=-由此得到|⎰badx x g x f )()(－dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--|=|dx x g x f x f i ni x x ii )()]()([111-=-∑⎰-|≤)(1f L ni i ∑=ω△x i这里L 是|g x |在a ,b 的上界, )(f w i 是)(x f 在[]i i x x ,1-上的振幅,从这个估计式可知,当P 0→时,应当有我们来证明 为此,引入记号 G x = ⎰xa dt t g )(并作如下变换=)]()([)(111-=--∑i i ni i x G x G x f=-∑=-)()(11i n i i x G x f )()(111-=-∑i ni i x G x f=-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(1i n i i x G x f ∑-==-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(11i n i i x G x f ∑-= 0)()(0==a G x G=+-∑=-)(])()([11i ni i i x G x f x f )()(n n x G x f因为0)()(1≥--i i x f x f , )(n x f 0≥,所以=+-∑=-)(])()([11i ni i i x G x f x f )()(n n x G x f≥{)(])()([11n ni i i x f x f x f +-∑=-})(min ],[x G b a x ∈=)(min )(],[x G a f b a x ∈同样可证我们证明了不等式 即现令|p|0→, 取极限,就得到 因此,存在c ∈a ,b ,使得 )(c ψ=⎰badxx g x f )()(因为)(x ψ在b a ,上是连续函数也就是⎰b adx x g x f )()(=⎰cadxx g a f )()(证毕下面我们证明定理证明：如fx 是单调下降的,则fx －fb ∈a ,b ), 使 ⎰-badx x g b f x f )()]()([=⎰-cadx x g b f x f )()]()([即⎰badx x g x f )()(=,)()()()(⎰⎰+bccadx x g b f dx x g a f对fx 单调上升的情形,可作类似讨论.使用积分第二中值定理,我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法 定理 若下列两个条件之一满足,则⎰+∞a dx x g x f )()(收敛 1Abel 判别法⎰+∞adx x f )(收敛,gx 在a ,∞上单调有界;2Dirichlet 判别法设FA=⎰A adx x f )(在a ,∞上有界,gx 在a ,)∞上单调, 且+∞→x lim gx =0.证明：10>∀ε, 设|gx |≤M,∈∀x a ,∞, 因⎰+∞adx x f )(收敛,由Cauchy 收敛原理,a A ≥∃0, 使01,A A A ≥∀时, 有 由积分第二中值定理,我们得到 ≤2ε+2ε=ε 再由Cauchy 收敛原理知⎰+∞adx x g x f )()(收敛2 设M 为FA 在a ,+)∞上的一个上界,则a A A ≥∀1,, 显然有同时, 因为+∞→x lim gx =0,所以存在a A ≥0, 当x >A 0时, 有gx |<M4ε于是,对01,A A A ≥∀有≤2ε+2ε=ε 由Cauchy 收敛原理知⎰+∞adx x g x f )()(收敛例 讨论广义积分⎰∞+1cos dx xx的敛散性, 解：令fx =x1, gx =cos x则当x +∞→时,fx 单调下降且趋于零, FA= ⎰Axdx 1cos =1sin sin -A 在a ,∞)上有界． 由Dirichlet 判别法知⎰∞+1cos dx xx收敛, 另一方面 因⎰∞+121dx x 发散,⎰∞+122cos dx xx 收敛从而非负函数的广义积分⎰∞+122cos dx xx发散 由比较判别法知⎰∞+1|cos |dx xx 发散, 所以⎰∞+1cos dx xx条件收敛 例 讨论广义积分⎰∞+1arctan cos xdx xx的敛散性． 解：由上一题知,广义积分⎰∞+1cos dx xx收敛, 而arctan x 在a , +∞)上单调有界,所以由Abel 判别法知⎰∞+1arctan cos xdx xx收敛; 另一方面, 当),3[∞+∈x 时, 有 前面已证⎰∞+1|cos |dx xx 发散 由比较判别法知⎰∞+1|arctan cos |dx x x x 发散, 所以⎰∞+1arctan cos dx xx x 条件收敛.对瑕积分也有下列形式的Abel 判别法和Dirichlet 判别法定理若下列两个条件之一满足,则⎰ba dx x g x f )()(收敛：b 为唯一瑕点1Abel 判别法⎰badx x f )(收敛, gx 在a ,b )上单调有界2 Dirichlet 判别法 )(ηF =⎰-ηb adx x f )(在a , b )上有界, gx 在],0a b -上单调, 且0)(lim =-→x g bx . 