第90讲 参数方程消参的方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练 含解析 精品
高考数学中的参数方程解析技巧
高考数学中的参数方程解析技巧高中数学中，参数方程是一个比较重要的知识点，它在高考中也经常出现。
在考场上如何快速解析参数方程是一个必备的技巧。
本文将从以下几个方面探讨高考数学中的参数方程解析技巧。
一、掌握参数方程的基本概念和性质首先，我们需要掌握参数方程的基本概念和性质。
参数方程就是用一个或多个变量来表示一组解的方程，通常是用二元函数表示。
例如，设：x=f(t) , y=g(t) ，则称x，y是由参数t确定的一组函数或者向量。
又如，曲线的参数方程可以表示为：x=cos t, y=sin t。
同时，我们还需要了解参数方程的基本性质。
比如，当参数t取遍一个区间时，对应的点以一定的方式运动，从而构成一个曲线(或者说路径)。
因此，参数方程很适合用来表示一些曲线、轨迹等形状。
二、常见的参数方程解题方法1、画图法：画出参数曲线的关键点和性质，如切线斜率、弧长等，利用图形解决问题。
2、换元法：将复杂的参数方程化简成简单的形式，以便求解。
比如，将参数方程中的sin t，cos t换成tan t，以求得此函数的导数。
3、消元法：当问题中只需求出一种变量的值时，可以通过解方程组，消元得到所求的变量。
例如，已知x=f(t) , y=g(t)，求y=f(x) 时，可以用消元法解得。
4、向量法：参数方程中的x，y一般可以看作是向量的i,j分量。
因此，我们可以构造出向量的形式，利用向量的性质解题。
三、解析参数方程的常见技巧1、化简参数方程：通过变形，将参数方程化为指数函数、三角函数等常见函数形式，以便于求导。
2、求导、求导数：通过求导，可以求出参数曲线的切线斜率、曲率等性质，以便于解析问题。
3、曲率半径：利用曲率半径和曲率公式，可以求出参数曲线上任意一点的曲率半径。
4、求交点、对称点：通过等式联立，求得参数方程下两曲线的交点坐标。
通过在参数方程下的对称关系求得参数曲线下的对称点。
四、例题分析1、设直线 L ： y=x+k（k > 0），曲线 C 的参数方程为 x=cost ，y=sin(t+θ). 试确定θ的取值范围，并解决直线 L 在曲线 C 上的截距。
参数方程消参的方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练 (word版含答案)
参数方程消参的方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练 (word版含答案)一、参数方程消参常用的方法有三种。
1、加减消参：直接把两个方程相加减即可消去参数。
2、代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简。
3、恒等式消参：通过方程计算出sinα、cosα，再利用三角恒等式sin2a+cos2a=1消去参数。
二、参数方程化为普通方程，一定要注意变量x、y的前后范围的一致性。
有时两个的范围都要写，有时只要写一个，有时可以不写。
例1】把参数方程x=t+1/t，y=t-1/t化为普通方程，并说明它表示什么曲线。
点评】本题中变量x、y可以不写，因为参数方程中x的范围是x≥2或x≤-2，双曲线x^2-y^2=4中x的范围也是x≥2或x≤-2，它们是一致的，都隐含在方程里，所以可以不写。
化XXX：y=x-2/x表示双曲线x^2-y^2=4.例2】参数方程x=sinα+cos2α，y=2+sinα的普通方程为（）。
解：代入消参，将sinα用cosα表示，得x=cosα+1-2sin^2α，y=2+sinα。
化简得：2y-4=x-y^2表示抛物线。
反馈检测1】把参数方程x=1-t^2/2，y=2t/(1+t^2)化为普通方程，并说明它表示什么曲线。
解：代入消参，将t用x表示，得t=±√(2-x)。
代入y的方程，得y=±(2-x)√(2-x)/2.表示的是左右对称的开口向下的二次函数。
反馈检测2】参数方程x=t+1，y=1-2t的图象是（）。
解：表示一条直线。
通过参数方程计算出sinα、cosα，然后利用三角恒等式sin²α+cos²α=1消去参数，得到普通方程y=-1+3cosθ，x=2+3sinθ。
