解二元一次方程组的几种常用解法.ppt
二元一次方程的概念与解法
二元一次方程的概念与解法二元一次方程是数学中常见的问题类型，它由两个未知数和一次项构成。
解决这类方程需要运用代数的基础知识和解方程的技巧。
本文将介绍二元一次方程的概念以及一些解法方法。
一、二元一次方程的概念二元一次方程又称为二元一次方程组，可用以下形式表示：ax + by = cdx + ey = f其中，a、b、c、d、e、f为已知数，x、y为未知数。
二元一次方程是一类形式简单且较易解的方程，通常用代数的方法来解决。
解二元一次方程有两种方法：消元法和代入法。
二、消元法解二元一次方程消元法是常用的解二元一次方程的方法之一。
其基本思路是通过对方程组进行合理加减运算，将其中一个未知数消去，从而得到一个只含有另一个未知数的一元一次方程。
具体解法步骤如下：1. 根据方程组的特点，选择合适的乘法因子使得方程中的两个未知数的系数相等或互为相反数；2. 将两个方程的乘法因子应用到方程组的两个方程，并对两个方程进行相应的乘法运算；3. 将两个经过乘法运算的方程相加或相减，消去其中一个未知数；4. 解得消去后的一元一次方程，得到该未知数的值；5. 将求得的未知数的值代入方程组中的任意一个方程，求解另一个未知数。
消元法是一种简便且直观的解法，通过适当的运算可以得到方程组的解。
三、代入法解二元一次方程代入法是另一种解二元一次方程的常用方法。
它的基本思路是将一个方程中的一个未知数用另一个方程中的未知数表示，然后代入到另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的一元一次方程。
具体解法步骤如下：1. 选择一个已知数比较方便求解的方程，将该方程中的一个未知数用另一个方程中的未知数表示；2. 将代入得到的新方程代入另一个方程，从而得到只含有一个未知数的一元一次方程；3. 解得一元一次方程，求得一个未知数的值；4. 将求得的未知数的值代入原来的方程，求解另一个未知数。
代入法在解一些特殊的二元一次方程时，往往能够更快地得到解。
四、总结二元一次方程是数学中常见的问题类型，解决这类方程需要运用代数的基础知识和解方程的技巧。
最新二元一次方程解法大全说课材料
二元一次方程解法大全摘要Ideal isthe b eac on. Without ideal, there is no secure direction ； without di recti on , thereis no life20XX年XX月二元一次方程解法大全1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。
用直接开平方法解形如(X -ID) 2二n(n20)的方程，其解为x二土根号下n+m.例1・解方程(1) (3x+l)2=7 (2) 9x2— 2 4x+16二1 1分析：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。
(1 )解：(3 x +1) 2=7X•••(3x+l) 2 =5・・.3x+l二土(注意不要丢解)X 二・•・原方程的解为x 1 = x2=(2)解：9 x 2-24x4- 1 6=11••• (3x-4)2 二1 1••• 3x-4 =±x 二••・原方程的解为X 1 =, x2=2.配方法：用配方法解方程a x2+ b x+c = O(aHO)先将常数c移到方程右边:ax2+bx= — c将二次项系数化为l：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+x+()2二一+()2方程左边成为一个完全平方式：(x+) 2 =当b"2-4ac20 时，x+=±•・.x二(这就是求根公式)例2.用配方法解方程3x^2-4x-2= 0 (注:X"2是X的平方)解：将常数项移到方程右边3x*2-4x=2将二次项系数化为1 ：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+ () 2 =+()2配方：(X-) 2=直接开平方得浪-二土.°.x =•••原方程的解为xl二，x2二.3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△二b2- 4 a c的值，当b 2-4 a cNO 时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b*2-4ac)* (l/2)]/(2a ), (L2-4acM 0 )就可得到方程的根。