证明: 1 只须用第二中值定理估计2的证明.例 讨论积分 ⎰11sin dx x x p0<p ≤2 的敛散性解: 对于0<p<1 , 因为 由⎰11dx xp 收敛知 绝对收敛敛对于0≤p <2, 因为函数fx =p x -2, 当+→0x 时单调趋于0, 而函数gx =21sinxx满足所以积分⎰101sin dx x x p ⎰-=10221sin dx x x x p 收敛. 但在这种情况下,dx x x p⎰11sin 是发散的,事实上由pp p p x x x x x x x 22cos211sin 1sin2-=≥因⎰1021dx xp 发散, ⎰1022cos dx x x p 收敛, 知 dx x x p⎰101sin 发散从而当0≤p<2时, 积分条件收敛. 最后我们讨论p=2的情形, 因为当+→0η时, 上式无极限, 所以积分⎰121sin dx xx 发散. 值得注意的是, 两种广义积分之间存在着密切的联系, 设⎰b adx x f )(中x=a 为fx 的瑕点, 作变换y =a x -1, 则有 ⎰b adx x f )(=⎰∞+-+ab dy yy a f 12,)1( 而后者是无限区间上的广义积分.习题1、 论下列积分的敛散性包括绝对收敛, 条件收敛, 发散 1⎰∞+2sin ln ln ln xdx xx； 2 ⎰+∞2sin dx x ；3 ⎰2022sin cos 1πdx xx ； 4 ⎰-1021ln dx x x； 5 ⎰---1011ln )1(xdx x xq p ；6 )0,(ln 1011>-⎰--q p dxxx x q p ；7 ⎰∞++01dx xx qp ； 8 ⎰+∞--01dx e x x p ； 9 ⎰∞+-+0211dx xx p ；10 ⎰∞+0sin 2sin dx x xe px ； 11 )0(1sin 1≥+⎰∞+p dx xxx pq ；12 )0()1sin(0>+⎰∞+p dx x x x p．2．证明：若瑕积分⎰10)(dx x f 收敛, 且当+→0x 时, 函数fx 单调趋于+∞, 则+→0lim x x fx =0． 3. 若函数fx 在),[+∞a 有连续导数 f /x , 且无穷积分⎰+∞adx x f )(与⎰+∞adx x f )(/都收敛, 则+∞→x lim fx =0．4. 设fx 在),[+∞a 上可导,且单调减少,+∞→x lim fx =0, 求证:⎰+∞adx x f )(收敛 ⇔ ⎰+∞adx x xf )(/收敛．5. 证明：若函数fx 在),[+∞a 上一致连续, 且无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛,则+∞→x lim fx =0．6. 求证： 若无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛, 函数fx 在),[+∞a 内单调, 则fx =o x1．7. 计算下列广义二重积分的值．1 ⎰⎰Dqp y x dxdy,其中D={}|1,1|),(>≥x xy y x ； 2⎰⎰≤+≤--1022221y x yx dxdy；3 dxdy e y x ⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-)(22, 并由此证明π112=⎰+∞∞--dx ex .8、讨论下列广义重积分的敛散性．1 dxdy y x y x a ap ⎰⎰-00||),(ϕ, My x m ≤≤<|),(|0ϕ；2 dxdy xy y x y x py x )(),(22122++⎰⎰≤+ϕM y x m ≤≤<|),(|0ϕ．。
广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法【2 】上一节我们评论辩论了广义积分的盘算, 在现实运用中,我们将发明大量的积分是不能直接盘算的,有的积分固然可以直接盘算,但因为进程太庞杂,也不为盘算工作者采用,对这类问题盘算工作者常采用数值盘算办法或MonteCarlo 办法求其近似值. 对广义积分而言,求其近似值有一个先决前提 — 积分收敛,不然其成果毫无意义. 是以,断定一个广义积分收敛与发散是异常主要的．定理9.1（Cauchy 收敛道理）f(x)在[a, +∞ ）上的广义积分⎰+∞adx x f )(收敛的充分必要前提是：0>∀ε, 消失A>0, 使得b, b '>A 时,恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证实：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 运用柯西收敛道理立刻得此结论．同样对瑕积分⎰badx x f )((b 为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛道理）设函数f(x)在[a,b)上有界说,在其任何闭子区间[a,b –ε]上常义可积,则瑕积分⎰badx x f )(收敛的充要前提是: 0>∀ε, 0>∃δ, 只要0<δηη<</,就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f界说9.5假如广义积分⎰+∞adx x f |)(|收敛,我们称广义积分⎰+∞a dx x f )(绝对收敛（也称f(x)在[a,+)∞上绝对可积]; 如⎰+∞adx x f )(收敛而非绝对收敛,则称⎰+∞a dx x f )(前提收敛,也称f(x)在[a,+)∞上前提可积． 