不需要加上x的范围-1≤x≤5，因为x的范围隐含在方程(x-2)+(y+1)=9之中，即-1≤x≤5.设曲线C的参数方程为x=2+3cosθ，y=-1+3sinθ，直线l 的方程为x-3y+2=0，则曲线C上到直线l的距离为√10/2的点的个数为2个，因为圆心到直线的距离为√10/2，且圆心在直线上方，所以圆与直线有两个交点。
高中体育常见题型解法归纳：参数方程常见题型的解法
高中体育常见题型解法归纳：参数方程常见题型的解法本文将对高中体育中参数方程常见题型的解法进行归纳和总结。
参数方程是描述运动物体在平面上位置的一种数学表示方法，常用于解决运动轨迹、速度与加速度等问题。
1. 参数方程表示运动轨迹在参数方程问题中，我们通常需要根据给定的参数方程，确定物体的运动轨迹。
一般来说，参数方程都分为x方向和y方向的表达式，通过将参数代入表达式中，即可确定物体在平面上的位置。
示例题型：给定参数方程：x = 2ty = t^2 - 3t + 1求物体的运动轨迹。
解答方法：根据给定的参数方程，将t的取值代入x和y的表达式中，得到一系列的坐标点。
连接这些坐标点，即可得到物体的运动轨迹。
2. 参数方程求速度与加速度在参数方程问题中，我们常常需要求解物体的速度和加速度。
速度是描述物体运动变化率的量，而加速度是描述物体速度变化率的量。
通过参数方程，我们可以计算出物体在任意时刻的速度和加速度。
示例题型：给定参数方程：x = 2ty = t^2 - 3t + 1求物体在t = 1时刻的速度和加速度。
解答方法：首先，求出物体在t = 1时刻的位置坐标，将t = 1代入参数方程中，得到物体的位置坐标。
然后，分别对x和y方向的参数方程求导，即可得到物体在t = 1时刻的速度和加速度。
3. 参数方程的应用参数方程在实际问题中有广泛的应用，例如描述物体的运动轨迹、分析物体的速度与加速度等。
掌握参数方程的解法，可以帮助我们更好地理解和解答相关问题。
示例题型：某物体沿着参数方程给出的运动轨迹，速度大小为常数，求物体的运动方程。
解答方法：由于速度大小为常数，说明物体以等速运动。
根据等速运动的性质，我们可以知道物体的位移和时间成正比。
通过观察参数方程中的x和y方向的表达式，我们可以发现物体在x和y方向上的位移与t成正比关系。
通过进一步推导，可以得到物体的运动方程。
综上所述，参数方程在高中体育中是一种常见的数学方法，用于解决运动轨迹、速度与加速度等问题。
高中数学含参方程解题技巧
高中数学含参方程解题技巧在高中数学中，含参方程是一个重要的考查内容。
含参方程是指方程中含有参数的方程，通过求解含参方程可以得到参数的取值范围，从而解决实际问题。
本文将介绍含参方程的解题技巧，并通过具体题目进行说明和分析，帮助高中学生和家长更好地理解和应用这一知识点。
一、一元一次含参方程的解题技巧对于一元一次含参方程，我们通常采用代数运算的方法来求解。
下面通过一个例子来说明：例题1：已知方程 mx + 2 = 3x + 1 的解为 x = 2，请确定参数 m 的取值范围。
解析：首先将方程化简为 mx - 3x = 1 - 2，得到 (m - 3)x = -1。
由于已知 x = 2 是方程的解，代入得到 (m - 3) * 2 = -1。
解方程得到 m - 3 = -1/2，即 m = 5/2。
所以参数 m 的取值范围是 m ∈ (5/2, +∞)。
通过这个例题，我们可以看出，对于一元一次含参方程，我们可以通过代入已知解的方法来确定参数的取值范围。
这种方法在解决含参方程问题时非常实用，可以帮助我们更好地理解参数的变化规律。
二、一元二次含参方程的解题技巧对于一元二次含参方程，我们通常采用配方法或因式分解的方法来求解。
下面通过一个例子来说明：例题2：已知方程 x^2 + (m - 1)x + 2m = 0 的解为 x = 1，请确定参数 m 的取值范围。
解析：首先，我们可以通过已知解 x = 1 来确定参数 m 的取值范围。
将 x = 1 代入方程得到 1 + (m - 1) + 2m = 0，解方程得到 3m = 0，即 m = 0。
所以参数 m 的取值范围是 m = 0。
通过这个例题，我们可以看出，对于一元二次含参方程，我们可以通过代入已知解的方法来确定参数的取值范围。
这种方法在解决含参方程问题时非常实用，可以帮助我们更好地理解参数的变化规律。
三、一元高次含参方程的解题技巧对于一元高次含参方程，我们通常采用因式分解或配方法的方法来求解。
参数方程消参的新方法
参数方程消参的新方法参数方程是数学中常见的一种描述曲线的方式，通过指定一个或多个参数，可以得到一条曲线的各个点的坐标。