二元一次方程的解法及例题
二元一次方程的解法及例题二元一次方程指的是两个未知数同时存在的、次数为一次的方程。
例如，ax + by = c 就是一个二元一次方程。
其中a、b、c 表示已知数，x、y表示未知数。
解法一：消元法消元法是一种常用的解二元一次方程的方法。
具体步骤如下：1. 通过系数相乘或相加来消掉一个未知数，使得方程只剩下一个未知数。
2. 用已知数带入求出未知数。
例如，求解以下二元一次方程：2x + 3y = 8x - y = 1Step 1：消元通过将第二个式子中的x提出来，代入第一个式子，消去x，得到方程： 2(1+y) + 3y = 8化简后得： 5y = 6Step 2：解方程将y = 6/5代入第二个式子中求出x，得到 x = y + 1 = 6/5 + 1 = 11/5因此，方程的解为：x = 11/5， y = 6/5。
解法二：代入法代入法是另一种求解二元一次方程的方法。
具体步骤如下：1. 从其中一个式子中求出已知数的值。
2. 将已知数的值代入另一个式子中，得到一个只含一个未知数的一元一次方程。
3. 解出这个方程的未知数的值。
例如，求以下二元一次方程的解：x + 2y = 53x - y = 1Step 1：求出y将第一个式子变形得到y的表达式： y = (5 - x)/2将y代入第二个式子中，得到一个只含有x的方程： 3x - (5-x)/2 = 1Step 2：解方程化简得到： x = 7/5将x代入y的表达式中，得到 y = (5 - 7/5)/2 = 9/5因此，方程的解为： x = 7/5， y = 9/5。
综上所述，二元一次方程的解法主要有消元法和代入法，根据不同的题目选择适合的方法。
掌握带有参数的二元一次方程组的解法
掌握带有参数的二元一次方程组的解法带有参数的二元一次方程组是指方程组中含有参数的二元一次方程。
解决这类方程组的关键在于求出参数的取值范围，并找到满足方程组的解。
下面将详细介绍带有参数的二元一次方程组的解法。
一、带有参数的二元一次方程组的表示形式带有参数的二元一次方程组一般可以表示为：方程组1：$a_1x + b_1y = c_1$$a_2x + b_2y = c_2$其中，$a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$为已知系数，$x, y$为未知数。
二、参数的取值范围为了求解方程组，首先需要确定参数的取值范围。
通常可以通过观察方程来判断参数取值的范围。
例如，如果方程组中含有分母，并要求分母不等于零，那么就需要确定参数不能为使分母为零的值。
三、带有参数的二元一次方程组的解法带有参数的二元一次方程组的解法可以分为以下几种情况：情况一：参数取某个特定值当参数取某个特定值时，方程组就变成了具有确定解的普通二元一次方程组。
根据二元一次方程的解法，解出该方程组，得到解的具体数值。
情况二：参数存在范围当参数存在范围时，需要根据参数的取值范围进行分类讨论。
具体步骤如下：1. 将方程组化简为标准形式，即求出每个方程的标准形式表达式；2. 根据参数的取值范围，将方程组分为不同的情况；3. 分别针对每种情况，解决方程组，并得到解的范围或具体解。
情况三：参数无限制当参数没有明确的取值范围时，需要利用一些性质和技巧，通过代数运算推导出解的性质。
常用的技巧包括代入法、消元法、矩阵法等。
根据具体问题和方程组的特点，选择合适的方法求解。
总之，掌握带有参数的二元一次方程组的解法，首先要明确参数的取值范围，然后根据具体情况选择合适的解法进行求解。
通过逐步分析和计算，可以得出解的范围或具体解。
在实际问题中，带有参数的二元一次方程组的解法能够帮助我们解决更为复杂的数学和实际应用问题。
加减消元法解二元一次方程
加减消元法解二元一次方程二元一次方程是指含有两个未知数、二次项及一次项的方程。
在代数学中，解二元一次方程是十分重要的。
加减消元法是解二元一次方程的一种常用方法，它的基本思想是通过加减运算将未知数相消，从而消去其中一个未知数，再使用代入法来求得另一个未知数的值。
加减消元法的步骤如下：1. 将两个方程的未知数按相同的顺序排列，使它们一一对应。
2. 再将两个方程中某一个未知数相同项的系数加减，得到一个新的方程。
3. 将第二步得到的新方程中所得的系数带回其中一个原方程中，求出另一个未知数的值。
4. 将求出的值代入原方程中，计算出另一个未知数的值。