因为a AA ≥∀/,,均有|)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A A dx x f是以,由Cauchy 收敛道理,我们得到下列定理． 定理9.3假如广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛,则广义积分⎰+∞a dx x f )(必收敛．它的逆命题不必定成立,后面我们将会看到如许的例子.对其它情势的广义积分,相似地有绝对收敛及前提收敛的界说及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时,广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：定理9.4（无穷区间上的广义积分）设在[a,+∞)上恒有),()(0x k x f ϕ≤≤（k 为正常数） 则当⎰+∞adx x )(ϕ收敛时,⎰+∞a dx x f )(也收敛;当⎰+∞adx x f )(发散时,⎰+∞a dx x )(ϕ也发散．证实：由Cauchy 收敛道理立时得结论成立． 对瑕积分有相似的结论判别法定理9.5 设f(x), g(x)均为[a,b)上的非负函数,b 为两个函数的奇点,如消失一个正常数k, 使∈∀≤≤x x kg x f ),()(0[a,b), 则 1）如⎰b a dx x g )(收敛,则⎰badx a f )(也收敛.2）如⎰badx x f )(发散,则⎰ba dx x g )(也发散．比较判别法在现实运用时,我们常常用下列极限情势．定理9.6 假如f(x), g(x)是[a,+)∞上的非负函数, 且,)()(liml x g x f x =+∞→则 (1) 假如+∞<≤l 0, 且⎰+∞a dx x g )(收敛, 则积分⎰+∞a dx x f )(也收敛． (2) 假如+∞≤<l0, 且⎰+∞a dx x g )(发散,则积分⎰+∞a dx x f )(也发散．证实：假如,0)()(lim≠=∞→l x g x f x 则对于)0(0>->εεl , 消失A, 当A x≥时, εε+<<-≤l x g x f l )()(0即)()()()()(x g l x f x g lεε+<<-成立. 显然⎰+∞adx x f )(与⎰+∞a dx x g )(同时收敛或同时发散,在l=0或 l=∞时,可相似地评论辩论. 运用同样的办法,我们有定理9.7 对以b 为独一瑕点的两个瑕积分⎰badx x f )(与⎰ba dx x g )(假如f(x), g (x) 长短负函数,且,)()(lim l x g x f bx =-→则 （1） 当+∞<≤l 0, 且⎰badx x g )(收敛时,则⎰badx x f )(也收敛． （2） 当+∞≤<l 0,且⎰badx x g )(发散时,则⎰badx x f )(也发散．对无穷区间上的广义积分中,取⎰∞+ap dx x1作比较标准,则得到下列Cauchy 判别法：设f(x)是[a,+)∞的函数,在其随意率性闭区间上可积,那么:定理9.8 若0≤f(x)≤pxc, p>1,那么积分⎰+∞adx x f )(收敛,如f(x)≥p xc,p ≤1,则积分⎰+∞adx x f )(发散．其极限情势为定理9.9 如+∞→x lim l x f x p=)((+∞<≤l 0, p>1), 则积分⎰+∞a dx x f )(收敛．如∞→b liml x f x p=)(,而+∞≤<l 0,p ≤1, 则⎰+∞a dx x f )(发散.例9.8 断定下列广义积分的收敛性.(1)⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+111)11ln(dx x x (2)⎰∞++11dx xx nm(m>0, n>0) 解：（1）因为0x x +-+≤11)11ln(=+-≤x x 11121)1(1x x x ≤+由⎰∞+121dx x 收敛推出⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+111)11ln(dx x x 收敛． （2）因为+∞→x lim ,11=+-n mmn xx x 所以当n －m>1时,积分⎰∞++11dx x x n m 收敛. 当n －m ≤1时,积分⎰∞++11dx xx nm发散． 对于瑕积分,运用⎰-bapdx a x )(1作为比较标准,我们有下列柯西判别法． 定理9.10 设x=a 是f(x)在[a,b )上的独一奇点,在其随意率性闭区间上可积,那么（1） 如0≤f(x)≤p a x c)(- (c>0), p<1, 则⎰badx x f )(收敛．（2） 如f(x)≥pa x c)(- (c>0), p ≥1, 则⎰badx x f )(发散．瑕积分的Cauchy 断定法的极限情势为 定理9.11 设kx f a x p a x =-+→)()(lim如0≤k<∞, p<1, 则⎰badx x f )(收敛如0<k ≤∞, p ≥1, 那么⎰ba dx x f )(发散．