在数学和物理等领域中，参数方程有着广泛的应用，但是在实际运用中，我们往往需要将参数方程转化为普通的函数方程，以便更好地进行计算和分析。
本文将介绍一种新的方法，可以有效地将参数方程化为普通函数方程，从而简化计算和分析过程。
一、传统的消参方法在传统的消参方法中，我们通常使用代数方法，将参数方程中的参数用其他变量表示出来，然后代入到方程中，得到一个只含有自变量的函数方程。
例如，对于参数方程x = a cos t，y = b sin t，我们可以使用三角函数的恒等式将cos t和sin t表示为x、y和a、b的函数，然后代入到x和y的方程中，得到：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1这是一个椭圆的标准方程，可以方便地进行计算和分析。
但是，这种方法有一个缺点，就是转化过程中需要进行复杂的代数运算，容易出错，而且对于复杂的参数方程，很难找到合适的代数方法进行转化。
二、新的消参方法在新的消参方法中，我们不再使用代数方法，而是直接对参数方程进行变形。
具体来说，我们将参数方程中的一个参数看作自变量，将另一个参数表示为这个自变量的函数，然后代入到另一个参数的方程中，得到一个只含有自变量的函数方程。
例如，对于参数方程x = a cos t，y = b sin t，我们可以将t看作自变量，将cos t表示为x和a的函数，得到：cos t = x/a然后将sin t表示为cos t和y、b的函数，得到：sin t = y/b将sin t代入到x和y的方程中，得到：x^2/a^2 + (y^2/b^2 - 1)sin^2 t = 0这是一个只含有自变量t的函数方程，可以通过求解来得到曲线的各个点的坐标。
这种方法的优点是简单直接，不需要进行复杂的代数运算，而且对于复杂的参数方程也可以很容易地使用。
三、应用举例下面通过一个例子来说明如何使用新的消参方法。
高考参数方程知识点归纳
高考参数方程知识点归纳高考数学中的参数方程作为一个重要的知识点，是考查学生对于坐标系、直线方程和解析几何的基本理解和应用能力的一种方式。
参数方程是通过引入参数的方式来描述一条曲线或者曲面的方程，它与直角坐标系有着密切的联系，可以方便地表达出不同形状和特征的图形。
在这篇文章中，我们将对高考中常见的参数方程知识点进行归纳和总结。
1. 参数方程的基本概念和应用参数方程是一种用参数的形式来表示曲线或者曲面上的点的方程，它通常以参数的形式给出，通过改变参数的取值范围，可以得到不同位置的点，从而形成一条曲线或者曲面。
在解析几何中，参数方程可以用来描述直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等各种不同形状的曲线。
2. 参数方程与直线的关系直线可以通过参数方程的形式来表示，这种表示方式可以使得直线的方程更加简洁和直观。
一般而言，一条直线在参数方程中可以表示为x=at+b，y=ct+d，其中a、b、c、d 是常数。
通过给定不同的参数值，我们可以得到直线上的不同点，从而构成整条直线。
3. 参数方程与曲线的关系参数方程在描述曲线时可以给出曲线上每个点的坐标，从而实现对曲线形状的准确描述。
例如，给定一个参数方程 x=f(t)，y=g(t)，通过给定不同的参数 t 值，我们可以获得曲线上的不同点的坐标。
参数方程不仅可以表达直线，还可以表达各种曲线，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
4. 参数方程的转换和应用有时候，我们需要将参数方程转换为直角坐标方程，或者将直角坐标方程转换为参数方程。
对于参数方程转换为直角坐标方程，我们可以通过将参数方程中的参数表示用 x、y 表示，然后通过联立方程求解得到直角坐标方程。
而对于直角坐标方程转换为参数方程，我们可以通过引入参数来对直角坐标进行参数化，从而得到参数方程。
5. 参数方程与面积的计算通过参数方程，我们还可以计算曲线所围成的面积。
对于曲线上的两个相邻点 P 和 Q，我们可以用线段 PQ 所围成的面积近似代替曲线围成的面积，并且随着线段 PQ 的长度逐渐缩小，所得到的近似值也会越来越接近实际面积。
高中数学参数方程知识点详解(讲义+过关检测+详细答案)
5．【答案】D
【解析】 x2 t, y2 1 t 1 x2, x2 y2 1,而t 0, 0 1 t 1,得0 y 2 .