下面通过一个具体的例子来说明加减消元法的具体步骤：例：解方程组2x - 3y = -1 (1)3x + 2y = 8 (2)将式(1)与式(2)相加，得到(2x + 3x) + (-3y + 2y) = -1 + 8化简得到5x = 7因此，x的值为7/5。
将x的值代入式(1)中，求出y的值。
即2 × 7/5 - 3y = -1化简得到y = 13/15因此，当x = 7/5时，y = 13/15。
方程组的解为{(7/5，13/15)}。
加减消元法的优点在于它能够将未知数的个数有效地减少一半，从而简化问题的复杂度。
同时，这种方法也有局限性，即当方程系数较为复杂或方程数较多时，使用加减消元法解方程的难度将会增加。
综上所述，加减消元法是解二元一次方程的一种常用方法，可以通过加减运算将未知数相消来求得方程的解。
虽然有其优点，但也有局限性，需要根据具体问题来选择所用的解法。
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距离问题
浓度问题
通过给定的两点坐标，利用二元一次 方程组求解两点之间的距离。
通过给定的溶液浓度和体积，利用二 元一次方程组求解溶液的配制比例和 浓度。
速度问题
通过给定的时间和速度，利用二元一 次方程组求解物体的运动轨迹和速度 。
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2023-12-25
CONTENTS
目录
• 二元一次方程组的基本概念 • 二元一次方程组的解法 • 二元一次方程组的实际应用 • 二元一次方程组的变式与拓展
CHAPTER 01
二元一次方程组的基本概念
二元一次方程组的定义
定义
二元一次方程组是由两个或两个以上的方程组成，其中含有两个未知数，且每 个方程中未知数的次数都是一次。
代数问题
例如，在求解两个未知数的和、差、 积、商等问题时，需要使用二元一次 方程组来表示和求解。
物理中的二元一次方程组问题
运动问题
例如，在计算两个物体之间的相对速度和距离时，需要使用二元一次方程组来表示和求 解。
力的问题
例如，在计算两个物体之间的相互作用力和扭矩时，需要使用二元一次方程组来表示和 求解。
示例
x + y = 1, 2x - y = 3。
二元一次方程组的表示方法
代数表示法
使用代数符号表示二元一次方程 组，如x + y = 1, 2x - y = 3。
图形表示法
通过图形表示二元一次方程组的 解，如平面直角坐标系中的直线 。
二元一次方程组的解的概念
01
02
03
解的概念
满足二元一次方程组的未 知数的值称为解。
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答案解析
答案解析1
首先将方程组中的两个方程相加和相减，消去其中一个变量，得到一个一元一次方程，然 后求解得到一个变量的值，最后将这个变量的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另 一个变量的值。
答案解析2
首先将方程组中的两个方程相加和相减，消去其中一个变量，得到一个一元一次方程，然 后求解得到一个变量的值，最后将这个变量的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另 一个变量的值。
几何问题
例如，在计算几何图形的面积、 周长或体积时，需要使用二元一 次方程组来表示相关变量之间的
关系。
代数问题
例如，在解决代数方程组时，需要 使用二元一次方程组来表示未知数 之间的关系。
概率统计问题
例如，在计算概率分布或统计数据 时，需要使用二元一次方程组来表 示相关变量之间的关系。
科学中的二元一次方程组问题
化学反应
在化学反应中，常常需要用到 二元一次方程组来表示反应物 和生成物的关系。
几何问题
在解决涉及两个未知数的几何 问题时，如两点之间的距离、 角度等，常常需要用到二元一
次方程组。
02
二元一次方程组的解法
代入消元法
通过代入一个方程中的未知数，将其表示为另一个变量的函数，从而简化方程组的方法。
代入消元法是解二元一次方程组的一种常用方法。首先，选择一个方程中的未知数，用另一个未知数表示出来，然后将其代 入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。接着解这个一元一次方程，得到一个变量的值，再将其代回 原方程中求得另一个变量的值。
01