例9.9 判别下列瑕积分的敛散性. (1)⎰--10222)1)(1(x k x dx(k2<1)(2)⎰2cos sin πxx dxqp (p,q>0) 解：（1）1是被积函数的独一瑕点因为 -→1limx )1)(1()1(22221x k x dx x --- =+∞<-)1(212k由21=p 知瑕积分收敛． （2）0与2π都是被积函数的瑕点．先评论辩论,cos sin 4⎰πx x dx q p 由+→0lim x 1cos sin 1=xx x q p p知: 当p<1时, 瑕积分⎰40cos sin πx x dx q p 收敛; 当p ≥1时,瑕积分⎰40cos sin πxx dx q p 发散． 再评论辩论 ⎰24cos sin ππx x dxq p 因-→2lim πx 1cos sin 1)2(=-x x x q p pπ所以当 q<1时, 瑕积分⎰24cos sin ππx x dxq p 收敛, 当q ≥1时,瑕积分⎰24cos sin ππx x dxq p 发散． 综上所述,当p<1且q<1时, 瑕积分⎰20cos sin πxx dxqp 收敛; 其他情况发散． 例9.10 求证: 若瑕积分⎰1)(dx x f 收敛,且当+→0x 时函数f(x)单调趋势于+∞,则+→0lim x x f(x)=0. 证实：不妨设]1,0(∈∀x , f(x)≥0, 且f(x)在(0, 1)上单调削减.已知⎰10)(dx x f 收敛,由柯西收敛准则,有0>∀ε, 0>∃δ(δ<1), δ<<∀x 0有,)(2ε<⎰xxdt t f从而0<)(2x f x≤ε<⎰x x dt t f 2)( 或0<x f(x)ε2<即+→0lim x x f(x)=0. 例9.11 求证瑕积分⎰-10)]cos 1([1dx x x λ(λ>0), 当λ<31时收敛 当λ31≥时发散.证实:∵+→0lim x λλ)]cos 1([3x x x -=+→0limx λλλ⎪⎭⎫ ⎝⎛-233cos 1x x x x =+→0lim x λλ2cos 112=⎪⎭⎫⎝⎛-x x所以当3λ<1时,即λ<31时,瑕积分收敛．当3λ≥1,即λ≥31时,瑕积分发散．前面评论辩论的长短负函数的反常积分的收敛性,为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行评论辩论,我们先给出下面的主要成果．定理9.12（积分第二中值定理）设g(x)在[a,b]上可积,f(x)在[a,b]上单调,则消失ξ∈[a,b] 使⎰badx x g x f )()(=⎰⎰+ξξa a dx x f b g dx x f a g )()()()(为了证实定理9.12,我们先评论辩论下列特别情况．引理9.1设f(x)在[a,b]上单调降低并且非负,函数g(x)在[a,b]上可积,则消失c ∈[a,b],使⎰badx x g x f )()(=f(a)⎰ca dx x g )(证实：作帮助函数)(x ψ= f(a),)(⎰xa dt t g 对[a,b]的任一分法P: a=x0<x1<x2<…<xn=b我们有⎰badx x g x f )()(=dx x g x f ni x x ii )()(11∑⎰=-由此得到|⎰badx x g x f )()(－dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--|=|dx x g x f x f i ni x xii )()]()([111-=-∑⎰-|≤dx x g x f x f i ni x x ii |)(||)()(|111-=-∑⎰-≤)(1f L ni i ∑=ω△xi这里L 是|g(x)|在[a,b]的上界,)(f w i 是)(x f 在[]i i x x ,1-上的振幅,从这个估量式可知,当P 0→时,应该有dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--→⎰ba dx x g x f )()(我们来证实≤∈)(min ],[x b a x ψdx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--)(max ],[x b a x ψ∈≤为此,引入记号 G(x)=⎰xa dt t g )(并作如下变换dx x g x f ni x xi ii )()(111∑⎰=--=)]()([)(111-=--∑i i ni i x G x G x f=-∑=-)()(11i n i i x G x f )()(111-=-∑i ni i x G x f=-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(1i n i i x G x f ∑-==-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(11i n i i x G x f ∑-= （0)()(0==a G x G ）=+-∑=-)(])()([11i ni i i x G x f x f )()(n n x