4
4
6.【答案】D
【解析】圆
x=2 cos，
的圆心为原点，半径为
y =2 sin
2，
则圆心到直线 3x-4y-9=0 的距离为 9 ，小于半径 2，故直线与圆相交. 5
D．(1, 3)
2.已知某曲线的参数方程为 xy==ccooss2， +1，则该曲线是（
）
A．直线
B．圆
C．双曲线
3.若一直线的参数方程为
x
x0
1 2
t
（t 为参数），则此直线的倾斜Байду номын сангаас为（
y
y0
3t 2
A．30º
B. 60º
C．120º
4．若点
P(4，a)在曲线
x＝
t 2
(t 为参数)上，点 F(2，0)，则|PF|等于(
)
y＝2 t
A．4
B．5
C．6
D．抛物线 ） D．150º
D．7
5．与参数方程为
x
t
(t为参数) 等价的普通方程为（ ）
y 2 1 t
A． x2 y2 1 4
B． x2 y2 1(0 x 1) 4
C. x2 y2 1(0 y 2) 4
D． x2 y2 1(0 x 1, 0 y 2) 4
y2 b2
1（ a
0 , b 0 ）的参数方程为：
x a sec
y
b
tan
（
为参数，
[0, 2 ) 且
, 2
3 2
高中数学参数方程消参方法总结整理
参数方程消参方法总结一、 参数方程常用消参方法： 1.加减法消参 2.代入法消参3.利用公式（完全平方公式、三角恒等变换公式）二、常见的参数方程①直线的参数方程若直线过(x 0,y 0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t 为参数).这是直线的参数方程,其中参数t 有明显的几何意义. ②圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为R,则圆的参数方程为0≤θ≤2π.③椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点,而在点M 0(x 0,y 0),相应的椭圆参数方程为0≤t ≤2π.题型一、加减消参1. 下列点不在直线{x =−1−√22ty =2+√22t(t 为参数)上的是( )A. (−1,2)B. (2,−1)C. (3,−2)D. (−3,2)2.在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为：{x −−2+√22ty =√22t (t 为参数) ，P 的极坐标方程为（2，π），曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=sinθ，试将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C 的焦点在直角坐标下的坐标。
3.将参数方程{x =1−cos 2θy =cos 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A. x +y −1=0B. x −y +1=0C. x +y −1=0(0≤x ≤1)D. x −y +1=0(0≤y ≤1)4.曲线C 的参数方程为{x =2t 21+t 2y =4−2t 21+t 2(t 为参数)，则曲线C 是( ) A. 直线 B. 直线的一部分 C. 圆 D. 圆的一部分5.以直角坐标系xOy 的坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程是{x =√22t y =√22t +4√2 (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4).(1)求圆心C 的直角坐标；(2)试判断直线l 与圆C 的位置关系．6.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =1+2ty =2−2t(t 为参数，t ∈R)，曲线C 2：{x =4cosα+4y =4sinα(α为参数)．(Ⅰ)以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，求曲线C 2的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线C 1与曲线C 2相交于点A 、B ，求|AB|．题型二、代入法消参1.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)；2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k 21＋k2(k 为参数)；3.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．求C 和l 的直角坐标方程4.参数方程是{x =3t 2+2y =t 2−1(0≤t ≤5)表示的曲线是( )A. 线段B. 双曲线C. 圆弧D. 射线5.与参数方程为{x =√t,y =2√1−t(t 为参数)等价的普通方程是( )A. x 2+y 24=1B. x 2+y 24=1(0≤x ≤1)C. x 2+y 24=1(0≤y ≤2)D. x 2+y 24=1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=题型三、利用公式1.⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)．2.⎩⎨⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)．3.参数方程{x =e t +e −ty =2(e t −e −t )(t 为参数)的普通方程为_____________4、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线2C 的参数方程为23,12x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)．求曲线12,C C 的普通方程；5.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为(x −2)2+y 2=6,曲线C 2的参数方程为{x =t 2+1t 2y =t 2−1t 2 (t 为参数) ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ=α(−π2<α<π2,ρ∈R) 求曲线C 1、C 2的极坐标方程6.把参数方程{x =sinθ−cosθy =sinθ+cosθ(θ为参数，θ∈R)化成普通方程是______．7.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =t +1ty =t 2−12t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．(1)求曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程;(2)若t ≠−1，求以曲线C 与x 轴的交点为圆心，且这个交点到直线l 的距离为半径的圆的方程．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【知识要点】
一、参数方程消参常用的方法有三种.