02
03
购物问题
例如，在购买商品时，需 要计算不同商品的价格和 折扣，以确定最佳购买方 案。
交通问题
初一二元一次方程解法
初一二元一次方程解法哎呀，说到这个二元一次方程，我可是有一肚子的话要说。
记得上初中那会儿，数学老师天天在黑板上写那些奇奇怪怪的方程式，什么“2x + 3y = 7”，“4x - y = 10”之类的，看得我头都大了。
那时候我就在想，这玩意儿到底有啥用啊？难道以后买菜还要算个二元一次方程不成？不过话说回来，虽然当时觉得头疼，但现在回想起来，解二元一次方程其实也没那么难。
关键是要掌握好方法。
比如说，最常用的方法就是“代入法”和“消元法”。
代入法就是把其中一个方程的解代入到另一个方程里，这样就可以消去一个未知数，剩下一个一元一次方程，解起来就容易多了。
消元法呢，就是通过加减两个方程，把其中一个未知数消掉，剩下的也是一个一元一次方程。
记得有一次，我和同桌小明一起做作业，碰到了一个特别复杂的二元一次方程组。
我俩对着那两个方程看了半天，愣是没看出个所以然来。
小明挠着头说：“这可咋办啊？难道我们要去请教老师？”我一拍桌子，说：“不行，咱们不能总是依赖老师，得自己想办法！”于是我俩就开始琢磨，怎么才能把这两个方程给解出来。
我先试着用代入法，把第一个方程的y解出来，代入到第二个方程里。
结果发现，代入之后，第二个方程变得特别复杂，根本没法解。
小明在一旁看着，皱着眉头说：“看来代入法不行啊，咱们试试消元法吧。
”于是我俩又把两个方程相减，结果发现，减完之后，x的系数居然变成了0，这下可好，x直接被消掉了。
我俩看着那个只剩下y的方程，顿时傻眼了。
小明苦笑着说：“看来咱们还是得去请教老师啊。
”我摇摇头，说：“不行，咱们不能就这么放弃！”于是我俩又开始琢磨，怎么才能把x和y都解出来。
最后，我灵机一动，想到了一个办法。
我把第一个方程乘以2，然后把第二个方程乘以3，这样两个方程的x系数就一样了。
然后我再把两个方程相减，这下x终于被消掉了，只剩下一个y的方程。
我俩兴奋地解出了y的值，然后又把y的值代入到第一个方程里，解出了x的值。
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1.会运用常见的消元方法解二元一次方程组
2.经历互助学习研究，能根据题目 特征寻求又快又好的解题方法．
温故而知新：
x 3y 13 x 2 y 10
1.想一想：
下列方程组各选择哪种消元法来解比
较简便?
(1) y=2x
(2) 2x+3y=21
3x-4y=5
代入法
2x-5y=5
加减法
n
3
即 x+y 1
x-y
3
解得：
x2
y
-1
用适当的方法解下列方程组
2a b 18, （1）a 3b 2.
a=8
（2）32xx
y 5, 4y 2.
x=2 y=-1
b=2 x y 8 （3）5x 2(x y) 1
（4）
x
3
1
2
y,
2(x 1) y 11.
x=3 y=5
由方程①＋②得： 4009x+4009y=4009,即 x+y=1;
∴x y2 x y3 12 33 28
解方程组3 x y 4 x y 9
换元法
巩 固
（4）
x y x y 1
2
6
解： 令x+y=m,
x-y=n,
则原方程组化为
练
习
D
3m 4n 9
mn 1 26
解得：
m 1
x=5 y=1
5.
x 3y 13 x 2 y 10
1、解二元一次方程组的基本思路:
消元: 二元一次
一元 一次
数学中的转化思想能使问题从难到易， 不会到会的过程。
已知方程组
2x-y=7和 ax+y=b
有相同的解，求a，b的值。
x+ b y=a 3x+y=8
解：根据题意：得
2x-y=7
X=3
(3) 9x-5y=1
7y+9x=2
加减法
4y x 4, ① 5y 4x 3;②
2、先阅读材料，后解方程组.
材料：解方程组
x 4( x
y1 y)
y
0
5
①
时，
②
可由①得x-y=1 ③
x0
将③代入②得4×1-y=5.
即y=-1.进一步得
y
1
这种解方程组的方法称为“整体代入法”.
请用整体代入法解方程组
解得：
3x+y=8
则： 3a-1=b
Y=-1 a=1
解得：
3-b=a
b=2
2
2x 3y 2 0 x3y52y
7
9
若22000054
x x
2005 2004
y y
2003 2006
,求
x y2 x y3的值。
若2
2003 2006
,
求
x y2 x y3的值。
解：由方程①－②得： －x+y=-3，即 x-y=3;