G x f因为0)()(1≥--i i x f x f , )(n x f 0≥,所以dx x g x f ni x xi ii )()(111∑⎰=--=+-∑=-)(])()([11i ni i i x G x f x f )()(n n x G x f≥{)(])()([11n ni i i x f x f x f +-∑=-})(min ],[x G b a x ∈=)(min )(],[x G a f b a x ∈同样可证dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max )(],[x G a f b a x ∈我们证清楚明了不等式)(min )(],[x G a f b a x ∈≤dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max )(],[x G a f b a x ∈即)(min ],[x b a x ψ∈≤dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--≤)(max ],[x b a x ψ∈现令|p|0→, 取极限,就得到)(min ],[x b a x ψ∈≤⎰ba dx x g x f )()(≤)(max ],[x b a x ψ∈是以,消失c ∈[a,b],使得)(c ψ=⎰ba dx x g x f )()(（因为)(x ψ在［b a ,］上是持续函数）也就是⎰badx x g x f )()(=⎰ca dx x g a f )()(证毕下面我们证实定理9.12证实：如f(x)是单调降低的,则f(x)－f(b)单调降低且非负,由引理12.2.1知,消失c ∈[a,b ), 使⎰-b a dx x g b f x f )()]()([=⎰-ca dx x gb f x f )()]()([即⎰badx x g x f )()(=,)()()()(⎰⎰+bc c a dx x g b f dx x g a f对f(x)单调上升的情况,可作相似评论辩论.运用积分第二中值定理,我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法 定理9.13 若下列两个前提之一知足,则⎰+∞adx x g x f )()(收敛（1）（Abel 判别法）⎰+∞adx x f )(收敛,g(x)在[a,∞]上单调有界;（2）（Dirichlet 判别法）设F(A)=⎰Aadx x f )(在[a,∞]上有界,g(x)在[a,)∞上单调, 且+∞→x lim g(x)=0.证实：（1）0>∀ε, 设|g(x)|≤M,∈∀x [a,∞), 因⎰+∞a dx x f )(收敛,由Cauchy 收敛道理,a A ≥∃0, 使01,A A A ≥∀时, 有Mdx x f A A 2|)(|1ε<⎰由积分第二中值定理,我们得到|)()(|1⎰A A dx x g x f ≤+⋅⎰|)(||)(|ξA dx x f A g |)(||)(|11⎰⋅A dx x f A g ξ≤+⋅⎰|)(|ξA dx x f M |)(|1⎰⋅A dx x f M ξ≤2ε+2ε=ε 再由Cauchy 收敛道理知⎰+∞adx x g x f )()(收敛(2) 设M 为F(A)在[a,+)∞上的一个上界,则a A A ≥∀1,, 显然有M dx x f A A 2|)(|1<⎰同时, 因为+∞→x lim g(x)=0,所以消失a A ≥0, 当x>A0时, 有g(x)|<M4ε于是,对01,A A A ≥∀有≤⎰|)(|1A A dx x f +⋅⎰|)(||)(|ξA dx x f A g |)(||)(|11⎰⋅A dx x f A g ξ≤+⋅|)(|2A g M |)(|21A g M ⋅≤2ε+2ε=ε 由Cauchy 收敛道理知⎰+∞adx x g x f )()(收敛例9.12 评论辩论广义积分⎰∞+1cos dx xx的敛散性, 解：令f(x)=x1, g(x)=cosx则当x +∞→时,f(x)单调降低且趋于零, F(A)=⎰Axdx 1cos =1sin sin -A 在[a,∞)上有界．由Dirichlet 判别法知⎰∞+1cos dx xx收敛, 另一方面≥x x |cos |=x x 2cos xx22cos 1+因⎰∞+121dx x 发散,⎰∞+122cos dx xx 收敛 从而非负函数的广义积分⎰∞+122cos dx xx发散 由比较判别法知⎰∞+1|cos |dx xx 发散, 所以⎰∞+1cos dx xx前提收敛 例9.13 评论辩论广义积分⎰∞+1arctan cos xdx xx的敛散性． 解：由上一题知,广义积分⎰∞+1cos dx xx收敛, 而arctanx 在[a, +∞)上单调有界,所以由Abel 判别法知⎰∞+1arctan cos xdx xx收敛. 另一方面, 当),3[∞+∈x 时, 有|arctan cos |x x x ≥|cos |xx 前面已证⎰∞+1|cos |dx xx 发散 由比较判别法知⎰∞+1|arctan cos |dx x x x 发散, 所以⎰∞+1arctan cos dx xx x 前提收敛.