1、加减消参：直接把两个方程相加减即可消去参数.
2、代入消参：通过其中的一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程化简.
3、恒等式消参：通过方程计算出sin cos αα、
，再利用三角恒等式22sin cos 1a a +=消去参数. 二、参数方程化为普通方程，一定要注意变量x y 、的前后范围的一致性. 有时两个的范围都要写，有时只要写一个，有时可以不写. 【方法讲评】
【例1】把参数方程1(1x t t
t y t t ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
为参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线.
【点评】本题中变量x y 、可以不写，因为参数方程1(1x t t
t y t t ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
为参数）中x 的范围是 22x x ≥≤-或，双曲线224x y -=中x 的范围也是22x x ≥≤-或，它们是一致的，都隐含在方程里，所
以可以不写.
【反馈检测1】把参数方程2
2211(21t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩
为参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线.
【例2】参数方程αααα(,sin 22cos 2sin ⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=y x 为参数）的普通方程为（ ）
A. 122=-x y
B. 122=-y x
C. )2|(|122≤
=-x x y D. )2|(|122≤=-x y x
【点评】（1）本题使用的是代入消参. （2）把参数方程化成普通方程之后，一定要注意x y 、的取值范围，实际上这是两个函数(),()x f t y g t ==的值域问题. (3)参数方程化成普通方程之后，有时需要x y 、的范围都写，有时只需要写一个就可以了，有时不需要写. 这主要取决于化简之后的普通方程x y
、是否与原参数方程中x y
、的范围一致. 如果一致就不写.如果不一致，就要写.本题中只写了x 的范围，因为x 的范围确定之后，y 的范围也就对应确定了，所以可以不写y 的范围.一般情况下，写一个变量的范围即可.
【反馈检测2】参数方程11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数）表示什么曲线（ ）
A ．一条直线
B ．一个半圆
C ．一条射线
D ．一个圆
【例3】参数方程23sin 13cos x y θ
θ=+⎧⎨
=-+⎩
（θ为参数）化为普通方程是 .
【点评】（1）本题使用是三角恒等式消参；（2）本题不需要加上x 的范围15x -≤≤，因为x 的范围隐含在方程22(2)(1)9x y -++=之中，也是15x -≤≤，所以不需要加x 的范围.
【反馈检测3】设曲线C 的参数方程为θθ
θ⎩⎨⎧+-=+=sin 31cos 32y x 为参数，直线l 的方程为023=+-y x ，
则曲线C 上到直线l 的距离为
10
10
7的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第90讲：
参数方程消参的方法参考答案
【反馈检测1答案】2
2
1(1)x y x +=≠-，它表示以原点为圆心，以1为半径的圆（除去与x 轴相交的左交点）
【反馈检测2答案】C
【反馈检测2
详细解析】1
2301x x y y ⎧=⎪⇔+-=⎨=-⎪⎩，其中1,x ≥它表示端点为()11，的一条射线．
【反馈检测3答案】B 【反馈检测3详细解析】由θθ
θ
⎩⎨
⎧+-=+=sin 31cos 32y x 为参数，消参得：22(2)(1)9x y -++=为圆的方程.
由题可先判断直线与圆的位置关系得：310
d =
=
<，即：直线与圆相交且圆心到直线的距离为
10107，则圆上到直线距离为10
10
7的点有2个.。