对瑕积分也有下列情势的Abel 判别法和Dirichlet 判别法 定理9.14若下列两个前提之一知足,则⎰badx x g x f )()(收敛：（b 为独一瑕点）（1）（Abel 判别法）⎰badx x f )(收敛, g(x)在[a,b )上单调有界(2) (Dirichlet 判别法) )(ηF =⎰-ηb adx x f )(在[a,b )上有界, g(x) 在(],0a b -上单调, 且0)(lim =-→x g bx . 证实: (1) 只须用第二中值定理估量⎰--/)()(ηηb b dx x g x f读者可以模仿定理11.2.8(1) 的作法完成(1)的证实. (2) 读者可以模仿定理11.2.8(2) 的作法完成(2)的证实.例9.14 评论辩论积分 ⎰101sin dx x x p(0<p ≤2) 的敛散性 解: 对于0<p<1 , 因为p p x x x 11sin≤ 由⎰11dx xp 收敛知 ⎰11sin dx x x p绝对收敛敛对于0≤p<2, 因为函数f(x) =px-2, 当+→0x时单调趋于0, 而函数g(x)=21sin x x 知足2|1cos 1cos |1sin 1≤-≤⎰ηηdx xx p所以积分⎰11sindx x x p ⎰-=10221sindx x x x p 收敛.但在这种情况下,dx x x p⎰11sin 是发散的,事实上由pp p p x x x x x x x 22cos211sin 1sin 2-=≥ 因⎰1021dx x p发散, ⎰1022cos dx x x p 收敛, 知dx x x p ⎰101sin 发散 从而当0≤p<2时, 积分前提收敛. 最后我们评论辩论p=2的情况, 因为⎰121sinηdx x x n1cos 1cos -= 当+→0η时, 上式无极限, 所以积分⎰1021sin dx x x 发散. 值得留意的是, 两种广义积分之间消失着亲密的接洽, 设⎰badx x f )(中x=a 为f(x)的瑕点, 作变换y=a x -1, 则有 ⎰b adx x f )(=⎰∞+-+ab dy yya f 12,)1(尔后者是无穷区间上的广义积分.习题 9.21、 论下列积分的敛散性（包括绝对收敛, 前提收敛, 发散）(1)⎰∞+2sin ln ln ln xdx xx; (2)⎰+∞02sin dx x ;(3)⎰222sin cos 1πdx xx ; (4)⎰-121ln dx x x ; (5)⎰---1011ln )1(xdx x xq p ;(6))0,(ln 111>-⎰--q p dx xx x q p ;(7)⎰∞++01dx xx qp ; (8)⎰+∞--01dx e x x p ; (9)⎰∞+-+0211dx xx p ; (10)⎰∞+0sin 2sin dx x xe px ; (11))0(1sin 1≥+⎰∞+p dx xxx pq ;(12))0()1sin(0>+⎰∞+p dx x x x p．2．证实：若瑕积分⎰1)(dx x f 收敛, 且当+→0x 时, 函数f(x)单调趋于+∞, 则+→0lim x x f(x)=0． 3. 若函数f(x)在),[+∞a 有持续导数f/(x), 且无穷积分⎰+∞adx x f )(与⎰+∞adx x f )(/都收敛, 则+∞→x lim f(x)=0．4. 设f(x)在),[+∞a 上可导,且单调削减,+∞→x limf(x)=0, 求证:⎰+∞adx x f )(收敛 ⇔⎰+∞adx x xf )(/收敛．5. 证实：若函数f(x)在),[+∞a 上一致持续, 且无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛, 则+∞→x lim f(x)=0．6. 求证： 若无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛, 函数f(x)在),[+∞a 内单调, 则f(x)=o(x1)．7. 盘算下列广义二重积分的值．(1)⎰⎰Dqp yx dxdy,个中D={}|1,1|),(>≥x xy y x ; (2)⎰⎰≤+≤--1022221y x yx dxdy ;(3)dxdy ey x ⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-)(22, 并由此证实π112=⎰+∞∞--dx ex .8.评论辩论下列广义重积分的敛散性． (1)dxdy y x y x a ap ⎰⎰-00||),(ϕ, My x m ≤≤<|),(|0ϕ;(2)dxdy xy y x y x py x )(),(22122++⎰⎰≤+ϕM y x m ≤≤<|),(|0ϕ．。
广义积分的审敛法
二、无界函数的广义积分的审敛法
定理6 (比较审敛法2) 设函数 f ( x) 在区间(a,b]
上连续，且 f ( x) 0, lim f ( x) .如果存在 xa0
常数
M
0及
q
1，使得
f
(x)
M ( x a)q
(a
x
b), 则广义积分 b f ( x)dx 收敛；如果存在常数 a
N
0及
广义积分的审敛法
一、无穷限的广义积分的审敛法
不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法.
定理１ 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，
且 f ( x) 0．若函数 F ( x)
x
f (t)dt
a
在 [a,) 上有界，则广义积分
f
(
x
)dx
收敛
．
a
由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理．
三、 函数
定义 (s) ex xs1dx (s 0) 0
特点: 1.积分区间为无穷;
2.当 s 1 0 时被积函数在点 x 0 的 右领域内无界.
设 I1
1 e x x s1dx,
0
I2
e x x s1dx,
1
(1) 当 s 1 时, I1 是常义积分; 当 0 s 1 时,
x
x
f
(
x
)dx
发
散．
a
例２ 判别广义积分 dx 的收敛性. 1 x 1 x2
解 lim x2 1 1, 所给广义积分收敛．
x
x 1 x2
例３
判别广义积分
1
x3 1
/2
广义积分绝对收敛性研究与运用
1．在广义积分收敛性的研究上，部分函数虽然收敛，但不一 定绝对收敛。另外，我们也可以根据绝对收敛的广义积分也收敛， 反过来研究广义积分的敛散性，这将使部分广义积分的敛散性判 别大大简化。
³ 2．定义：如果广义积分 f f (x) dx 收敛，则称广义积分 a
³ f f (x)dx 绝对收敛。 a 3．无穷区间上广义积分的收敛准则 定理 1 设函数 f (x) 在区间 [a, f) 上连续，如果广义积分
教育研究
课程教育研究
广义积分绝对收敛性研究与运用
余小飞 郭洪林
（河南工业职业技术学院 河南 南阳 473000）
【摘要】本文根据关于积分绝对收敛的条件，研究广义积分是否收敛？是否绝对收敛？
【关键词】广义积分 收敛 绝对收敛
【中图分类号】O17
【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2017）34-0095-02
xdx
是否收敛？是否绝对收敛？
³ 对于任意的 A ! 1 ，由于
Asin xdx
1
d2
，且当 x o f
时， 1 x
³ 单调递减趋近于零，故积分
f 1
sin x
xdx
收敛。
又
sin x
x
在
x
0 处为可去间断点，补充定义其值为 1 后，可
³ 视为 [0,1] 上的连续函数，因此积分
1 0
sin x
(
x
x 100
x cos 2x x 100
)
，
³ 且
1
lim (x2
xof
x
x
) 100
1 ，故积分
f 0
x
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论广义积分的收敛性
摘要
广义积分是定积分概念的推广至无限区间和有限区间上的无界函数的情形，而定积分的的主要特点是积分区间有界，并且在此区间上被积函数为有界函数，而这两个限制条件不能很好地解决实际中的有些问题，于是突破这两条限制的束缚便得到其推广形式即广义积分。
大部分的广义积分不可被直接计算，有的虽然能计算出它的值，但计算过程十分麻烦，因此判断广义积分的收敛性就成为广义积分求值的一个决定性条件。
本文就针对敛散性论述广义积分，针对几种不同类别的广义积分形式，讨论几种比较常用的判别方技巧。
1.首先我们可以利用收敛积分的余部可以判定所求积分是否收敛.对于
⎰+∞
a
dx
x f )(和
⎰+∞
b
dx
x f )(,如果b>a,则
⎰+∞
b
dx
x f )(称为
⎰+∞
a
dx
x f )(的余部。
因为改变下限积
分的值(a 不是奇点)，或对被积函数乘以非零常数，都不改变积分的敛散性，即∀b>a,k ≠0,都有
⎰+∞
a
dx
x f )(收敛⇔⎰+∞
b
dx
x f )(收敛，
⎰+∞
a
dx
x f )(收敛⇔
⎰+∞
b
dx
x kf )(收敛.
另外，如果f (x ),g(x)的广义积分都收敛，那么线性组合αf(x)+βg(x)的广义积分也收敛，对于其余类型的广义积分，也有类似的结论.
2.对于两个端点都是奇点的广义积分，我们可以任取区间内的任意一点x 0，把积分分成两半，再分别判断这两半积分的收敛性.例如定义广义积分 f x dx +∞
−∞，设函数f(x)在区间(−∞,+∞)上内闭有界可积，除端点外再没有奇点.取一点x 0，定义
⎰
+∞
∞
-)(dx x f = f x dx x 0−∞+ f x dx +∞
x 0
，
如果右端这两个广义积分都收敛，就称左端的广义积分收敛(否则称其发散).
对于内闭有界可积，且在积分区间I 内有有限个奇点的广义积分，为了方便地得到广义积分是否收敛，我们可以把积分区间上的几点去掉，这样以奇点为分点，广义积分的区间就被分成许多个小区间I =I 1∪I 2∪···∪I n .于是就可以定义
⎰I dx x f )(=⎰
I dx x f 1
)(+⎰I dx x f 2
)
(+···+
⎰
I dx x f n
)(
如果右端每个广义积分都收敛，就称左端这个广义积分收敛(否则就称发散).
3.对于广义积分 f x dx +∞
a
，如果函数f(x)在区间 a ,+∞ 上以+∞为唯一奇点，且内闭有
界可积，并且有原函数F (x ),那么
f x dx =lim x→+∞
f x dx =x
a +∞
a
lim x→+∞
F x −F (a ).
不论这个极限如何，都把这个公式写为
f x dx =F x +∞
a
|a +∞
.
如果极限lim x→+∞
F (x )存在，那么广义积分收敛，否则就发散.
4.我们知道Cauchy 收敛准则可以用来判定函数的敛散性，这对于积分也同样适用.因为广义积分的四种基本类型可以相互转化，故只讨论 f x dx +∞
a 这一种形式即可. f x dx
+∞
a
收敛
⇔∀ε>0，∃X >当x 1,x 2>X 时，| f x dx x
2x 1
|<ε
⇔lim t→+∞
ρ t =0，ρ t ≝q
p t sup
≤≤⎰q
p
)(dx
x f
5.夹逼收敛原理也可以判断积分是否收敛.设f x ≤g (x )≤ (x )(x ≥a )，如果积分 f x dx ， x dx +∞
a
+∞
a
都收敛，那么积分 g x dx +∞
a
也收敛.
另外绝对收敛的广义积分也一定收敛，由夹逼收敛定理可证明这条结论. 6.对于非负函数的广义积分还有三个特殊的判别方法. (1)收敛准则
在区间 a ,+∞ 上，设函数f (x )≥0,那么
广义积分 f x dx +∞
a
收敛⇔变上限积分 f x dx t
a (t ≥a )有界
(2)控制收敛判定法
在区间 a ,+∞ 上，对非负函数f x ,g x ，设g(x)是f(x)的上控制函数，即存在 x 0≥a ，使得
0≤f x ≤g(x)，∀x ≥x 0.
如果上控制函数g(x)的广义积分收敛，那么被控制函数f(x)的广义积分也收敛. (3)比较判定法
在区间 a ,+∞ 上，设f(x),g(x)都是非负函数并且有极限
lim
x→+∞f (x )
g (x )=l (存在或为+∞).
(i) 当l ∈(0,+ ∞)时，两个函数的广义积分有相同的收敛性. (ii)
当l =0时，由 g x dx +∞
a
收敛，推出 f x dx +∞
a
收敛. (iii) 当l =+∞时，由 g x dx +∞
a
发散，推出 f x dx +∞
a
发散. 7. 在Abel 条件或Dirichlet 条件下，广义积分 f x g (x )dx +∞
a
都收敛.
Abel条件 (1) f(x)单调有界. (2) g(x)广义积分收敛.
f(x)=0. (2) g(x)的变上限积分有界.
Dirichlet条件 (1)f(x)单调，lim
x→+∞
总结
以上列举的众多判定广以积分收敛性的方法，有助于我们更好地掌握广义积分的性质，提高运算效率。
广义积分是定积分的推广，也是微积分这门学科的重要组成部分，因此熟悉广义积分的概念有助于培养微积分的思维方式，也为将来更好地解决学习和生活中的实际问题打下基础。
但这只是微积分的一个小分支，微积分学如一片广袤的大海，还有很多的知识需要学习，还有很多的疑难需要探索和解答。
所以我们应该不断探索，努力奋进，来到数学的海洋中体味抽象之美。
参考文献：
[1]丁晓庆.数学分析[M].北京：清华大学出版社，2014.
[2]李忠，方丽萍.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2008.
[3]伍胜健.数学分析[M].北京：北京大学出版社，2009.。